BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ MINH HỒN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM KHÔNG LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ MINH HỒN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM KHÔNG LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2017 i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Bằng - trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn bảo tận tình để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức cho suốt q trình học tập vừa qua Tơi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2017 Học viên Lê Minh Hoàn ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi bảo hướng dẫn Tiến sĩ Trần Văn Bằng Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2017 Tác giả Lê Minh Hoàn iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Các ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Dưới vi phân hàm lồi 1.3 Dưới vi phân hàm không lồi 11 Chương Tính ổn định vi phân hàm khơng lồi 24 2.1 Tính ổn định 24 2.2 Ứng dụng phương trình Hamilton-Jacobi 36 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Các ký hiệu N tập số tự nhiên Z tập số nguyên R tập số thực C tập số phức X không gian Banach thực X∗ không gian đối ngẫu không gian Banach X dom(f ) miền hữu hiệu hàm f ∂f vi phân hàm lồi f D−f vi phân Fréchet hàm f D+f vi phân Fréchet hàm f D2,− f vi phân cấp Fréchet hàm f D2,+ f vi phân cấp Fréchet hàm f Lp (Ω) không gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue Ω lp khơng gian dãy lũy thừa bậc p khả tổng Mở đầu Lí chọn đề tài Như biết, đạo hàm công cụ cổ điển nghiên cứu tính chất hàm tính tăng, giảm, điểm cực trị Tuy nhiên đạo hàm tính lớp hàm khả vi, thực tiễn lúc có hàm khả vi Dưới vi phân thay đạo hàm lớp hàm xét không thiết phải khả vi Điều cho thấy vai trò vi phân giải tích đại có tầm quan trọng vai trò đạo hàm giải tích cổ điển Dưới vi phân có nhiều ứng dụng giải tích phi tuyến đặc biệt mơn tốn ứng dụng tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân (xem [1]-[3], [5]-[11]) Khái niệm vi phân hàm không lồi đưa vào năm đầu thập kỷ 60 kỷ XX Đến năm 1980 khái niệm vi phân tổng quát hàm không lồi đưa Khái niệm vi phân đời mở kỷ ngun cho lĩnh vực giải tích khơng trơn phát triển rực rỡ, đặc biệt lí thuyết tối ưu khơng trơn lí thuyết phương trình đạo hàm riêng lí thuyết điều khiển tối ưu Vì lý này, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng tơi chọn đề tài : “Tính ổn định vi phân hàm không lồi không gian Banach” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định vi phân hàm không lồi khơng gian Banach ứng dụng kết việc tồn nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp vơ hạn chiều Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm tính chất ổn định vi phân hàm khơng lồi khơng gian Banach; - Tìm hiểu nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng cấp 1; - Nghiên cứu tồn nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp vô hạn chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định vi phân hàm không lồi không gian Banach tồn nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp vơ hạn chiều Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích khơng trơn lý thuyết nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Đóng góp luận văn Qua đề tài xây dựng luận văn tổng quan tính ổn định vi phân hàm không lồi không gian Banach ứng dụng kết việc tồn nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp vơ hạn chiều Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Banach, vi phân hàm lồi, vi phân hàm không lồi Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2], [10], [11] 1.1 Không gian Banach Trong mục ta trình bày khái niệm không gian Banach Cho X không gian véctơ trường số thực R Định nghĩa 1.1.1 Một chuẩn X, kí hiệu , ánh xạ từ X vào R thỏa mãn tiên đề sau: Với x, y ∈ X α ∈ R, (i) x ≥ 0; (ii) x = x = 0; (iii) αx = |α| x ; 30 β ≥ f (y) ≥ f (x0 ) + p0 , y − x0 > − δε mặt khác α ≤ p0 , x − x0 + f (x0 ) − δε β − α ≥ p0 , y − x + 2δε ≥ − p0 y−x + 2δε δε ≥ ≥γ 3 hệ (x, α) − (y, β) ≥ γ Theo giả thiết (ii), tồn n0 ∈ N cho với n ≥ n0 , d (epi f, S) > Suy fn (x) > f (x0 ) + p0 , x − x0 − δε x − x0 ≤ ε n ≥ n0 Mặt khác, theo giả thiết (i) ta tìm n1 ≥ n0 cho với n ≥ n1 xn − x0 ε2 fn (xn ) ≤ f (x0 ) + p0 , xn − x0 + δε ≤ Bây ta định nghĩa b1 (x) = − p0 , x − x0 + 4εδb0 (x − x0 ) ε Để ý b1 (x) = − p0 , x − x0 x − x0 ≤ ε2 b1 (x) = − p0 , x − x0 + 4εδ x − x0 = 2ε Ta có fn (xn ) + b1 (xn ) ≤ f (x0 ) + δε 31 ε fn (x) + b1 (x) > f (x0 ) + 3δε x − x0 = Bây ta áp dụng nguyên lý biến phân trơn cho hàm Fn xác định Fn (x) =     fn (x) + b1 (x) x − x0 ≤    +∞ ngược lại ε Fn nửa liên tục dưới, tồn C hàm gn : X → R cho gn ∞ < δε, g n ∞ < δ Fn + gn đạt cực tiểu điểm yn ∈ X Trước hết, ý yn − x0 ≤ ε Fn (x) = +∞ x − x0 > 2ε Hơn Fn (yn ) < f (x0 ) + 3δε Thật vậy, trái lại (Fn + gn ) (yn ) > f (x0 ) + 2δε (Fn + gn ) (xn ) < f (x0 ) + 2δε điều mâu thuẫn với Fn + gn đạt cực tiểu yn Suy yn − x0 < 2ε Như fn + b1 + gn có cực tiểu địa phương yn pn = −b1 (yn ) − gn (yn ) ∈ D− fn (yn ) , yn − x0 < ε < δ Tiếp theo pn − p0 = − 8δb0 ( (yn − x0 ) ) − gn (yn ) ≤ (8 b ε ∞ + 1) δ Cuối cùng, ta có fn (yn ) = Fn (yn ) − b1 (yn ) < f (x0 ) + p0 , yn − x0 + 3δε 32 fn (yn ) > f (x0 ) + p0 , yn − x0 − δε |fn (yn ) − f (x0 )| ≤ | p0 , yn − x0 | + 3δε ≤ ( p0 + 3δ) δ Như ta hoàn thành chứng minh Bổ đề 2.1.8 Để đưa kết tính ổn định cho vi phân cấp hai, ta cần khái niệm hội tụ mạnh hội tụ lát Định nghĩa 2.1.9 Cho ρ ≥ 0, x0 ∈ X, p ∈ X ∗ , Q ∈ B (X) η ∈ R, lát bậc hai S = (ρ, p, Q, x0 , η) tập X × R có dạng S = S(ρ, p, Q, x0 , η) = {(x, α); x − x0 ≤ ρ α ≤ Q(x − x0 , x − x0 )+ < p, x − x0 > +η} Nếu (fn ) dãy hàm số nửa liên tục từ X vào R ∪ {+∞} Ta nói (fn ) hội tụ lát cấp đến f ta viết f = τqs − limn→∞ fn limn→∞ d (S, epi fn ) = d (S, epi f ) với lát cấp hai S Bây ta khẳng định: Định lý 2.1.10 Cho X không gian Banach thỏa mãn (∗∗), f fn (n ∈ N) hàm số nửa liên tục từ X vào R ∪ {+∞} Nếu f = τqs − limn→∞ fn D2,− f ⊂ lim inf n→∞ D2,− fn 33 Chứng minh Định lý 2.1.10 hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.1.5 Nếu dựa vào bổ đề sau: Bổ đề 2.1.11 Cho X không gian Banach thỏa mãn (∗∗), f, fn (n ∈ N) hàm số nửa liên tục từ X vào R ∪ {+∞} Gọi x0 ∈ X cho f (x0 ) < +∞ (p0 , Q0 ) ∈ D2,− f (x0 ) Giả sử rằng: (i) Tồn xn ∈ X cho limn→∞ xn = x0 limn→∞ fn (xn ) = f (x0 ) (ii) Tồn ε0 > cho với lát cấp hai S = S (ε, p0 , Q0 , x0 , η) với ε < ε0 , d (S, epi f ) > d (S, epi fn ) > với n đủ lớn Khi tồn yn ∈ X (pn , Qn ) ∈ D2,− fn (yn ) cho: (a) limn→∞ yn = x (b) limn→∞ fn (yn ) = f (x) (c) limn→∞ pn = p0 (d) limn→∞ Qn = Q0 Bổ đề 2.1.11 chứng minh tương tự Bổ đề 2.1.8 Vì vậy, ta chỗ cần điều chỉnh Giả thiết (p0 , Q0 ) ∈ D2,− f (x0 ) kéo theo lim inf h →0 f (x0 + h) − f (x0 ) − p0 , h − Q0 (h, h) ≥ h Vì vậy, δ > cố định, với ε > đủ nhỏ, ta có: δε2 f (x0 + h) − f (x0 ) − p0 , h − Q0 (h, h) ≥ − 34 h ∈ X, h < ε Như Bổ đề 2.1.8, điều suy n đủ lớn x − x0 ≤ ε ta có fn (x) > f (x0 ) + p0 , x − x0 + Q0 (x − x0 , x − x0 ) − δε2 Chứng minh giống Bổ đề 2.1.8, cách thay δε δε2 b1 (x) = − p0 , x − x0 + 4εδb0 ( (x − x0 ) ) ε b1 (x) = − p0 , x − x0 − Q0 (x − x0 , x − x0 ) + 4ε2 b0 ( (như b1 ∞, b1 ∞ b ∞ (x − x0 ) ) ε tiến tới 0) chọn gn C − nhỏ Một ứng dụng khác Bổ đề 2.1.8 Bổ đề 2.1.11 tính ổn định vi phân cho cận họ hàm số nửa liên tục Chính xác hơn, trước hết ta nhắc lại số khái niệm Định nghĩa 2.1.12 Cho X không gian Banach Một họ S hàm số nửa liên tục từ X vào R gọi bị chặn địa phương với x ∈ X, có lân cận V x số m = m(x) ∈ R cho f (y) ≥ m với f ∈ S với y ∈ V Nếu S họ hàm số nửa liên tục X, bị chặn địa phương, hàm u xác định u (x) = inf {f (x) ; f ∈ S} 35 bị chặn địa phương, ta định nghĩa hàm u∗ nhận giá trị thực u∗ (x) = lim inf u(y) y→x u∗ gọi bao nửa liên tục u Định lý 2.1.13 Cho S họ hàm số nửa liên tục từ X vào R, bị chặn địa phương Đặt u(x) = inf {f (x) ; f ∈ S} u∗ bao nửa liên tục u Nếu X thỏa mãn (∗) (tương ứng, (∗∗)) với x ∈ X với p ∈ D− u∗ (x) , tồn fn S, (yn ) X (pn ) X ∗ thỏa mãn pn ∈ D− fn (yn ) (tương ứng, (pn , Qn ) ∈ X ∗ × B(X) thỏa mãn (pn , Qn ) ∈ D2,− fn (yn )) cho: (i) limn→∞ fn (yn ) = u∗ (x) (ii) limn→∞ yn = x (iii) limn→∞ pn = p (tương ứng, limn→∞ pn = p limn→∞ Qn = Q) Để chứng minh Định lý 2.1.13, trước hết ta ý từ định nghĩa u∗ (x), tồn dãy (fn ) S dãy (xn ) X cho limn→∞ xn = x limn→∞ fn (xn ) = u∗ (x) Như điều kiện (i) Bổ đề 2.1.8 Bổ đề 2.1.11 thỏa mãn Điều kiện (ii) thỏa mãn u∗ ≤ fn kéo theo d(S, epi fn ) ≥ d(S, epi u∗ ) Do Định lý 2.1.13 Hệ Bổ đề 2.1.8 Bổ đề 2.1.11 Ta ý S = {fn ; n ∈ N} , kết luận Định lý 36 2.1.13 viết D− u∗ ⊂ lim sup D− f (tương ứng, D lim sup D − − u∗ ⊂ f ) Cho f f hàm số nửa liên tục từ X vào Ta xét khẳng định sau (1) Với x ∈ X, tồn (x ) X cho lim lim →∞ f →∞ x = x (x ) = f (x) với tập bị chặn B X, lim sup(sup{(f − f )(y); y ∈ B}) ≤ →∞ (2) f = τ − lim (3) f = τ − lim →∞ f →∞ f (4) Với x ∈ X, tồn (x ) X cho lim lim →∞ f →∞ x = x (x ) = f (x) tập compact K X, lim sup(sup{(f − f )(y); y ∈ K}) ≤ →∞ Do (1) suy (2) (2) suy (3) Nếu f liên tục (3) kéo theo (4) Như f liên tục dim X < + ∞ (1), (2), (3), (4) tương đương Cho X khơng gian Banach, H: × tập mở X × X ∗ × B(X) → 37 liên tục Trong mục này, ta quan tâm tới tồn nghiệm nhớt u : Ω → R phương trình H(x, u(x), u (x), u (x)) = (2.1) Trước hết ta có vài định nghĩa: Định nghĩa 2.2.1 Cho Ω tập mở X Một hàm số u : Ω → R nghiệm nhớt phương trình (2.1) Ω u nửa liên tục với x ∈ Ω (p, Q) ∈ D2,+ u(x) ta có H(x, u(x), p, Q) ≤ u nghiệm nhớt (2.1) Ω u nửa liên tục với x ∈ Ω (p, Q) ∈ D2,− u(x) ta có H(x, u(x), p, Q) ≥ Cuối cùng, u nghiệm nhớt (2.1) Ω u nghiệm nhớt nghiệm nhớt (2.1) Ω Khái niệm nghiệm nhớt giới thiệu lần cho phương trình đạo hàm riêng cấp khơng gian hữu hạn chiều [5], tính chất nghiệm nhớt trường hợp xem [6] Các kết nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi cấp không gian hữu hạn chiều tổng kết đầy đủ [7] Kết tồn 38 nghiệm nhớt phần lớn xuất phát từ phương pháp Perron chứng minh nghiệm nhớt lần đầu [10] Mệnh đề sau cho mơ hình phương pháp Perron cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai trường hợp vơ hạn chiều Mệnh đề 2.2.2 Cho X không gian Banach thỏa mãn (∗∗) S họ hàm số bị chặn địa phương Ω cho với f ∈ S, f∗ nghiệm (2.1) Ω Đặt u(x) = inf {f (x); f ∈ S} Khi u∗ nghiệm nhớt (2.1) Ω Chứng minh Thực vậy, giả sử x ∈ Ω (p, Q) ∈ D2,− u∗ (x) Lấy fn ∈ S, yn ∈ X, (pn , Qn ) ∈ D2,− fn (yn ) cho Định lý 2.1.13 Do fn∗ nghiệm nhớt (2.1), nên H(yn , fn∗ (yn ), pn , Qn ) ≥ chuyển qua giới hạn sử dụng tính liên tục F, ta có H(x, u(x), p, Q) ≥ Ta ý lập luận ta cần giả thiết H nửa liên tục Một ứng dụng khác kết Chương Mệnh đề 2.2.3 Cho X không gian Banach thỏa mãn (∗∗), Ω tập mở X, Hn : Ω × R × X ∗ × B(X) → R dãy hàm số liên tục, hội tụ tập bị chặn đến hàm số H Giả sử fn nghiệm nhớt Hn (x, u(x), u (x), u (x)) = X (fn ) hội tụ lát 39 cấp hai đến f Khi f nghiệm nhớt H(x, u(x), u (x), u (x)) = X Chứng minh Giả sử x ∈ Ω (p, Q) ∈ D2,− f (x) Theo Định lý 2.1.10, tồn xn ∈ X (pn , Qn ) ∈ D2,− fn (xn ) thỏa mãn lim (xn , fn (xn ), pn , Qn ) = (x, f (x), p, Q) n→∞ Ω × R × X ∗ × B(X) với tơ pơ mạnh Vì fn nghiệm nhớt Hn (x, u(x), u (x), u (x)) = X, ta có Hn (xn , fn (xn ), pn , Qn ) ≥ Chuyển qua giới hạn ta có H(x, f (x), p, Q) ≥ điều chứng tỏ f nghiệm nhớt H(x, u(x), u (x), u (x)) = X Tương tự, giả thiết X Hn , fn nghiệm nhớt Hn (x, u(x), u (x), u (x)) = X (−fn ) hội tụ lát cấp hai đến −f, f nghiệm nhớt H(x, u(x), u (x), u (x)) = X Phần Mệnh đề 2.2.3 có (fn ) hội tụ đến f tập bị chặn X, (fn ) hội tụ lát cấp đến f (−fn ) hội tụ lát cấp hai đến −f Một Hệ trực tiếp mệnh đề là: (fn ) dãy nghiệm nhớt Hn (x, u(x), u (x), u (x)) = 40 X (fn ) hội tụ đến f tập bị chặn X, f nghiệm nhớt Hn (x, u(x), u (x), u (x)) = X Cuối cùng, ta nhắc lại phương pháp Perron để chứng minh tồn nghiệm nhớt Mệnh đề 2.2.4 Cho X không gian Banach thỏa mãn (∗∗), Ω tập mở X, H : Ω × R × X ∗ × B(X) → R liên tục elliptic suy biến Giả sử u0 , v0 tương ứng nghiệm nhớt nghiệm nhớt H(x, u, u , u ) = Ω Giả sử u0 ≤ v0 Ω Khi tồn u : X → R cho u0 ≤ u ≤ v0 Ω, u∗ nghiệm nhớt H(x, u, u , u ) = Ω u∗ nghiệm nhớt H(x, u, u , u ) = Ω Do H thỏa mãn với nghiệm nhớt v H(x, u, u , u ) = Ω nghiệm nhớt w H(x, u, u , u ) = Ω thỏa mãn u0 ≤ v, w ≤ v0 , ta có v ≤ w, u∗ = u∗ nghiệm nhớt H(x, u, u , u ) = Ω Vấn đề so sánh nghiệm nhớt nghiệm nhớt X không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện cấu trúc ta quy trường hợp hữu hạn chiều Ta phác thảo chứng minh Mệnh đề 2.2.4 Ta lập luận theo Ishii 41 [10] Đặt S = {w : X → R;u0 ≤ u ≤ v0 u∗ nghiệm H(x, u, u , u ) = Ω} cho w = inf {u; u ∈ S} Theo Mệnh đề 2.2.2, w∗ nghiệm (2.1) Ω Ta khẳng định w∗ nghiệm nhớt (2.1) Ω Nếu không, tồn x0 ∈ X (p, Q) ∈ D2,+ w∗ (x0 ) cho H(x0 , w∗ (x0 ), p, Q) > Ta có w∗ (x0 ) > u0 (x0 ) (bởi w∗ (x0 ) = u0 (x0 ), w∗ (x) ≥ u0 (x) với x, nên ta có D2,+ w∗ (x0 ) ⊂ D2,+ u0 (x0 ) Do (p, Q) ∈ D2,+ u0 (x0 ), mâu thuẫn với giả thiết u0 nghiệm nhớt (2.1)) Theo định nghĩa D2,+ w∗ (x0 ), tồn ϕ ∈ C (X, R) cho: (i) w∗ (x0 ) − ϕ(x0 ) = w∗ (x) − ϕ(x) ≤ với x ∈ Ω (ii) ϕ (x0 ) = p ϕ (x0 ) = Q Bây giờ, ϕ(x0 ) = w∗ (x0 ) > u0 (x0 ) ϕ(x) ≥ w∗ (x) > u0 (x) với x ∈ Ω Vì u0 nửa liên tục nên tồn hàm bướu b ∈ C (X, R) với giá hình cầu B(x0 , δ) cho b(x0 ) < ϕ(x) + b(x) ≥ u0 (x) với x ∈ Ω Hơn nữa, δ, b ∞, b ∞, b ∞ đủ nhỏ ta có H(x, ϕ(x) + b(x), ϕ (x) + b (x), ϕ (x) + b (x)) < 0, ∀ ∈ B(x0 , 2δ) Nếu ta đặt 42 w(x) =     inf {ϕ (x) + b (x) ; w (x)} x − x0 < 2δ    w (x) x − x0 ≥ 2δ khơng khó để thấy w∗ nghiệm (2.1) u0 ≤ w ≤ v0 Vì w thuộc S, kéo theo x − x0 < δ Ta có ϕ(x) + b(x) ≥ w(x) ≥ w(x) ϕ(x) + b(x) ≥ w∗ (x) x − x0 < δ điều mâu thuẫn với kết luận ϕ(x0 ) = w∗ (x0 ) b(x0 ) < 43 Kết luận Luận văn tìm hiểu khái niệm tính chất vi phân Fréchet cho lớp hàm không lồi không gian Banach, đặc biệt tính ổn định vi phân Đồng thời luận văn trình bày ứng dụng tính ổn định việc tồn nghiệm nhớt phương trình HamiltonJacobi trường hợp vơ hạn chiều 44 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng việt [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên cơng nghệ [B] Tài liệu tiếng Anh [3] J P Aubin and H Frankowska (1990), Set valued analysis, Birkhauser, Basel [4] J M Borwein, A S Lewis (2006), Convex Analysis and Nonlinear Optimization, Springer [5] M G Crandall and P L Lions (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 277:1-42 [6] M G Crandall, L C Evans and P L Lions (1984), Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 282: 487-502 [7] M G Crandall, H Ishii and P L Lions (1993),User’s guide to viscosity solutions of second order fully nonlinear partial differential equations , Bull Amer Math Soc [8] R Deville (1994), Stability of subdifferentials of nonconvex functions in Banach spaces, Set-Valued Analysis, 2: 141-157 [9] R Deville, G Godefroy and V Zizler (1993), Smoothness and renormings in Banach spaces, Pitman monographs in Math 64, Longman scientific and technical [10] H Ishii (1987), Perron’s method for Hamilton Jacobi equations, Duke Math Jour 55: 369-384 [11] R T Rockafellar (1970), Convex analysis, Princeton University Press ... (N) (1 ≤ p < 2) không thỏa mãn (∗∗) 24 Chương Tính ổn định vi phân hàm khơng lồi 2.1 Tính ổn định Trong chương trình bày tính ổn định vi phân vi phân hàm không lồi Cho (fn ) dãy hàm số nửa liên... phức X không gian Banach thực X∗ không gian đối ngẫu không gian Banach X dom(f ) miền hữu hiệu hàm f ∂f vi phân hàm lồi f D−f vi phân Fréchet hàm f D+f vi phân Fréchet hàm f D2,− f vi phân cấp... thức chuẩn bị Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Banach, vi phân hàm lồi, vi phân hàm không lồi Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2], [10], [11] 1.1 Không gian Banach Trong mục ta