LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình song nghiêm túc thầy suốt trình làm luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà nội 2, Phòng sau đại học, thầy giáo giảng dạy chun nghành Tốn giải tích, Sở GD-ĐT Bắc Ninh, Trường THPT Lý NHân Tơng, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt q trình tác giả học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Nguyễn Văn Hùng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Nguyễn Văn Hùng Mục lục Mở đầu Chương HÀM KHẢ VI 1.1 Hàm khả vi từ R → R 1.2 Hàm khả vi từ Rn → R 1.2.1 Các định nghĩa tính chất 1.2.2 Các phép tính đạo hàm 12 1.3 Hàm khả vi từ Rn đến Rm 13 1.3.1 Các định nghĩa tính chất 13 1.3.2 Các phép tính đạo hàm 15 1.4 Ứng dụng 15 Chương JACOBIAN XẤP XỈ 17 2.1 Định nghĩa tính chất 17 2.2 Các phép tính Jacobian xấp xỉ 28 2.3 Jacobian xấp xỉ hàm vectơ 38 2.4 Hessian xấp xỉ 50 Chương ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 56 3.1 Bài toán tối ưu tổng quát 56 3.2 Các loại toán tối ưu 58 3.3 Bài tốn tối ưu khơng ràng buộc 59 3.4 Bài tốn tối ưu có ràng buộc 61 3.5 Điều kiện tối ưu cấp hai toán tối ưu vectơ 65 Tài liệu tham khảo 78 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vào nửa sau kỉ XVII, đồng thời độc lập, nhà toán học người Đức Leibniz nhà toán học người Anh Newton phát minh phép tính vi phân, cơng cụ đắc lực để giải nhiều tốn vật lý, học, hoá học, kỹ thuật, Nhưng phép tính vi phân mà Leipniz Newton phát minh áp dụng cho lớp hàm có tính chất tốt Một vấn đề đặt hàm khơng khả vi, đạo hàm chúng khơng tồn nên thay khái niệm đạo hàm khái niệm khác không? Đây vấn đề nghiên cứu nhiều nhà toán học vào nửa cuối kỷ thứ XX Từ mơn giải tích khơng trơn đời Mơn học giải toán lớp hàm khơng có đạo hàm theo nghĩa thơng thường cách đưa khái niệm vi phân khác để thay khái niệm đạo hàm, điểm cho trước hàm xấp xỉ họ hàm tuyến tính Nhờ mà giải tích không trơn đem lại nhiều kết sâu sắc lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, học lý thuyết điều khiển Trong năm gần nhiều nhà nghiên cứu giải tích khơng trơn cách tập trung phát triển vi phân suy rộng đảm bảo tính chất tốt điều kiện cần đủ tối ưu hàm không trơn như: F.H.Clarke, R.T.Rockafellar, B.D.Craven, D.Ralph B.M.Glover, V.F.Demyanov V.Jeyakumar, A.D.Loffe, B.S.Morduchovich Y.Shao, J.P.Penot, Đối với hàm lồi, có vi phân hàm lồi Lý thuyết vi phân hàm lồi công cụ việc giải toán cực trị liên quan tới hàm lồi Việc nghên cứu lớp hàm Lipschitz có tầm quan trọng đặc biệt lớp hàm gần với lớp hàm lồi hàm khả vi thông thường Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar D.T.Luc đưa khái niệm vi phân gọi Jacobian xấp xỉ Các khái niệm cho ta công cụ hữu ích để nghiên cứu tốn hàm liên tục có Jacobian xấp xỉ có phép tính tốt, tương ứng với phép tính đạo hàm thơng thường phép lấy tích, tổng, hợp, định lý giá trị trung bình, Đặc biệt, nhiều vi phân Jacobian xấp xỉ, ví vi phân hàm lồi, hàm Lipschitz nói nhiều vi phân khác Moduchovich, Michel-Penot, Treiman, Vì kết thu sử dụng Jacobian xấp xỉ cho hàm có vi phân theo nghĩa nhiều tác giả đưa Hơn nữa, khác với vi phân đề cập đến, Jacobian xấp xỉ tập đóng khơng thiết bị chặn lồi Nhờ tính khơng lồi khơng bị chặn mà ta dùng để đặc trưng số tính chất hàm liên tục tính Lipschitz địa phương, tính lồi, tính đơn điệu, Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ mở rộng, thống làm sâu sắc nhiều kết giải tích khơng trơn tối ưu hố Lý thuyết Jacobian xấp xỉ đề tài nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu kỹ lý thuyết Jacobian xấp xỉ, với giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Xn Tấn, tơi xin giới thiệu đề tài: “LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tập trung trình bày có hệ thống số kết Jacobian xấp xỉ hàm liên tục không gian hữu hạn chiều, trước hết hàm vơ hướng, sau hàm véctơ dựa sở kết mà V.Jeyakumar, D.T.Luc cộng nghiên cứu Lý thuyết tối ưu vô hướng véctơ phát triển mạnh thập niên cuối kỷ 20 đầu kỷ 21 ứng dụng vào nhiều lĩnh vực quan trọng toán học, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Trong năm gần đây, lý thuyết đề tài hấp dẫn nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu ứng dụng Người ta mở rộng kết thu cho trường hợp tổng quát trường hợp ánh xạ véctơ, ánh xạ đa trị không gian vô hạn chiều Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ ứng dụng - Sử dụng kết ý tưởng tác giả công bố tạp chí để hệ thống lại theo cách hiểu vận dụng trường hợp ứng dụng vào tốn khơng trơn thực tế - Ln ln gắn tốn vào lĩnh vực ứng dụng lý thuyết tối ưu, điều khiển tối ưu liên quan tới hàm khơng trơn, để tìm kết lĩnh vực Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Trước hết tìm hiểu thật kỹ kiến thức thuộc lĩnh vực giải tích đại liên quan tới hàm véctơ giải tích đa trị, đặc biệt tính chất hàm có Jacobian xấp xỉ - Sử dụng tính chất khác Jacobian xấp xỉ để tìm điều kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm toán tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ đưa ứng dụng toán thực tế - Phân tích đặc thù riêng loại tốn để tìm phương pháp khác cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ Ứng dụng toán tối ưu Jacobian xấp xỉ vào số toán khác lý thuyết tối ưu toán điểm cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân Phương pháp nghiên cứu Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục phục vụ cho mục đích nghiên cứu Những đóng góp đề tài - Hoàn thành luận văn đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ ứng dụng, dày khoảng 80 trang - Tìm ứng dụng có ý nghĩa lý thuyết tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ - Làm rõ, hệ thống kiên thức hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng dụng Jacobian xấp xỉ Chương HÀM KHẢ VI Trong khoảng ba thập kỷ vừa qua, lý thuyết tối ưu thay đổi phát triển nhanh chóng nhằm giải kịp thời toán thường gặp thực tế quy dạng f (x), D tập x∈D khơng gian Rn f hàm số xác định tập chứa D Một lớp hàm số quan trọng loại toán hàm khả vi Hàm khả vi từ R → R 1.1 Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R Định nghĩa 1.1.1 Hàm f gọi khả vi điểm c ∈ (a, b) tồn giới hạn Số lim −f (c) h→0 f (c+h) lim f (c + h) − f ( c) h h→0 , gọi đạo hàm hàm f c, kí hiệu f / (c) h Định nghĩa 1.1.2 Nếu hàm f khả vi điểm x ∈ (a, b) ta nói f khả vi (a, b) 1.2 Hàm khả vi từ Rn → R 1.2.1 Các định nghĩa tính chất Cho U tập mở Rn, hàm f : U → R, a = (a1, a2, , an) ∈ U Ta kí hiệu L (Rn, R) khơng gian hàm tuyến tính liên tục từ Rn vào R Định nghĩa 1.2.1 Hàm f gọi khả vi điểm a tồn hàm tuyến tính liên tục L ∈ L (Rn, R) cho f (a + h) − f (a) = L (h) + ε (h) "h" , h = (h1, h2, , hn) ∈ Rn, ε (h) → h → Hàm tuyến tính L gọi đạo hàm f a, kí hiệu f /(a) hay Df (a) Hàm f gọi khả vi U khả vi điểm x ∈ U Từ định nghĩa ta chứng minh định lí sau Định lí 1.2.1 Nếu f khả vi a đạo hàm tương ứng xác định Định lí 1.2.2 Nếu f khả vi a f liên tục a Định nghĩa 1.2.2 Ta nói f khả vi theo hướng v ∈ Rn a tồn giới hạn lim f (a + tv) − f (a) t t↓0 Khi giới hạn gọi đạo hàm hàm f theo hướng v a, kí hiệu f /(a, v) Trong trường hợp đặc biệt v vectơ sở tắc {e1, e2, , en} khơng gian Rn ta có khái niệm sau: Định nghĩa 1.2.3 Nếu f /(a, ei) tồn gọi đạo hàm riêng thứ i hàm f a, hay đạo hàm riêng theo biến xi hàm f a kí ∂f hiệu (a) hay Dif (a) (a) ∂ x i / x f i Ta có mối quan hệ đạo hàm, đạo hàm riêng đạo hàm theo hướng sau: Định lí 1.2.3 Nếu hàm f khả vi a f có đạo hàm riêng theo biến a (a) h , h = (h f ∂f (a) (h) = n / , h , , h i=1 ) ∈ Rn n ∂xi i Từ định lí ta suy f /(a) hàm tuyến tính xác định ∂f ma trận ∂ x (a) , ∂f 10 (a) , ∂f , (a) xem f (a) vectơ không gian Rn gọi vectơ gradient f a, thường kí hiệu ∇f (a) ∂xn ∂ x / (ξ, ∇f (x0) (u)) > ii) Tồn δ > cho, với v ∈ Dδ (x0), u ∈ T1 (D, x0), ta có (ξ0, ∇f (x0) (v)) ≥ 0, với ξ0 thuộc Λ, (ξ, M (u, u)) > 0, với ξ ∈ Λ, M ∈ co∂2f (x0) ∪ co∂2f (x0) \ {0} ∞ Chứng minh: Giả sử ngược lại, x0 không nghiệm hữu hiệu địa phương (P) Khi đó, tồn xi ∈ D, xi → x0, cho f (xi) − f (x0) ∈ −C Ta giả thiết xi − x0 u∈ T "xi − x0" → (D, x (3.6) ) , khii → ∞ Bằng cách chia (3.6) cho "xi − x0" chuyển qua giới hạn, ta suy ∇f (x0) (u) ∈ −C Điều mâu thuẫn với i) Điều kiện đủ thứ chứng minh Xét điều kiện đủ thứ hai Với ε > cho trước, áp dụng khai triển Taylor, ta tìm Mi ∈ co ∂2f (x0) + 2εB cho f (xi) − f (x0) = ∇f (x0) (x − x0) + Mi (xi − x0, xi − x0) (3.7) Từ bất đẳng thức thứ ii), ta có c ∇f (x0) (xi − x0) ∈ (−intC) , với i đủ lớn Với i tồn ξi ∈ Λ cho (ξi, ∇f (x0) (xi − x0)) ≥ Từ (3.6) suy (3.8) (ξi, f (xi) − f (x0)) ≤ 70 Kết hợp (3.7) (3.8), ta (ξi, Mi (xi − x0, xi − x0)) ≤ 0, với i đủ lớn Hơn nữa, Λ compact, ta giả thiết ξi → ξ ∈ Λ Xét trường hợp {Mi} Định lí 3.5.1, ta suy (ξ, M (u, u)) ≤ 0, với M thu ộ c co∂ f (x ) co∂2f \ {0} Điều mâu ∪0 (x0) ∞ thuẫn với giả thiết ii) Định lí chứng minh Định lí 3.5.3 Cho f hàm khả vi liên tục với ∂ f, Hessian xấp xỉ f Nếu tồn δ > cho, với v ∈ Dδ (x0), (ξ0, ∇f (x0) (v)) ≥ 0, với ξ0 ∈ Λ (ξ, M (v, v)) ≥ 0, với ξ ∈ Λ, M ∈ ∂2f (x), với "x − x0" < δ, x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) Chứng minh: Giả sử x0 không nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) Khi đó, tồn x ∈ D, với "x − x0" ≤ δ, cho f (x) − f (x0) ∈ −intC (3.9) Lấy v = x − x0, ta suy v ∈ Dδ (x0) Từ bất đẳng thức ta khẳng định c ∇f (x0) (v) ∈ (−intC) , M (v, v) ∈ C, với M ∈ ∂2f (x), "x − x0" < δ Vì C nón lồi, đóng, nên từ bao hàm thức ta kết luận co∂2f (x) ⊆ C Và khai triển Taylor cho ta 71 f (x) − f (x0) ∈ ∇f (x0) (v) + co ∂ f [x0, x] (v, v) c c ⊆ (−intC) + C ⊆ (−intC) Điều trái với (3.9) Định lí chứng minh Xét tốn tối ưu có ràng buộc f (x), (CP) x∈D với D tập ràng buộc D = {x ∈ Rn| g(x) ≤ 0, h(x) = 0} g : Rn → Rk, h : Rn → Rl ánh xạ cho trước Với ξ ∈ C / , β ∈ Rk, γ ∈ Rl, hàm Lagrange xác định: L (x, ξ, β, γ) = (ξ, f (x)) + (β, g(x)) + (γ, h(x)) Đặt D0 = x ∈ Rn : gi(x) = 0, βi > 0, gi(x) ≤ 0, βi = 0; h(x) = Với (ξ, β, γ) cho trước, ta viết L(x) thay cho L (x, ξ, β, γ) ∇L gradient L (., ξ, β, γ) theo biến x Ta có điều kiện cần cấp hai sau Định lí 3.5.4 Giả sử f, g, h hàm khả vi liên tục, C nón đa diện lồi, ∂2L, Hessian xấp xỉ L nửa liên tục x0 Nếu x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CP), tồn vectơ khác khơng (ξ0, β, γ) ∈ C / × Rk +× Rl cho ∇L (x0, ξ0, β, γ) = với (u, v) ∈ T2 (D0, x0), tồn ξ ∈ Λ cho ∇L (x0, ξ, β, γ) (u) ≥ Trong trường hợp ∇L (x0, ξ, β, γ) (u) = 0, ta có ∇L (x0, ξ, β, γ) (v) + M (u, u) ≥ 0, với M thuộc co∂2L (x0, ξ, β, γ), M∗ (u, u) ≥ 0, với M∗ thuộc co∂ L (x0, ξ, β, γ) \ {0} ∞ Chứng minh: Ta dễ dàng thấy rằng, với nón lồi đóng, có phần khác rỗng C x0 nghiệm hữu hiệu yếu toán (CP), tồn (ξ0, β, γ) để ∇L (x0, ξ0, β, γ) = Lấy (u, v) ∈ T2 (D0, x0) xi = x0 + tiv + 2 ti v + o ti ∈ D0, với ti > 0, i → ∞ Vì x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (CP), nên tồn i0 ≥ cho c f (xi) − f (x0) ∈ (−intC) , với i ≥ i0 Hơn nữa, C đa diện, nên tồn ξ ∈ Λ cho (ξ, f (xi) − f (x0)) ≥ (3.10) với i đủ lớn Ta giả thiết điều với i ≥ i0 Vì ∂2 L nửa liên tục x0, với ε > tùy ý cho trước, áp dụng khai triển Taylor cho L ta tìm Mi ∈ co∂2L (x0) + 2εB cho L(xi) − L(x0) = ∇L(x0) (xi − x0) + − x0 ) , với i đủ lớn Thay biểu thức xi − x0 = t i u + 2 Mi (xi − x0, xi ti v + o t i vào đẳng thức sử dụng bất đẳng thức (3.10), ta t2i ≤ ti∇L(x0) (u) (∇L(x0) (v) + Mi (u, u)) + αi, + 1 2 αi = Mi ti v + o ti , tiu + 2 ti v + o ti + 1Mi 12 tiu t v + o , t2 + ∇L(x0) o t2 i i 2 i Chia bất đẳng thức cho ti lấy giới hạn ti → 0, ta ∇L(x0) (u) ≥ Khi ∇L(x0) (u) = 0, từ bất đẳng thức trên, ta có αi ≤ ∇L(x0) (v) + Mi (u, u) + ti Bằng cách lập luận tương tự Định lí 3.5.1, ta chứng minh bất đẳng thức lại Định lí chứng minh Ta có điều kiện đủ sau cho tốn có ràng buộc Định lí 3.5.5 Giả sử f, g, h hàm khả vi liên tục và, với u ∈ T1 (D, x0) \ {0}, tồn (ξ, β, γ) ∈ × Rl cho + Λ × Rk ∇L (x0, ξ0, β, γ) = 0, (β, g(x0)) = 0, \ {0} , M (u, u) > 0, với M ∈ co∂2L(x0) ∪ co∂2L(x0) ∞ ∂2L, Hessian xấp xỉ L, nửa liên tục x0 Khi đó, x0 nghiệm hữu hiệu địa phương (CP) Chứng minh: Nếu x0 không nghiệm hữu hiệu địa phương (CP), tồn xi ∈ D, xi → 0, cho f (xi) − f (x0) ∈ −C Ta giả thiết Từ suy xi − x0 "xi − x0" → u∈ T1 (D, x0) L (xi) − L (x0) ≤ 0, với i ≥ Sử dụng khai triển Taylor cho L tính nửa liên tục ∂2L, ta L (xi) − L (x0) − ∇L(x0) (xi − x0) ∈ co∂ L [x0, xi] (xi − x0, xi − co ∂ x ) L (x0) + "xi − x0" B (xi − x0, xi − x0) , ⊆2 với i đủ lớn Hệ thức chứng tỏ Mi (xi − x0, xi − x0) ≤ 0, vớ i Mi ∈ co∂2L (x0) + "xi − x0" B i đủ lớn Bằng cách lập luận tương tự chứng minh định lí 3.5.1, ta suy tồn ma trận cho M ∈ co∂2L(x0) ∪ co∂2L(x0) \ {0} ∞ M (u, u) ≤ Điều trái với giả thiết Ta có định lí chứng minh Định lí 3.5.6 Giả sử f, g, h khả vi liên tục tồn δ > cho với v ∈ Dδ (x0), tồn vectơ (ξ, β, γ) ∈ Λ × × Rl Hessian xấp xỉ + Rk ∂2L (., ξ, β, γ) L để ∇L(x0, ξ, β, γ) = 0, (β, g(x0)) = 0, M (u, u) ≥ 0, với M ∈ ∂2L (x, ξ, β, γ) , "xi − x0" ≤ δ Khi ấy, x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CP) Định lí chứng minh tương tự định lí 3.5.2 Trong phần cuối mục ta đưa ví dụ minh họa cho Định lí 3.5.4 điều kiện cần tốn tối ưu có ràng buộc Các định lí khác điều kiện đủ xây dựng tương tự Xét toán tối ưu hai mục tiêu sau: s.t.−x2+y4≤0 x, x − y4 Không gian R2 thứ tự phần nón R+2 Ta thấy (0, 0) nghiệm hữu hiệu địa phương toán Lấy ξ0 = (0, 1) β = 1, hàm Lagrange toán L ((x, y) , ξ0, β) = x Từ suy 4 − y − x + y4 = x − x2 L ((0, 0) , ξ0, β) = (0, 0) Và tập D0 xác định: D0 = (x, y) ∈ R2 : x2 = y4 Lấy u = (0, 1) v = (−2, 0) Hiển nhiên (u, v) ∈ T2 (D0, (0, 0)) Như vậy, theo định lí 3.5.4, tồn ξ = (ξ1, ξ2) ∈ R2 , với "ξ" = + 1, cho ∇L ((0, 0) , ξ, β) (u) ≥ Bằng tính tốn ta có ∇L ((0, 0) , ξ, β) = (ξ1, 0) , ∇L ((0, 0) , ξ, β) (u) = Như vậy, kết luận Hơn nữa, bất đẳng thức xảy dấu bằng, nên tồn M ∈ co∂2L (0, 0), co∂2L(x0) \ {0} ∗ ∈ ∞ M thỏa mãn kết luận lại định lí 3.5.4 Với ξ trên, ta chọn ξ2 > định nghĩa ∂2L (x, y) = ξ 2x −3 , với x = −2 12 (1 − ξ2) y2 ∂ L (0, y) = ξ α−2 0 ƒ 12 (1 − ξ2) y2 α− , với α ≥ ξ2 Khi ánh xạ đa trị (x, y) → ∂2 L (x, y) ánh xạ Hessian xấp xỉ L nửa liên tục (0,0) Hơn nữa, với M ∈ co∂2L (0, 0), ta có: ∇L (0, 0) (v) + M (u, u) = −2ξ1 − α < Như vậy, bất đẳng thức thứ điều kiện cấp hai định lí khơng Do ∂ L (0, 0) = ξ2α − , với α ≥ , ξ2 −α nên nón lùi xa ∂2 L (0, 0) xác định bởi: ∂ L (0, α0 = ,α≥0 0) 0 ∞ Lấ y M∗ = ∈ co∂ 0 L (0, 0) \ {0} , ∞ ta có M∗ (u, u) ≥ Như vậy, điều kiện lại định lí KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết Jacobian xấp xỉ hàm liên tục không gian hữu hạn chiều Sử dụng Jacobian xấp xỉ ta xây dựng số kiện cần đủ cấp hai cho toán tối ưu hàm vectơ khả vi liên tục khơng gian hữu hạn chiều Có thể nói Jacobian xấp xỉ công cụ hữu hiệu ứng dụng toán tối ưu.Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ mở rộng, thống làm sâu sắc nhiều kết giải tích khơng trơn tối ưu hố Tuy nhiên, ngồi vấn đề đề cập luận văn, Jacobian xấp xỉ dùng số khía cạnh khác, dùng Jacobian xấp xỉ đặc trưng cho tính tựa lồi, tính lồi, tính đơn điệu hàm liên tục.Và nhiều câu hỏi đặt Jacobian xấp xỉ, chẳng hạn mở rộng khái niệm kết có khơng gian vơ hạn chiều khơng? Đó vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Tài liệu tham khảo [1] D.V.Luu(1999), Lý thuyết điều kiện tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội [2] L.D.Muu(1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội [3] F.H.Clarke(1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, NewYork [4] R.T.Rockafellar(1970), Convex Analysis, Printon University Press, Princeton, NewYork [5] V.Jeyakumar and D.T.Luc (1998),“Approximate Jacobian Matrices for Nonsmooth Continous Maps and C1-Optimization ”, SIAM J.control Optimization, 36, 1815-1832 [6] V.Jeyakumar and D.T.Luc (1999), “Nonsmooth Calculus, Minimality and Monotonicity of Convexificators ”, J.Optimization Theory Appl, 101, 599-621 [7] V.Jeyakumar and D.T.Luc(2010), Nonsmooth vector functions and continuous optimization, Springer, New York ... khoảng 80 trang - Tìm ứng dụng có ý nghĩa lý thuyết tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ - Làm rõ, hệ thống kiên thức hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng dụng Jacobian xấp xỉ Chương HÀM KHẢ... riêng loại tốn để tìm phương pháp khác cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ Ứng dụng toán tối ưu Jacobian xấp xỉ vào số toán khác lý thuyết tối ưu toán điểm cân bằng, toán bất đẳng thức... cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ ứng dụng - Sử dụng kết ý tưởng tác giả cơng bố tạp chí để hệ thống lại theo cách hiểu vận dụng trường hợp ứng dụng vào tốn khơng trơn thực tế - Ln ln gắn tốn vào