ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA: TOÁN - CƠ - TIN HỌC Lê Khánh Ly MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA C0 - NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Trọng Tiến Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Phạm Trọng Tiến, người tận tình giúp đỡ bảo suốt trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa Cao học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè động viên khuyến khích nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện tốt Hà Nội, tháng năm 2016 Lê Khánh Ly Mục lục Mở đầu LÝ THUYẾT NỬA NHÓM CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm tính chất C0 -nửa nhóm 1.2 Toán tử sinh C0 -nửa nhóm 10 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA C0 -NỬA NHÓM 16 2.1 Tính siêu lặp tính hỗn loạn C0 -nửa nhóm 16 2.2 Rời rạc hóa C0 -nửa nhóm 27 2.3 Tiêu chuẩn siêu lặp hỗn loạn C0 -nửa nhóm 31 MỘT VÀI VÍ DỤ CỦA C0 -NỬA NHÓM 37 3.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp 37 3.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp 39 3.3 Phương trình vi phân thường 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 44 Mở đầu Động lực học C0 -nửa nhóm hướng nghiên cứu có tính thời sự, phát triển năm cuối kỉ XX, công trình W Desch, W Schappacher G F Webb [4] có nhiều ứng dụng nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường Luận văn đề cập tới số tính chất động lực học C0 -nửa nhóm Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương Chương 1: Lý thuyết nửa nhóm toán tử tuyến tính Chương trình bày kiến thức bản, định lý tính chất C0 -nửa nhóm, toán tử sinh C0 -nửa nhóm Ngoài ra, đưa điều kiện cần đủ theo hàm trọng v để nửa nhóm tịnh tiến không gian có trọng Lpv (R+ ) C0 -nửa nhóm Chương 2: Một số tính chất động lực học C0 -nửa nhóm Đây phần luận văn, trình bày kiến thức tính chất động lực học C0 -nửa nhóm không gian Banach khả ly Đó tính siêu lặp, truyền ứng tôpô, tính trộn, tính trộn yếu tính hỗn loạn cho C0 -nửa nhóm Chúng ta điều kiện cần đủ v để nửa nhóm tịnh tiến không gian Lpv (R+ ) có tính chất động lực học nêu Chương 3: Ứng dụng C0 -nửa nhóm Trong chương này, ta trình bày số ứng dụng C0 -nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (PDEs) hệ phương trình vi phân tuyến tính vô hạn (ODEs) Nội dung luận văn tham khảo Chương tài liệu tham khảo [7] Chương LÝ THUYẾT NỬA NHÓM CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Trong chương này, trình bày số kiến thức nửa nhóm liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm, toán tử sinh C0 -nửa nhóm nửa nhóm liên tục Nội dung chương tham khảo theo tài liệu [6] 1.1 Khái niệm tính chất C0-nửa nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một họ (Tt )t≥0 toán tử tuyến tính liên tục không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm thỏa mãn điều kiện sau: (1) T0 = I ; (2) Ts+t = Ts Tt với s, t ≥ 0; (3) lim Ts x = Tt x với x ∈ X t ≥ s→t Điều kiện (3) thể tính liên tục theo điểm nửa nhóm Định lý Banach - Steinhaus họ (Tt )t≥0 đồng liên tục địa phương, tức với b > ta có sup Tt < ∞, t∈[0,b] tương đương, tồn M > cho Tt x ≤M x với t ∈ [0, b] ; x ∈ X (1.1) Bổ đề 1.1.1 Giả sử X không gian Banach F hàm ánh xạ từ tập compact K ⊂ R vào L(X) Khi khẳng định sau tương đương: (1) F liên tục với tôpô toán tử mạnh tức ánh xạ K t −→ Ft x ∈ X liên tục với x ∈ X ; (2) F bị chặn K , tức K ≤ M với t ∈ K ánh xạ Ft t −→ Ft x ∈ X liên tục với x ∈ X0 , X0 tập trù mật X ; (3) F liên tục tôpô hội tụ tập compact X , tức ánh xạ K × C (t, x) −→ Ft x ∈ X liên tục với tập compact C ⊂ X Chứng minh (3) =⇒ (1) Hiển nhiên tập điểm {x} tập compact X (1) =⇒ (2) Do ánh xạ t −→ Ft x liên tục tập compact K nên với x cố định thuộc X ánh xạ bị chặn tập K , tức { Ft x : t ∈ K} bị chặn với x ∈ X Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, tập { Ft : t ∈ K} bị chặn, tức hàm F bị chặn K (2) =⇒ (3) Giả sử Ft ≤ M với t ∈ K ε > cố định cho trước Do C tập compact X X0 = X nên tồn số hữu hạn x1 , x2 , , xn ∈ X0 cho n C⊂ xi + i=1 Chọn δ > cho ε U , U hình cầu đơn vị X 4M Ft xi − Fs xi ε (i = 1, n) với t, s ∈ K thỏa mãn < |t − s| < δ Với x, y ∈ C ; t, s ∈ K thỏa mãn Ft x − Fs y x−y ≤ < Ft (x − xi ) + (Ft − Fs )xi ε ε ε ε + +M +M 0, M ≥ tồn tập X0 trù mật X cho (i) ≤ M với t ∈ [0, δ]; Tt (ii) lim+ Tt x = x với x ∈ X0 t→0 Chứng minh (1) =⇒ (3(ii)) Do (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm nên theo định nghĩa ta có lim Tt x = x với x ∈ X t→0+ Ta lấy X0 = X lim+ Tt x = x với x ∈ X0 t→0 Do đó, tồn tập X0 trù mật X cho lim+ Tt x = x với t→0 x ∈ X0 (1) =⇒ (3(i)) Giả sử δ > 0, x ∈ X cố định Ánh xạ t −→ Ft x liên tục đoạn [0, δ] nên tập { Tt x : t ∈ [0, δ]} bị chặn Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, tồn số M ≥ cho Tt ≤ M với t ∈ [0, δ] (3) =⇒ (2) Đặt K = {tn ; n ∈ N}∪{0}, {tn } ⊂ [0, +∞), tn → n → +∞ Khi đó, K tập compact Do giả thiết (3) ta có T (·)|K bị chặn T (·)|K x liên tục với x ∈ X0 Áp dụng bổ đề 1.1.1 ta suy lim Ttn x = x với x ∈ X n→+∞ Vậy Tt liên tục với x ∈ X (2) =⇒ (1) Giả sử t0 > 0, x ∈ X Khi ta có lim h→0+ Tt0 +h x − Tt0 x ≤ Tt0 ≤ Tt0 +h lim h→0+ Th x − x = Vậy Tt liên tục bên phải t0 Với h < 0, ta có Tt0 +h x − Tt0 x x − T−h x Theo giả thiết (2) tồn M , tồn δ > cho với t ∈ [0, δ] Tt ≤M 1 không với δn = , tồn tn ∈ 0, n n ≥ n cho Ttn Suy không bị chặn n → +∞ Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, Ttn tồn x ∈ X cho không bị chặn Điều mâu thuẫn với giả thiết Ttn x lim Ttn x = x với x ∈ X n→+∞ Giả sử n0 = t0 t , n0 ≤ ≤ n0 +1 Với t ∈ [0, t0 ] ta có t ≤ t0 ≤ (n0 +1)δ δ δ Do vậy, ta có Tt = T(n0 +1) ≤ t n0 +1 T t n0 +1 n0 +1 ≤ M n0 +1 Suy Tt0 +h x − Tt0 x x − T−h x → h → 0− ≤ M n0 +1 Vậy Tt liên tục bên trái t0 Do liên tục t0 Vậy (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.1.1 Từ tính đồng liên tục địa phương (xem (1.1)) ta thấy Ttn xn → (tn )n bị chặn xn → Điều sử dụng nhiều lần cho phần Hơn nữa, ta thiết lập hàm số mũ bị chặn toán tử định chuẩn nửa nhóm Mệnh đề 1.1.1 Nếu (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm tồn M ≥ w ∈ R cho Tt ≤ M ewt với t ≥ Chứng minh Chọn M = sup Tt < ∞ M ≥ t∈[0,1] Lấy t = n + s ≥ tùy ý với n ∈ N0 s ∈ [0, 1) Khi đó, ta có Tt = Tn+s = T1 n = Tn Ts Ts ≤ M n+1 = M en log M ≤ M ewt , với w = log M Vậy Tt ≤ M ewt với t ≥ Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.1.1 (Nửa nhóm tịnh tiến) Cho ≤ p < ∞ v : R+ −→ R hàm khả tích địa phương dương, tức b υ(x)dx < ∞ với b > v đo với Xét không gian hàm khả tích bậc p định nghĩa X = Lpv (R+ ) = { f : R+ −→ K : f đo đó, |f (x)|p v(x)dx f = f < ∞ }, 1/p ∞ Nửa nhóm tịnh tiến cho Tt f (x) = f (x + t), t, x ≥ Ta có Tt toán tử tuyến tính Ta chứng minh (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm không gian Lpv (R+ ) tồn M ≥ w ∈ R cho với t ≥ 0, v(x) ≤ M ewt v(x + t) với hầu hết x ≥ (1.2) Giả sử (1.2) thỏa mãn Ta chứng minh Tt liên tục với t ≥ Thật vậy, với f ∈ X , ta có ∞ Tt f p ∞ p |f (x + t)| v(x)dx ≤ M e = |f (x + t)|p v(x + t)dx ∞ ≤ M ewt wt |f (x)|p v(x)dx = M ewt f p Suy ra, Tt f t ≤ M p ew p f Vậy Tt liên tục với t ≥ họ toán tử tịnh tiến đồng liên tục địa phương X Với t, s, x ≥ 0, f ∈ X , ta có +) Tt+s f (x) = f (x + t + s), (Tt Ts f )x = [Tt (Ts f )] x = Tt f (x + s) = f (x + t + s) Suy Tt+s = Tt Ts +) T0 f (x) = f (x + 0) = f (x) Suy T0 = I Với X0 tập hàm liên tục có giá compact, ta chứng minh lim t→0+ Tt f − f Lpv (R+ ) = với f ∈ X0 Thật vậy, giả sử f hàm liên tục có giá compact Khi đó, f liên tục Ta có lim t→0+ Tt f − f ∞= lim sup |f (s + t) − f (s)| = t→0+ s∈R+ Mặt khác, Tt f − f Lpv (R+ ) ≤c Tt f − f ∞→ t → 0+ Suy lim t→0+ Tt f − f Lpv (R+ ) = Do X0 trù mật X , theo Định lý 1.1.1, (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm Ngược lại, giả sử nửa nhóm tịnh tiến (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm X Gọi M w Mệnh đề 1.1.1 Ta chứng minh với t ≥ 0, v(x) ≤ 2M p epwt v(x + t), với hầu hết x ∈ [0, +∞) Bằng phản chứng, điều không Giả sử tồn t0 > cho B := x ≥ 0; v(x) > 2M p epwt0 v(x + t0 ) có độ đo Lebesgue λ(B) > Cho b > cho λ(B ∩ [0, b]) > xác định f (x) = v(x)1/p x ∈ t0 + (B ∩ [0, b]), ngược lại Vì f p = ∞ |f (x)|p v(x)dx = t0 +B∩[0,b] dx = λ(B ∩ [0, b]) > f đo nên f ∈ X Mặt khác Tt0 f (x) p = f (x + t0 ) p |f (x + t0 )|p v(x)dx = B∩[0,b] ≥ 2M p epwt0 |f (x + t0 )|p v(x + t0 )dx = 2M p epwt0 f p B∩[0,b] Điều mâu thuẫn với lựa chọn M w Mệnh đề 1.1.1 Vậy (1.2) Bây giờ, để tránh số vấn đề kĩ thuật, ta yêu cầu phần v trọng thỏa mãn (1.2) với hầu hết x ≥ Tương đương, với M ≥ w ∈ R cho v(x) ≤ M ew(y−x) v(y) y ≥ x ≥ (1.3) Trong trường hợp v gọi hàm trọng số chấp nhận Định nghĩa 1.1.2 (Nửa nhóm liên tục đều) Nửa nhóm (Tt )t≥0 gọi nửa nhóm liên tục L(X) ánh xạ R+ t → Tt ∈ L(X) liên tục tôpô chuẩn (tôpô đều) L(X), tức lim h→0 Tt+h − Tt = với t ≥ (1.4) Tiêu chuẩn siêu lặp hỗn loạn C0-nửa nhóm 2.3 Trong phần này, trình bày tiêu chuẩn cho tính siêu lặp tiêu chuẩn khác cho tính trộn yếu, tính trộn tính hỗn loạn C0 -nửa nhóm Định lý 2.3.1 (Tiêu chuẩn Siêu lặp cho nửa nhóm) Cho (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm không gian Banach X Nếu tồn tập X0 , Y0 trù mật X , dãy (tn )n R+ với tn → ∞, ánh xạ Stn : Y0 −→ X , n ∈ N, cho với x ∈ X0 , y ∈ Y0 thỏa mãn (1) Ttn x → 0, (2) Stn y → 0, (3) Ttn Stn y → y , (Tt )t≥0 trộn yếu, siêu lặp Chứng minh Lấy U1 , U2 , V1 , V2 tập mở, khác rỗng X Do X0 , Y0 trù mật X nên tồn xj ∈ Uj ∩ X0 yj ∈ Vj ∩ Y0 , j = 1, Với n, ta có Ttn (xj + Stn yj ) = Ttn xj + Ttn Stn yj , j = 1, Theo (1), (2) (3) ta có xj + Stn yj → xj Ttn xj + Ttn Stn yj → yj Với n đủ lớn Ttn xj + Ttn Stn yj ∈ Vj xj + Stn yj ∈ Uj , Tức là, với n đủ lớn Ttn (Uj ) ∩ Vj = ∅, j = 1, hay (Ttn ⊕ Ttn )(U1 , U2 ) ∩ (V1 , V2 ) = ∅ Vậy (Tt )t≥0 trộn yếu X 31 j = 1, Định lý 2.3.2 Cho (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm không gian Banach X Nếu tồn X0 , Y0 tập trù mật X , ánh xạ St : Y0 −→ X , t ≥ 0, cho với x ∈ X0 , y ∈ Y0 , t → +∞ ta có (1) Tt x → 0, (2) St y → 0, (3) Tt St y → y , (Tt )t≥0 trộn Chứng minh Lấy U, V hai tập mở, khác rỗng X Do X0 , Y0 trù mật X nên tồn x0 ∈ U ∩ X0 y0 ∈ V ∩ Y0 Khi đó, với t > 0, ta có Tt (x0 + St y0 ) = Tt x0 + Tt St y0 Theo (1), (2) (3), ta có Tt x0 + Tt St y0 → y0 x0 + St y0 → x0 t → +∞ Suy ra, tồn t0 > cho với t > t0 , ta có Tt x0 + Tt St y0 ∈ V x0 + St y0 ∈ U, với t ≥ t0 Do đó, Tt (U ) ∩ V = ∅, với t ≥ t0 Tức là, (Tt )t≥0 trộn X Bây giờ, xét tính chỉnh hình không gian phức Hàm f : U −→ X tập mở U ⊂ C nhận giá trị không gian X gọi hàm chỉnh hình yếu với x∗ ∈ X ∗ hàm giá trị phức z −→ f (z), x∗ chỉnh hình U Trong phần tiếp theo, J tập số khác rỗng Định lý 2.3.3 Cho X không gian Banach khả ly phức, (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm X với toán tử sinh (A, D(A)) Giả sử rằng, tồn tập liên thông U hàm chỉnh hình yếu fj : U −→ X , j ∈ J , cho (1) U ∩ iR = ∅, 32 (2) fj (λ) ∈ ker(λI − A) với λ ∈ U , j ∈ J , (3) Với x∗ ∈ X ∗ , fj (λ), x∗ = với λ ∈ U j ∈ J x∗ = Khi nửa nhóm (Tt )t≥0 trộn hỗn loạn Chứng minh Ta sử dụng Định lý Hahn-Banach để chứng minh tính trù mật không gian sinh vectơ riêng, sau áp dụng tiêu chuẩn GodefroyShapiro Cố định t > 0, ta xét X0 = span fj (λ) ; j ∈ J, λ ∈ U với Reλ > , Y0 = span fj (λ) ; j ∈ J, λ ∈ U với Reλ < , Z0 = span fj (λ) ; j ∈ J, λ ∈ U với λt = απi với α ∈ Q Đầu tiên, ta tập trù mật X Giả sử x∗ ∈ X ∗ đồng với X0 Với j ∈ J , hàm λ −→ fj (λ), x∗ chỉnh hình U , theo (1), triệt tiêu tập mở khác rỗng U Do đó, triệt tiêu U , với j ∈ J Theo (3), ta có x∗ = Định lý Hahn-Banach khẳng định X0 trù mật X Tương tự, ta chứng minh cho Y0 Z0 trù mật Theo công thức (1.6), ta có Tt x = eλt x, với x ∈ ker(λI − A) Do đó, theo (2), X0 Y0 chứa không gian sinh vectơ riêng Tt ứng với giá trị riêng có môđun lớn nhỏ tương ứng, Z0 chứa không gian sinh vectơ riêng Tt ứng với giá trị riêng bậc n phần tử đơn vị (với n tùy ý) Tiêu chuẩn Godefroy-Shapiro khẳng định Tt trộn hỗn loạn, xem Mệnh đề 2.2.2 Ta đưa kết khác mạnh kết Định lý 2.3.3, hàm chỉnh hình yếu thay hàm liên tục Với hàm f : [a, b] −→ X liên tục [a, b], ta định nghĩa tích phân Riemann sau b f (t)dt a 33 Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue) Cho X không gian Banach phức f : [a, b] −→ X hàm liên tục Thì b eirt f (t)dt → với r → ±∞ a Chứng minh Lấy ε > Ta chọn phân hoạch a = t0 < t1 < < tN = b [a, b] cho f (t) − f (tj ) < ε, đó, tj−1 ≤ t ≤ tj , j = 1, , N Đặt g(t) = f (tj ) với t ∈ (tj−1 , tj ], j = 1, , N Sau thấy b b b eirt g(t)dt eirt (f (t) − g(t))dt + eirt f (t)dt ≤ a a a N ≤ (b − a)ε + tj j=1 Do eirt dt f (tj ) tj−1 tj eirt dt → với r → ±∞, tj−1 nên b eirt f (t)dt ≤ (b − a) ε lim r→±∞ a Suy b eirt f (t)dt → với r → ±∞ a Định lý 2.3.4 Cho X không gian Banach khả ly phức, (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm X với toán tử sinh (A, D(A)) Giả sử a < b hàm liên tục fj : [a, b] −→ X , j ∈ J thỏa mãn điều kiện sau: (1) fj (s) ∈ ker(isI − A) với s ∈ [a, b], j ∈ J , (2) span {fj (s) ; s ∈ [a, b] , j ∈ J} trù mật X Thì (Tt )t≥0 trộn hỗn loạn 34 Chứng minh Ta áp dụng Định lý 2.3.2 nửa nhóm trộn Với r ∈ R, b eirs fj (s)ds, ta đặt j ∈ J , ta định nghĩa xr,j = a X0 = Y0 = span {xr,j ; r ∈ R, j ∈ J} Ta sử dụng Định lý Hahn-Banach để chứng minh hai tập trù mật X Lấy x∗ hàm tuyến tính liên tục X cho, với r ∈ R, j ∈ J, b ∗ xr,j , x eirs fj (s), x∗ ds = = a Hàm s −→ fj √ (s), x∗ hàm liên tục [a, b] thuộc L2 [a, b] Từ 2π exp ikt b−a b−a sở trực chuẩn không gian Hilbert L2 [a, b], k∈Z tính liên tục, fj (s), x∗ = với s ∈ [a, b] , j ∈ J Do đó, x∗ triệt tiêu span {fj (s) ; s ∈ [a, b] , j ∈ J} Do đó, x∗ = 0, khẳng định X0 = Y0 trù mật Theo (1) (1.6), ta có, với t ≥ 0, Tt fj (s) = eist fj (s) với s ∈ [a, b] , j ∈ J b Tt xr,j = (2.3) b e irs ei(t+r)s fj (s)ds = xt+r,j Tt fj (s)ds = a (2.4) a Bổ đề Riemann-Lebesgue khẳng định Tt x → t → +∞ với x ∈ X0 Tiếp theo, ta muốn định nghĩa ánh xạ St Y0 = X0 cho St xr,j = xr−t,j , r ∈ R, j ∈ J , thác triển tuyến tính Để chứng minh điều kiện (2) (3) Định lý 2.3.2 thỏa mãn, ta xây dựng với y ∈ Y0 , họ (ut )t≥0 X cho ut → Tt ut → y t → ∞ Thật vậy, với y ∈ Y0 = X0 , ta cố định m biểu diễn y = ak xrk ,jk xác định k=1 m ut = ak xrk −t,jk k=1 Theo công thức (2.4) ta có Tt ut = y với t ≥ Và theo Bổ đề RiemannLebesgue ut → với t → ∞ 35 Do đó, (Tt )t≥0 nửa nhóm trộn Cuối cùng, từ tính liên tục hàm fj , có Z0 := span {fj (s) ; s ∈ [a, b] ∩ Q, s = 0, j ∈ J} trù mật X Theo (2.3), vectơ fj (s), s = 0, điểm cố định T 2πs , điểm Z0 điểm tuần hoàn cho (Tt )t Vì vậy, nửa nhóm hỗn loạn Ví dụ 2.3.1 Cho (Tt )t≥0 nửa nhóm tịnh tiến không gian Banach phức X = Lpv (R+ ), ≤ p < ∞, v(x) = e−x Khi nửa nhóm tịnh tiến trộn hỗn loạn Chứng minh Gọi không gian liên hợp X Lqw (R+ ), < q ≤ ∞ 1 + = 1, với w = v −q/p p > w = v −1 p = 1, ý p q L∞ w (R+ ) không gian hàm đo g R+ , cho gw bị chặn Đặt U = λ ∈ C : |λ| < Ta định nghĩa f : U −→ X f (λ)(x) = eλx , λ ∈ U , p x ∈ R+ Thì f định nghĩa tốt chỉnh hình yếu U Khi ta có thỏa mãn U ∩ iR = ∅ Mặt khác, Af (λ) = d f (λ) = λf (λ) Tương đương, (λI − A)f (λ) = Suy ra, dx f (λ) ∈ ker(λI − A) Giả sử phiếm hàm tuyến tính liên tục X ∗ , biểu diễn hàm g ∈ Lqw (R+ ), thỏa mãn ∞ g(x)eλx dx = với λ ∈ U, f (λ), g = được, cách lấy đạo hàm thứ n theo λ ∞ xn g(x)eλx dx = 0, n ∈ N0 , λ ∈ U Cho λ = kết hợp tuyến tính, ta ∞ g(x)p(x)dx = 0, với đa thức p Từ tập đa thức trù mật X nên ta có g = Do đó, theo Định lý 2.3.3, nửa nhóm tịnh tiến trộn hỗn loạn 36 Chương MỘT VÀI VÍ DỤ CỦA C0-NỬA NHÓM Trong chương này, trình bày số ứng dụng C0 -nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (PDEs) hệ phương trình vi phân tuyến tính vô hạn (ODEs) Ta nghiên cứu vài trường hợp cụ thể 3.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp Chúng ta bắt đầu với toán Cauchy không gian X = L1 (R+ )   ∂u = ∂u + 2x u, ∂t + x2 ∂x (3.1)  u(0, x) = ϕ(x), x ∈ R + Ta có phương trình ∂u 2x ∂u = + u ∂t ∂x + x2 tương đương với ut − ux = 2x u + x2 Khi phương trình xét tương đương với hệ phương trình vi phân thường   dx = −1, dt  du = dt Từ 2x u, + x2 với (x, u) t=0 = (x0 , ϕ(x0 )) dx = −1, ta có x = −t + c Hơn nữa, x(0) = x0 , nên x = −t + x0 dt 37 Mặt khác, du 2x 2(x0 − t) = u= u dt 1+x + (x0 − t)2 Do đó, ln u = − ln |1 + (x0 − t)2 | + ln c với c > Tức là, u= Vì (x, u) t=0 c + (x0 − t)2 = (x0 , ϕ(x0 )) nên ϕ(x0 ) = c hay c = (1 + x20 )ϕ(x0 ) Vậy + x20 (1 + x20 )ϕ(x0 ) u= + (x0 − t)2 hay u= + (x + t)2 ϕ(x + t) + x2 Khi đó, C0 -nửa nhóm nghiệm cho Tt ϕ(x) = + (x + t)2 ϕ(x + t), x, t ∈ R+ + x2 Điều có nghĩa là, nửa nhóm nửa nhóm tịnh tiến, với phép nhân + (x + t)2 với hàm ht (x) = + x2 Mệnh đề 3.1.1 Nửa nhóm nghiệm (Tt )t≥0 (3.1) trộn hỗn loạn L1 (R+ ) Chứng minh Đầu tiên, ta áp dụng tiêu chuẩn trộn, theo Định lý 2.3.2 Ta lấy X0 không gian trù mật X = L1 (R+ ) gồm hàm có giá compact Nếu giá hàm ϕ ∈ X0 bị chứa [0, b] Tt ϕ = với t ≥ b điều kiện (1) tiêu chuẩn thỏa mãn Với điều kiện (2) (3) ta lấy Y0 = X định nghĩa St : X −→ X   + (x − t)2 ϕ(x − t) với x ≥ t ≥ 0, + x2 St ϕ(x) =  với ≤ x < t Do đó, ta có Tt St ϕ = ϕ với ϕ ∈ X Hơn nữa, ∞ St ϕ = t + (x − t)2 |ϕ(x − t)|dx = + x2 ∞ + x2 |ϕ(x)|dx → với t → ∞ + (x + t)2 Như nửa nhóm trộn Đối với tính hỗn loạn, lấy ϕ ∈ X0 ε > Giá hàm ϕ bị chứa [0, b], 38 ∞ cố định t ≥ b cho n=1 ∞ Ta đặt ψ = + b2 n2 t2 < ε ϕ Snt ϕ Từ n=0 ∞ ∞ b Snt ϕ = n=1 n=1 + x2 |ϕ(x)|dx ≤ + (x + nt)2 ∞ n=1 + b2 n2 t2 ϕ < ε ϕ − ψ < ε Hơn nữa, ψ tuần hoàn với Suy ra, ψ định nghĩa tốt Tt Do đó, nửa nhóm có tập điểm tuần hoàn trù mật, khẳng định có hỗn loạn 3.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp Ở ví dụ ta có tính trộn hỗn loạn cho phương trình đạo hàm riêng cấp cách phân tích C0 -nửa nhóm nghiệm tương ứng Tương tự, ta có với hệ phương trình đạo hàm riêng cấp hai Ở đây, ta nghiên cứu dáng điệu hỗn loạn nghiệm toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt  ∂ 2u ∂ u ∂u   + = α , τ  2      ∂t ∂t ∂x u(0, x) = ϕ1 (x), x ∈ R, ∂u (0, x) = ϕ2 (x), x ∈ R, ∂t (HHT E) đó, ϕ1 nhiệt độ ban đầu, ϕ2 biến thiên ban đầu nhiệt độ α > độ khuếch tán, τ > thời gian hồi phục nhiệt Ta biểu diễn hệ phương trình bậc cách C0 -nửa nhóm tích không gian hàm với ∂u Đặt u1 = u u2 = Ta có ∂t    ∂ u1      ∂t u2   = α ∂2 τ ∂x2      u (0, x) ϕ1 (x)   = , u2 (0, x) ϕ2 (x) 39  I  u1 , −1 u2 I τ x ∈ R (3.2) Cố đinh ρ > xét ∞ f : R −→ C; f (x) = Xρ = n=0 với chuẩn f ρ an ρn n x , (an )n≥0 ∈ c0 n! , (3.3) = sup |an |, c0 không gian Banach dãy số phức n≥0 tiến đến Khi đó, Xρ không gian Banach Theo định nghĩa, đẳng cấu với c0 ∞ Với f (x) = n=0 ∂ 2f = ∂x2 an ρ n n x ∈ Xρ , ta có n! ∞ n=2 an ρn xn−2 = (n − 2)! ∞ n=0 an+2 ρn+2 xn = ρ2 n! ∞ n=0 an+2 ρn xn n! Suy ra, ∂ 2f ∂x2 ρ= ρ2 sup |an+2 | ≤ ρ2 sup |an | = ρ2 n≥0 f ρ n≥0 Đặt   I A :=  α ∂ −1  , I τ ∂x2 τ Ta có A toán tử X := Xρ ⊕ Xρ Thật vậy, Xét toán tử A : X −→ X Ta có  Aϕ =  α ∂ τ ∂x2  I  ϕ1 −1 ϕ2 I τ ϕ2 = α ∂ 2ϕ τ ∂x − ϕ2 τ Do A(ϕ1 , ϕ2 ) X α ∂ ϕ1 − ρ τ ∂x2 α ≤ (1 + ) ϕ2 ρ + τ τ α < (1 + ) ϕ2 ρ + ρ τ τ = ϕ2 + = C ( ϕ1 = C + ϕ2 (ϕ1 , ϕ2 ) X, τ ϕ1 ρ ρ ρ) α τ C0 -nửa nhóm X , nửa nhóm nghiệm (3.2) với C = max + , ρ2 Khi (etA )t≥0 ρ ϕ2 ρ τ ∂ ϕ1 ∂x2 X 40 Mệnh đề 3.2.1 Giả sử ρ > cho ατ ρ2 > nửa nhóm nghiệm (etA )t≥0 (3.2) trộn hỗn loạn Xρ ⊕ Xρ Chứng minh Cho λ ∈ C, z0 , z1 ∈ R, ta đặt Rλ = ∞ ϕλ,z0 ,z1 (x) = z0 n=0 Rλn x2n + z1 (2n)! ∞ n=0 (τ λ2 + λ) định nghĩa α Rλn x2n+1 , (2n + 1)! x ∈ R αρ2 > tâm Khi đó, U ∩ iR = ∅ 2τ Lấy U đĩa mở với bán kính r = Nếu λ ∈ U |Rλ | < ρ2 αρ2 2τ τ αρ 2τ + αρ2 = 1 + 2 0, βn ∈ R, n ∈ N cho sup αn < lim inf βn n→∞ n≥1 Khi đó, nửa nhóm nghiệm (Tt )t≥0 (3.5) trộn hỗn loạn l1 Chứng minh Lấy α = sup αn , β = lim inf βn α/2 < r < β/2 Ta cố định U ⊂ C n≥1 n→∞ đĩa tròn, mở, bán kính r tâm −α/2, U ∩ iR = ∅ Ta tính vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ ∈ U Thật vậy, giả sử f = (fn )n thỏa mãn Af = λf , λ ∈ U λfn = −αn fn + βn fn+1 , 42 n ≥ 1, n−1 fn = γn f1 với γn = k=1 λ + αk , βk n ≥ 1, γ1 = Ngược lại, f (λ) := (γn )n thỏa mãn Af (λ) = λf (λ) Ta phải chứng minh f (λ) ∈ l1 Để làm điều đó, lấy δ ∈ (2r, β), tồn n0 ∈ N cho βn > δ với n ≥ n0 Do đó, ta có −αn ∈ U , với n ∈ N |λ + αn | 2r ≤ < 1, βn δ (3.6) với n ≥ n0 , suy f (λ) ∈ X = l1 Do đó, ta xét hàm f : U −→ X, λ −→ f (λ) Lấy x∗ ∈ X ∗ = l∞ tương ứng với dãy (bn )n bị chặn Khi ∞ ∗ f (λ), x n−1 = n=1 k=1 λ + αk βk bn , (∗) hội tụ với λ ∈ U (3.6), điều khẳng định f chỉnh hình yếu U Cuối cùng, lấy x∗ ∈ X ∗ ứng với (bn )n ∈ l∞ , cho f (λ), x∗ = với λ ∈ U Xét λ = −α1 ∈ U ta b1 = Dãy (*) giản ước cho λ + α1 chỉnh hình U Đặt λ = −α2 ∈ U b2 = Tiếp tục trình bn = với n ≥ Do x∗ = Tất điều kiện Định lý 2.3.3 thỏa mãn nên nửa nhóm nghiệm (3.5) trộn hỗn loạn l1 43 Kết luận Nội dung luận văn bao gồm: • Trình bày cách có hệ thống khái niệm kiến thức tính chất động lực học C0 -nửa nhóm Đó tính siêu lặp, tính trộn, tính trộn yếu tính hỗn loạn • Nghiên cứu tính chất động lực học cho C0 -nửa nhóm tịnh tiến không gian có trọng Lpv (R+ ) • Trình bày số ứng dụng tính chất động lực học C0 -nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hệ phương trình vi phân tuyến tính vô hạn Tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 44 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [2] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long, Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [3] T Bermúdez, A Bonilla, J A Conejero, A Peris, Hypercyclic, topologically mixing and chaotic semigroups on Banach spaces, Studia Math 170 (2005), 57–75 [4] W Desch, W Schappacher, G F Webb, Hypercyclic and chaotic semigroups of linear operators, Ergodic Theory Dynam Systems, 17 (1997), 793–819 [5] L R Devaney, An introduction to chaotic dynamical system, Benjamin/Cum-mings, menlo Park, CA, 1986; Addison-Wesley, Redwood City, CA, 1989 [6] K J Engel, R Nagel, A short course on operator semigroups, Springer, New York, 2006 [7] K.-G Grosse - Erdmann, A Peris, Linear Chaos, Universitext, 2011 45 ... THUYẾT NỬA NHÓM CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm tính chất C0 -nửa nhóm 1.2 Toán tử sinh C0 -nửa nhóm 10 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA C0 -NỬA NHÓM 16 2.1 Tính. .. SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA C0- NỬA NHÓM Bây giờ, bắt đầu nghiên cứu số tính chất động lực học C0 -nửa nhóm Đó tính chất siêu lặp, truyền ứng tôpô, trộn, trộn yếu hỗn loạn cho C0 -nửa nhóm Trong... tính chất C0 -nửa nhóm, toán tử sinh C0 -nửa nhóm Ngoài ra, đưa điều kiện cần đủ theo hàm trọng v để nửa nhóm tịnh tiến không gian có trọng Lpv (R+ ) C0 -nửa nhóm Chương 2: Một số tính chất động