TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********** NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH PHAN THỊ HÀ DƯƠNG HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy tổ mơn Tốn ứng dụng, thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức q báu, ln động viên, quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy Viện Tốn học tạo điều kiện cho học tập làm việc, anh chị nhóm nghiên cứu giúp đỡ, trao đổi để hiểu vấn đề Đặc biệt, tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Phan Thị Hà Dương, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để tơi hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Minh Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài tơi thực Khóa luận kết q trình tìm tòi, nghiên cứu tơi hướng dẫn tận tình PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương đề tài không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Minh Phương Mục lục Lời mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm sở 1.2 Các loại đồ thị 1.3 Đường đi, chu trình, tính liên thơng 1.4 Biểu diễn đồ thị ma trận 1.5 Các thuật tốn tìm kiếm đồ thị 10 1.6 1.5.1 Thuật tốn tìm kiếm đồ thị theo chiều sâu (DFS) 10 1.5.2 Thuật tốn tìm kiếm đồ thị theo chiều rộng (BFS) 11 Kết luận chương 13 BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN 14 2.1 Các khái niệm 14 2.2 Thuật tốn tìm ghép cặp lớn 16 2.3 Một số kết toán ghép cặp đồ thị hai phần 2.4 20 Mở rộng toán ghép cặp với đồ thị hai phần có trọng số 28 2.4.1 28 Bài toán ghép cặp với trọng số cực tiểu ii MỤC LỤC 2.4.2 iii Bài toán ghép cặp với trọng số lớn 35 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN 38 3.1 Bài tốn nhân bền vững 38 3.1.1 Giới thiệu toán 38 3.1.2 Giải toán 40 3.1.3 Tính đắn thuật toán 45 3.1.4 Tính tối ưu kết 46 3.1.5 Mở rộng toán 48 3.2 3.3 Một số tốn THPT giải toán ghép cặp đồ thị hai phần 48 Kết luận chương 54 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 57 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cùng với phát triển không ngừng công nghệ thông tin, lý thuyết đồ thị trở thành lĩnh vực toán học quan trọng cần thiết cho nhiều ngành khoa học ứng dụng Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất từ năm đầu kỉ 18 nhà tốn học Leonhard Euler Ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng bảy cầu thành phố Konigsberg Từ đó, lý thuyết đồ thị ngày khẳng định tầm quan trọng việc ứng dụng để giải toán vật lý, kinh tế Đồ thị hai phần cặp G = (X ∪ Y, E) X, Y hai tập hữu hạn đỉnh rời nhau, E tập hữu hạn cạnh Đồ thị hai phần gặp nhiều mơ hình thực tế quan hệ nhân, giáo viên chọn tiết thời khóa biểu Khi việc giải nhiều tốn thực tế đưa việc giải toán đồ thị hai phần Bài toán ghép cặp đồ thị hai phần toán tiếng lý thuyết đồ thị Thuật toán ghép cặp nghiên cứu hai nhà khoa học David Gale Lloyd Shapley từ năm 1962 Từ có nhiều cơng trình nghiên cứu vấn đề Gần nhất, năm 2012 ứng dụng thuật toán mang lại giải Nobel kinh tế cho hai nhà khoa học người Mỹ Alvin E.Roth Lloyd Shapley với nghiên cứu “Lý thuyết phân phối ổn định thực tiễn thiết kế thị trường” có khả ứng dụng rộng rãi khắp giới MỤC LỤC Với lòng u thích mong muốn tìm hiểu sâu nội dung phạm vi khóa luận tốt nghiệp, chúng tơi xin trình bày hiểu biết đề tài “Bài tốn ghép cặp đồ thị hai phần ứng dụng” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu toán ghép cặp đồ thị hai phần; - Ứng dụng toán ghép cặp đồ thị hai phần tốn nhân bền vững toán thi học sinh giỏi THPT Phương pháp công cụ nghiên cứu - Nghiên cứu tổng hợp tài liệu Cấu trúc khóa luận Nội dung đề tài bao gồm chương sau: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi trình bày khái niệm đồ thị, cách biểu diễn đồ thị ma trận thuật tốn duyệt đồ thị • Chương 2: Bài toán ghép cặp đồ thị hai phần Chương chúng tơi trình bày tốn ghép cặp đồ thị hai phần đồ thị hai phần có trọng số • Chương 3: Một số ứng dụng toán ghép cặp đồ thị hai phần Chương chúng tơi trình bày tốn nhân bền vững số toán thi học sinh giỏi (HSG) bậc trung học phổ thông (THPT) giải kết toán ghép cặp đồ thị hai phần Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kiến thức đồ thị khái niệm, bậc, đường đi, tính liên thơng, biểu diễn đồ thị, duyệt đồ thị Các kiến thức tham khảo từ [3], [4], [10] kiến thức sở sử dụng phần khóa luận 1.1 Các khái niệm sở Định nghĩa 1.1 (3) Một đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự G = (V, E) với V tập E tập với phần tử đa tập lực lượng V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị vô hướng G Nếu e = {a, b} a, b gọi đỉnh đầu mút hay đỉnh liên thuộc với e Cạnh có dạng {a, a} với a ∈ V gọi khuyên.Các cạnh có hai đỉnh đầu mút gọi cạnh bội CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 𝑣1 𝑒2 𝑒1 𝑣3 𝑒3 𝑣4 𝑒5 𝑒4 𝑣2 𝐺 Hình 1.1: Đồ thị vô hướng G với đỉnh v1 , v2 , v3 , v4 , cạnh e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e3 , e4 hai cạnh bội Định nghĩa 1.2 (3) Một đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E) với V tập E tập tích Đề-các V × V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cung đồ thị có hướng G Nếu e = {a, b} a gọi đỉnh đầu, b gọi đỉnh cuối e hay đỉnh liên thuộc với e e1 a e6 e5 e2 e4 d b c e3 Hình 1.2: Đồ thị có hướng G2 với đỉnh a, b, c, d cung e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 Định nghĩa 1.3 (3) Cho đồ thị vô hướng khơng có khun G = (V, E) v ∈ V Kí hiệu: N (v) = {x ∈ V | x = v {x, v} ∈ E} Khi đó, N (v) gọi tập láng giềng v Bậc đỉnh v ∈ V đồ thị G, kí hiệu deg(v), deg(v) = |N (v)| CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN44 m1 w1 m2 w2 m3 w3 m1 w1 m2 w2 m3 w3 Kết Bước (m4 , w1 ) Trong [w1 ]: m4 > m1 ⇒ m1 : free m4 w4 m4 w4 m1 w1 m1 w1 m2 w2 m2 w2 m3 w3 m3 w3 m4 w4 Kết Bước (m1 , w2 ) Trong [w2 ]: m1 > m2 ⇒ m2 : free m4 w4 m1 w1 Kết Bước (m2 , w4 ) m2 w2 (m1 , w2 ) (m2 , w4 ) m3 w3 m4 w4 (m3 , w3 ) (m4 , w1 ) CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN45 3.1.3 Tính đắn thuật tốn Định lý 3.1 Thuật toán Gale-Shapley tạo ghép cặp bền vững Chứng minh Thuật toán kết thúc sau hữu hạn bước Khi chàng trai m cầu hôn với gái w bước thuật tốn cầu với w bước sau , điều chứng tỏ m thích w w Tức chàng trai cầu hôn với người từ chối họ Do chiều dài danh sách bạn đời tiềm cho chàng trai giảm thuật toán kết thúc sau nhiều n.(n − 1) bước Khơng có chàng trai khơng ghép cặp Phản chứng, giả sử chàng trai m không ghép cặp Gọi w cô gái cuối cầu hơn, tức n − gái trước ghép cặp với n − chàng trai m khơng ghép cặp, điều chứng tỏ m bị w từ chối, nghĩa w đính với n − anh chàng lại, điều vơ lí n − chàng trai lại đính Ghép cặp tạo sau thuật toán kết thúc ghép cặp bền vững Phản chứng, ghép cặp tạo sau thuật toán Gale-Shapley không bền vững, tức tồn cặp (m1 , w1 ) (m2 , w2 ) mà: [m1 ] : w1 < w2 ; [w2 ] : m2 < m1 Trong [m1 ], w1 < w2 nên m1 cầu hôn với w2 trước w1 , w2 từ chối m1 nên chứng tỏ lúc tồn m3 cho m1 < m3 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN46 [w2 ] Sau w2 ghép cặp với m2 nên m3 < m2 [w2 ] Từ suy m1 < m2 [w2 ] Điều mâu thuẫn với giả sử phản chứng 3.1.4 Tính tối ưu kết Chúng ta xét Ví dụ 3.1.1 trường hợp gái cầu trước, kết ghép cặp là: (m1 , w3 ) (m2 , w4 ) (m3 , w1 ) (m4 , w2 ) Cách ghép có lợi cho cô gái, cô gái lấy người yêu chàng trai phải lấy người xếp chót danh sách Ngược lại, với trường hợp chàng trai cầu hôn trước, chàng trai lợi nhiều Ta kết người “cầu hơn” duyệt danh sách họ từ xuống, người cầu hôn chọn người tốt danh sách người cầu hôn họ Vậy ta xem xét, chứng minh bên hưởng lợi nhiều trường hợp chàng trai cầu hôn cô gái Định lý 3.2 Trong cách ghép cặp kết thuật toán Gale – Shapley, chàng trai ln lấy người có thứ hạng cao vùng khả thi họ, đồng thời gái lấy chàng trai có thứ hạng thấp vùng khả thi cô Đối với chàng trai, tập khả thi tập hợp tất gái mà cưới cách ghép đôi bền vững Định nghĩa tương tự với cô gái CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN47 Chứng minh Trong cách ghép cặp kết thuật tốn Gale – Shapley, chàng trai ln lấy người có thứ hạng cao vùng khả thi họ Giả sử phản chứng: Trong ghép cặp M nhận từ thuật toán Gale – Shapley, tồn chàng trai m kết hôn với w cô gái xếp vùng khả thi anh Xét cách ghép cặp bền vững M1 mà m kết hôn với w cô gái xếp vùng khả thi Ta có: m thích w w, mà ghép cặp M , m kết hôn với w, chứng tỏ w từ chối m thời điểm đính với m có thứ hạng cao m [w ] Như w có thứ hạng không thấp cô gái kết hôn với m danh sách xếp hạng m Trong ghép cặp M1 : w thích m m, m phải kết hôn với cô gái xếp hạng thấp w Điều chứng tỏ ghép cặp M1 không bền vững Trong cách ghép cặp kết thuật toán Gale – Shapley, gái lấy chàng trai có thứ hạng thấp vùng khả thi cô Giả sử phản chứng: Trong ghép cặp nhận từ thuật tốn Gale – Shapley, tồn gái w kết hôn với m chàng trai xếp cuối tập khả thi cô Theo mệnh đề đầu chứng minh trên, w gái đứng đầu tập khả thi m Xét cách ghép đôi bền vững mà w kết hôn với m chàng trai xếp CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN48 cuối tập khả thi t Ta có: w thích m m , m phải kết hôn với cô gái xếp hạng thấp w Điều chứng tỏ ghép đôi xét không bền vững 3.1.5 Mở rộng toán Thuật toán Gale-Shapley tốn nhân bền vững mở rộng trường hợp số chàng trai (nhiều hơn) số gái Khi kết thu sau sử dụng thuật toán ghép cặp bền vững cho tất chàng trai (cô gái) 3.2 Một số tốn THPT giải toán ghép cặp đồ thị hai phần Có nhiều tốn mà phát biểu số, tập hợp, hình vẽ không liên quan đến đồ thị Trong số trường hợp, ta nhận thấy quan hệ hai phần chúng mơ hình hóa tốn đồ thị, đặc biệt đồ thị hai phần Sau ta sử dụng kết lý thuyết đồ thị để giải toán Trong phần này, chúng tơi minh họa điều số tốn phổ thơng (thi HSG) giải chúng kết toán ghép cặp cho đồ thị hai phần Bài tốn 3.2.1 [6] Có hai tờ giấy hình vng cỡ 10 cm × 10 cm màu đỏ màu xanh Người ta chia tờ thành 100 phần có diện tích 1cm2 cách tùy ý Sau đặt tờ giấy đỏ lên tờ giấy xanh Hai phần màu đỏ màu xanh ghim lại với CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN49 chúng có điểm chung với Chứng minh ta ln dùng 100 ghim để ghim 100 cặp xanh đỏ cho khơng có phần thừa khơng ghim Lời giải Ta mơ hình hóa tốn đồ thị hai phần sau: Đặt A = {Ai , i = 1, 100} B = {Bj , j = 1, 100}, Ai phần giấy màu xanh chia tùy ý với diện tích 1cm2 Bj phần giấy màu đỏ chia tùy ý với diện tích 1cm2 Hai tờ giấy đỏ xanh có điểm chung với tương ứng với điều kiện Ai ∩ Bj = ∅ Lập đồ thị hai phần G = (A ∪ B, E) Ai Bj ∈ E ⇔ Ai ∩ Bj = ∅ Để chứng minh ta ln dùng 100 ghim để ghim 100 cặp xanh đỏ có điểm chung cho khơng có phần thừa không ghim ta cần tồn ghép cặp hoàn hảo M đồ thị G, cạnh ghép tương ứng với ghim Giải toán ghép cặp đồ thị hai phần G: Với tập S ⊆ A, S = {Ai1 , Ai2 , , Aik }, Ai1 ∪ Ai2 ∪ ∪ Air có diện tích k cm2 Để phủ kín S = {Ai1 , Ai2 , , Air } có diện tích k cm2 ta cần khơng k cm2 diện tích B, diện tích Bj cm2 Do tối thiểu N (S) = {Bj1 , Bj2 , , Bin } phủ kín S phải có n ≥ k tức |N (S)| ≥ k Vì phủ tối thiểu S nên N (S) tập đỉnh liên thuộc với đỉnh S CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN50 Như |S| ≤ N (S) Đồ thị hai phần G thỏa mãn điều kiện Định lí Hall, theo kết luận định lí Hall G tồn ghép cặp có lực lượng |A| Nghĩa G tồn ghép cặp hồn hảo Bài tốn 3.2.2 [6] Cho bàn cờ quốc tế × Trên dòng đầu tiên, viết vào dòng số tự nhiên từ đến vào cho cột khơng có số tự nhiên xuất lần Chứng minh ta viết tiếp vào dòng lại để điều kiện thỏa mãn Lời giải Ta mơ hình hóa tốn đồ thị hai phần sau: Gọi A = (aij )8×8 ma trận xếp số tự nhiên từ đến vào hàng bảng ô vuông × Đặt: Aj = {aij , i = 1, 4}, j = 1, 8; A = {Aj , j = 1, 8}; Bi = {i}, i = 1, 8; B = {Bi , i = 1, 8} Lập đồ thị hai phần G4 = (A ∪ B, E) cho Aj Bi ∈ E ⇔ Bi ⊆ Aj Để chứng minh viết tiếp dòng lại thỏa mãn điều kiện khơng có số tự nhiên xuất lần cột ta chứng minh viết tiếp dòng vào bàn cờ × thỏa mãn điều kiện đó, tức cần chứng minh đồ thị hai phần G4 tồn ghép CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN51 cặp hồn hảo Giải tốn ghép cặp đồ thị hai phần G: Do ta xếp hàng số tự nhiên từ đến thỏa mãn điều kiện nên aij = akj ∀i = k Mà |Ai | = |Bj | = nên Ai có tập phần tử thuộc B, Bj chứa tập hợp tập A Vậy deg Aj = deg Bi = 4, ∀i = 1, 8, j = 1, Như G4 đồ thị hai phần quy bậc Áp dụng Hệ 2.3 vào đồ thị G4 G4 tồn ghép cặp hoàn hảo M Giả sử M = {A1 Bi1 , A2 Bi2 , , A8 Bi8 } Ta điền vào ô vị trí tứ (5j) bảng × tương ứng với số tự nhiên phần tử tập Bij ghép hoàn hảo M Vậy ta điền vào hàng thứ bảng số tự nhiên từ đến thỏa mãn điều kiện đề Tương tự, ta lập đồ thị quy bậc G5 , đồ thị quy bậc G6 , đồ thị quy bậc G7 có ghép cặp hồn hảo đồ thị Sau tìm ghép cặp lớn đồ thị quy G7 ta điền vào hàng thứ phần tử tập đỉnh tương ứng ghép cặp vừa tìm Vậy ta điền dòng vào bàn cờ quốc tế × số tự nhiên từ đến thỏa mãn hàng hay cột, số tự nhiên xuất khơng q lần Bài tốn 3.2.3 [7] Cho tập S = {1, 2, , kn} gồm số tự nhiên dương Cho A1 , A1 , , An phân hoạch S thành n tập có lực lượng Tương tự với B1 , B2 , , Bn CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN52 Chứng minh tồn tập T gồm n phần tử có giao với Ai hay Bj phần tử Lời giải Ta mơ hình hóa tốn đồ thị hai phần sau: Đặt A = {Ai , i = 1, n} B = {Bj , j = 1, n} Lập đồ thị hai phần G = (A ∪ B, E) Ai Bj ∈ E ⇔ Ai ∩ Bj = ∅ Để chứng minh tồn tập T gồm n phần tử có giao với Ai hay Bj phần tử ta cần tồn ghép cặp hoàn hảo M đồ thị G, phần tử tập T cần tìm phần tử lấy từ giao đỉnh cạnh ghép ghép cặp M Giải toán ghép cặp đồ thị hai phần G: Do A1 , A2 , , An phân hoạch tập S = {1, 2, , kn} thành tập có lực lượng nên Ai ∩ Ai = ∅ ∀i = j, i, j = 1, 8, |Ai | = k ∀i = 1, n Tương tự ta có Bi ∩ Bi = ∅ ∀i = j, i, j = 1, 8, |Bi | = k ∀i = 1, n Với tập S ⊆ A, S = {Ai1 , Ai2 , , Air }, |Ai1 ∪ Ai2 ∪ ∪ Air | = k × r Với giả thiết Bi ta ln cần k tập hợp CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN53 B phủ k × r phần tử nói trên, tức |N (S)| ≥ k Như |S| ≤ N (S) Đồ thị hai phần G thỏa mãn điều kiện Định lí Hall, theo kết luận định lí Hall G tồn ghép cặp có lực lượng |A| Nghĩa G tồn ghép cặp hoàn hảo Giả sử ghép cặp M = {A1 Bi1 , A2 Bi2 , , An Bin } Đặt Tj = {x : x ∈ Aj ∩ Bij }, j = 1, n Chọn từ tập Tj phần tử ta tập T gồm n phần tử thỏa mãn giao với Ai hay Bj phần tử Một số tập đề nghị: Bài tập phần tham khảo từ: [7], [9] Bài 1: Cho bảng vng cỡ m × n Trên viết số thực cho dòng cột có số dương Biết dòng cột giao viết số dương tổng số dòng tổng số cột Chứng minh m = n Bài 2: Ta chia 52 quân tây thành 13 nhóm, nhóm có Chứng minh rằng: ta chọn từ nhóm để nhóm có đủ hạng (ace, 2, , king) Bài 3: Cho A ma trận vuông cấp n, phần tử số nguyên không âm hàng, cột có tổng số nguyên dương m Chứng minh rằng: tồn m ma trận hoán vị P1 , , Pm cho A = P1 + + Pi + + Pm Ma trận hốn vị ma trận có phần tử số số 1, đồng thời hàng, cột chứa CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN54 số Bài 4: Có n người chuyển nhượng n nhà phân biệt Mỗi người đánh giá, xếp hạng ngơi nhà (khơng có hai ngơi nhà đồng hạng) Sau hợp đồng kí kết, người ta có nhận xét tất cách kí kết khác, tồn người phải nhận ngơi nhà mà người xếp hạng thấp nhà nhận hợp đồng cho Chứng minh rằng: có người nhận ngơi nhà anh ta/cơ ta thích 3.3 Kết luận chương Trong chương này, trình bày thuật tốn ghép cặp GaleShapley Các kết quan trọng chương gồm: (1) Bài tốn nhân bền vững thuật toán ghép cặp GaleShapley (2) Trình bày số tốn THPT có cách giải phương pháp ghép cặp Trong chương 3, chúng tơi đưa ví dụ minh họa rõ ràng cho thuật tốn Gale-Shapley, Định lí 3.1 phân tích chứng minh chi tiết lập luận xác Chúng tơi tìm hiểu đưa cách chứng minh cho Định lí 3.2 Các tập phần tự đưa lời giải KẾT LUẬN Khóa luận "Bài tốn ghép cặp đồ thị hai phần ứng dụng" trình bày tổng quan vấn đề: Hệ thống lại số kiến thức đồ thị; Trình bày thuật tốn ghép cặp đồ thị hai phần; Trình bày tốn nhân bền vững thuật tốn tốn này; Đưa số toán THPT giải kết toán ghép cặp Đóng góp chúng tơi khóa luận hệ thống, xếp trình bày lại kiến thức cách rõ ràng Một số chứng minh định lí, chứng minh tính đắn thuật tốn tham khảo viết lại cụ thể dễ hiểu (ví dụ: Định lí 2.1, Định lí 2.4, thuật tốn GaleShapley) Định lí 3.2 tác giả phân tích đưa chứng minh chi tiết Các toán ứng dụng chương tự đưa lời giải Bên cạnh đó, chúng tơi cố gắng xây dựng hệ thống ví dụ minh họa cho khái niệm kết khóa luận Bài tốn ghép cặp tốn cao cấp có ứng dụng sâu rộng toán học ngành khoa học, tốn trình bày rõ ràng, dễ hiểu với học sinh THPT, hữu ích cho việc xây dựng giảng cho học sinh khá, giỏi Qua việc nghiên cứu mang lại cho tác giả nhiều tri thức mới, nhiều vấn đề cần tìm hiểu Mở rộng CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN56 toán ghép cặp đồ thị tổng quát, tìm đường mở cách nào? Các kết toán ghép cặp đồ thị hai phần với đồ thị tổng quát không? Đây đề tài mà tác giả cố gắng tìm hiểu tương lai Do thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót định Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, bạn bè sinh viên khoa để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A.] - Tài liệu Tiếng Việt [1] Lê Minh Hồng, Giải thuật lập trình, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2000 [2] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành, Tốn rời rạc, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 [3] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 [4] Kenneth H.Rosen, Toán rời rạc ứng dụng tin học, NXB Giáo dục, 2007 [5] Vũ Hà Văn, The Stable Marriage Problem, Mini-course: The Stable Marriage Problem, Viện Nghiên cứu cao cấp Toán, 1516/01/2016 [B.] - Tài liệu Tiếng Anh [6] Pablo Soberón Bravo, Problem-Solving Methods in Combinatorics An Approach to Olympiad Problems, Birkhăauser, 2013 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [7] Po-Shen Loh, 58 Graph Theory, 24 June 2008, from: http://www.math.cmu.edu/ lohp/ docs/math/mop2008/graphtheory-soln.pdf [8] Emily Riehl, A solution to the stable marriage problem, 20 April 2018, from: http://www.math.jhu.edu/ eriehl/ pechakucha.pdf [9] Adrian Tang, IMO Training 2008: Graph Theory, 2013, from: http://euclid.ucc.ie/mathenr/IMOTraining/2008SummerCampAdrianTang-GraphTheory.pdf [10] Douglas B.West, Introduction to Graph Theory-2nd Edition, Prentice Hall, 2001 ... Ghép cặp hoàn hảo ghép cặp chứa đỉnh đồ thị Ghép cặp cực đại ghép cặp mà ta thêm cạnh vào 14 CHƯƠNG BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN 15 Ghép cặp lớn ghép cặp có nhiều cạnh (trong số ghép cặp) ... khái niệm đồ thị, cách biểu diễn đồ thị ma trận thuật tốn duyệt đồ thị • Chương 2: Bài toán ghép cặp đồ thị hai phần Chương chúng tơi trình bày tốn ghép cặp đồ thị hai phần đồ thị hai phần có trọng... thành ghép cặp M = {X1 Y 3, X2 Y1 , X3 Y2 } M ghép cặp hoàn hảo CHƯƠNG BÀI TOÁN GHÉP CẶP TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHẦN 2.3 20 Một số kết toán ghép cặp đồ thị hai phần Định lý 2.1 (Berge,1957) (10) Ghép cặp