SKKN một số phương pháp giải các bài toán về modul của số phức

Một trong những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số phức.. Để giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được phương án trả lời đúng trong đề

MỤC LỤC

7.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

7.1.1 Những kiến thức cơ bản 2

7.1.2 Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức…… 3

7.1.3 Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip………6

7.1.4 Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó 13

7.1.5 Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức……….15

7.2 Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN 21

7.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 22

7.4 Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy……….23

7.5 Kết luận và kiến nghị 23

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm Mảng kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm Một trong những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số phức Để giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được phương án trả lời đúng trong đề bài,

chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có một tư duy linh hoạt và nhạy bén Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức, người thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như loại trừ, thử đáp án, chọn lựa và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết Đó là lí do tôi chọn đề tài này

2 Tên sáng kiến:

Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số phức

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Trần Thị Thu Hằng

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Xã Đồng Thịnh, huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0973318398 E_mai:

tranthithuhanggv.c3songlo@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trần Thị Thu Hằng

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng trong thực tiễn giảng dạy và học tập môn Toán học lớp 12, cụ thể trong các tiết ôn luyện chủ đề Số phức, giải tích 12

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 4 năm 2018

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

7.1.1 Những kiến thức cơ bản:

7.1.1.1 Một số phức là một biểu thức có dạng x+ yi , trong đó x , y ∈ R , và i là số thoả mãn i2=−1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z=x + yi

* i được gọi là đơn vị ảo

* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z)

* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z)

* Tập hợp các số phức ký hiệu là C

7.1.1.2 Hai số phức bằng nhau.

Cho 2 số phức z = x + yi và z’ = x’ + y’i khi đó z = z’  { x=x ' ¿¿¿¿

7.1.1.3 Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi

7.1.1.4 Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y), khi

đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chấtgiao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thôngthường.

7.1.2 Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức

7.1.2.1 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:

Ta xét một ví dụ mẫu như sau:

Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

|3 z +1−i|=|−3 ´z+2+3i|

Giải:

Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y ∈ R¿, ta có

(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2  18x – 24y – 11 = 0

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 Ta tìm a, b, c

như sau:

Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím

|3 X +1−i|2−|−3 conjg ( X )+2+3 i|2 CALC X = 0 →−11 → c=−11

|3 X +1−i|2−|−3 conjg ( X )+2+3 i|2+11 CALC X = 1 → 18→ a=18

CALC X = i →−24 →b=−24

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0

Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học

sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể

cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây.

Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số phức z

thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

|mz +a+bi|=|m ' z +a '

+b ' i|

|mz +a+bi|=¿|m'.´z + a' + b'i|

|m ´z+a+bi|=¿|m'.´z + a' + b'i|

Mà m = m’ hoặc m = - m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng

7.1.2.2 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:

Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:

Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

|z−(a+bi)|=R với R>0

Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

4x+

5

2 y +11

8=0

Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Ta tìm a,

b, c như sau:

Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím

(|X+ 1−i|¿¿2−|−3 conjg( X )+2+3i|2):(12

−(−3 )2)−|X|2¿ CALC X = 0 →11

8 → c=

118(|X+ 1−i|¿¿2−|−3 conjg( X )+2+3i|2):(12

−(−3 )2)−|X|2−11

8 ¿ CALC X = 1 →−7

4 → a=

−74CALC X = i →5

2 → b=

52Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn: x2+y2−7

Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây cũng

là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây.

Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng với số phức z

thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

|mz +a+bi|=|m ' z +a '

+b ' i|

|mz +a+bi|=¿|m'.´z + a' + b'i|

|m ´z+a+bi|=¿|m'.´z + a' + b'i|

Mà m ≠ m’ và m ≠ -m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường tròn

7.1.2.3 Quỹ tích điểm biểu diễn là elip:

Ta thường gặp bài toán:

Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa

mãn |z−c|+|z+c|=2 a với a > c > 0

F 2

F1

c -c

-b b

Giải: Gọi F1(-c; 0), F2(c; 0) Từ điều kiện bài toán, ta có MF1 + MF2 = 2a Dựa vàođịnh nghĩa của elip, ta dễ dàng nhận thấy quỹ tích của M là elip có phương trình :

Bước 1 Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện, đây cũng là

quá trình tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z

Bước 2

 Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá

 Phân tích biểu thức thành tổng bình phương để đánh giá

 Khảo sát hàm số để đánh giá

 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa

 Dùng tính chất hình học để đánh giá bằng cách: Tìm số phức z tương ứng vớiđiểm biểu diễn M ∈ (G) sao cho khoảng cách tương ứng với điều kiện bài toán

có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)

7.1.3.1 Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5 cách giải)

Ví dụ 4: Tìm z sao cho | z| đạt giá trị nhỏ nhất Biết số phức z thỏa mãn điều kiện

w=( z+3−i) ( z+1+3i) là số thực.

Giải: Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R), khi đó

w=(x+3+( y−1 )i).(x +1+(3− y )i)=x2+y2+4 x−4 y+6+2 ( x− y +4 )i

Ta có w∈R ⇔ x− y+4=0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): x− y+4=0 .

Cách 1: (Hình học) Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn z thì

Cách 5:( Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)

Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím

Nhận thấy |z| nhỏ nhất là = 2√2 tại x = -2, nên y = 2

hay z = -2 + 2i

Ví dụ 5: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z – 3 + 2i Biết số phức z thỏa mãn điều

kiện |z +1−3 i|=|−z+1+ i|

Giải:

Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường thẳng: x - y + 2 = 0

Cách 1: (Hình học) Ta thấy |z−3+2i| nhỏ nhất có giá trị là khoảng cách từ điểm I(3;

-2) đến đường thẳng x – y + 2 = 0 và bằng 7√2

2

Cách 2 (Phân tích thành tổng bình phương) Ta có

Cách 3 (Phương pháp hàm số) |z−3+2i|=√2 x2+2 x+25

Xét hàm số f ( x )=2 x2+2 x +25 là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại x=−b

2 a=

−12

Cách 5: (Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)

Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím

Nhận thấy f (x) nhỏ nhất là = 492 tại x = -2

nên |z−3+2i| nhỏ nhất là 7√2

2

7.1.3.2 Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5 cách giải)

Ví dụ 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 2 4 i  5.Tìm số phức z cómôđun lớn nhất, nhỏ nhất

Giải: Giả sử điểm M(x; y) biểu diễn số phức z=x+yi Khi đó tập hợp điểm M là đường

tròn I(2;4), bán kính R  5, có phương trình: (x 2)2(y 4)2 5

Cách 1: (Sử dụng BĐT Bunhiacopxki) Ta có

Cách 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)

Đặt x−2= √ 5sin t , y−4= √ 5cost

Ta có : x2+ y2= ( 2+ √ 5 sin t )2+ ( 4+ √ 5 cost )2=25+4 √ 5 ( sin t+2cost )

Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z, khi đó | z|min⇔ OMmin, |z|max⇔ OMmax

Ta có phương trình đường thẳng OI là: 2x− y=0 .

Đường thẳng OI cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của hệ

phương trình: { ( x−2 ) 2 + ( y−4 ) 2 =5 ¿¿¿¿ ⇒A(1;2), B(3;6)

Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA≤OM≤OB Hay √ 5≤|z|≤3 √ 5

Giải: Chúng ta có thể giải bằng 5 phương pháp đã nêu trên, ở đây tôi chọn phương

pháp hình học để trình bày lời giải

Ta có

 Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là

đường tròn tâm I(-5; 0), bán kính R = 5

 Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là

đường thẳng : 8x6y 35 0

d R

Dễ thấy đường thẳng  không cắt ( )C do d(I; ) = 15

2 >R Theo hình vẽ ta thấy

1 2

52

Chứng minh: Gọi M là điểm biểu diễn của z, -A là điểm

biểu diễn của số phức –A, -B là điểm biểu diễn của số

phức –B Khi đó M thuộc đường tròn tâm là –A, bán

kính k

Ta thấy M1B≤ P ≤M2B ||A−B|−k|≤ P ≤|A−B|+k

Áp dụng tính chất trên ta dễ dàng giải được các bài toán sau:

Ví dụ 8: Cho |z−2−4 i|=√5 Tìm min , max của P=|z +1|

Nhận xét: Từ dạng toán trên ta có ngay cách giải dạng toán sau: Cho số phức z thỏa

mãn |Az+ B|=k , A , B ∈C , k >0 Tìm z sao cho P=|Cz+ D| đạt min, max

7.1.3.4 Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4 cách giải)

Ví dụ 12: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Biết số

phức z thoả mãn điều kiện: z 1 z1 4

Giải: Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình là:

Vậy : | z|min= √ 3⇔ z=± √ 3i |z|max= 2⇔ z=±2

Cách 2:(Đánh giá) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z ⇒

x2

4 +

y2

3 =1

Vậy: | z|min= √ 3⇔ z=± √ 3i |z|max=2⇔ z=±2

Cách 3: (Lượng giác hóa) Đặt x=2.sin t , y= √ 3cost , t∈[0;2π )

Ta có: OM2= x2+ y2=4 sin2t+3 cos2t=3+sin2t

 |z|max=¿ ⇔ M≡ A hoặc A’ ⇔ z=±2

7.1.4 Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó

Với mỗi số phức z, ngoài một số mối quan hệ quen thuộc ta nêu thêm một số quan hệ sau với số phức liên hợp của nó:

 z +´z=2 ℜ(z )

 z−´z=2 ℑ (z ) i

 z là số thực z=´z

 z là số thuần ảo z=−´z z+´z=0

Ví dụ 13: Cho số phức z ≠ 1 thỏa mãn z−1 z+1 là số thuần ảo Tìm |z|

Giải: z−1 z+1 là số thuần ảo z−1 z+1+´z +1

z ´z−z +´z−1+z ´z +z−´z −12 z ´z−2=0|z|=1

Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn |z|=5 và i.z + 4 là số thuần ảo, tìm z?

Giải: Do i.z + 4 là số thuần ảo nên iz+4+ ´ iz+4=0 iz− ´iz+8=0

Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0 Tìm phần thực của

 Giá trị lớn nhất của |z| là 2+√3 , đạt được tại z = (2+√3¿i

 Giá trị nhỏ nhất của |z| là 2−√3 , đạt được tại z = (2−√3¿i

7.1.5 Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức

Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để minh họa cho tính linh hoạt

và đa dạng của tư duy nhằm chọn được đáp án đúng.

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn |z−3|+|z +3|=10 Tổng các GTLN và GTNN của |z| là

Cách khác: Ta chọn 3 số a, b, c thỏa mãn 2 điều kiện trên, có thể nhận thấy các

nghiệm phức của phương trình z3 – 1 = 0 ( hoặc z3 + 1 = 0) sẽ thỏa mãn đủ 2 điều kiện

đó Thay các nghiệm vào biểu thức a2 + b2 + c2 và bấm máy tính , ta sẽ có kết quả bằng0

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn |z2−2 z+5|=|(z−1+2 i)(z +3 i−1)| Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa |w| với w = z – 2 + 2i

Bài 5: Cho 2 số phức a và b thỏa mãn a + b = 8 + 6i và | a−b|=2

1 a+b=8+6 i ´a+ ´b=8−6 i a ´a+b ´b+a ´b +b ´a=100

|a−b|=2 (a−b)(a−´b´ )=4 a ´a+b ´b−a ´b−b ´a=4

|a|+|b|=√24+√18 lớn hơn √56 ,√26 ,√56

4 Đáp án A Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn |z|=1 Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN củabiểu thức P=|z+1|+|z2−z+ 1| Tính giá trị của M.m

f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên

Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn |z−3−4 i|=√5 Gọi M và m lần lượt là GTLN vàGTNN của biểu thức P=|z+2|2−|z−i|2

Tính modul của w = M + m.i

Dùng máy tính cầm tay , ta thấy

Vậy: Min P = 0.75

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình tròn: x2+y2≤1

9 Dễ thấy giá trị lớn nhất của

|z| là 19 Đáp án C.

Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn

|z +1+i|=|2 z+´z−5−3 i| sao cho biểu thức P = |z−2−2i| đạt GTNN Tìm phần thực củaz

1 1 2 2 0

z  z z z  gọi A, B

là các điểm biểu diễn tương ứng của z z Khẳng định nào sau đây đúng1, 2

R2 =5

B

A

2 2

OA = OB = AB = 1 nên ∆ OAB đều Đáp án C

Bài 14: Cho số phức z  0 thỏa mãn

3 3

89

z z

z z

C

29

z z

D

23

z z

Hướng dẫn: Đặt

2( 0)

a z

z

Đáp án A Bài 15: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn |z−i|≥ 3 và |z−2−2i|≤ 5 Kí hiệu z1,

z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có modul lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất.Tính giá trị của biểu thức P = |z2+2√2 z1|

Hướng dẫn:

Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn |z−i|≥ 3 là phần

bên ngoài (kể cả biên) của đường tròn tâm I1(0; 1) bán kính

R1 = 3

Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn |z−2−2i|≤ 5 là

phần bên trong (kể cả biên) đường tròn tâm I2(2; 2) bán kính

R1 = 5

Theo hình vẽ ta nhận thấy

 z1 có modul nhỏ nhất nên điểm biểu diễn của z1 là B(0; -2) hay z1 = -2i

 z2 có modul lớn nhất nên điểm biểu diễn của z1 là A(5+2√2 ;5+2√2)

Vậy |z2+2√2 z1|=√66 Đáp án A.

7.2 Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN

Tháng 3/2018, trước khi thực hiện việc giảng dạy các phương pháp này tại lớp

12A2, tôi đã cho học sinh thử làm một đề trắc nghiệm với nội dung sau:

Câu 1: Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |z−2|+|z+ 2|=6 là đường nàosau đây:

A Đường thẳng B Đường tròn C.Đường parabol D Đường elip

Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn |z−2−4 i|=|z−2 i| Số phức z có modul nhỏ nhất

A Trục hoành C Đường phân giác y = x

B Trục tung D Đường phân giác y = x

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các

số phức z z z1, ,2 3 biết z1 z2z3 Đẳng thức nào sau đây đúng ?

12A2(32) thực nghiệm 2 (6,2%) 12 (43,8%) 15 (40,6%) 3 (9,4%) 012A3 (36) đối chứng 3 (8,3%) 14 (39,9%) 15 (41,7%) 4 (11,1%) 0

Bảng 7.1 : Kết quả thống kê học sinh đầu năm

7.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:

 Tổ chức cho học sinh học theo nhóm đối tượng, phân chia thành các nhóm có trình độ tương đương để thiết kế giáo án phù hợp

 Đối với các nhóm học sinh khá giỏi thì hướng dẫn, gợi ý để các em tìm ra được nhiều cách giải nhất, sau đó giáo viên bổ sung và tổng hợp

 Thực hiện trắc nghiệm khách quan để kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh phương pháp học của học sinh cũng như điều chỉnh nội dung bài giảng, phương pháp dạy của giáo viên

7.4 Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy

Sau khi giảng dạy các kĩ năng và phương pháp trên tại lớp 12A2, 12A3cũng kiểm travới 1 đề bài có độ khó tương tự như đề bài đã nêu ở phần 1 thì kết quả thực sự khảquan hơn nhiều, nó thể hiện qua thống kê sau:

+) Tỉ lệ các bài trên trung bình và dưới trung bình của HS

Số bài trêntrung bình

SKKN được viết ra qua nhiều suy ngẫm, đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân nên

nó mang tính thực tiễn cao Ta có thể thấy rằng còn có thể mở rộng phạm vi nghiên cứu của SKKN hơn nữa Nhưng do sự hạn chế về số lượng trang viết của một SKKN, nên tôi chưa thể truyền tải hết những kinh nghiệm còn ấp ủ, thai nghén trong đó Tuy vậy, bài viết nhỏ này cũng thể hiện được tương đối nhiều những điều cần thiết nhất

7.5.2 Kiến nghị

* SKKN này chỉ nên áp dụng đối với đối tượng học sinh khá giỏi

* SKKN này có thể mở rộng hơn nữa về các dạng toán