Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa tính siêu lặp, trộn và trộn yếu của một nửa nhóm và tính chất tương ứng của rời rạc hóa của nó. Chúng ta sẽ thiết lập một liên hệ giữa trường hợp liên tục và trường hợp rời rạc.
Để làm điều đó, chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm về tính chất động lực học và tiêu chuẩn siêu lặp cho dãy toán tử.
Cho X là không gian Banach khả ly và Tn :X −→X, n≥1.
Quỹ đạo của một vectơxtheo(Tn)nđược định nghĩa làorb(x,(Tn)) ={Tnx;n∈N0}. Định nghĩa 2.2.1. Một dãy toán tử(Tn)n được gọi là siêu lặp nếu tồn tại x∈X sao cho quỹ đạo của nó theo (Tn)n là trù mật trong X. Trong trường hợp này, x
được gọi là vectơ siêu lặp của (Tn)n.
Dãy (Tn)n được gọi là siêu lặp di truyền nếu có một dãy nguyên dương tăng(nk)k sao cho (Tmk)k là siêu lặp, với mọi dãy (mk)k là dãy con của (nk)k.
Định nghĩa 2.2.2. Cho toán tử Tn :X −→X, n∈N0. Khi đó (Tn)n được gọi là truyền ứng tôpô nếu với mọi cặp U, V mở, không rỗng của X, tồn tại n ≥0 sao cho Tn(U)∩V 6=∅.
Nó được gọi là trộn nếu điều này vẫn đúng với mọi n đủ lớn, và nó được gọi là trộn yếu nếu (Tn⊗Tn)n là truyền ứng tôpô trên X⊗X.
Nhận xét 2.2.1. Nếu Tn = Tn với T : X −→ X thì toán tử T được gọi là siêu lặp (truyền ứng tôpô, trộn, trộn yếu) nếu dãy (Tn)n là siêu lặp (truyền ứng tôpô, trộn, trộn yếu, tương ứng).
Định lý 2.2.1. (Tiêu chuẩn Siêu lặp cho dãy). Cho (Tn)n là một dãy toán tử. Nếu tồn tại các tập con X0, Y0 là trù mật trong X,và dãy nguyên dương tăng (nk)k, và ánh xạ Snk :Y0 −→X, k ≥1, sao cho với mọi x∈X0, y∈Y0 thỏa mãn
(1) Tnkx→0, (2) Snky →0, (3) TnkSnky→y,
thì (Tn)n là trộn yếu, và nó là siêu lặp.
rời rạc hóa của một nửa nhóm (Tt)t≥0 là một dãy các toán tử (Ttn)n với tn −→ ∞. Nếu tồn tại t0 >0 sao cho tn =nt0, n ∈N thì (Ttn)n = (Ttn
0)n được gọi là rời rạc hóa autonomous của (Tt)t≥0.
Chúng ta thấy rằng, một C0-nửa nhóm là siêu lặp khi và chỉ khi nó có một rời rạc (Ttn)n là siêu lặp. Kết quả dưới đây cung cấp đặc trưng của trộn và trộn yếu nửa nhóm trong điều kiện của rời rạc hóa.
Mệnh đề 2.2.1. Cho (Tt)t≥0 là một C0-nửa nhóm trên X. Các mệnh đề sau là tương đương:
(1) (Tt)t≥0 là trộn yếu;
(2) Một rời rạc của (Tt)t≥0 là trộn;
(3) Một rời rạc của (Tt)t≥0 là trộn yếu.
Chứng minh. Nếu nửa nhóm là trộn yếu, thì tồn tại một rời rạc (Ttn⊕Ttn)n là siêu lặp trên X⊕X. Từ toán tử Ttn, n ∈ N giao hoán, khẳng định tồn tại dãy con (Ttnk)k của(Ttn)n là trộn.
Các chứng minh khác là hiển nhiên.
Mệnh đề 2.2.2. Cho (Tt)t≥0 là một C0-nửa nhóm trên X. Các mệnh đề sau là tương đương:
(1) (Tt)t≥0 là trộn;
(2) Mọi rời rạc của (Tt)t≥0 là trộn;
(3) Mọi rời rạc của (Tt)t≥0 là trộn yếu;
(4) Mọi rời rạc của (Tt)t≥0 là siêu lặp;
(5) Mọi rời rạc autonomous của (Tt)t≥0 là trộn;
(6) Một rời rạc autonomous của (Tt)t≥0 là trộn.
Chứng minh. Các khẳng định sau là hiển nhiên (1) =⇒ (2) =⇒ (3) =⇒ (4) và (2) =⇒ (5) =⇒ (6).
(4) =⇒ (1) Giả sử (Tt)t≥0 không là trộn. Khi đó tồn tại cặp U, V mở, không rỗng của X và dãy (tn)n → ∞ sao choTtn(U)∩V =∅, với mọi n ≥1. Suy ra (Ttn)n không thể là truyền ứng tôpô. (Vô lý)
(6) =⇒ (1) Gọi (Tnt0)n là một rời rạc autonomous của (Tt)t≥0 và (Tnt0)n là trộn. Ta cố định U, V mở, không rỗng bất kì của X. Tồn tại U1 mở, không rỗng của U; tồn tại V1 mở, không rỗng của V và W là lân cận của điểm 0, sao cho U1+W ⊂U và V1+W ⊂V.
Mặt khác, theo tính đồng liên tục địa phương của nửa nhóm thì tồn tại tập W1 là một lân cận của điểm 0 sao cho Ts(W1)⊂W, với mọi s∈[0, t0].
Theo giả thiết, tồn tại N ∈N sao cho
Tnt0(U1)∩W1 6=∅ và Tnt0(W1)∩V1 6=∅, với mọi n≥N.
Lấy t ≥ N t0, ta viết t = nt0 +s với n ∈ N, n ≥ N và s ∈ [0, t0]. Ta có thể tìm u1∈U1 và w1∈W1 sao cho Tnt0u1∈W1 và T(n+1)t0w1 ∈V1. Do đó
Ttu1=TsTnt0u1 ∈Ts(W1)⊂W,
và w:=Tt0−sw1 ∈W, ta có
Ttw=T(n+1)t0w1 ∈V1, tức là Tt(u1+w)∈V với u1+w∈U. Khẳng định ý (1).
Ta thấy một C0-nửa nhóm là siêu lặp nếu một rời rạc autonomous của nó cũng là siêu lặp. Kết quả tương tự cũng đúng với tính trộn, tính trộn yếu và tính hỗn loạn. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu điều ngược lại có đúng không? Tức là, từ tính siêu lặp của nửa nhóm có thể suy ra tính siêu lặp của một rời rạc autonomous hay không?
Các nhà toán học Conejero - Muller - Peris đã chứng minh được điều đó. Nhưng chứng minh của họ rất phức tạp. Ở đây, chúng ta sẽ đưa ra chứng minh đơn giản của kết quả cổ điển có phần yếu hơn nhưng vẫn đủ mạnh để có thể áp dụng trong nhiều vấn đề.
Định lý 2.2.2. (Oxtoby-Ulam). Nếu (Tt)t≥0 là một C0-nửa nhóm trên X và x∈ X là một vectơ siêu lặp thì tồn tại một Gδ-tập trù mật, J ⊂ (0,∞) sao cho với mọi t∈J, x là siêu lặp cho Tt.
Chứng minh. Lấyx∈X là một vectơ siêu lặp của C0-nửa nhóm. Ta cố định một cơ sở đếm được (Uk)k mở, không rỗng trong X và tập
Jk =
t∈(0,∞) ;Tntx∈Uk, với một số n ∈N nào đó . Tập Jk là một tập con mở của (0,∞). Ta sẽ chỉ ra nó trù mật.
Thật vậy, nếu 0< a < b <∞, tồn tại n0 ∈N sao cho n0b >(n0+ 1)a. Do đó [
n≥n0
(na, nb) = (n0a,∞).
Lấy s > n0a sao cho Tsx ∈Uk. Sẽ tồn tại n ≥ n0 với s ∈ (na, nb). Ta định nghĩa t = s
n ∈ (a, b), do vậy Tntx ∈ Uk và t ∈ Jk ∩(a, b). Do đó, với mỗi tập Jk là trù mật trong (0,∞). Cuối cùng ta xét
J =
∞
\
k=1
Jk,
Khi đó, theo Định lý Baire, ta cóJ sẽ là Gδ-tập trù mật trong (0,∞).Lấy t∈J, với mỗi k ∈N, tồn tại n ∈N sao cho Tntx ∈Uk. Có nghĩa là, x là vectơ siêu lặp cho Tt.