BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ————————— TRẦN VĂN SỰ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ DƯỚI NGƠN NGỮ CỦA ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2018 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ *** TRẦN VĂN SỰ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ DƯỚI NGƠN NGỮ CỦA ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu TS Nguyễn Công Điều Hà Nội - 2018 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tơi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Trần Văn Sự iii LỜI CẢM ƠN Bản luận án hồn thành Viện Cơng nghệ thông tin, Học viện Khoa học Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình PGS.TS Đỗ Văn Lưu TS Nguyễn Công Điều Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trong trình học tập, nghiên cứu thông qua giảng Seminar Bộ mơn Tốn trường Đại học Thăng Long Hà Nội Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam; tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TS Trần Vũ Thiệu, GS TS Nguyễn Bường, GS TS Đặng Quang Á, TS Nguyễn Minh Tuấn, v.v Tác giả xin chân thành cảm ơn Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quảng Nam, Khoa Toán - Đại học Quảng Nam; Phòng Đào tạo Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam; Các thầy, cô giáo Viện Công nghệ Thông tin, Học viện Khoa học Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Xin cảm ơn anh chị em nhóm nghiên cứu, bạn bè đồng nghiệp gần xa trao đổi, động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu làm luận án Bản luận án khơng thể hồn thành khơng có thơng cảm, chia giúp đỡ người thân gia đình tác giả Tác giả thành kính dâng tặng q lên bậc sinh thành gia đình thân yêu bé nhỏ với lòng trân trọng biết ơn sâu sắc Tác giả Trần Văn Sự Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Một số ký hiệu viết tắt vi Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm liên quan đến nội dung luận án 9 1.1.1 Tập tiếp tuyến 1.1.2 Đạo hàm tiếp liên 13 1.1.3 Các hàm ổn định 14 1.1.4 Trên đạo hàm tiếp liên 19 1.2 Bài toán cân vectơ trường hợp riêng 23 1.2.1 Bài toán cân vectơ 23 1.2.2 Bài toán tối ưu vectơ 27 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân vectơ 29 1.3 Kết luận chương 31 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên 32 2.1 Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) 32 2.2 Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CVEP1 ) 44 v 2.3 Áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1 ) toán tối ưu vectơ (CVOP1 ) 47 2.4 Kết luận chương 54 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên 55 3.1 Sự tồn mối liên hệ đạo hàm tiếp liên với đạo hàm tiếp liên 55 3.2 Điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu (VEP) 60 3.2.1 Trường hợp không gian Banach 61 3.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều 72 3.3 Điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP) 79 3.4 Kết luận chương 89 Điều kiện tối ưu cấp hai cho tốn cân vectơ qua ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên 4.1 Sự tồn mối liên hệ đạo hàm tiếp liên cấp 90 hai với đạo hàm tiếp liên cấp hai 90 4.2 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP) 95 4.3 Điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu (CVEP) 104 4.4 Kết luận chương 114 Kết luận chung 115 Danh mục cơng trình công bố 117 Tài liệu tham khảo 118 Một số ký hiệu viết tắt (LBD) tính chất đạo hàm bị chặn (KRZ) điều kiện quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe (CQ1) điều kiện quy thứ (CQ2) điều kiện quy thứ hai IM in(A|Q) tập điểm cực tiểu lý tưởng tập A theo nón Q M in(A|Q) tập điểm cực tiểu Pareto tập A theo nón Q IM ax(A|Q) tập điểm cực đại lý tưởng tập A theo nón Q M ax(A|Q) tập điểm cực đại Pareto tập A theo nón Q f+ : X ⇒ Y ánh xạ đa trị f + Q từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền hữu hiệu F graphF đồ thị F epiF đồ thị F hypF đồ thị F Dc F (x, y) đạo hàm tiếp liên F (x, y) Dc2 F (x, y, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai F (x, y) theo hướng w DF (x, y) đạo hàm tiếp liên F (x, y) D F (x, y, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai F (x, y) theo hướng w DF (x, y) đạo hàm tiếp liên F (x, y) D2 F (x, y, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai F (x, y) theo hướng w Dc f (x) đạo hàm tiếp liên f x vii Dc2 f (x, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai f x theo hướng w Df (x) đạo hàm tiếp liên f x D f (x, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai f x theo hướng w Df (x) đạo hàm tiếp liên f x D2 f (x, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai f x theo hướng w df (x, v) đạo hàm Hadamard f x theo hướng v df (x, v) đạo hàm Hadamard f x theo hướng v df (x, v) đạo hàm Hadamard f x theo hướng v ∇f (x) đạo hàm Fréchet f x T (M, x) nón tiếp liên M x A(M, x) nón kề hay nón hướng chấp nhận M x IT (M, x) nón tiếp tuyến phần M x ITs (M, x) nón tiếp tuyến phần theo dãy M x N (M, x) nón pháp tuyến M x T (M, x, u) tập tiếp liên cấp hai M x theo hướng u A2 (M, x, u) tập kề cấp hai M x theo hướng u IT (M, x, u) tập tiếp tuyến phần cấp hai M x theo hướng u Q+ nón đối ngẫu Q int(Q+ ) phần Q+ tương ứng với tôpô mạnh β(Y ∗ , Y ) Q tựa phần Q+ cone A bao nón tập A (V EP ) tốn cân vectơ không ràng buộc (CV EP ) tốn cân vectơ có ràng buộc (V OP ) tốn tối ưu vectơ khơng ràng buộc (CV OP ) tốn tối ưu vectơ có ràng buộc (V V I) bất đẳng thức biến phân vectơ không ràng buộc (CV V I) bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc Mở đầu Bài tốn cân vectơ (vector equilibrium problem) có vai trò quan trọng giải tích phi tuyến quan tâm nghiên cứu nhiều thời gian gần bao gồm nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, độ nhạy nghiệm, điều kiện tối ưu thuật tốn tìm nghiệm phạm vi áp dụng rộng rãi nó, chẳng hạn, xem Anh [1], [2]; Ansari [3], [4], [5], [6]; Bianchi [11], [12]; Feng-Qiu [18]; Khanh-Tung [45], [46]; Luu [56], [57], [59], [62], [63]; Su [72], [73]; Tan [75], [76], [77], [78],v.v Bài toán cân vectơ mở rộng từ tốn cân vơ hướng giới thiệu lần vào năm 1994 Blum Oettli [10], bao hàm nhiều toán khác trường hợp đặc biệt, chẳng hạn toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ, toán cân Nash vectơ, toán bù vectơ, v.v Về điều kiện tối ưu cho loại nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ chủ đề quan trọng cần quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, Luu [54], [59], [60] dẫn điều kiện tối ưu cấp cấp hai kiểu Fritz John Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán cân vectơ khơng trơn có ràng buộc tập, đẳng thức bất đẳng thức số áp dụng cho toán tối ưu vectơ bất đẳng thức biến phân vectơ; Feng Qiu [18] nghiên cứu điều kiện tối ưu tốn cân vectơ có ràng buộc không gian Banach; Gong [26], [27] thu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục siêu hữu hiệu toán cân vectơ khả vi lồi tổng quát với số áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ; Long-Huang Peng [49] dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig siêu hữu hiệu toán cân vectơ lồi suy rộng áp dụng; Jiménez Novo [40] thiết lập điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ đa mục tiêu với hàm khả vi hai lần, v.v Luận án làm theo hướng điều kiện tối ưu cấp cấp hai cho loại nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên qua ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định cho điều kiện cấp với lớp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai Khái niệm đạo hàm tiếp liên ánh xạ đa trị đưa lần vào năm 1981 Aubin [7], thực mở rộng từ khái niệm khả vi Fréchet tự nhiên với hàm đa trị có vai trò quan trọng giải tích giải tích ứng dụng Ví dụ số điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu mạnh, nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu địa phương toán tối ưu vectơ đa trị với liệu lồi tổng qt mơ tả ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên, chẳng hạn Aubin Ekeland [8], Corley [13] Luc [51] Bên cạnh đó, số điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu cực tiểu chặt địa phương cấp tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc dẫn thơng qua khái niệm đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định, xem Jiménez Novo [37] Chú ý để dẫn điều kiện cần đủ tối ưu cho toán cân vectơ, song hàm xét thiết phải có đồ thị lồi Để vượt qua bất tiện này, Jahn Rauh [35] đưa khái niệm đạo hàm tiếp liên ánh xạ đa trị vào năm 1997 áp dụng chúng để dẫn điều kiện tối ưu tối ưu đa trị, Chen Jahn [14] đưa khái niệm đạo hàm tiếp liên tổng quát ánh xạ đa trị vào năm 1998 áp dụng kết cho toán cân vectơ đa trị Đối với hàm đơn trị, không chuyển trực tiếp từ kết đa trị sang đơn trị mà thiết lập kết sâu sắc Để nghiên cứu điều kiện tối ưu với liệu không trơn cho lớp toán tối ưu đơn trị, dựa vào định nghĩa Aubin [7], Jiménez Novo [37] chứng minh quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững, ổn định, khả vi Hadamard, khả vi Fréchet thiết lập điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu vectơ khơng ràng buộc điều kiện cần đủ tối ưu cho tốn tối ưu vectơ có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định không gian hữu hạn chiều Một số vấn đề tồn đọng kết Jiménez Novo [37] chưa ... 54 Điều kiện tối ưu cho tốn cân vectơ qua ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên 55 3.1 Sự tồn mối liên hệ đạo hàm tiếp liên với đạo hàm tiếp liên 55 3.2 Điều kiện tối ưu cho loại... khái niệm đạo hàm đạo hàm tiếp liên cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai, chẳng hạn, Durea [17] sử dụng đạo hàm tiếp liên cấp hai để thiết lập điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa trị,... Ví dụ 2.2-2.3) Khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên ta ý đạo hàm tiếp liên ánh xạ đa trị Hơn nữa, nói chung đạo hàm tiếp liên ánh xạ có giá trị khơng lồi