ễN THI TT NGHIP HNG NG THC CễNG THC LNG GIC Goực Hslg 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 0 sin 0 1 0 0 cos 1 0 -1 1 tg 0 1 kxủ -1 0 0 cotg kxủ 1 0 -1 kxủ kxủ 1. Cung ủoỏi nhau: 2. Cung buứ nhau : 3. Cung phuù nhau : Chỳ ý: cos i sin bự ph chộo cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g = = = = cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g = = = = cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g = = = = 2. 3. 4. 5. 6. 7.  Các hệ thức cơ bản: chú ý Công thức cộng : Công thức nhân đôi: Công thức nhân ba: Công thức hạ bậc: Công thức tính    tg α α α theo !"  t α = Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ  cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 π π α α α α π π α α α α + = − = + − = + = − − 2 2 2 2 1 1 tg = cos 1 1 cotg = sin tg . cotg = 1 α α α α α α + + 2 2 cos sin 1 sin tg = cos cos cotg = sin α α α α α α α α + = α α α α α α α α α α α α α = − = − = − = − = = − 2 2 2 2 4 4 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin sin2 2sin .cos 2 2 1 tg tg tg cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos tg +tg tg( + ) = 1 . tg tg tg( ) = 1 . tg tg tg tg α β α β α β α β α β α β α β α β β α α β α β β α α β α β α β α β α β α β + = − − = + + = + − = − − − − + α α α α α α α     #    #       + − = − = + = tg             α α α α α α = − = − 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; 1 1 1 t t t tg t t t α α α − = = = + + − [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β = + + − = − − + = + + −                          $ x α α α α α α + + = = − + + =  KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT  Đònh nghóa : 2. Tính chất: 3. Công thức đổi cơ số : 4. Hàm số logarít: Dạng a y log x= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : + =D R • Tập giá trò =T R • Tính đơn điệu: * a > 1 : a y log x= đồng biến trên + R * 0 < a < 1 : a y log x= nghòch biến trên + R  cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 sin( ) cos cos sin( ) cos cos tg tg tg tg α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + − + = + − − = − + − + = + − − = + + = − − = Đặc biệt : Lne = 1 Ln1= 0 Với a > 0 , a 1 và N > 0 * Hệ quả:  5. Hàm số mũ: Dạng : x y a= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : D R= • Tập giá trò : T R + = ( x a 0 x R> ∀ ∈ ) • Tính đơn điệu: * a > 1 : x y a= đồng biến trên R * 0 < a < 1 : x y a= nghòch biến trên R 6. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: CÁC CƠNG THỨC ĐẠO HÀM % & '( )*  + & '*   ),  + & ',  , &  ),-./+ & ', & -. & / &  )0,+ & '0, &  ),.+ & ', & .-. & , & & &   u u v v u v v −   =  ÷   & &   v v v −   =  ÷   &    x x   = −  ÷   & &   u u u   = −  ÷   ( ) &   x x = ( ) & &  u u u = )*+ & ' * ),+ & ', &  , ) *+ & '* ) ,+ & ', & , ( ) &    !"  !"   x x x = = + ( ) & & &   !" ) !" +   u u u u u = = + ( ) &     ! )  ! +  x x x = − = − + ( ) & & &    ! )  ! +  u u u u u = − = − + )1 2 " *+ & '  1x a )1 2 " ,+ & ' & 1 u u a  1. Đònh lý 1: Với 0 < a 1 thì : a M = a N M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N M > N (nghòch biến) 3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N M = N 5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N M >N (nghòch biến) 6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N M < N (đồng biến)  )13*3+ & '  x )13,3+ & ' & u u )4 * + & '4 *  )4 , + & ', & 4 ,  )" * + & '" * 1" )" , + & ', & " , 1" CƠNG THỨC NGUN HÀM Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C x α 1 1 x C α α + + + ( )ax b α + a  1 ( ) 1 ax b C α α + + + + 1 x ln x C+ 1 ax b+ 1 ln ax b C a + + x a ln x a C a + x e x e C+ ax b e + 1 ax b e C a + + sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( )ax b C a − + + cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C a + + 2 1 cos x tanx + C 2 1 cos ( )ax b+ + + 1 tan( )ax b C a 2 1 sin x -cotx + C 2 1 sin ( )ax b+ − + + 1 cot( )ax b C a CHÚ Ý: / ( ) ( ) u x u x ln ( )u x C+ 2 2 1 x a− 1 ln 2 x a C a x a − + + tanx ln cos x C− + 2 2 1 x a+ 2 2 ln x x a C+ + + cotx ln sin x C+ CƠNG THỨC TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA TÍNH CHẤT = ∫ ( ) 0 a a f x dx ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫  [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫  [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x dx f t dt f u du= = = ∫ ∫ ∫ 5GIẢI TÍCH CHƯƠNG I Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ : + 6'7)*+892:;!<=)"#:+ ⇔ 7 & )*+ ≥ ( ∀ * ∈ )"#:+ -6'7)*+2>?>:;!<=)"#:+ ⇔ 7 & )*+ ≤ ( ∀ * ∈ )"#:+ Câ ̀ n nhơ ́ :7)*+'"*  -:*- @= A , ( <∆ !>B C 7)*+1,D, C 2EF A ," = A , ( =∆ !>B C 7)*+1,D, C 2EF A ," a b x  −≠∀  = A , ( >∆ !>B C 7)*+ A >"2>= G H*  *  !" A :" I 2*4 A !EF A ,", * ∞ *  *  - ∞  7)*+, C 2EF A ,"(!<" A EF A ,"(, C 2EF A ," • "7) ⇔< (+ α 7)*+'( A >"2>= G HJ>F:= G !*  *  ." C *  K  x < α •        < > ≥∆ ⇔<≤ α αα  (+) (  S afxx •        > > ≥∆ ⇔≤< α αα  (+) (  S afxx • LM G := G !-    > ≤∆ ⇔∈∀≥ ( ( (+) a Rxxf -    < ≤∆ ⇔∈∀≤ ( ( (+) a Rxxf   BA ̀ I TÂ ̣ P &N4 A !>= C ,:= A !>=, I "" A >" C HD A  "+6' O    −−+ xxx :+6'*  -*   +6'*  -*   E+6'*  -*   4+6' x x − +    7+6'   − + x x 2+6'* x   >+6'   x −  !+6' (  −− xx  J+6'*-   − x <+6' x xx − −    &B C HH8= I " A >" C HD A ",8D C 2:= A !<=!F G J*" A 8 G > "+ 6'*  H*  -)H-+*LP    ≤≤− m :+ 6'H*  )H+*  -HLPH'   &B C HH8= I " A >" C HD A ",2> G >:= A !<=!F G J*" A 8 G > "+6' +$)+)    +−+−+ xmxm x LP  ≤≤− m :+6' +)  +)   +−++ − xmmx xm LPH   ≤ &B C HH8= I " A >" C HD A  "+ 6'*  -*  -)H+*-H2> G >:= A !<=0> " I 2)#+LPH $ −≤ :+ 6' mmxxmx +)    +−−+− 2> G >:= A !<=0> " I 2)# + ∞+ LPH  ≤ + 6' +)    +−+− xmmxx 8D C 2:= A !<=)#- + ∞ LPH  ≤ E+ 6' mx mmx + +− ( 2> G >:= A !<=!Q C 20> " I 2*" A 8 G >LP    <<− m 4+ 6'    − +− x mxmx 2> G >:= A !<=!Q C 20> " I 2*" A 8 G >LPH ( ≤ 7+ 6'    − +− x mxx 8D C 2:= A !<=0> " I 2)#- + ∞ LPH R ≤ &"+%>S2H><T2>UHV7)*+'!"**892:;!<=W"0>X"2        #( π :+%>S2H><T2       ∈∀+>  #(  !"  π x x xx Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . hàm số y = f(x,m) -      > = (+) (+) ( && ( & mxf mxf  ⇔ UHV8Y!Z![,!Y8[H* (  O  -      < = (+) (+) ( && ( & mxf mxf  ⇔ UHV8Y!Z8Y!Y8[H* (  Chú ý-UHV:\0>D2]Z!<?> ^]Z!<?)Z8Y.UZ![,+ -UHV!<_2J>Q`2%]Z!<?> ^]Z!<? -UHV>a!:;b>D2]Z!<? -UHV   0>D2]Z!<?> ^]Z!<? BÀI TẬP. cHZ!<?d"e>UH] +6'*  -*  -* +6'*  *  -*- +6'    xx +− +6'     −− xx +6'   + − x x +6' x  O+6'  * f#(g  π ∈ xx $+6'*- *g(# f π R+6'    − +− x xx cHH8[e>UHV",]Z8Y.UZ![, + +)    +−++= xmmxxy LPHKHh +   +−= mxxy LP ( ≠ m + +)   −++−= xmxx m y LP    <<− m + +)   +−−+= xmmxx m y LP (  ( >< mm +    − +− = x mxx y LPHK +    + ++ = x mxx y LPHh( O+ mx mxmx y + ++ =  LPHK(Hh   $+ mx mmxx y − −+− =  LPH ( ≠ cHH8[>UHV +6'*  H*  -]Z!<? LPHh( +6'*  )H-+*  ]Z!<? LPHK +6'H*  -)H+*  -H]Z!<? LP(KHK cHH8[>UHV +6'*  H*  -)H+*-8Y!Z!<?!Y*' LPH' + +)+)    +−+−+= xmxmmxy 8Y!Z!<?!Y*'LPH' +6'*  H*  H*8Y!Z![,!Y*' LPH' +6'*  -)H-+*  -)H+*-8Y!Z8Y!Y*'LPH'O& +6' mx mxx + ++   8Y!Z8Y!Y*' LPH' $  Bài 3: TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ : 6'7)*+]NLi Loại 1cH.Ud">UHV6'7)*+!<=Hj!8 Yg"#:f kcHNL k!l>6 & '(!cH2>mH*  'n%>o>\e2e!<?*  !>,jg"#:f kl>7)*  +7)"+7):+P e>e2e!<?7)*  +7)"+7):+'hb;!1,\ Loại 2cH.Ud">UHV6'7)*+!<=Hj!!\Ji kcHNL k!l>6 & '(!cH2>mH*  'n%>o>\e2e!<?*  !>,ji k\J:p2:;!>=.U0;!1,\ BÀI TẬP. cH2e!<?1q>a!.U2e!<?>X>a!d"e>UHV", +6'*  *  -+6'*  *  -!<=8r"g#f +6'     −++ xxx !<=8r"g#(f+6'*  *  -!<=8r"g#f +6'*  -*  -!<=8r"g(#f+6'   − + x x !<=8r"g#f O+6'* x  !<=W"0> p2)(#f$+6'    + +− x xx !<=8r"g#f R+6'    + ++ x xx !<=8r"g#f(+6'  (( x − !<=8r"g$#f +6' xx −+−  +6')*-+   x − +6'    + + x x !<=8r"g#f+6'*-   x − +6'*-*!<=8r"g(#  π f+6'   *-*!<=g(# f  π O+6'*     *!<=g(# f π $+6' *-*!<=g(# f  π R+6'  *-*(+6'   ** *- +6'  * *-*-+6'3*  *-3!<=g(#f +6'3*  -*  3!<=g#f+6'     ++ + xx x +6'    + + x x +   π π − −y = x sin2x trên [ ; ] O+   − + +y = sin x cos x sin x $+6'*4 * !<=8 Yg#(f Bài 4CƠNG THỨC CHUYỂN HỆ TỌA ĐỘ Công thức chuyển hệ toạ độ: Tònh tiến theo vectơ → OI M(x; y) đối với hệ toạ độ Oxy thì M( X; Y) đối với hệ toạ độ IXY Với I( x 0 ;y 0 ) Bài 1: R    += += ( ( yYy xXx M 6'7)*+đối với hệ toạ độ Oxy M s-6 ( '7)N-* ( +đối với hệ toạ độ IXY  Tìm giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thò ( H ) đối với mỗi hàm số dưới đây . Viết công thức chuyễn hệ trục toạ độ trong phép tònh tiến theo vectơ → OI và viết phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY . a) y =   + − x x b) y =    − + x Bài 2: Cho hàm số : f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 1 ( C ) a) Xác đònh điểm I ( x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thò ( C ) của hàm số đã cho , trong đó x = x 0 là nghiệm của phương trình f // (x) = 0 . b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tònh tiến theo vectơ → OI và viết phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY c) Từ đó , suy ra rằng điểm I là tâm đối xứng của đường cong ( C ) . kUĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ + Đường thẳng y = y 0 đgl Đường tiệm cận ngang ( Gọi tắc là tiệm cận ngang ) của đồ thò hàm số y = f(x) nếu ( +)1H yxf x = +∞→ hoặc ( +)1H yxf x = −∞→ + Đường thẳng x = x 0 đgl đường tiệm cận đứng ( Gọi tắc là tiệm cận đứng ) của đồ thò hàm số y = f(x) nếu ±∞= − → +)1H ( xf xx hoặc ±∞= + → +)1H ( xf xx + LQt2!>u26'"*-:821tiệm cận xiên d"89!>?>UHV6'7)*+;,  1Hg ) + ) +f ( x f x ax b →+∞ − + = hoặc 1Hg ) + ) +f ( x f x ax b →−∞ − + = Chú ý:  ) + 1H x f x a x →+∞ = ; 1H g ) + f x b f x ax →+∞ = − vw% ) + 1H x f x a x →−∞ = ; 1Hg ) + f x b f x ax →−∞ = − Bài tập Tìm timH\8S2!mH\2"2!mH\*=);,]+d"e>UHV", a) y =   + − x x b) y =     x x − − c) y =    − + x x d) y =    + + x x e) y =    + − x x f) y = R  − x x m) y =   x x − n) y =    ) + x x x − + − − ( [...]...ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG Bài 6: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước 1: Tìm tập xác đònh và xét tính chẵn ,lẻ ,tuần hoàn của hàm số ( nếu có ) Bước 2: Xét sự biến thi n của hàm số • Tìm giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có ) • Lập bảng biến thi n của hàm số từ đó suy ra hàm số đồng biến , nghòch biến , cực đại, cực tiểu , lồi , lõm , điểm uốn... , y ) = 0  k −1 0 0    A0 ( x0 , y 0 ) = 0  BÀI TẬP - 12 - ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG x+2 ( H ) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m – 1 ln đi qua một điểm cố 2x +1 định của đường cong ( H ) khi m thay đổi x − 4m 1 2) Cho hàm số y = ( H ) Chứng minh rằng với mọi m ≠ ± thì ( H ) ln đi qua 2 điểm cố 2(mx − 1) 2 định khi m thay đổi 3) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1 ) x + 1 ( Cm... đồng thời vuông góc với (α3) 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : - 29 - ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG  2x − y + 4z − 5 = 0 d :  x = y − 2z − 1 = 0 1: ,  x = 1− t  (d2) :  y = 2 + 3t  z = 2t  Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d1) và song song với (d2) Viết phương trình mặt phẳng (α1) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai đường thẳng (d1), (d2) 4 Trong không gian...  3x − 2 y + z − 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α) - 30 - ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG x −1 3 Cho hai đường thẳng: (d1) 3 = y + 2 = z , (d2):  x+ y− z+ 2= 0   x+ 1= 0 a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vuông góc với (d1) và cắt (d2) b Viết phương trình đường thẳng (∆ )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2) 4 Viết phương trình... Tìm a để hàm số không có cực trò 3 2 Bài 23: Cho hàm số: y = mx − 3x − 3x + 2 (Cm) 1 Khảo sát vẽ đồ thò hàm số với m=2 2 Tìm a để hàm số luôn nghòch biến 1 3 1 2 Bài 24: Cho hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + 3 3 1 Khảo sát hàm số với m = 1 2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến 3 2 Bài 25: Cho hàm số y = x − 3 x + 3mx + 1 − m (Cm ) 1 Khảo sát hàm số với m = 1 2 Tìm m để hàm số có cực trò 3 Bài 26.a... 13 - − x 2 + 2x − 3 x −1 ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG 10) Tìm m sao cho (Cm) : y = x +m tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7 x −1 2 11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hòanh 12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3 DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: Bài tốn: a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( C ) của... + 3 − 2m (Cm) 1 Khảo sát, vẽ đồ thò (C) với m=1 - 14 - ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG 2 Chứng minh (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố đònh thẳng hàng 3 Bài 7: Cho hàm số: y = (m − 2) x − mx + 2 (Cm) 1 Khảo sát vẽ đồ thò (C) với m=-1 2 Tìm m để hàm số không có cực đại, cực tiểu 3 Chứng minh (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố đònh thẳng hàng 3 Bài 8: Cho hàm số: y = x − mx + m − 2 (Cm) 1 Khảo sát với m=3 2 Tìm điểm... −4 3 Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P)  x = 12 + 4t  với : d:  y = 3 + 3t  z = 1+ t  và (P) :3x + 5y – z – 2 = 0 Bài 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( 2 ; 3 ;1), B( 1 ; 1 ; -1), - 35 - ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG C(2 ; 1 ; 0) , D(0 ; 1 2) a Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện b Tính khoảng cách... giao điểm có hồnh độn lớn hơn 2 - 16 - ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG x+4 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = x + 2 ( H ) Bài 31 d CMR parabol ( P ): y = x2 + 2 tiếp xúp với đường cong (H).Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp chung của ( H ) và ( P ) e Xét vị trí tương đối của ( P ) và ( H ) ( tức là xác định mỗi khoảng trên đó (P) nằm phía trên hay phía dưới ( H )) Bài 32.a Khảo sát hàm... x Bài 9: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghóa) b/ Cho y = - 18 - −1 a) log ax (bx) = log a b + log a x 1 + log a x ƠN THI TỐT NGHIỆP –LÊ PHÚ TRƯỜNG 1 1 1 n(n + 1) → b) log x + log x + + log x = 2 log x  a a1 a2 a n c) cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = lgx + lg y 2 d) cho 0 < a ≠ 1, x > 0 1 2 Chứng minh: log ax log a2 x = (log a x ) 2 Từ đó giải phương . m để phơng trình (1) có nghiệm $+ *12- 12)- * +&apos ;12 R+ RR(( = + xx (+ ( 12 x x x = R + xxx 1 21 21 2 = + 121 212 = xxx + 1 2 1 2 = + + xx. bản: chú ý Công thức cộng : Công thức nhân đôi: Công thức nhân ba: Công thức hạ bậc: Công thức tính    tg α α α theo !"  t α = Công thức biến