BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRỊNH THỊ LỆ XUÂN TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRỊNH THỊ LỆ XUÂN TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận, nhận quan tâm, động viên, khích lệ thầy cô tổ giải tích nói riêng khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung với hỗ trợ, giúp đỡ bạn sinh viên Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô tận tình giúp đỡ bốn năm học vừa qua tạo điều kiện để hoàn thành khóa luận Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sấu sắc đến thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ suốt trình thực khóa luận Do hạn chế trình độ thời gian nên vấn đề trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận giúp đỡ góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Trịnh Thị Lệ Xuân Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp tôi, hình thành hướng dẫn thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu tham khảo kế thừa thành nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Tôi xin cam đoan nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu riêng thân, trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, Ngày tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Trịnh Thị Lệ Xuân Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Bảng kí hiệu Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Tập lồi 1.1.3 Nón lồi 1.1.4 Toán tử Fredholm 1.1.5 Khả vi Gâteaux 1.2 Điểm tụ 1.3 Hàm lồi 1.3.1 Định nghĩa hàm lồi 1.3.2 Hàm nửa liên tục 10 1.3.3 Hàm nửa liên tục yếu 11 Định lý giá trị trung bình 11 1.4 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.5 Trịnh Thị Lệ Xuân Hàm Carathéodory Tập kỳ dị toán tử vị 12 13 2.1 Tập kỳ dị 13 2.2 Tính chất tập kì dị 14 2.2.1 Tính chất phi σ-compact tập SΦ Φ(SΦ ) 2.2.2 2.2.3 14 Tính chất phi σ-compact tập SˆΦ|(X\B) tập Φ(SˆΦ|(X\B) ) 21 Tính chất tập SˆΦλ∗ 22 Ứng dụng 24 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân DANH MỤC KÍ HIỆU C1 tập tất hàm số có đạo hàm cấp liên tục C2 tập tất hàm số có đạo hàm cấp liên tục span(A) bao tuyến tính tập A dist(x0 , L) khoảng cách từ điểm x0 đến tập L ess sup |u(x)| cận lớn số k cho |u(x)| ≤ k Ω L1 (Ω) không gian hàm khả tích bậc Ω L∞ (Ω) không gian hàm bị chặn đo theo Lebesgue với chuẩn y(x) L∞ (Ω) = ess sup |y(x)| x∈Ω meas(A) độ đo tập A H10 không gian Sobolev thông thường ∇u(x) Gradient u x L(X, Y ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Lời mở đầu Toán học ngành khoa học cổ xưa nhân loại Nó có sức hút mãnh liệt, niềm đam mê nhiều hệ nhà khoa học, chứa đựng kho tàng vô tận bí ẩn khả ứng dụng nhiều lĩnh vực khác sống Trong đó, Giải tích lĩnh vực đóng vai trò quan trọng có ứng dụng mạnh mẽ thực tiễn Vào năm 1978, R A Plastock nghiên cứu điểm kì dị ánh xạ phi tuyến Fredholm với số không Đến năm 1980, ông với M S Berger nghiên cứu toán với toán tử phi tuyến Fredholm với số dương Cùng với hướng nghiên cứu điểm kì dị ánh xạ phi tuyến, Biagio Ricceri lại nghiên cứu tập điểm kì dị toán tử vị Các kết mà Biagio Ricceri nghiên cứu trình bày hai báo [8] năm 2007 [9] năm 2015 Khóa luận hoàn thành chủ yếu dựa nội dung báo [8] Biagio Ricceri Giả sử X không gian Hilbert J phiếm hàm C (X) xác định sau J : X −→ R Với λ > ta xác định toán tử Φλ : X −→ X, Φλ (x) = x + λJ (x) với x ∈ X Khi đó, điểm x0 ∈ X gọi điểm kì dị Φλ Φ không phép đồng phôi địa phương điểm x0 Tập điểm kì dị Φ ta kí hiệu SΦ Ta dễ thấy SΦ tập đóng Dưới giả thiết hàm J nửa liên tục yếu theo dãy, không tựa lồi, dương với bậc α khác 2, không âm với bậc α > Φ đóng, Định lý 2.1 khẳng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân định hai tập SΦ Φ(SΦ ) phi σ-compact Phần cuối khóa luận đưa ứng dụng tính chất (Định lý 2.1) với Định lý 2.3 cho toán Dirichlet    −∆u = f (x, u)   u = Ω (Pf ) ∂Ω với Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn, u = u(x1 , x2 , , xn ) thuộc H01 (Ω) (H01 (Ω) không gian Sobolev thông thường), f hàm cho trước Một ứng dụng điển hình đưa với giả thiết Định lý 2.3 tồn λ∗ > cho hàm u ∈ H01 (Ω) nghiệm toán Dirichlet    −∆v = λ∗ β(x)ψ (u(x))v   v Ω = ∂Ω có nghiệm yếu khác không chứa điểm tụ Do hạn chế trình độ thời gian thực đề tài nên khóa luận không tránh khỏi sai sót Tôi kính mong quý thầy cô bạn đọc góp ý để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Trịnh Thị Lệ Xuân Chương Kiến thức chuẩn bị Trong phần liệt kê số định nghĩa, định lý, tính chất cần thiết.Ta giả thiết X không gian Hilbert thực A, B tập X, x điểm thuộc X 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 Cho không gian tuyến tính X trường R Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ X × X vào trường R, ký hiệu ·, · thỏa mãn tiên đề: i Với x, y ∈ X, x, y = y, x ; ii Với x, y, z ∈ X, x + y, z = x, z + y, z ; iii Với x, y ∈ X, ∀α ∈ R, αx, y = α x, y ; iv Với x ∈ X, x, x > x = (với phần tử không), x, x = x = Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Định lý 3.1 sau ý hữu ích theo hệ Định lý 2.3 Định lý 3.1 Cho dim X ≥ 3, giả sử J C không tựa lồi, J compact lim x →∞ Φ(x) = +∞ Giả sử J dương với bậc α = Nếu α > giả sử J không âm tổng Khi đó, tập SˆΦ chứa điểm tụ Chứng minh Trong chứng minh Định lý 2.1 giả thiết ta có J(x) ≥ →+∞ x lim inf x Rõ ràng, với λ > 0, x ∈ X ta có 1 λ α−2 Φλ (x) = Φ(λ α−2 x), (3.1) Φλ (x) = Φ (λ α−2 x) Từ (3.1) ta suy lim x →+∞ (3.2) Φλ (x) = 0, ∀λ > Do đó, tất giả thiết Định lý 2.3 thỏa mãn Bởi vậy, với λ∗ > 0, tập SˆΦλ∗ chứa điểm tụ Nhưng (3.2) ta có SˆΦ = λ∗ α−2 SˆΦλ∗ , đó, tập SˆΦ chứa điểm tụ Chú ý 3.2 Khi Φλ toán tử Fredholm với số 0, ta có x ∈ SˆΦλ −1 λ giá trị riêng toán tử tuyến tính J (x) 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Chú ý sau ứng dụng thú vị Chú ý 3.2 vào Định lý 2.3 với họ đặc trưng hàm lồi C Chú ý 3.3 Giả sử J thuộc họ C không lồi, theo kết trích dẫn (xem [13], Theorem 2.1.11), tồn x, y ∈ X cho J (x)(y), y < Giả sử J compact có nghĩa toán tử J (x) có giá trị riêng âm (phụ thuộc vào x) Cho hàm J không tựa lồi, Định lý 2.3 đảm bảo kết luận mạnh hơn, tồn vài số âm µ cho tập tất x ∈ X để µ giá trị riêng J (x) chứa điểm tụ Bây ta quan tâm vài ứng dụng Định lý 2.1 Định lý 2.3 vào toán Dirichlet    −∆u = f (x, u)   u = Ω (Pf ) ∂Ω Trong phần tiếp theo, ta quy ước Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn H01 (Ω) không gian Sobolev thông thường bao gồm hàm khả vi liên tục có giá compact hay H01 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng ∇u(x)∇v(x)dx u, v = Ω chuẩn |∇u(x)|2 dx u = Ω 26 , Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân ∇u(x) = n ∂u ∂u , , ∂x1 ∂xn ∇u(x)∇v(x) = i=1 ∂u ∂v ∂xi ∂xi Nhắc lại |u(x)|2 dx ≤ Ω λ1 |∇u(x)|2 dx, Ω với u ∈ H01 (Ω), λ1 giá trị riêng toán    −∆u = λu   u = Ω ∂Ω Giả sử f : Ω × R −→ R hàm Carathéodory, ta nói hàm u ∈ H01 (Ω) nghiệm yếu toán (Pf ) f (x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ H01 (Ω) ∇u(x)∇v(x)dx = Ω Ω Ta kí hiệu A họ tất hàm Carathéodory f : Ω × R −→ R cho |f (x, ξ)| < +∞ (x,ξ)∈Ω×R + |ξ| sup Với f ∈ A u ∈ H01 (Ω), ta đặt u(x) If (u) = f (x, ξ)dξ Ω dx Vì vậy, theo kết cổ điển, hàm If liên tục khả vi Gâteaux 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân H01 (Ω), đạo hàm compact f (x, u(x))v(x)dx, ∀u, v ∈ H01 (Ω) If (u)(v) = Ω Trước nghiên cứu ứng dụng vào toán Dirichlet, trình bày nội dung Mệnh đề 3.1 Mệnh đề 3.2 Một hàm u(x) xác định định Ω gọi chủ yếu bị chặn Ω, tồn số dương k, cho |u(x)| ≤ k hầu khắp nơi Ω Cận lớn số k ký hiệu ess sup |u(x)| Ω Mệnh đề 3.1 Cho β ∈ L∞ (Ω) với ess sup β > g : R −→ R Ω hàm liên tục không tựa lồi, với g(0) = cho β(·)g(u(·)) thuộc L1 (Ω) với u ∈ H01 (Ω) Đặt β(x)g(u(x))dx, ∀u ∈ H01 (Ω) I(u) = Ω Khi đó, hàm I không tựa lồi Chứng minh Do g không tựa lồi, có ξ0 , ξ1 , ξ ∗ ∈ R, với ξ0 < ξ ∗ < ξ1 , cho max {g(ξ0 ), g(ξ1 )} < g(ξ ∗ ) Vì ess sup β > nên có tập Ω compact C ⊂ Ω cho r := β(x)dx > C Bây giờ, với γ cố định thỏa mãn r max {g(ξ0 ), g(ξ1 )} < γ < rg(ξ ∗ ) 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân chọn tập mở A ⊂ Ω, với C ⊂ A thỏa mãn β L∞ (Ω) |g(ξ)| meas(A\C) < max |ξ|≤|ξ0 |+|ξ1 | < {γ − r max {g(ξ0 ), g(ξ1 )} , rg(ξ ∗ ) − γ} (3.3) Cho i ∈ {0, 1} hàm ui ∈ H01 (Ω) cho ui (x) = ξi , với x ∈ C, ui (x) = 0, với x ∈ Ω\A |ui (x)| ≤ |ξi |, với x ∈ Ω Vì g(0) = nên theo (3.3), ta thấy I(ui ) = β(x)g(ui (x))dx + A\C β(x)g(ui (x))dx C < rg(ξi ) + β L∞ (Ω) max |ξ|≤|ξ0 |+|ξ1 | |g(ξ)| meas(A\C) < γ Mặt khác, γ ∈ (0, 1) cho λξ0 + (1 − λ)ξ1 = ξ ∗ theo (3.3) có β(x)g(λu0 (x) + (1 − λ)u1 (x))dx + rg(ξ ∗ ) I(λu0 + (1 − λ)u1 ) = A\C >− β L∞ (Ω) max |ξ|≤|ξ0 |+|ξ1 | |g(ξ)| meas(A\C) + rg(ξ ∗ ) > γ Điều tập mức I −1 ((−∞, γ]) không lồi nên hàm I không tựa lồi, ta suy điều cần chứng minh 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Mệnh đề 3.2 Cho f ∈ A thỏa mãn f (x, ξ) = ξ lim sup |ξ|→+∞ Khi đó, với λ ∈ R lim u →+∞ u + λIf (u) = +∞ Chứng minh Đầu tiên ý |f (x, ξ)| sup (x,ξ)∈Ω×[−r,r] lim = r r→+∞ (3.4) Thật vậy, ta chứng minh (3.4) phản chứng Giả sử |f (x, ξ)| sup lim sup r→+∞ (x,ξ)∈Ω×[−r,r] r > Khi đó, tồn γ > 0, dãy {rk } với lim rk = +∞ dãy {(xk , ξk )} k→∞ cho (xk , ξk ) ∈ Ω × [−rk , rk ] |f (xk , ξk )| > γrk , ∀k ∈ R (3.5) hay γ< |f (xk , ξk )| |f (xk , ξk )| < , ∀k ∈ R rk ξk (3.6) Nhưng theo giả thiết, tồn δ > cho sup x∈Ω f (x, ξ) < γ, với |ξ| > δ ξ 30 (3.7) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Từ (3.6) (3.7), suy |ξk | ≤ δ với k ∈ N Khi đó, f ∈ A nên sup |f (xk , ξk )| < +∞ k∈R mâu thuẫn với (3.5), có nghĩa là, (3.4) chứng minh Do u + λIf (u) ≥ u If (u) u − |λ| , nên để chứng minh điều kiện đủ ta cần lim u →+∞ (3.8) |f (x, u(x))||v(x)|dx, nên ta thấy Vì If (u) = sup v =1 If (u) ≤ If (u) = u Ω −1 λ1 |f (x, u(x))|2 dx , ∀u ∈ H01 (Ω) (3.9) Ω Bây giờ, với > cố định từ (3.4), chọn η > thỏa mãn |f (x, ξ)| < sup 2(meas(Ω) + 1) (x,ξ)∈Ω×[−r,r] r với r > η Đặt Mη = |f (x, u(x))|2 dx sup Ω |u(x)|2 dx≤η Ω Rõ ràng, Mη < +∞ Lấy u ∈ H01 (Ω) với u trường hợp Trường hợp thứ > Ω |u(x)| dx |f (x, u(x))|2 dx ≤ Ω 31 Mη < Mη Ta phân biệt hai ≤ η , ta có u (3.10) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trường hợp thứ hai D= Trịnh Thị Lệ Xuân Ω |u(x)| dx > η Đặt x ∈ Ω : |u(x)|2 ≤ |u(y)|2 dy Ω Vì vậy, ta có |f (x, u(x))|2 < meas(Ω) |u(y)|2 dy Ω với x thuộc D, hay |f (x, u(x))|2 < |u(x)|2 với x ∈ Ω\D Do |f (x, u(x))|2 dx = Ω |f (x, u(x))|2 dx + D < |f (x, u(x))|2 dx Ω\D Ω |u(x)| dx meas(D) + meas(Ω) |u(x)|2 dx Ω\D |u(x)|2 dx ≤ Ω (3.11) Từ (3.9), (3.10) (3.11), ta suy If (u) −2 ≤ max λ−1 , λ1 u có nghĩa lim u →+∞ If (u) = u Vậy Mệnh đề 3.2 chứng minh Như ứng dụng Định lý 2.1 ta chứng minh Định lý 3.2 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân sau Định lý 3.2 Cho β ∈ L∞ (Ω), với ess sup β > lấy q ∈ (0, 1) Với Ω ϕ ∈ H01 (Ω), kí hiệu Λϕ tập tất nghiệm yếu toán    −∆u = β(x) | u + ϕ(x) |q−1 (u + ϕ(x))   u = Ω ∂Ω Khi đó, tồn hai tập đóng phi σ-compact A, B ⊂ H01 (Ω) với tính chất sau: i Với ϕ ∈ B, tồn w ∈ A ba dãy {uk } , {vk } {ϕk } H01 (Ω) cho lim uk = lim vk = w − ϕ, lim ϕk = ϕ k→∞ k→∞ k→∞ với k thuộc N, uk = vk uk , vk ∈ Λϕk ; ii Với ϕ ∈ H01 (Ω)\B, tập Λϕ khác rỗng, hữu hạn thỏa mãn Λϕ ∩ A − ϕ = ∅ Chứng minh Xét tập f (x, ξ) = β(x)|ξ|q−1 ξ, với (x, ξ) ∈ Ω × R Rõ ràng, f ∈ A Ta áp dụng Định lý 2.1 với X = H01 (Ω) J = −If Vì hàm J dương với bậc q + < 2, không tựa lồi (theo Mệnh đề 3.1), có đạo hàm compact thỏa mãn (2.9) (theo Mệnh đề 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân 3.2) Do đó, áp dụng Định lý 2.1 ta chọn A = SΦ B = Φ(SΦ ) Theo Định lý 2.1, hai tập đóng A, B phi σ-compact Chú ý rằng, với u, ϕ ∈ X Φ(u) = ϕ β(x)|u(x)|q−1 u(x)v(x)dx = 0, ∀v ∈ X ∇(u(x)−ϕ(x))∇v(x)dx− Ω Ω Hệ thức tương đương với điều kiện u − ϕ ∈ Λϕ Mặt khác, ta có Φ−1 (ϕ) = ϕ + Λϕ (3.12) Lấy ϕ ∈ B w ∈ SΦ cho Φ(w) = ϕ Gọi U lân cận mở w Do Φ không đồng phôi địa phương w nên Φ|U không đơn ánh Thật vậy, giả sử Φ|U đơn ánh Φ nhiễu compact phép đồng Theo định lý miền bất biến [xem [14], Theorem 16.C] với tập mở E ⊂ U , tập Φ(E) mở X Tức Φ|U phép đồng phôi U lân cận Φ(U ) ϕ, điều vô lý Cho nên, ta xây dựng hai dãy {ˆ uk } , {ˆ vk } X hội tụ đến w cho uˆk = vˆk Φ(ˆ uk ) = Φ(ˆ vk ), với k ∈ N Do đó, ta chọn ϕk = Φ(ˆ uk ), uk = uˆk − ϕk , vk = vˆk − ϕk , theo (3.12) dãy {ϕk } , {uk } {vk } thỏa mãn i Bây giờ, ta lấy w ∈ X\B Rõ ràng, hàm u → u−w + J(u) (coercive) (vì q < 1), nửa liên tục yếu theo dãy Vì vậy, có 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân cực tiểu toàn cục uˆ X Hơn nữa, ta có Φ(ˆ u) = ϕ Theo Theorem 1.1 [10], toán tử Φ thường Φ−1 (ϕ) compact Nhưng ϕ ∈ / Φ(SΦ ) nên Φ−1 (ϕ) vừa rời rạc vừa hữu hạn Kết hợp với (3.12), ta suy ii Vậy Định lý 3.2 hoàn toàn chứng minh Định lý 3.3 sau kết cuối nghiên cứu khóa luận Định lý 3.3 Cho β ∈ L∞ (Ω), với ess sup β > 0, ψ : R −→ R Ω hàm C cho ξ → ξ ψ(t)dt không tựa lồi ψ(ξ) = |ξ|→+∞ ξ lim (3.13) Hơn nữa, n ≥ 2, giả sử sup ξ∈R với p > p ≤ n−2 |ψ (ξ)| < +∞ + |ξ|p n ≥ Khi đó, tồn λ∗ > cho tập tất hàm u ∈ H01 (Ω) thỏa mãn toán sau    −∆v = λ∗ β(x)ψ (u(x))v   v = Ω ∂Ω có nghiệm yếu (khác không) chứa điểm tụ Chứng minh Đặt f (x, ξ) = β(x)ψ(ξ), ∀(x, ξ) ∈ Ω×R Dễ thấy, f ∈ A Ta áp dụng Định lý 2.3 với X = H01 (Ω) J = −If Giả thiết ta 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân có nghĩa J thuộc C , với J (u)(v), w = − β(x)ψ (u(x))v(x)w(x)dx, ∀u, v, w ∈ X Ω Từ (3.13) từ chứng minh Mệnh đề 3.2, suy If (u) = u →+∞ lim u (3.14) Điều kiện cần If (u) = →+∞ u lim u Ta lập luận phủ định Giả sử tồn γ > dãy {uk }, với lim uk = +∞ cho k→∞ If (uk ) > γ uk với k ∈ N Theo Định lý giá trị trung bình, với k ∈ N có tk ∈ (0, 1) thỏa mãn If (uk ) = If (tk uk ), uk Vì vậy, ta thấy If (tk uk ) > γ uk (3.15) Do If bị chặn tập bị chặn X nên ta suy dãy {tk uk } mà lim tk uk = +∞ Cho nên, với k đủ lớn theo k→∞ (3.14) ta có: If (tk uk ) < γ tk uk mâu thuẫn với (3.15) Vì vậy, theo Mệnh đề 3.1 3.2, tất giả thiết Định lý 2.3 thỏa mãn, suy điều phải chứng minh 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân KẾT LUẬN Khóa luận "Tập kì dị toán tử vị không gian Hilbert" trình bày vấn đề sau đây: Hệ thống lại khái niệm tính chất liên quan đến không gian Hilbert tập lồi, hàm lồi, Trình bày định nghĩa tập kì dị toán tử vị không gian Hilbert, tính chất phi σ-compact tập kì dị SΦ , Φ(SΦ ) SˆΦ|(X\B) Φ(SˆΦ|(X\B) ), tính chất tập SˆΦλ∗ chứng minh tính chất Trình bày số định lý tính chất phi σ-compact tập kì kị vào toán Dirichlet chứng minh định lý Sau trình nghiên cứu, tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Trịnh Thị Lệ Xuân 37 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng (2009), Cơ sở giải tích lồi, Đại học khoa học Huế [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Viện Toán học, viện Khoa học Công nghệ Việt Nam [B] Tài liệu tiếng Anh [3] M S Beger and R A Plastock (1980), On the singularities of nonlinear Fredholm operators of positive index, Proc Amer Math Soc, 79, 217-221 [4] F Faraci and A Iannizzotoo (2006), An extension of a multiplicity theorem by Ricceri with an application to a class of quasilinear equations, Studia Math, 172, 275-287 [5] R A Plastock (1978), Nonlinear Fredholm maps of index zero and their singularities, Proc Amer Math Soc, 68, 317-322 [6] B Ricceri (2001), A further improvement of a minimax theorem of Borenshtein and Shul’man, Nonlinear Convex Anal, 2, 279-283 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân [7] B Ricceri (2005), A general multiplicity theorem for certain nonlinear equations in Hilbert spaces, Proc Amer Math Soc, 133, 3255-3261 [8] B Ricceri (2007), On the singular set of certain potential operators in Hilbert spaces, in Progr Nonlinear Differential Equation Appl, 75, 377-391 [9] B Ricceri (2015), Singular points of non-monotone potential operators, J Nonlinear Convex Anal, 16, 1123-1129 [10] R S Sadyrkhanov (1986), On infinite dimensional features of proper and closed map-pings, Proc Amer Math Soc, 98, 643658 [11] S Smale (1965), An infinite-dimensional version of Sard’stheorem, Amer Math J, 87, 861-866 [12] I G Tsar’kov (2004), Nonunique solvability of certain differential equations and their connection with geometric approximation theory, Math Notes, 259-271 [13] C Zălinescu (2002), Convex analysis in general vector spaces, World Scientific [14] E Zeidler (1986), Nonlinear functional analysis and its applications, vol I, Springer-Verlag 39 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRỊNH THỊ LỆ XUÂN TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người... sâu tập SΦ , SˆΦ SˆΦλ với λ thích hợp 2.2 2.2.1 Tính chất tập kì dị Tính chất phi σ-compact tập SΦ Φ(SΦ ) Định lý sau kết cung cấp họ phổ biến toán tử vị không khả vi không gian Hilbert mà tập kì. .. ∈ A cho toán tử T (x0 ) không toàn ánh Từ đó, tập tất toán tử toàn ánh mở L(X, X) theo tính liên tục T tập SˆT|A đóng A Vậy SˆΦ tập tất điểm x0 ∈ X cho toán tử Φ (x0 ) không toàn ánh Trong phần