I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM PHM QUNH TRANG IU KIN TI U CP CAO CHO CC TIU A PHNG CHT V CC TIU PARETO A PHNG CHT LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn - Nm 2015 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ r ết q ứ tr tr tự trù ề t ũ r ọ ú ỡ ệ tự ệ ợ t t trí tr ợ ỉ rõ ố t ết P ỳ r ợ tự ệ t t trờ ọ s ọ ọ ủ P ỗ t ợ s s ế t ọ ủ ì P ỗ t tì tr sốt q trì ứ ủ t tờ t ũ t t tr ọ rờ ọ s ọ t ọ ề ệ ể t t ũ ế ì tr ọ ộ ú ỡ t tr q trì ọ t tể tr ỏ ữ tế sót t rt ợ ỉ t tì ủ t ệ t ết P ỳ r ụ ụ ụ ụ ề ệ tố ự tể ị t ủ r ệ ị ĩ ề ệ tố ự tể ị t C 1,1 m ự tể ị t ề ệ tố ự tể Prt ị t ủ trs ết q ổ trợ ề ệ tố ề ệ ủ tố tr ủ ự tể Prt ị t ết ệ t ý ọ ề t ý tết ề ệ tố ột ộ q trọ ủ ý tết tố ó ề ệ tố ột é t ị ợ t ể ề ệ tố é t tì r ợ ệ tố tr t ể ó ệ ự tể ị t m ợ ị ĩ r ề ệ tố tr ự tể t m ợ tết sr trs r r ứ ề ệ tố ự tể ị t ữ t trs rộ ệ trs r ét ề ệ tố ự tể Prt ị t ủ t tố ụ t tr ữ ề ề t ợ ề t tr q t ứ í ì ọ ề t ề ệ tố ự tể ị t ự tể Prt ị t P ứ t ọ t ệ từ s t í t ọ tr qố tế q ế ề ệ tố ó tì ể ứ ề ề ụ í ủ ụ í ủ tì ể ề ề ệ tố ự tể ị t ự tể Prt ị t ụ tể ú t ọ ể trì ột tờ s r rtrts strt ssr ts r sr t r trs r rr ts r strt Prt trs r r r rt rts t ộ ủ ết ụ t ệ t ề ệ tố ự tể ị t ủ r rì ề ệ tố ự tể ị t ủ r ữ t ề ệ í q ề ệ ủ trở t ề ệ tr ự tể ị t ề ệ tố ự tể Prt ị t ủ trs rì ệ t tr m t ề ệ tố ự tể Prt ị t ủ trs m ề ệ tố ự tể ị t ủ r r ú t trì ề ệ tố ự tể ị t ủ r ữ t ề ệ í q ề ệ ủ trở t ề ệ tr ự tể t ết q trì tr ủ r ệ ị ĩ ét t tố s {f (x) |x S } , tr ó f Rn R {+} S ột t rỗ tr Rn ị ĩ ã t tr Rn > t B (x, ) := {y Rn | y x } ó r tồ t x S ột ự tể ị t ủ t > s f (x) > f ( x) (x S B ( x, ) \ { x}) (1.1) ế m ột số ó r x S t ột ự tể ị m ủ (1.1) ế tồ t > > s m f (x) f ( x) x x (x S B ( x, )) ét t r ế x ột ự tể ị t ột ự tể ị j ọ m tì ó ũ j > m õ r ột ự tể ị t m t ỳ ột ự tể ị t ỗ ự tể ị t ột ự tể ị t m m ó f : [0, +) R f (x) = x1/x , x > 0, f (0) = 0, S := [0, +) ó x = ột ự tể ị t ột ự tể ị t m m t ỳ ị ĩ S Rp ó ù ủ S ợ ị 0+ S := {y Rp |s + ty S, s S, t 0} ó tế tế ột p p A : 2R ì Rp 2R s ỗ S Rp x Rp , A (S, x) ột ó ó tể rỗ ỗ S Rp x S, t ó 0+ S 0+ A (S, x) ó tế tế q trọ ó tế ó tế tế rss ó tr t ứ ó tế ợ ị ĩ K (S, x) := y (tn , yn ) 0+ , y s x + tn yn S, n ; ó tế tế rss ợ ị ĩ k (S, x) := y (tn ) 0+ , (yn ) y x + tn yn S, n ; ó tr t ứ ủ ú IK (S, x) := y (tn ) 0+ s (yn ) y, x + tn yn S, n ủ Ik (S, x) := y (tn , yn ) 0+ , y , x + tn yn S, n ủ ị ĩ : Rn R {+} ữ t x Rn í sử A ột ó tế tế f ệ tr tị ủ y f f A t ủ f t x t ợ ị ĩ f A (x; y) := inf {r |(y, r) A ( f, (x, f (x)))} ó tế tế ợ ị ĩ tr t t ứ ó tể ể ễ s f K (x; y) = lim inf (f (x + tv) f (x)) /t, + (t,v)(0 ,y) f k (x; y) = lim sup inf (f (x + tv) f (x)) /t vy t0+ (f (x + tv) f (x)) /t, := sup lim sup inf >0 t0+ vB(y,) f IK (x; y) = lim inf sup (f (x + tv) f (x)) /t + t0 vy sup (f (x + tv) f (x)) /t, := inf lim inf + >0 t0 vB(y,) f Ik (x; y) = lim sup (f (x + tv) f (x)) /t (t,v)(0+ ,y) ế f rét t tr tr x f (x) , tì ố t f (x) , y , tr ó í ệ tí tr Rn ế f st ị t x, tì f K (x; ã) = f IK (x; ã) f k (x; ã) = f Ik (x; ã) ã, ã f K (x; ã) > ột ú ý f K (x; ã) = f k (x; ã) tr rt t x f số tế ợ ọ ũ tr t ị ĩ dm f K (x; y) = lim inf (f (x + tv) f (x)) /tm + (t,v)(0 ,y) ị ĩ t tự dm f k (x; y) , dm f IK (x; y) dm f Ik (x; y) ề ệ tố ự tể ị t sử x S m ý ệ K ( x) := K (S, x) y f K (x; y) ; is ỉ ủ t S: 0, ế x S, is (x) = +, ế x / S ị ý [12] m > t ể s t x ột ự tể ị t m ủ t ọ y Rn \ {0} , dm (f + iS )K ( x; y) > 0; t tứ ú ọ ế m = y K ( x) \ {0} tì t ế K ( x) tr ét ề ệ ủ ị ý ó tể ợ t b t > s ọ y Rn , dm (f + iS )K ( x; y) y m ợ t K (S, x) t ó Rp+ := [0, )p ù f ỉ trị t ữ í tết trì tr trớ ữ í tr ệ ét ột số t ủ ú t í ệ S N (x) t tt ủ x ị ĩ sử ỉ t ủ f m ột số x S ó r x ột ự tể Prt ị t m ệ ữ ệ ị t ế tồ t m ủ t í ệ > U N ( x) s m (f (x) + Rp+ ) B (f ( x) , x x ó r m ) = , x S U \ { x} x ột ự tể Prt ị s t m srstrt Prt r rr x StrL (m, f, S) m ệ ữ ệ ị s t ủ t í ệ x SStrL (m, f, S) ế tồ t > U N ( x) , t ề t p ó Ai ứ i I I, s {Vi := x + Ai : i I } ột ủ ủ S U \ { x} m fi (x) > fi ( x) + x x , x S U Vi ệ ề x tr(m, f, S) ế ỉ ế tồ t intRp+ f (x) tứ ỗ f ( x) + x x m U N ( x) s , x S U \ { x} , x S U \ { x} , ị s ú fi (x) fi ( x) + i x x fj (x) < fj ( x) + j x x m , m , i I, j ó I rộ ị ĩ từ t ú t ị ĩ t tr m m f ( x + tv) f ( x) , ,y) tm f ( x; y) := lim inf + (t,v)(0 f ( x + tv) f ( x) dm f ( x; y) := lim sup , tm (t,v)(0+ ,y) tr ó ợ ị ĩ ị ĩ í t ó m f ( x; y) := sup inf t(0,) >0 f ( x + tv) f ( x) , tm f ( x + tv) f ( x) tm vB(y,) dm f ( x; y) := inf sup >0 t(0,) vB(y,) ụ ệ ề t ó f ( x; y) = (m f1 ( x; y) , , m fp ( x; y)) , x; y) , , dm fp ( x; y) , dm f (x; y) = dm f1 ( m tr ó t ủ ế ợ ể ễ tr ú ó tể ó trị ó ó tộ p R ( m = 1, t ý ệ f ( x; y) df x; y) t f ( x; y) d1 f ( x; y) ý ệ dm f ( x; y) := lim+ (t,v)(0 tồ t ữ tr t tự ó tể sử ụ ý ệ g f ( x + tv) f ( x) , ,y) tm p tứ dm f ( R x; y) Rp ý ệ ế tồ t t ứ tr K (S, x) ó tế ủ S t Y x : K (S, x) := y X : (tn , yn ) 0+ , y s x + tn yn S, n t x; y) Kf (S, x) := K (S, x) {y X : f ( 0} p = K (S, x) {y X : fi ( x; y) 0} i=1 ì K (S, x) ột ó ó ỗ số fi ( x; ã) t t tụ t ợ ũ ột ó ó ứ sử ụ ỉ ét ủ t S p (x |S ) := ( (x |S ) , , (x |S )) R x X, tr ó ế x S, (x |S ) := ế x / S ị p fS : X R f S = f1S , , fpS , f S := f + (ã |S ) ó s S tr ó fi := fi + (ã |S ) , i I ề ệ tố ể t ể ề ệ tố t ế ó rộ p+ := R [0, ]p ị ý sử x tr(m, f, S) sử D = dg ( x; y) tồ t ọ y X ó tồ t > s m dm f ( x; y) / B (0, y p+ , )R y K (C, x) {u X : dg ( x; u) intD} sử Y = Rq D = Rq+ ó tồ t > s m dm f ( x; y) / B (0, y p+ , )R ( y K (C, x) u X : dg x; u) < ứ ụ ý tở ủ ị ý tr tết tồ t > U N ( x) s ề ệ ú ề ó t f (x) f ( x) / B 0, x x ỉ r r ú ó tồ t m p+ , x S U \ {x} R = /2m y K (C, x) , u B (0, y sử r ề ó ú m p+ ) z R dg ( x; y) intD s dm f ( x; y) = u z ú ý r dm f ( x; y) ó tể ó t > s u + e B (0, y tr ó u m ), e := (1, , 1)T Rp ó ề ệ é t dm f ( x; y) < u + e ột ó ì D ó y = ý r dg ( x; 0) = ị ĩ ì v = y ột ọ ủ v D=Y ề ệ é t dg ( x; y) = 0, ó t ệ ề ề ệ t tì ợ > s y /2, x + (0, ) B (y, ) U, f ( x + tv) f ( x) < u + e, t (0, ) v B (y, ) tm g ( x + tv) g ( x) D, t (0, ) v B (y, ) t ì y K (C, x ) g ( x + tv) g ( x) D D ọ D t s r t (0, ) t s r tồ t ( x + (0, ) B (y, )) C = ữ từ ề ệ tí ủ v B (y, ) (0, ) B (y, ) s x + C U \ {x} , f ( x + ) f ( x) < u + e, m g ( x + ) D ề ệ é t f ( x + ) f ( x) B (0, y m m ) RP+ , t f ( x + ) f ( x) B (0, y m ) RP+ ú ý r f ( x + ) f ( x) tể trị ì f x := x + , từ t ó x C U \ { x} , g (x) D, f (x) f ( x) B (0, y m ữ ) RP+ t tứ y < y ó y /2 < t ó y < y /2 t tứ từ ị ĩ ủ , ú t s r B (0, y m ) B (0, m ) = B (0, x x m ) ề ệ t ột t ứ ố ỉ ó ột t ổ ú ý t ó t ( dg x; y) < ệ ề ề ó é t tồ > s g ( x + tv) g ( x) < < t < v y < t ó t ết r y = ì ế t ợ ột t v = tr ề ệ ợ t tế t ứ ề ệ s g ( x + tv) g ( x) < 0, t (0, ) v B (y, ) , t g ( x + tv) < g ( x) 0, t (0, ) v B (y, ) í ụ sử f : R R2 ợ ị f (x) := x3 , x2 ét t tố ụ t tr ó S := {x R : g (x) = x R+ } = R+ D := R+, C := R g : R R ợ ị g (x) := x. t ú t ỉ r r x = ột ự tể Prt ị t m t ì số m t U := B (0, 1) = 1, t ó S U \ { x} = R+ U \ {0} = {x : < x < 1} ể ứ ề ệ t ể ý r ỗ ỗ (u1 , u2 ) x3 , x2 + R2+ , t ó u1 u21 + u22 x s < x < 1, x3 , u2 x2 , x6 + x4 > x4 , ó (u1 , u2 ) = u21 + u22 > x2 xm ó s r x3 , x2 + R2+ B ((0, 0) , xm ) = ế t ú t ó dg (0; y) tồ t ọ yR dg (0; y) = y < y > ữ K (C, x) = R ụ y > 0, t ó 0, y , ế m = 2, dm f (0; y) = y , , ế m = 3, (, ) , ế m > ó ỗ (0, 1) , ề ệ ú tứ 2+ dm f (0; y) / B (0, y m ) R ọ m y > ố q ệ ú m = ì < 1, ì dm f (0; y) ứ t , ò t ủ m ỗ t tr 2+ B (0, y m ) R ữ í ụ f = (f1 , f2 ) : R2 R2 g : R2 R ợ ị f (x1 , x2 ) := x21 + x2 , x21 x2 , g (x1 , x2 ) := |x2 | ét t tr ó S := (x1 , x2 ) R2 : g (x1 , x2 ) = |x2 | R+ = R2 D := R+ C := R2 ể x = (0, 0) t ể t ề t ột ự tể Prt ị = 1/2 U := B ( x, 1) ó S U \ { x} = R2 U \ { x} = (x1 , x2 ) : < x21 + x22 < (x1 , x2 ) S U \ { x} (h1 , h2 ) R2+ ; t ét trờ ợ ế x2 < tì x2 f (x1 , x2 ) + (h1 , h2 ) > ế x22 ó x1 + x22 = (x1 , x2 ) x ; < x2 < tì x2 f (x1 , x2 ) + (h1 , h2 ) > x21 + x22 |f1 (x1 , x2 ) + h1 | = x21 + x2 + h1 x22 ó x21 + x22 |f2 (x1 , x2 ) + h2 | = x21 x2 + h2 x1 + x22 = (x1 , x2 ) x ề ệ é t ú ú t ứ ề ệ ó dg ( x; (y1 , y2 )) = |y2 | < y2 = m = K (C, x) = R2 t t ỳ y = (y1 , y2 ) y2 = ó f1 (tv1 , tv2 ) t2 v12 + tv2 d f1 ( x; (y1 , y2 )) = lim sup = lim sup t2 t2 (t,v)(0+ ,y) (t,v)(0+ ,y) , ế y > 0, v2 2 = lim sup v1 + = , ế y2 < 0, t (t,v)(0+ ,y) f2 (tv1 , tv2 ) t2 v12 tv2 d f2 ( x; (y1 , y2 )) = lim sup = lim sup t2 t2 (t,v)(0+ ,y) (t,v)(0+ ,y) , ế y > 0, v2 2 = lim sup v1 = , ế y2 < t (t,v)(0+ ,y) ó (, ) , ế y > 0, 2 d f ( x; (y1 , y2 )) = (, ) , ế y2 < 0, tứ ú ì ó t tr ó t B (0, y m p+ )R ó tể ề ệ ủ tố ị ý t ề ề ệ ủ ợ t ể t ợ r ộ S tù ý ú t sử ó ề ệ ị ý sử X ế < x ột ể ợ ủ t m > tì p+ , y Kf (S, x) \ {0} f ( x; y) / R m S x tr(m, f, S) ế f tì S p+ , y K (S, x) \ {0} ( x; y) / R x tr(1, f, S) ứ ề ệ t max m fiS ( x; y) > 0, y Kf (S, x) \ {0} iI s tr ị í t s r x SStrL (m, f, S) ứ t tự r ị í tế t t sử ụ í ệ s ó ủ ó s D + g ( x) Dg(x) := cl cone (D + g ( x)) ì D t Dg(x) ột ó ó ị ý sử X < , sử dg ( x; y) tồ t ọ y X ế m x ột ể ợ ủ t p+ , y K (C, x) u X : dg ( f ( x; y) / R x; u) Dg(x) \ {0} tì x tr(m, f, S) ứ ụ ý tở ủ ị í tr sử ợ x / StrL (m, f, S) ó từ ị ĩ s r ỗ số xn S B ( x, 1/n) \ { x} dn = (dn,1 , , dn,p ) Rp+ f (xn ) f ( x) + dn B 0, xn x n n, tồ t s m ề t dn f (xn ) f ( x) m + xn x xn x m B 0, t tí t tổ qt t ó tể sử tụ ế ột t xn = x + tn ì v ớ ọ v n = í ệ tn xn S C = n := (xn x) / xn x xn x t ó tì tn v K (C, x) 0+ ộ dg ( x; v) tồ t g ( x + tn ) g ( x) n tn dg ( x; v) := lim ữ g ( x + tn ) = g (xn ) D ó g ( x + tn ) g ( x) cone (D g ( x)) Dg(x) , n tn ề ệ Dg(x) v K (C, x) , v = 1, tí ó ủ t ó v K (C, x) u X : dg ( x; u) Dg(x) \ {0} s r fi (xn ) fi ( x) dn,i + m xn x xn x lim n = 0, i I m ể tứ tr ó tể ết s lim n fi ( x + tn ) fi ( x) dn,i + m tm tn n s r ỗ m fi ( x; v) = 0, i I i, t ó lim inf n fi ( x + tn ) fi ( x) tm n fi ( x + tn ) fi ( x) dn,i dn,i + + lim inf n n tm tm tm n n n dn,i = lim inf m n tn p ề ệ dn R+ é t dn,i /tm s r n = lim m fi ( x; v) (i) ó m p+ f ( x; v) R ề t í ụ ét t tr ó f = (f1 , f2 ) : R R2 x sin , x sin x x f (x) := (0, 0) , , ợ ị ế ế x = 0, x = 0, t ợ ợ S := {x R : g (x) = |x| R+ , x R+ } = R+ D := R+, C sử := R+ g:RR ợ ị g (x) := |x| x = ọ y R, t ó dg (0; y) = |y| dg (0; y) Dg(0) = R+ õ r K (R+ , 0) = R+ ó K (R+ , 0) u R : dg ( x; u) Dg(0) = R+ ọ y R+ , t ó (0; y) = y, f1 (0; y) = y, df f2 (0; y) = 3y (0; y) = y, df ó f 2+ , y R+ \ {0} (0; y) = (y, y) / R ì ề ệ tỏ ữ ế t f (x) |f2 (x)| = x sin ó ề ệ ú = 1/2 tì > x, x S\ {0} = R+ \ {0} x m = U = R ề ó ó ĩ x = ột ự tể Prt t t ụ ột ý r í ụ tể qết sử ụ ị í tr ì f ọ (0; y) (0; y) = df y = ó df (0; ã) tồ t tr ủ ự tể Prt ị t ú t trì ột tí t tr ủ ự tể Prt ị t m t tố ụ t ó t ì ế ì ề t r ộ S tr ết q t tự ị í ự tể ị t tù ý ị ý sử X < , x S, dm f ( x; y) tồ t ọ y X ó ề ệ t x tr(m, f, S) t > s dm f ( x; y) / B (0, y m p+ , y K (S, x) \ {0} )R p+ , y K (S, x) \ {0} dm f ( x; y) / R ứ ể ứ C =S ó ú t ứ ủ ị í g ú ý r t t ế ề ó ợ ề ệ tự ò s ể y =0 tr ó ợ ị í ết trì ết q ứ ề ề ệ tố ự tể ị t ự tể Prt ị t ủ r trs ết q í ủ ệ A t ủ r ề ệ tố ự tể ị t ủ r ệ t tr t ủ trs ề ệ tố ự tể Prt ị t ủ trs ề ệ tố ự tể ị t ự tể Prt ị t ề t ợ ề t q t ứ ệ t sr tt tt rr t rt t r tr tt r tr qs r r rtr r t r trt rrs rs tt P r r rr qt str t tqs r t t r r rr s t tt t r tr tt rs r t t é trt tr tt t é trt t ts rt t t rr t r é rt tt ts r strt rs tt tt tt rts t tt r srr st tt ts r C 1,1 tt rs tt rss qss r trs r rr tt Prr rrr ssr st ts r strt Prt trs trss rts tt trs rrr ts r strt Prt trs r r r rt r ts t trs ssr st ts r st st ts tr t r r st s t ss r tr tt r rtrts strt ssr ts r sr t r r st tt s st tt tt r qtt tt s r tts