Header Page of 16 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN MINH BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 Footer Page of 16 Header Page of 16 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN MINH BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Mã số : 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội - Năm 2012 Footer Page of 16 Header Page of 16 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên Một số kiến thức sở toán tài 10 1.2.1 Chứng khoán phái sinh 10 1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá 12 Định giá bảo hộ thị trường đầy đủ 2.1 Bảo hộ thị trường đầy đủ 2.1.1 13 14 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh thị trường đầy đủ 17 2.1.2 Công thức Black-Scholes định giá quyền chọn Châu Âu thị trường đầy đủ 19 Định giá bảo hộ thị trường không đầy đủ 3.1 23 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình 23 3.2 Quá trình cân bình phương trung bình không gian chiến lược đầu tư 25 3.3 3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 26 3.2.2 Định nghĩa 3.2.2 26 Tính đóng GT (Θ) phân tích Fo¨llmer-Schweizer 28 3.3.1 Mệnh đề 3.3.1 28 3.3.2 Bổ đề 3.3.2 30 Footer Page of 16 Header Page of 16 3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 31 3.3.4 Hệ 3.3.4 32 3.3.5 3.3.6 3.4 Hệ 3.3.5 33 Bổ đề 3.3.6 34 Mô tả chiến lược tối ưu 36 3.4.1 Định lí 3.3.7 37 3.4.2 Hệ 3.4.9 41 3.5 Xấp xỉ tài sản phi rủi ro 41 3.6 Bảo hộ trường hợp trình cân mean-variance tất định 43 3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ 3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian 47 3.9 Mô hình Black - Scholes môi trường ngẫu nhiên 50 Tài liệu tham khảo 54 Footer Page of 16 44 Header Page of 16 Lời nói đầu Định giá bảo hộ tài sản phái sinh vấn đề quan trọng tài nói chung toán tài nói riêng Trong thị trường đầy đủ bảo hộ cách xác chiến lược giao dịch Tuy nhiên thị trường không đầy đủ có nhiều chiến lược để bảo hộ, vần đề cần tìm chiến lược tối ưu theo nghĩa Việc bảo hộ có nhiều cách tiếp cận khác Nhưng luận văn tập chung vào việc bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình, luận văn đưa số kết ví dụ bảo hộ bình phương trung bình cho trình ngẫu nhiên liên tục Mục tiêu đưa chứng minh xác để xét đến việc sử dụng không đến độ đo martingale nhỏ để nghiên cứu vấn đề ˆ Quá trình Cho X nửa martingale có dạng X = X0 + M + d M λ ˆ tr d M λ ˆ ˆ = λ cân bình phương trung bình X kí hiệu K Θ không gian trình khả đoán ϑ cho tích phân ngẫu nhiên G(ϑ) = ϑdX nửa martingale bình phương khả tích Cho số c ∈ R biến ngẫu nhiên bình phương khả tích H, chiến lược tối ưu bình phương trung bình ξ (c) làm cực tiểu khoảng cách L2 H − c không gian GT (Θ) Trong tài chính, sử dụng chiến lược ξ (c) để xấp xỉ cho tài sản phái sinh H theo nghĩa làm cho rủi ro người bảo hộ hạn chế với chiến lược giao dịch ϑ ∈ Θ không gian chiến lược ˆ bị chặn, liên tục ta đưa chứng minh đơn giản đầu tư Nếu K cho tính đóng không gian GT (Θ) L2 (P ) tồn phân tích Fo¨llmer-Schweizer H Hơn X thỏa mãn thêm số điều kiện Footer Page of 16 Header Page of 16 ta mô tả chiến lược tối ưu bình phương trung bình dạng công thức liên hệ ngược luận văn đưa số ví dụ dễ dàng so sánh trường hợp với giả thiết khác Khi có thêm điều kiện có khẳng định độ đo martingale tối ưu phương sai độ đo martingale nhỏ trùng Trong số ví dụ đưa ˆT điều giả sử thỏa mãn, qua ta lỗi điển hình K không tất định bao gồm biến ngẫu nhiên ngoại sinh không sinh X Luận văn có cấu trúc chương : Chương 1: Bao gồm sơ lược kiến thức tảng giải tích ngẫu nhiên toán tài Chương 2: Giới thiệu định giá bảo hộ thị trường đầy đủ áp dụng cho mô hình Black-Scholes đơn giản Chương : Phần luận văn đưa việc định giá bảo hộ thị trường không đầy đủ theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình Trong trình viết luận văn, tác giả nhận hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thịnh Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giảng dạy chuyên đề cao học tạo dựng cho tác giả kiến thức tảng thầy cô tổ Xác Suất Thống Kê khoa Toán-Cơ-Tin giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Do trình độ tác giả thời gian hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý quý bạn đọc Footer Page of 16 Header Page of 16 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương điểm qua số kiến thức sở giải tích ngẫu nhiên số khái niệm toán tài sử dụng luận văn 1.1 Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 Martingale Giả sử (Ω, A, P ) không gian xác suất Quá trình X = {Xt , At , t ∈ R} gọi martingale (trên ,dưới) (At , t ∈ R) thỏa mãn điều kiện sau: 1.X = {Xt , At , t ∈ R} trình thích nghi với lọc At (tức Xt At −đo được) 2.E|Xt | < ∞ với t ∈ R 3.Với t ≥ s (t, s ∈ R) E(Xt /As ) = Xs (E(Xt /As ) ≤ Xs ; E(Xt /As ) ≥ Xs ) P − h.c.c Định nghĩa 1.2 Martingale địa phương Quá trình ngẫu nhiên {Xt , At , t ≥ 0} gọi martingale địa phương tồn dãy thời điểm Markov (τn ) (At ) cho (i) P{τn ≤ n} = 1, P{limn→∞ τn = ∞} = (ii) Đối với n = 1, 2, dãy {Mt∧τn , At , t ≥ 0} martingale khả tích Footer Page of 16 Header Page of 16 Định nghĩa 1.3 Nửa martingale liên tục Một trình X gọi nửa martingale liên tục biểu diễn dạng tổng Xt = Mt + At , t ≥ M martigale địa phương liên tục A trình biến phân bị chặn thích nghi liên tục thỏa mãn A0 = Định lý 1.1 Burkholder-David-Gundy Giả sử {Mi , Ai , ≤ i ≤ N } martingale, < p < ∞ d0 = M0 , di = Mi+1 − Mi , = i < · · · < n = N Khi tồn số C1 , C2 phụ thuộc p không phụ thuộc dãy di , i = 1, , N cho N N p d2i | C E| p p d2i | ≤ E|MN | ≤ C2 E| i=1 i=1 Kí hiệu N d2i [M ]N = i=1 gọi biến phân bình phương MN Khi ta có C1 || [M ]N ||p ≤ ||MN ||p ≤ C2 || [M ]N ||p Định lý 1.2 Girsanov Cho Yt trình Ito có vi phân ngẫu nhiên sau: dYt = a(t, ω)dt + dWt , t ≤ T ≤ ∞, Y0 = hệ số dịch chuyển a(t, ω) thỏa mãn điều kiện Novikov E[e T a2 (s,ω)ds ] < ∞ Xác định độ đo xác suất Q sau dQ = LT , Lt = e− dP Footer Page of 16 t a(s,ω)dWs − 21 t a2 (s,ω)ds Header Page of 16 Với xác suất Q Yt trở thành martingale họ (Ft ), FtW = σ(Ws , s ≥ t) t ||gs || ds t < ∞h.c.c Ta định nghĩa (gs , dWs ) − αt = exp[ t ||gs ||2 ds] Định lý 1.3 Bất đẳng thức Doob Nếu {Xt , At , ≤ t ≤ T } martingale không âm với E|Xt |p < ∞, ≤ t ≤ T, < p < ∞ ||XT ||p ≤ || sup |Xt |||p ≤ q||XT ||p , 0≤t≤T ||X||p = (E|X|p ) p , 1 + = p q Định lý 1.4 Công thức Ito Nếu Xt trình Ito vi phân ngẫu nhiên có dạng dXt = a(t, w)dt + b(t, w)dWt Cho Yt = g(t, Xt ) với g(t, x) hàm xác định [0, ∞) × R có đạo hàm riêng gt , gx , gxx liên tục Khi Yt = g(t, Xt ) trình Ito với vi phân ngẫu nhiên là: ∂g ∂g ∂ g ∂g +a + b ]dt + b dWt ∂t ∂x ∂x2 ∂x Công thức Ito nhiều chiều dYt = [ Cho W (t, ω) = (W1 (t, ω), , Wm (t, ω)) chuyển động Brown m-chiều X(t, ω) = (X1 (t, ω), , Xn (t, ω)) dX = hdt + f dW vi phân ngẫu nhiên Ito n-chiều (với f, h hàm ngẫu nhiên đo dần, f khả đoán, khả tích theo đoạn hữu hạn với hầu hết ω ) Giả sử g(t, x) = (g1 (t, x), , gp (t, x)) ánh xạ hai lần khả vi liên tục R+ × Rn → R+ Khi trình Y (t, ω) = g(t, Xt ) vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà thành phần thứ k Yk cho dYk = ∂gk (t, X)dt + ∂t i ∂gk (t, X)dXi + ∂xi Footer Page of 16 i,j ∂ gk (t, X)dXi dXj , ∂xi ∂xj Header Page 10 of 16 biểu thức dXi dXj dWi dWj = σij dt, dtdWi = dtdWj = Định nghĩa 1.4 Nghiệm mạnh phương trình vi phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều phương trình có dạng dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt tương đương t X t = X0 + t a(s, Xs )ds + b(s, Xs )dWs Nghiệm mạnh phương trình trình Xt liên tục thích nghi với At cho T |a(t, Xt (ω))|dt < ∞ = 1, P T |b(t, X(t, ω))|2 dt < ∞ E biểu thức tích phân thỏa mãn với xác suất với t ∈ [0, T ] Định lý 1.5 Định lý tồn nghiệm Giả sử T > a, b : [0, T ] × R → R, hàm đo thỏa mãn điều kiện |a(t, x)| + |b(t, x)| ≤ C(1 + |x|), x ∈ R, t ∈ [0, T ] |a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ D|x − y|, x ∈ R, t ∈ [0, T ] C,D số dương Giả sử Z biến ngẫu nhiên độc lập với A∞ cho E|Z|2 < ∞ Khi phương trình vi phân dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt , ≤ t ≤ T, X0 = Z có nghiệm Xt thuộc NT ( lớp hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]×Ω → T R đo được, thích nghi At Footer Page 10 of 16 E|f (t, ω)|2 dt < ∞ ) Header Page 43 of 16 3.4.2 Hệ 3.4.9 Với giả thiết định lí 3.4.7 rủi ro toàn phương nhỏ cho (c) J0 = E ((H − c − GT (ξ )) (H0 − c)2 + E[(LH ) ] = +Eˆ ˆ E[Z ] T T d[LH ] Zˆs0 Chứng minh Theo (3.10) (3.11) ta có ˆ T (H − c − GT (ξ (c) ))] J0 = E[N ˆ T (H0 − c + GT (ξ H − ξ (c) ) + LH = E[N T )] H (c) ˆ T (H0 − c)] + E[N ˆ T LH ˆ = E[N T ]( E[NT GT (ξ − ξ )] = 0) Theo bổ đề ta có N Pˆ -martingale suy ˆ H (H0 − c)2 + (H0 − c)E[L ] E[ZˆT ] (H0 − c)2 = ˆ E[Z ] ˆ T (H0 − c)] = (H0 − c)E[N ˆ 0] = E[N T H H ˆ H ˆ Từ E[L N ] = E[L0 ] = P = P F0 Ta lại có L ∈ M2 (Pˆ ) Do ˆ H E[(L ) ] H H H ˆ ˆ ˆ E[NT LT ] = E[N0 L0 ] + E[[N, L ]T ] = + Eˆ ˆ E[ZT ] T d[LH ]s ˆ Zs Sau ta áp dụng kết vào số ví dụ cụ thể để thấy ý nghĩa thú vị chúng 3.5 Xấp xỉ tài sản phi rủi ro Trong ví dụ ta xét trường hợp đơn giản cho H =1 c=0 Xét khía cạnh toán học tìm hình chiếu L2 (P ) GT (Θ) 41 Footer Page 43 of 16 s Header Page 44 of 16 tương ứng với X Theo tài muốn xấp xỉ toán an toàn giá trị cuối chiến lược tự tài trợ với vốn ban đầu việc đầu tư vào tài sản rủi ro X , , X d ; chất lượng xấp xỉ đo hàm lỗ toàn phương Dưới giả sử định lí 3.3.7 nghiệm toán tối ưu bình phương trung bình cho (0) ξt = −E( ζˆt ζˆ dX)t ; ≤ t ≤ T Zˆ Zˆt (3.12) Vì với Vˆ ≡ ξ H ≡ công thức (3.6) định lí 3.3.7 thêm vào vế suy 1− − ζˆ (1 − Zˆ (0) ξ (0) dX = + ξ (0) dX = E( ζˆ dX) Zˆ ξ (0) dX)dX, thay vào công thức định lí 3.3.7 ta có (3.12) với rủi ro toàn phương nhỏ J0 = (H0 = 1; LH = 0) ˆ E[Z ] T Ví dụ 3.1 Giả sử H thỏa mãn điều kiện đặc biệt LH T = phân tích F o¨llmer-Schweizer H T ξsH dXs H = H0 + (3.13) với H0 ∈ R ξ H ∈ Θ Nếu tự lựa chọn ϑ mà chọn vốn ban đầu c toán tối ưu Nghiệm tầm thường cho c = H0 ξ (H0 ) = ξ H với rủi ro toàn phương Cho ngoại sinh c theo định lí hình chiếu chiến lược tối ưu ξ (c) toán (3.1) hàm tuyến tính H Hơn theo (3.2) phần GT (ξ H ) bảo hộ hoàn hảo ξ H phần dư H0 − c số xấp xỉ phần ta có nghiệm : (c) ξt = ξtH − (H0 − c)E( ζˆ ζˆt (0) dX)t = ξtH + (H0 − c)ξt , ≤ t ≤ T ˆ ˆ Z Zt 42 Footer Page 44 of 16 Header Page 45 of 16 3.6 Bảo hộ trường hợp trình cân mean-variance tất định Sau ta xét đến ví dụ mà định lí 3.3.7 thỏa mãn Giả sử X nửa martingale liên tục thỏa mãn điều kiện cấu trúc Tính liên tục ˆ dẫn tới K Zˆ = E(− ˆ λdM ) = E(− ˆ ˆ = E(− λdX + K) ˆ K ˆ λdX)e , cụ thể ta có dPˆ ˆ = ZˆT = eKT E(− dP T ˆT K ˆ (1 − λdX) T =e E(− ˆ ˆ λdX) s λs dXs ) ˆ T tất định K ˆ bị Nếu ta giả sử giá trị trình MVT K ˆ ˆ chặn ZˆT = eKT + ζdX với ˆ ζˆ := −eKT E(− ˆ ˆ λdX) λ (3.14) ˆ T = thỏa mãn theo công thức (3.5), từ Suy giả sử đặc biệt L ˆ ˆ suy ζˆ ∈ Θ Hơn nữa, E(− λdX) tính bị chặn K Pˆ − martingale, ta có ˆ ZˆT |Ft ] = eKˆ T E(− Zˆt0 = E[ ˆ λdX) t, ≤ t ≤ T điều dẫn tới − ζˆt ˆ t , ≤ t ≤ T =λ ˆ Zt (3.15) Cho biến ngẫu nhiên H nghiệm toán tối ưu cho t (c) ˆ t Vˆt− − c − ξt = ξtH + λ ξs(c) dXs , ≤ t ≤ T 43 Footer Page 45 of 16 (3.16) Header Page 46 of 16 với rủi ro toàn phương nhỏ J0 = e ˆT −K T 2 E[(LH ) ] (H0 − c) + ˆ eKs d[LH ]s +E = T ˆ e−KT (H0 − c)2 + E[(LH ) ]+E ˆ eKs d LH P s 3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ Cho X thỏa mãn dXti = (bit − rt )dt + i Xt n n vtij dWtj = j=1 mit dt vtij dWtj + j=1 với chuyển động Brownian W Rn Quá trình b v mô tả tỉ lệ tăng giá độ dao động d chứng khoán S , , S d r lãi xuất an toàn trả trái phiếu S Giá chiết khấu cho X i = Si S0 Bài toán khái quát hóa từ mô hình Black-Scholes Nếu giả sử d ≤ n ma trận vt có hạng đầy đủ thời điểm t với P − h.c.c so sánh công thức ta có dA dM = dM ˆ λdM = (b − r1)tr (vv tr )−1 vdW, (3.17) với dA = Xt mt dt, d M = (vv tr )Xt dt, dM = Xt vdW ˆ λdM =[ ˆ = K = ∆ ˆ λdM ˆ λdM ] s s (3.18) d i ˆ tr λ ˆ λ s s (∆M )s = s = i=1 (bs − rs 1)tr (vs vstr )−1 (bs − rs 1)ds 44 Footer Page 46 of 16 Header Page 47 of 16 với := (1 1)tr ∈ Rd Do nhận trình MVT bị chặn bảo toàn theo tiêu chuẩn rủi ro giá thị trường vstr (vs vstr )−1 (bs − rs 1); ≤ s ≤ T bị chặn Trong trường hợp chiều d=1 suy điều kiện ms bs − rs = ; 0≤s≤T vs vs bị chặn Nếu ta chọn P - tăng FW lọc sinh W d=n biết đến mô hình kết đầy đủ biến ngẫu nhiên khả tích đầy đủ viết tổng số tích phân ngẫu nhiên tương ứng với X Thực vậy, theo định lí biểu diễn Ito dẫn tới biểu diễn số cộng với tích phân ngẫu nhiên W viết lại thành phần X với việc sử dụng quy tắc Bayes nghịch đảo vt Tuy nhiên, đầy đủ hạn chế giả sử không ˆ T = Giả sử cho d=n yêu cầu đầy đủ để thu L lọc FW ⊆ F tùy ý Nếu giả sử giá rủi ro thị trường v tr (vv tr )−1 (b − r1) = v tr (vv tr )−1 m thích nghi với FW (3.7) dẫn tới ZˆT = E(− (3.19) ˆ λdM )T FW T - đo biểu diễn số cộng với tích phân ˆ T = thỏa ngẫu nhiên X theo lập luận Do giả sử L mãn áp dụng định lí 3.3.7 hệ 3.4.9 để xác định chiến lược tối ưu rủi ro toàn phương nhỏ cho biến ngẫu nhiên H Chú ý tính không đầy đủ mô hình suy từ thực tế lọc F chứa đựng nhiều thông tin cho giá chiết khấu X giá S 45 Footer Page 47 of 16 Header Page 48 of 16 Ví dụ 3.2 Lấy d=1 cho X nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên dXt = m(t; Xt )dt + v(t, Xt )dWt (3.20) Xt với giả sử thích hợp hàm m, v (3.20) có nghiệm mạnh thích nghi với lọc FW Điều dẫn tới điều kiện (3.19) thỏa ˆ T = thỏa mãn với lọc F thu từ FW mãn L áp dụng kết định lí 3.3.7 hệ 3.4.9 ˆ T = Ví dụ 3.3 Trong trường hợp tổng quát hơn, giả sử đặc biệt L thỏa mãn ZˆT FX - đo X có tính chất biểu diễn T khả đoán cho lọc chẳng hạn X cho dXi = mit dt + i Xt d v ij (Xt )dWtj j=1 với mi bị chặn thích nghi với FX v ij tắc đủ ZˆT FX T - đo từ biểu diễn ˆ ZˆT = eKT E(− biểu diễn rõ ràng cho ˆ λdX) T, ˆ ˆ giả sử đo m v λdX K Ví dụ 3.4 Chúng ta xét trường hợp d = lọc F sinh W chuyển động Brownian W độc lập Một P-martingale trực giao với M tích phân ngẫu nhiên W thành phần trực giao phân tích Fo¨llmer-Schweizer H có dạng LH = LH + η H dW H với η Hơn F0 tầm thường LH = E[L0 ] = Khi rủi ro toàn phương nhỏ cho (H0 − c)2 J0 = + Eˆ ˆ E[Z ] T 46 Footer Page 48 of 16 T H (ηs ) ds Zˆs0 Header Page 49 of 16 3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian Bây áp dụng định lí 3.3.7 cho mô hình biến động ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: dXt = m(t, Xt , Yt )dt + v(t, Xt , Yt )dWt Xt (3.21) Trong Y thừa số ngẫu nhiên thêm vào nhận giá trị Y bị ảnh hưởng theo phát triển X Chúng ta giả sử m, v, Y (3.21) có nghiệm mạnh coi F P-tăng lọc sinh X Y Từ Y đặc trưng cho định lượng phi mậu dịch Mô hình (3.21) không đầy đủ trường hợp tổng quát Hơn giả sử (X,Y) trình markov theo P Nếu ta hạn chế quan tâm tới tài sản phái sinh dạng H = h(Xt , Yt ) Việc tìm phân tích Fo¨llmer-Schweizer H dễ dàng Từ ˆ t = dA = Xt m(t, Xt , Yt )dt = m(t, Xt , Yt ) , ≤ t ≤ T (3.22) λ dM Xt2 v (t, Xt , Yt )dt Xt v (t, Xt , Yt ) dPˆ = ZˆT = E(− dP m(s, Xs , Ys ) dWs )T v(s, Xs , Ys ) (3.23) Theo công thức Bayes tính Markov (X,Y) với P suy ˆ ˆ Vˆt = E[H| Ft ] = E[h(X ˆ(t, Xt , Yt ) T , YT )|Ft ] = v với hàm vˆ : [0, T ].R+ Y → R điều sử dụng để đưa biểu diễn rõ ràng cho ξ H , LH ví dụ sau minh họa 47 Footer Page 49 of 16 Header Page 50 of 16 Ví dụ 3.5 Cho Y nghiệm mạnh phương trình vi phân ngẫu nhiên dYt = a(t, Xt , Yt )dt + b(t, Xt , Yt )dWt (3.24) với chuyển động Brownian W độc lập theo P Với giả sử tắc hàm hệ số m, v, a, b, hàm vˆ C 1,2,2 [0, T ) × (0, ∞) × R nghiệm phương trình vi phân thông thường vˆ ∂ vˆ ∂ vˆ ∂ˆ v + a + b2 + x2 v 2 = 0, (0, T ) × (0, ∞) × R ∂t ∂y ∂y ∂x với điều kiện bị chặn vˆ(T, x, y) = h(x, y) với x, y ∈ R+ × R Áp dụng công thức Ito cho vˆ ta có : ∂ˆ v ∂ˆ v ∂ˆ v ∂ˆ v dt + Xmdt + XvdW + adt ∂t ∂x ∂x ∂y 2 ∂ˆ v ∂ vˆ ∂ vˆ ∂ vˆ + bdW + xvbdW dW + x2 v 2 dt + b dt ∂y ∂x∂y ∂x ∂ 2y ∂ vˆ + xvbdW dW ∂y∂x dˆ v= Khi dẫn tới ξtH = ∂ˆ v (T, Xt , Yt ) với ≤ t ≤ T ∂x t ∂ˆ v (T, Xs , Ys )b(s, Xs , Ys )dWs , ≤ t ≤ T ∂x Từ áp dụng công thức định lí 3.4.7 ta có chiến lược ξ (c) để đáp ứng LH t = Mệnh đề 3.8.10 Giả sử m v (3.21) không phụ thuộc vào y Khi giả sử đặc biệt thỏa mãn biểu thức dấu tích phân ζˆ (3.5) rõ ràng cho ∂g ˆ t g(t, Xt ) , ≤ t ≤ T ζˆ = Zˆt (t, Xt ) − λ (3.25) ∂x Trong g : [0, T ] × R+ → R nghiệm phương trình vi phân thường ∂g m2 ∂g 2 ∂ g + xv − xm + g = (0, T ) × (0, ∞) ∂t ∂x2 ∂x v 48 Footer Page 50 of 16 (3.26) Header Page 51 of 16 với điều kiện biên x ∈ R+ g(T, x) = với Hơn ta có ∂g ζˆt ∂x ˆ t − (t, Xt ) , ≤ t ≤ T − =λ g(t, Xt ) Zˆt (3.27) Chứng minh Điều kiện đủ cho tồn g chẳng hạn m v bị chặn Lipschitz theo (t,x) kết hợp với bị chặn theo v Nếu m v không phụ thuộc vào y Phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.20) X giả sử đặc biệt ví dụ 3.2 Áp dụng công thức Ito với tích Ut := Zˆt g(t, Xt ) viết , cho vi phân thường tương ứng với t x Sử dụng (3.22) ,(3.23) (3.26) thu ˆ X v dt+Zˆt g dXt −Zˆt g λ ˆ t dMt = Zˆt (g −λ ˆ t g)dXt g Xt2 v −λg dUt = Zˆt g+ ˙ t Do U la Pˆ − martingale với UT = ZˆT = ZˆT0 suy Zˆ ≡ U Vậy ta có (3.25) (3.27) Ví dụ 3.6 Trong trường hợp đặc biệt với m v không phụ thuộc vào x ta dễ dàng viết nghiệm (3.26) sau T g(t, x) = g(t) = exp t m2 (s) ds v (s) từ (3.27) thu (3.15) Điều hiển nhiên trình ˆ = m22 (s) ds tất định trường hợp Nếu m v không phụ K v (s) thuộc vào biến ngẫu nhiên sinh Y Ta thấy giả sử đặc biệt thỏa mãn Trong trường hợp đối xứng giả sử đặc biệt không thỏa mãn Định lí 3.8.11 Giả sử m, v, a, b (3.24) (3.21) không phụ ˆ T bị chặn không tất định giả sử đặc biệt thuộc vào x Nếu K không thỏa mãn 49 Footer Page 51 of 16 Header Page 52 of 16 Chứng minh Từ m, v, a, b không phụ thuộc vào x (3.10) (3.13) dẫn tới ˆ T = T m22 (s,Ys ) ds FW − đo Do theo định lí biểu diễn Itô ta K T v (s,Ys ) có ˆ T ˆ eKT = E[eKT ] + νs dWs P − a.s Áp dụng quy tắc tích cho trình E − T ˆ ˆ λdX UT := E[eKT ] + νdW dẫn tới dPˆ =E − dP = E[e ˆT K ˆ λdX T UT T ]− Us E − ˆ ˆ dXs + λdX λ s s T E − ˆ λdX ν dWs s s (3.28) ˆ T bị chặn, U bị chặn kết hợp với (3.3) suy [W , X] = Từ K (3.17) phân tích Fo¨llmer- Schweizer dPˆ dP hai biểu thức dấu tích phân khả tích biểu thức cuối P-trực giao mạnh Pˆ T không tất định v khác martingale với M Nhưng K trực giao mạnh với số hạng (3.28) suy giả sử đặc biệt không thỏa mãn 3.9 Mô hình Black - Scholes môi trường ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau dXt = mt dt + vt dWt Xt (3.29) với trình m v độc lập với chuyển động Brownian W giả sử (3.29) có nghiệm mạnh hầu hết m v Mô hình mô hình Black-Scholes môi trường ngẫu nhiên mô tả trình ngẫu nhiên m v Bộ lọc sinh W tăng thời điểm theo đầy đủ m v Thực vậy, môi trường ngẫu nhiên 50 Footer Page 52 of 16 Header Page 53 of 16 chọn thời điểm X khai triển chuyển động Brownian hình học thông thường với hệ số ngẫu nhiên xác định tác động môi trường Đây mô tả rõ ràng mô hình mà toàn biến ngẫu nhiên hệ số ngoại sinh từ X (3.20) Xét định lí sau Định lí 3.9.12 Giả sử trình m v (3.29) độc lập với ˆ T không tất định giả chuyển động Brownian W mv bị chặn Nếu K sử đặc biệt không thỏa mãn m2s vs2 ds ˆ = Chứng minh Theo ta có K T ZˆT = exp − Zˆ = E(− m v dW ) 1ˆ ms dWs − K T vs Từ m v độc lập với W phân phối điều kiện log ZˆT cho ˆ T phương sai K ˆ T Từ ta m v phân phối chuẩn với kì vọng − K so sánh ˆ E[ZˆT2 ] = E[eKT ] theo điều kiện m v Từ m v F0 −đo được, trình ˆ Zt := e−KT E[e−Kˆ T ] Zˆt P-martingale dương thực với kì vọng Từ Pˆ độ đo martingale theo X, tích ZX P-martingale ta định nghĩa dQ dP độ đo martingale tương đương Q cho X sau := ZT Theo lập luận ta có E[ZT2 ] = ˆ E[e−2KT ZˆT2 ] (E[e−Kˆ T ])2 = E[e−Kˆ T ] Do theo bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi suy dQ dP L2 (P ) < 51 Footer Page 53 of 16 dPˆ dP L2 (P ) x ˆ T không tất định K Header Page 54 of 16 hay EZ < E Zˆ Do Pˆ không độ đo phương sai tối ưu theo bổ đề [6] suy giả sử đặc biệt không thỏa mãn 52 Footer Page 54 of 16 Header Page 55 of 16 Kết Luận Luận văn tìm hiểu phương pháp định giá bảo hộ cho sản phẩm tài Nếu thị trường đầy đủ giá chiến lược bảo hộ Xét với mô hình Black-Scholes ta có công thức giá chiến lược bảo hộ tường minh luận văn chạy thử số liệu thật Còn thị trường không đầy đủ trước số điều kiện đặc biệt, chiến lược bảo hộ tối ưu theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình mô tả dạng công thức liên hệ ngược Và luận văn áp dụng cho số mô hình cụ thể có nhiều ứng dụng thực tế Một hạn chế luận văn chưa thực hành kiến thức lý thuyết định giá bảo hộ thị trường không đầy đủ, chạy số liệu thật Hướng nghiên cứu hướng tìm điều kiện mạnh đưa công thức dễ dàng để mô tả chiến lược tối ưu cho thị trường không đầy đủ 53 Footer Page 55 of 16 Header Page 56 of 16 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2005), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Trần Hùng Thao(2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa Học Kĩ Thuật, Hà Nội [3] Trần Hùng Thao(2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên , NXB Khoa Học Và Kĩ Thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến(1999), Các mô hình xác suất ứng dụng(phần III), NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [5] Huyên Pham, Thorsten Rheinla ¨nder, Martin Schweizer(1998), "MeanVariance Hedging for Continuous Process: New Proofs and Examples", Finance and Stochastic 2, 173-198 [6] Martin Schweizer(1996), "Approximation Pricing and the VarianceOptimal Martingale Measure", Annals of Probability 24, 206-236 [7] Martin Schweizer(1995), "On the Minimal Martingale Measure and the Fo¨llmer-Schweizer Decomposition",Stochastic Analysis and Applications 13 , 573 -599 [8] J Michael Harrison, Stanley R Pliska(1983), "A stochastic calculus model of continuous trading :complete markets ", Stochastic Processes and their Applications 15 , 313-316 North-Holland [9] Martin Schweizer(2001), "A Guided Tour through Quadratic Hedging Approaches", Cambridge University Press , 538-574 54 Footer Page 56 of 16 Header Page 57 of 16 [10] H Fo¨llmer and M Schweizer (1991), "Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information", Applied Stochastic Analysis,Gordon and Breach, London/New York, 389-414 [11] Michael Meyer (2001), " Continuous Stochastic Calculus with Applications to Finance", Chapman and Hall/CRC.Boca Raton 55 Footer Page 57 of 16 ... of 16 I HC QUC GIA H NI I HC KHOA HC T NHIấN NGUYN VN MINH BO H TRONG TH TRNG KHễNG Y Chuyờn ngnh: TON XC SUT THNG Kấ Mó s : 60 46 15 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc TS NGUYN THNH H Ni... quỏ trỡnh lói chit khu hoc l thụng qua chin lc giao dch bi nh u t Trong ú (ii) núi lờn rng nhng chin lc giao dch ỏp ng khụng cho phộp giỏ tr ca phng ỏn u t õm (iii) núi rng tt c s thay i giỏ tr... tớch H, chin lc ti u bỡnh phng trung bỡnh (c) lm cc tiu khong cỏch L2 gia H c v khụng gian GT () Trong ti chớnh, s dng chin lc (c) xp x cho ti sn phỏi sinh H theo ngha lm cho ri ro ca ngi bo