Tổng hợp kiến thức môn toán 9 bằng sơ đồ tư duy

2 0 tan 0 3 cot 3 1 3 Trực Tâm: Giao 3 đường cao Trọng Tâm: Giao 3 đường trung tuyến Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao 3 đường trung trực Tâm đường tròn nội tiếp: Giao 3 đường phân giác

v Hằng đẳng thức đáng nhớ

1 a2 b2 (ab)(ab)

2ab b a

b

2ab b a

A2 

B A

B A C

B A

B A C B A

B A C B

Biến đổi căn thức

ab 

4 Với b0, ta có

3

3 3

b

a b

KIẾN THỨC CĂN BẢN CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế -

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế -

ĐT: 0935555826 – Fb: https://www.facebook.com/thayphamnguyen

BÀI TOÁN

RÚT GỌN

Quy đồng mẫu

Phân tích tử và mẫu thành nhân

tử (rồi rút gọn nếu được)

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng các hằng đẳng thức

Chọn mẫu chung : tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất

Tìm nhân tử phụ : lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng

Nhân : tử số của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng vừa tìm được ở trên

Giữ nguyên mẫu chung

Tìm điều kiện xác định của biểu

thức: tìm tập xác định của từng phân thức rồi kết luận lại

Thu gọn: cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên)

Rút gọn

BÀI TOÁN LIÊN

Là hàm số bậc nhất khi Có đồ thị là đường thẳng đia qua (0;b) và (1;a+b)

Hàm hằng khi , có đồ thị là đường thẳng song song Ox và đi qua điểm (0;b)

Đồ thị hàm số

Điểm thuộc đồ thị

Gọi ptđt cần tìm là (d)

*Cho hai điểm : và

2 M là trung điểm của AB với

Đi qua điểm và

có hệ số góc là

Biết hệ số b và đi qua điểm

và

PTĐT

Đã có b

PTĐT

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT HAI ẨN

Nghiệm của hệ là nghiệm chung của cả hai phương trình (1) và (2)

Phương trình (1) có đồ thị là đường thẳng d 1 : với ( )

Phương trình (2) có đồ thị là đường thẳng d 2 : với ( )

Giải hệ bằng Phương pháp thế

Giải hệ bằng Phương pháp cộng đại số

Số nghiệm của

hệ là số giao điểm của hai đường thẳng d 1

Bước 1: Chọn PT dễ nhất của hệ (thường là pt có hệ

số đơn giản) Biểu diễn ẩn này theo ẩn kia Rồi thế vào phương trình còn lại

Bước 2: Hệ phương trình mới tương đương gồm phương trình đã thay ẩn, và 1 phương trình đơn giản của hệ ban đầu) Giải hệ phương trình

Bước 1: Xác định ẩn (x hoặc y,…) bạn muốn khử (loại bỏ) Xem xét hệ số đứng trước ẩn đó ở cả hai phương trình của hệ Rồi nhân thêm hệ số sao cho hệ số của chúng bằng nhau (không quan tâm dấu)

Bước 2: Cộng vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai phương trình trái dấu, và trừ vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai phương trình cùng dấu

Bước 3: Hệ gồm phương trình mới và một phương trình đơn giản của hệ ban đầu Giải hệ phương trình

PT (1) có hai nghiệm phân biệt

PT (1) có nghiệm kép

PT (1) vô nghiệm

Có đỉnh là O(0;0), có trục đối xứng là Oy

Đi qua các điểm : kẻ bảng giá trị

Đồ thị là đường thẳng (d)

Đi qua 2 điểm (có thể cho 2 điểm tuỳ ý khác nhau là được chứ không

nhất thiết phải cắt Ox, Oy): A(0 ;b) và B

-y 2

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế -

2.Nếu PT (*) có: thì nó có nghiệm và nghiệm còn lại là

3 Nếu PT (*) có: thì nó có nghiệm và nghiệm còn lại là

PT (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

PT (*) có 2 nghiệm âm phân biệt

PT (*) có 2 nghiệm đối nhau

PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

Nếu

Nếu (loại do không thoả điều kiện )

Giải phương trình (2)

Tìm điều kiện xác định (cho mẫu khác 0) Quy đồng mẫu 2 vế - Khử mẫu

Giải phương trình vừa nhận được Loại các giá trị không thoả mãn Kết luận

Thay t vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế -

Đặt: với điều kiện

PT (1)

có 2 nghiệm phân biệt

PT (1)

có 3 nghiệm phân biệt

PT (1)

có 4 nghiệm phân biệt

PT (2)

có 2 nghiệm phân biệt dương

Dùng bất đẳng thức Cauchy (Côsi): với hai số không âm x, y bất kỳ ta

luôn có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Nếu a < 0 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là

khi

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế -

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG

CÁCH LẬP PHƯƠNG

TRÌNH, HỆ PHƯƠNG

TRÌNH

Bước 1 : Lập phương trình, hệ phương trình

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Đặt ẩn (đơn vị và điều kiện cho ẩn)

Biểu diễn các đại lương chưa biết qua

ẩn Dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng

để lập ra phương trình, hệ phương trình

Dạng toán chuyển động

Dạng toán về năng suất lao động

Dạng toán làm chung làm riêng – vòi nước chảy chung chảy riêng

Dạng toán sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hoá,…)

Dạng toán tìm số

Dạng toán liên quan tỉ số phần trăm %

Dạng toán có nội dung hình học

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế -

Nếu trong 1 giờ đối tượng A làm được , đối tượng B làm được

công việc thì lượng công việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là công việc

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế -

n là số lượng hàng hóa phân phối cho mỗi xe, x là số xe chở hàng, N là tổng số

hàng hóa trong kho (hoặc tổng lượng hàng hóa cần chở)

Ta có:

Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng (đơn vị) trong một số Ví dụ:

Chú ý các kết quả sau: n% của A nghĩa là ( )

Ví dụ 15% của 900 là:

Giá trị đại lượng A tăng lên n% thì được giá trị mới là: Ví dụ: Tháng giêng công ty may được 5000 sản phẩm Tháng hai tổng sản phẩm tăng 20% so với tháng trước Vậy số sản phẩm công ty sản xuất được trong

Ví dụ: tổng sản phẩm của công ty thứ hai bằng 80% tổng sản phẩm của công

ty thứ nhất Biết tổng sản phẩm của công ty thứ nhất là 4500sp Ta suy ra, công ty thứ hai làm được số sản phẩm là: Tổng sản phẩm cty 2 =

Dạng toán có nội dung hình học

Đối với loại này các em cần nắm vững các công thức tính chu vi, diện tích của các hình đa giác đặc biệt, định lý phytago và các hệ thức lượng trong tam giác,…

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN - Đ/c: 122 Kiệt 131 Trần Phú, Tp Huế -

2 0 tan 0 3

cot 3 1 3

Trực Tâm: Giao 3 đường cao

Trọng Tâm: Giao 3 đường trung tuyến

Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao 3 đường trung trực

Tâm đường tròn nội tiếp: Giao 3 đường phân giác trong

TAM

GIÁC

Điểm đặc biệt

Góc bằng nhau

Góc có cạnh tương ứng vuông góc

Góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng /bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau – Đồng dạng

Cạnh – góc – cạnh Góc – cạnh – góc Cạnh – cạnh – cạnh Tam giác vuông có cạnh huyền – góc nhọn

; ; ; ; ; ;

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

;

“Sin đ i h ọc, Cos k hông h ư, Tan đ oàn k ết, Cot k ết đ oàn”

Với góc nhọn , ta luôn có:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam

Một số công thức cần nhớ:

Một số hệ thức cần nhớ

có AD là phân giác trong góc A ;

và AE là phân giác ngoài góc A Phân giác

Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc cạnh đối diện

Độ dài đường cao cũng là khoảng cách từ đỉnh đến cạnh đối diện Điểm giao của đường cao và cạnh gọi là hình chiếu của đỉnh trên cạnh đó Đường cao

Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh trong tam giác

Song song và bằng nữa cạnh còn lại

Đường trung bình

Giao của 3 đường trung tuyến

G là trọng tâm của , AM là trung tuyến Trọng tâm

Giao của 3 đường cao Trực tâm

A

Giao 3 đường trung trực của tam giác

O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Tâm đường tròn ngoại tiếp

Giao 3 đường phân giác trong của tam giác

I là tâm đường tròn nội tiếp

Tâm đường tròn nội tiếp

ABCD

S  AB CD DH Hình vuông ABCD cạnh a

2

.1.BD2

S = cạnh đáy x chiều cao

Tam giác ABC đều cạnh a

Các dạng toán CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Các dạng toán quỹ tích

Các dạng toán bất đẳng thức

Tam giác cân

Tam giác đều

Tam giác vuông cân

Quỹ tích là đường thẳng

Quỹ tích là đường tròn Tính góc

PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 FB: https://www.facebook.com/thayphamnguyen

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT

Tam giác cân

Hình bình hành

Hình vuông

Tam giác có 2 cạnh bằng nhau Tam giác có 2 góc bằng nhau Tam giác có đường cao vừa là trung tuyến, vừa là phân giác,…

Hình chữ nhật

Hình thoi

Tam giác đều

Tam giác vuông cân

Hình thang cân

Tam giác có 3 cạnh bằng nhau Tam giác có 3 góc bằng nhau Tam giác có 2 góc bằng 600Tam giác cân có 1 góc bằng 600

Tam giác vuông có 2 cạnh bằng nhau Tam giác vuông có 1 góc bằng 450

Tam giác có 2 góc bằng 450

Tứ giác có các cạnh đối song song

Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và =

Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Tứ giác có các góc đối bằng nhau

Hình thang cân có 1 góc vuông

Tứ giác có 3 góc vuông

Hình bình hành có 2 đường chéo = Hình bình hành có 1 góc vuông

Hình chữ nhật có 2 đường chéo Hình chữ nhật có 2 cạnh kề =

Hình thoi có 1 góc vuông Hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác

Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau

PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 FB: https://www.facebook.com/thayphamnguyen

2 ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

Hai đoạn thằng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba

Hai cạnh bên của tam giác cân (hoặc hình thang cân) Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau

Hai cạnh đối của hình bình hành (hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông)

Hai dây căng hai cung bằng nhau trong một đường tròn (hoặc hai đường tròn bằng nhau)

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành

Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường

Sử dụng tính chất đường trung trực

Sử dụng tính chất đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi

Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm

Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một biểu thức

2 GÓC BẰNG NHAU

Hai góc so le trong, so le ngoài, đồng

vị của hai đường thẳng song song thì bằng nhau

Hai góc ở vị trí đối đỉnh

Hai góc ở đáy của tam giác cân ( hoặc tam giác đều)

Hai góc tương ứng của hai tam giác

bằng nhau hoặc đồng dạng

Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung

hoặc hai cung bằng nhau

Góc tạo bởi tiếp tuyến + dây cung và góc nội tiếp chắn dây cung đó

Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba

Chứng minh hai góc cùng phụ, hoặc cùng bù một góc

Là hai góc ở đáy của hình thang cân

Là hai góc đối của hình bình hành

Chứng minh góc A=A’ và B=B’

mà A’=B’ thì góc A=B

Hai góc bằng tổng hoặc hiệu hai góc theo

thứ tự đôi một bằng nhau A

= B

C = D E = A ± C

F = B ± D

⟹ E = F

Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

2 TAM GIÁC THƯỜNG

2 TAM GIÁC VUÔNG

HAI TAM

GIÁC BẰNG

NHAU

Có 3 cặp cạnh đôi một bằng nhau (c-c-c)

Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau (c-g-c)

Một cặp cạnh bằng nhau kề giữa hai cặp góc bằng nhau (g-c-g)

Cạnh huyền góc nhọn tương ứng bằng nhau

Cạnh huyền cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau

2 TAM GIÁC THƯỜNG

2 TAM GIÁC VUÔNG

HAI TAM

GIÁC ĐỒNG

DẠNG

Có hai cặp góc tương ứng bằng nhau

Có một cặp góc bằng nhau, xem giữa hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

Có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

Có một cặp góc nhọn bằng nhau

Có hai cạnh góc vuông tưng ứng tỉ lệ

Hình 1b

Hình 3a

Hình 3b Hình 4

5 Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ

ba thì song song với nhau

6 Tính chất cạnh đối của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

7 Sử dụng định lý Talet đảo

Sử dụng định nghĩa đường trung trực :

MN là trung trực của AB

Chứng minh đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại :

Tam giác có tổng hai góc bằng 90 0 thì góc còn lại bằng 90 0

Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau

Đường trung tuyến (phân giác) trong tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông cân

Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông

Tính chất trực tâm của tam giác

Hai đường chéo của hình vuông hoặc hình thoi thì vuông góc với nhau Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 90 0

Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung

Sử dụng tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 FACEBOOK: https://www.facebook.com/thayphamnguyen

Chứng minh AB, AC cùng song song với một đường thẳng

Chứng minh BA, BC cùng vuông góc với một đường thẳng

Chứng minh 3 điểm đó tạo thành một góc bẹt ( =1800)

Chứng minh A,B,C thuộc cùng một đường nào đó (trung trực, đường cao, trung tuyến, phân giác,…)

Chứng minh AB, AC là hai tia trùng nhau

3 ĐIỂM THẲNG

HÀNG

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, chỉ có một tia

OA sao cho góc xOA=m0 Vậy nếu có góc xOB=m0 thì suy

ra O, A, B thẳng hàng

Chứng minh đó là 3 đường trung tuyến, 3 đường cao, 3 đường trung trực, 3 đường phân giác trong (hoặc một phân giác trong và hai phân giác ngoài của hai góc còn lại trong một tam giác)

Trực tâm H

Tâm đường tròn nội tiếp

I

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 (hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp) Hình 1

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn xuống một cạnh (chứa 2 đỉnh còn lại) dưới góc bằng nhau Hình 2

Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện Hình 3

Tứ giác có 4 đỉnh cùng cách đều một điểm (mà điểm đó có thể xác định được) Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Hình 4

Trường hợp đặc biệt:

(Khi áp dụng cần phải chứng minh)

1.Nếu hai cạnh đối của tứ giác AB và

DC cắt nhau tại M thoả mãn:

ta có thể chứng minh :

Tứ giác ABCD nội tiếp

2.Nếu hai đường chéo của tứ giác AC và

BD cắt nhau tại P thoả mãn :

Hình 2

PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826

Facebook:

https://www.facebook.com/thayphamnguyen

CHƯƠNG

2:

ĐƯỜNG

TRÒN (tt)

Vị trí tương đối của hai đường tròn

(O;R) và (O’; r) với (R > r)

Số điểm chung

Hệ thức giữa OO’ với R và

Hai đường tròn không giao nhau:

+ (O) và (O’) ở ngoài nhau

+ (O) đựng (O’)

+ (O) và (O’) đồng tâm

OO’ < R – r OO’ = 0

Vị trí tương đối của 2 đường tròn

2 Đường tròn cắt nhau 2 Đường tròn tiếp xúc

2 Đường tròn ngoài nhau 2 Đường tròn tiếp xúc trong

Góc ở tâm Góc nội tiếp Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Góc ở bên trong và góc ở bên ngoài đường tròn

Ngoài ra diện tích quạt tròn có số đo

n0, với độ dài cung tròn của quạt là l:

b Bán kình đường tròn ngoại tiếp tam giác:

(áp dụng tương tự cho đường tròn bàng tiếp góc B, góc C)

2 Đối với đa giác đều n cạnh có độ dài bằng a Gọi R là độ dài đường tròn ngoại tiếp đa giác, r là độ dài đường tròn nội tiếp đa giác: 0

180

2 sin

a R

3 Tam giác ABC vuông tại A:

Đường tròn ngoại tiếp có

2

BC

R , có tâm là trung điểm BC

Đường tròn nội tiếp có

2

4 Tam giác đều ABC cạnh a:

Đường tròn ngoại tiếp có

PHẠM NGUYÊN - ĐT: 0935555826 FB: https://www.facebook.com/thayphamnguyen

số đo không đổi

Tích hai đoạn thẳng có số đo không đổi

Gắn vào hai tam giác đồng dạng

Sử dụng định lý Talet, hệ quả định lý Talet

Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lập hai tỉ số: hoặc từ tích

rồi chứng minh chúng cùng bằng một tỉ lệ thức thứ ba

Xác định các yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi

Chuyển về bài toán chứng minh cơ bản đã biết

Độ dài các đoạn thẳng trong tích có thể thay đổi, nhưng tích của chúng luôn không đổi

Thực chất đây là bài toán chứng minh tỉ lệ thức, quy về dạng 1 ở trên

LỚP TOÁN THẦY NGUYÊN

Tính diện tích, chu vi các hình

Gắn vào giải tam giác vuông (Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)

Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 1800

Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 900

Tính chất các góc trong đường tròn (góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung, góc ở trong đường tròn, góc ở ngoài đường tròn)

Hai góc bằng nhau Ta tính được số đo góc này khi đã biết số đo góc kia

Gắn vào giải tam giác vuông (Phytago, các hệ thức lượng)

Áp dụng tính chất đường trung tuyến (trong tam giác vuông, trong tam giác thường)

CHÚ Ý:

- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ

số đồng dạng

- Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

- Hai tam giác có chung đường cao, thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạnh đáy tương ứng Hai tam giác có chung cạnh đáy thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng

Gắn vào các tỉ lệ thức đã chứng minh

Dựa vào công thức Chuyển về bài toán tính độ dài các đoạn thẳng

Có thể phân chia hình cần tính thành các hình đơn giản hơn