Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN THẾ ANH XÂY DỰNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN THẾ ANH XÂY DỰNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Footer Page of 258 Header Page of 258 Mục lục MụC LụC Mở ĐầU KIếN THứC CƠ Sở 1.1 Một số ký hiệu 1.1.1 Một số không gian hàm 1.1.2 Một số hàm số 1.2 Phép biến đổi Laplace 10 1.2.1 Định nghĩa (Hàm gốc) 10 1.2.2 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace) 10 1.2.3 Định lý (Lerch) 10 1.2.3 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace ngược) 11 1.2.5 Chú ý 11 1.2.6 Một số tính chất phép biến đổi Laplace 11 1.2.7 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ngược 12 1.2.8 Bổ đề 12 1.3 Hàm Green cho phương trình Parabolic 15 1.3.1 Định nghĩa 15 1.3.2 Định lý 15 1.3.3 Nhận xét 15 1.4 Phép tính ngẫu nhiên 16 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên 16 1.4.2 Chuyển động Brownian hay trình Wiener 18 1.4.3 Bộ lọc cho chuyển động Brownian 18 1.4.4 Công thức Itô - Doeblin 18 PHƯƠNG TRÌNH BLACK - SCHOLES 21 2.1 Sơ lược thị trường quyền chọn 21 2.2 Xây dựng phương trình Black- Scholes 22 2.3 Công thức Black- Scholes định giá quyền chọn 26 XÂY DựNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES 27 Footer Page of 258 Header Page of 258 3.1 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên bị chặn 27 3.2 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng Dirichlet 36 3.3 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng hỗn hợp 39 KẾT LUẬN 46 TÀI LIệU THAM KHảO 47 Footer Page of 258 Header Page of 258 Mở đầu Nội dung nghiên cứu luận văn tìm hiểu cách thiết lập phương trình Black- Scholes cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes số điều kiện biên khác Phương trình Black - Scholes luận văn thiết lập từ việc xem xét trình ngẫu nhiên tài giá quyền chọn kiểu Châu Âu Cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black - Scholes dựa điều kiện biên Kỹ thuật dựa tích hợp phương pháp biến đổi Laplace phương pháp biến thiên số Luận văn gồm ba chương Chương trình bày số kiến thức cần sử dụng cho phần sau luận văn Phần thứ ký hiệu không gian hàm hàm số cần sử dụng Phần thứ hai liên quan đến đến Phép biến đổi Laplace: định nghĩa, tính chất cần sử dụng phần sau Trong phần này, kết phép biến đổi Laplace đưa Bổ đề (1.2.8) kết quan trọng sử dụng trực tiếp cho Chương người viết tìm hiểu bổ sung Phần thứ ba nội dung liên quan Lý thuyết hàm Green Phần người viết trình bày định nghĩa, định lý hàm Green cho phương trình Parabolic Footer Page of 258 Header Page of 258 nội dung liên quan trực tiếp đến hàm Green cho phương trình Black Scholes Các kết dược chứng minh [7] Phần cuối liên quan đến Phép tính ngẫu nhiên gồm: Khái niệm trình ngẫu nhiên, chuyển động Brownian, lọc cho chuyển động Brownian, công thức Itô - Doeblin cho chuyển động Brownian Công thức Itô - Doeblin cho trình Itô Chương có nội dung trọng tâm giới thiệu cách xây dựng phương trình Black - Scholes Phần thứ nhất, sơ lược thị trường quyền chọn, trình bày khái niệm quyền chọn, sơ lược trình phát triển thị truường quyền chọn gới Phần thứ hai, xây dựng phương trình Black - Scholes, xét quyền chọn quyền chọn cổ phiếu Xem giá quyền chọn cổ phiếu trình ngẫu nhiên Sử dụng công thức Itô-Doeblin cho trình ngẫu nhiên số nguyên tắc tài dẫn đến phương trình Black-Scholes Phần cuối công thức nghiệm phương trình Black - Scholes Trong chương phần lớn nội dung người viết tổng hợp từ cách xây dựng tác giả Steven E.Shreve [15] Chương nội dung trọng tâm giới thiệu cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes với điều kiện biên khác Phần thứ nhất, xây dựng hàm Green cho phương trình Black - Scholes với điều kiện cuối có dạng tổng quát điều kiện phương trình Black- Scholes xét chương Phần thứ hai, xây dựng hàm Green phương trình Black - Scholes với điều kiện biên dạng Dirichlet Phần thứ ba, xây dựng hàm Green phương trình Black - Scholes với điều kiện biên dạng hỗn hợp Footer Page of 258 Header Page of 258 Nội dung chương tổng hợp từ báo tác giả M Y Melnikov, Y A Melnikov [12] Người viết bổ sung cách giải nghiệm phương trình Blach - Scholes cách áp dụng hàm Green để đến công thức Black-Scholes Mặc dù có nhiều cố gắng trình viết luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định, người viết mong nhận ý kiến quý báu Thầy cô bạn đọc quan tâm Footer Page of 258 Header Page of 258 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TS Đặng Đức Trọng Người viết xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Thầy Thầy định hướng nghiên cứu, tạo môi trường nghiên cứu bước hướng dẫn hoàn thành luận văn Người viết xin tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, giảng dạy cung cấp nhiều kiến thức bổ ích trình học tập Người viết xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, tạo điều kiện thuận lợi trình học tập trường Người viết xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Cao học Giải tích K21 trường Đại học Sư phạm, nhóm Seminar Toán Tài trường Đại học Khoa học Tự nhiên giúp người viết nhiều trình học tập nghiên cứu Người viết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy cô Bộ môn Toán, Thầy cô Khoa Tự nhiên, Phòng Tổ chức, BGH trường CĐSP Nha Trang trao đổi, góp ý, kuyến khích tạo nhiều điều kiện thuân lợi thời gian học Cuối cùng, người viết xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình người thân, người động viên, giúp đỡ sống trình học tập nghiên cứu Xin trân trọng cảm ơn TP Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng năm 2013 Trần Thế Anh Footer Page of 258 Header Page of 258 Chương Kiến thức sở 1.1 Một số ký hiệu 1.1.1 Một số không gian hàm Cho U tập mở R k C= (U ) {u : U → R ∣ u liên tục U } (U ) {u : U → R ∣ C= u li e n tuc tr e n U } C k= (U ) {u : U → R ∣ u khả vi U } C k= (U ) {u : U → R ∣ u khả vi cấp k U } C ∞= (U ) {u : U → R ∣u lhả vi vô hạn lần U } Cc (U ), Cck (U ), Cc∞ (U ) hàm C (U ), C k (U ), C ∞ (U ) có giá compact 1.1.2 Một số hàm số Hàm đặc trưng 1, 0, Hàm đặc trưng tập E , ký hiệu χ E , χ E ( x) =  Hàm Delta Dirac hàm bước Heaviside Footer Page of 258 x ∈ E, x ∉ E Header Page 10 of 258 Hàm Delta Dirac, ký hiệu δ ( x) , hàm suy rộng thỏa mãn ∞ ∫ φ ( x)δ ( x)dx = φ (0) −∞ ∞ Khi theo định nghĩa với x0 ta có φ ( x ) ∫ φ ( x)δ ( x − x )dx = 0 −∞ x Vì gọi H ( x) = ∫ δ (t )dt hàm H ( x) định nghĩa −∞ 0, H ( x) =  1, x < 0, x ≥ Ta gọi hàm $H(x)$ hàm bước Heaviside x Theo trên, H ( x) = ∫ δ (t )dt , ta có δ ( x) = −∞ dH ( x) dx 1.2 Phép biến đổi Laplace 1.2.1 Định nghĩa (Hàm gốc) Cho hàm số f thỏa mãn tính chất [i.] f đo (0, ∞) , [ii.] f tăng không nhanh hàm mũ τ → ∞ , nghĩa ∃α , ∃M > 0, f (τ ) ≤ Meατ ,τ > Hàm f có tính chất (i), (ii) gọi hàm gốc Số α = inf α gọi số tăng f 1.2.2 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace) Với hàm gốc f (τ ) với số tăng α , hàm số +∞ − sτ F : C → C , s  F (s) = ∫ e f (τ )dτ xác định miền Re( s ) > α gọi phép biến đổi Laplace, kí hiệu L( f ) = F L( f (τ )) = F ( s ) L( f (τ ))( s) = F ( s) 1.2.3 Định lý (Lerch) Cho f, g liên tục [0, ∞) Nếu L{ f } = L{g} f = g (Xem [14, tr 24]) 10 Footer Page 10 of 258 Header Page 34 of 258 = = ( − r (T −t )) S S ln( )2 + 2( r −σ /2)(T −t )ln( ) + ( r −σ /2)2 (T −t )2  S S − 2σ (T −t ) ( − r (T −t )) − e e  S [2πσ (T − t )]1/2 [ e e  S [2πσ (T − t )]1/2 ] S ln( ) + ( r −σ /2)(T −t ) S 2σ (T −t ) Như ta tìm hàm Green cho phương trình Black- Scholes \eqref{e1} với điều kiện (3.2), (3.3) G ( S , t ; S ) = [ − r (T − t ) e e  S [2πσ (T − t )]1/2 ] S ln( ) + ( r −σ /2)(T −t ) S − 2σ (T −t ) Sử dụng hàm Green để giải nghiệm phương trình Black-Scholes Điều kiện cuối (3.2) ta lấy f ( S= ) ( S − K ) + , điều kiện cuối (3.2) điều kiện toán (2.8) Theo cách biễu diễn nghiệm hàm Green \eqref{b5} ta có: ∞ v( S , t ) = ∫ G ( S , t ; S ) f ( S ) ∫ ∞ e ∞ K =∫ K e − ∞ e ( S − K ) + dS ] ( S − K )dS 2σ (T −t ) ] S ln( ) + ( r −σ /2)(T −t ) S 2σ (T −t ) [ − r (T − t ) e e  S [2πσ (T − t )]1/2 dS ] S ln( ) + ( r −σ /2)(T −t )  S − 2σ (T −t ) S ln( ) + (r − σ / 2)(T − t ) S dó S S e − uσ = σ T −t 34 Footer Page 34 of 258 S ln( ) + ( r −σ /2)(T −t ) S − [ − r (T − t ) [2πσ (T − t )]1/2 K u [ e e  S [2πσ (T − t )]1/2 − K∫ Ð?t e − r (T − t ) ∞ ] S ln( ) + ( r −σ /2)(T −t ) S 2σ (T −t ) − S[2πσ (T − t )]1/2 ∫ [ − r (T − t ) dS T −t + ( r −σ /2)(T −t )) \\ Header Page 35 of 258 suy u S K= = ln( S ) + (r − σ / 2)(T − t ) K σ T −t S → +∞ suy u → −∞  = dS = −σ T − t Sdu −σ T − t Se − uσ T −t + ( r −σ /2)(T −t )) \\ du Thay vào biểu thức v( S , t ) ta có v( S , t ) = − 2π ∫ −∞ ln( S ) + ( r −σ /2)(T −t ) K σ T −t 2π +K ∫ e − r (T − t ) −∞ Se − σ2 u2 −uσ T −t + ( r − )(T −t ) 2 du e − r (T −t ) e − u du S ln( ) + ( r −σ /2)(T −t ) K σ T −t Biến đổi v( S , t ) suy v( S , t ) = 2π ln( ∫ −K S ) + ( r −σ /2)(T −t ) K σ T −t −∞ 2π ln( ∫ e − r (T − t ) S ) + ( r −σ /2)(T −t ) K σ T −t −∞ Se − u2 σ2 −uσ T −t + ( r − )(T −t ) 2 du e − r (T −t ) e − u du Hay v( S , t ) = −K 2π 2π ln( ∫ S ) + ( r −σ /2)(T −t ) K σ T −t −∞ ln( ∫ S ) + ( r −σ /2)(T −t ) K σ T −t −∞ Se − ( u +σ T −t )2 du e − r (T −t ) e − u du Vậy v( S ,= t ) SN (d + (T − t , S )) − Ke − r (T −t ) N (d − (T − t , S )) Như dùng hàm Green để tìm nghiệm toán (2.8) ta nhận công thức (2.9) 35 Footer Page 35 of 258 Header Page 36 of 258 3.2 Xây dựng hàm Green cho phương trình BlackScholes với điều kiện biên dạng Dirichlet Trong mục ta xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes (3.1) ∂v( S , t ) σ S ∂ v( S , t ) ∂v( S , t ) + + rS − rv( S , t ) = ∂t ∂S ∂S S, t thỏa S1 < S < S2 , − ∞ < t < T \\ Ta xét phương trình với điều kiện cuối (3.2), v( S , T ) = f ( S ), điều kiện biên thay điều kiện dạng Dirichlet = v( S1 , t ) 0,= v( S , t ) (3.18) Bằng cách biến đổi (3.4), ta đưa toán tìm nghiệm phương trình (3.1) với điều kiện cuối (3.2) điều kiện biên (3.18) trở thành toán tìm nghiệm phương trình (3.5) ∂u ( x,τ ) ∂ 2u ( x,τ ) ∂u ( x,τ ) = + (c − 1) − cu ( x,τ ) ∂τ ∂x ∂x Với điều kiện đầu điều kiện biên u ( x, 0) = f (e x ), = u (a,τ ) 0,= u (b,τ ) (3.19) (2.20) Đặt = a ln= S1 , b ln S x,τ thỏa điều kiện a < x < b, < τ < ∞ Tương tự mục (3.1), áp dụng phép biến đổi Laplace cho phương trình \eqref{e5}, điều kiện (3.19) 93.20) đưa đến việc xét phương trình với điều kiện tương ứng: d 2U ( x; s ) dU ( x; s ) + (c − 1) − ( s + c)U ( x; s ) = − f (e x ), dx dx = U (a; s ) 0,= U (b; s ) (3.21) (3.22) U ( x; s ) biến đổi Laplace u ( x,τ ) Áp dụng phương pháp biến thiên số để giải phương trình \eqref{e23} thu nghiệm phương trình dạng: 36 Footer Page 36 of 258 Header Page 37 of 258 U ( x,= s) Trong α= ∫ x a eα ( x −ξ ) ω (ξ − x ) ω ( x −ξ ) [e − e ] f (eξ )dξ + M (s)e(α +ω ) x + N (s)e(α −ω ) x 2ω 1− c 1+ c , β= ( ) , ω= ( s + β )1/ 2 Do U ( x; s ) thỏa điều kiện = U (a; s ) 0,= U (b; s ) nên ta có hệ :  M ( s )e(α +ω ) a + N ( s )e(α −ω ) a  α (b −ξ )  be [eω (ξ −b) − eω (b−ξ ) ] f (eξ )dξ + M (s)e(α +ω )b + N (s)e(α −ω )b  ∫a 2ω  = = Suy  M ( s )e(α +ω ) a + N ( s )e(α −ω ) a   b (α −ω )(b −ξ ) (α +ω )(b −ξ ) [e ] f (eξ )dξ + M (s)e(α +ω )b + N (s)e(α −ω )b −e  ∫a  2ω Đặt Ψ (s) = −∫ b a (α −ω )( b −ξ ) (α +ω )( b −ξ ) [e ] f (eξ )dξ , −e 2ω ta có hệ  M ( s )e(α +ω ) a + N ( s )e(α −ω ) a  (α + ω ) b + N ( s )e(α −ω )b  M ( s )e = = Ψ (s) Giải hệ ta có M (s) = ∫ e(α −ω ) a eα (b −ξ ) b a ω ( a −b ) 2ω[e [eω ξ ] ( −b ) ω (b−a ) −e − eω (b −ξ ) ] f (eξ )d ξ b e(α +ω ) a eα ( b −ξ ) N (s) = [eω (ξ −b) − eω (b−ξ ) ] f (eξ )dξ −∫ ω ( a −b ) ω (b−a ) a ] 2ω[e −e Thay vào (3.23) ta ∫ = U ( x, s ) +∫ b a x a eα ( x −ξ ) ω (ξ − x ) ω ( x −ξ ) [e − e ] f (eξ )dξ 2ω eα ( x −ξ )[eω ( x − a ) − eω ( a − x ) ] ω ( a −b ) 2ω[e ω (b−a ) −e ] 37 Footer Page 37 of 258 [eω ξ ( −b ) − eω ( b −ξ ) ] f (eξ )d ξ = = Header Page 38 of 258 Hay b eα ( x −ξ ) a 2ω[eω ( a −b ) − eω ( b − a ) ] U ( x; s ) = ∫ ×{eω [( x +ξ ) −( a +b )] + eω [( a +b ) −( x +ξ )] − eω [| x −ξ |+ ( a −b )] − eω [(b − a ) −| x −ξ |]} f (eξ )d ξ Mà eω ( a −b ) − eω (b − a ) = −eω ( b − a )[1 − e 2ω ( a −b ) ] nên công thức tính U ( x; s ) viết lại b eα ( x −ξ ) a 2ω eω ( b − a )[1 − e 2ω ( a −b ) ] U ( x; s ) = − ∫ ×{eω [( x +ξ ) −( a +b )] + eω [( a +b ) −( x +ξ )] − eω [| x −ξ |+ ( a −b )] − eω [(b − a ) −| x −ξ |]} f (eξ )d ξ (3.24) Vì a < b nên e2ω ( a −b ) < cho phép ta viết khai triển chuỗi biểu thức [1 − e 2ω ( a −b ) ]−1 dạng ∞ 1 − e 2ω ( a − b ) = ∑ e nω ( a −b ) n =0 Thay vào (3.24) ta có α ( x −ξ ) ∞ b e U ( x; s ) = e nω ( a −b ){eω [( x +ξ ) −( a +b )] + eω [( a +b ) −( x +ξ )] −∫ × ∑ a 2ω eω ( b − a ) n =0 −eω [| x −ξ |+ ( a −b )] − eω [(b − a ) −| x −ξ |]} f (eξ )d ξ = ∫ b a eα ( x −ξ ) ∞ ω [| x −ξ |−2( n +1)(b − a )] ω [2( n +1)( a −b ) −| x −ξ |] +e ∑{e 2ω n =0 −eω [2 n ( a −b ) − 2b + ( x +ξ )] − eω [2 n ( a −b ) + a −( x +ξ )]} f (eξ )d ξ Áp dụng số tính chất phép biến đổi Laplace ngược mục (1.2.7) , kết Bổ đề mục (1.2.8) ta có nghiệm u ( x,τ ) phương trình \eqref{e5} thỏa điều kiện (3.19) (3.20) u ( x,τ ) = L−1{U ( x, s )} eα ( x −ξ ) e( − βτ ) ∞ (− [| x −ξ |+2( n4τ+1)( a −b )] ∑{e 2(πτ )1/2 n =0 ∫ b a 38 Footer Page 38 of 258 ) ( +e − [| x −ξ |−2 n ( a −b )]2 4τ ) Header Page 39 of 258 ( −e − [2 b − ( x +ξ ) − n ( a −b )]2 4τ ) ( −e − [( x +ξ ) − a − n ( a −b )]2 4τ (−[|x−ξ |+24mτ ( a−b)] eα ( x −ξ ) e( − βτ ) ∞ e { ∑ 2(πτ )1/2 m = −∞ ∫ b a σ2 Thay x= ln S ;τ = v( S , t ) = ∫ S2 − −e − [2 b − ( x +ξ ) − m ( a −b )]2 4τ ) ξ } f (e ) d ξ σ2 / 2−r r +σ / 2 β = (T − t ); ξ = ln S ; α = , ( ) , 2 σ ( ) ( ) ξ } f (e ) d ξ r −σ /2 σ2 e σ ) ( r +σ /2) ln( S / S ) − (T − t ) 2σ 2 S[2πσ (T − t )]1/2 S1 ( ∞ × ∑ {e − [ln( S / S ) + m ln( S1 / S2 )]2 2σ (T −t ) ) ( −e − [ln( S22 / SS ) − m ln( S1 / S2 )]2 2σ (T −t ) )   } f (S )dS m = −∞ Biến đổi hệ số logarit ta có v( S , t ) = ∫ ( r −σ /2 − σ2 e S2 × ( ∑ {e − ) ( r +σ /2)2 (T − t ) 2σ S[2πσ (T − t )]1/2 S1 ∞ ln( S / S ) −  m )]2 [ln( SS12 m / SS 2σ (T −t ) ) ( −e −  m )]2 [ln( S22 ( m+1) / SSS 2σ (T −t ) )   } f (S )dS (3.25) m = −∞ Biểu thức cho phép ta suy hàm Green cho toán 93.1), (3.2) 93.18) G ( S , t ; S ) = × ( e ∞ − r −σ /2 σ ln( S / S ) − ) ( r +σ /2)2 (T − t ) 2σ S[2πσ (T − t )]1/2 ( ∑ {e −  m )]2 [ln( SS12 m / SS 2σ (T −t ) ) ( −e −  m )]2 [ln( S22 ( m+1) / SSS 2σ (T −t ) ) } (3.26) m = −∞ 3.3 Xây dựng hàm Green cho phương trình BlackScholes với điều kiện biên dạng hỗn hợp Nếu G ( S , t ; S ) hàm Green phương trình Black- Scholes (3.1) với điều kiện (3.2), (3.18) nghiệm viết dạng S2 v( S , t ) = ∫ G ( S , t ; S ) f ( S ) dS S1 39 Footer Page 39 of 258 (3.27) Header Page 40 of 258 Trong phần thiết lập hàm Green cho phương trình (3.1), điều kiện cuối (3.2) điều kiện biên dạng | v(0, t ) |< ∞, ∂v( D, t ) + v( D = , t ) 0,  ≥ (3.28) ∂S ( S = S = D biên dải bán vô hạn Ω= (0 < S < D) × (T > t > −∞) ) Điều kiện thứ hai (3.28) gọi điều kiện hỗn hợp điều kiện Robin.\\ Đặt x, τ (3.4) x= ln S , σ2 τ =(T − t ), u ( x,τ ) = v( S , t ) Đặt b ln= = D,  D Khi phương trình (3.1) trở thành (3.5) ∂u ( x,τ ) ∂ 2u ( x,τ ) ∂u ( x,τ ) = + (c − 1) − cu ( x,τ ) ∂τ ∂x ∂x Điều kiện (3.20 (3.28) trở thành điều kiện u ( x, 0) = f (e x ), | u (−∞,τ ) |< ∞, (3.29) ∂u (b,τ ) + u (b,τ ) = 0, ∂x (3.30) với x , τ thỏa (−∞ < x < b), (0 < τ < ∞) Theo kết mục (3.1), áp dụng phép biến đổi Laplace cho phương trình (3.5) thu phương trình (3.21) d 2U ( x; s ) dU ( x; s ) + (c − 1) − ( s + c)U ( x; s ) = − f (e x ) dx dx Áp dụng phép biến đổi Laplace cho điều kiện (3.29) (3.30) ta có | U (−∞; s ) |< ∞, dU (b; s ) + U (b; s ) = dx Để giải phương trình (3.1) với điều kiện \(3.2) (3.28) dùng phương pháp biến thiên số để giải phương trình (3.21) với điều kiện (3.31).\\ 40 Footer Page 40 of 258 Header Page 41 of 258 Nghiệm phương trình (3.21) có dạng: = U ( x; s ) x α ( x −ξ ) ω (ξ − x ) ω ( x −ξ ) e [e −e ] f (eξ )dξ 2ω ∫−∞ + M ( s )e(α +ω ) x + N ( s )e(α −ω ) x Mặt khác U ( x, s) (3.32) thỏa điều kiện (3.31), sử dụng tính chất ta tính M ( s ) N ( s ) Thật vậy, từ điều kiện | U (−∞; s) |< ∞ tương tự mục (2.1) ta suy N ( s ) = (3.38) Với N ( s ) = , thay vào (3.31) ta có đạo hàm U ( x; s) dU ( x; s ) x = [(α − ω )eω (ξ − x ) − (α + ω )eω ( x−ξ ) ]eα ( x−ξ ) f (eξ )dξ ∫ −∞ dx 2ω + M ( s )(α + ω )e(α +ω ) x Vì từ vế thứ hai điều kiện (3.31) M ( s ) thỏa mãn phương trình sau b [(α − ω )eω (ξ −b) − (α + ω )eω (b−ξ ) ]eα (b−ξ ) f (eξ )dξ + M (s)(α + ω )e(α +ω )b 2ω ∫−∞  b α ( b −ξ ) ω (ξ −b ) ω ( b −ξ ) e [e ] f (eξ )dξ + M (s)e(α +ω )b = −e ∫ −∞ 2ω + b ( + α ) − ω ω (ξ −b ) ω (b −ξ ) ( −αξ −ωb ) − −e e f (eξ )d ξ [ ]e Suy M ( s ) = ∫ −∞ 2ω ( + α ) + ω Với M ( s ) vừa tìm đươc N ( s ) = thay vào \=(3.32) ta có x α ( x −ξ ) ω (ξ − x ) ω ( x −ξ ) e [e −e ] f (eξ )dξ 2ω ∫−∞ = U ( x; s ) − b ( + α ) − ω ω (ξ −b ) ω (b −ξ ) α ( x −ξ ) ω ( x −b ) −e [ e ]e e f (eξ )dξ ∫ −∞ 2ω ( + α ) + ω Với x < b , biến đổi U ( x; s ) ta có = U ( x; s ) b ∫ [e −∞ ( −ω | x −ξ |) − ( + α ) − ω ω ( x +ξ − 2b ) eα ( x −ξ ) e ] f (eξ )d ξ ( + α ) + ω 2ω Viết lại $U(x;s)$ dạng 41 Footer Page 41 of 258 (3.34) Header Page 42 of 258 U ( x; s ) = ∫ b −∞ {e ( −ω | x −ξ |) α ( x −ξ ) 2(% + α ) ω ( x +ξ − b ) e } f (eξ )d ξ −[ − 1]e ( + α ) + ω 2ω (3.35) Thay biến ω s ta có eα ( x −ξ ) e( − ( s + β ) | x −ξ |) U ( x; s ) = ∫ { −∞ ( s + β )1/2 1/2 b 2Φ e(( s + β ) ( x +ξ − 2b )) −[ − 1] } f (eξ )dξ , 1/2 1/2 (Φ + ( s + β ) ) (s + β ) 1/2 (3.35) Φ =  + α Biến đổi Laplace ngược U ( x; s) từ (3.35) để tìm u ( x,τ ) u ( x,τ ) = L−1{U ( x, s )} eα ( x −ξ ) −1 e( − ( s + β ) | x −ξ |) e(( s + β ) ( x +ξ − 2b )) = ∫ L { + −∞ ( s + β )1/2 ( s + β )1/2 1/2 1/2 b 2Φ e(( s + β ) ( x +ξ − 2b )) − } f (eξ )dξ (Φ + ( s + β )1/2 ) ( s + β )1/2 1/2 Mà e( − ( s + β ) | x −ξ |) e(( s + β ) ( x +ξ − 2b )) Φ e(( s + β ) ( x +ξ − 2b )) L { + − } ( s + β )1/2 ( s + β )1/2 (Φ + ( s + β )1/2 ) ( s + β )1/2 1/2 1/2 1/2 −1 e − s | x −ξ | e s ( x +ξ − 2b ) Φ e s ( x +ξ − 2b ) − βτ = L { 1/2 + − }e s s1/2 (Φ + s1/2 ) s1/2 1/2 1/2 1/2 −1 = = { 2(πτ ) 1/2 [e − { ( x −ξ )2 4τ 2(πτ )1/2 +e − [e − ( x −ξ )2 4τ ( x +ξ − b ) ) 4τ +e ] − Φe − ( x +ξ − b ) ) 4τ s ( x +ξ − b ) ] − L { Φ 1/2 e 1/2 }}e− βτ s (Φ + s ) Φ 2τ −Φ ( x +ξ − b ) 1/2 −1 erfc(Φτ 1/2 − x + ξ − 2b )}e− βτ 1/2 2τ Ở sử dụng kết Bổ đề mục (1.2.8) với lưu ý s1/2 ( x + ξ − 2b) =− s1/2 (2b − x − ξ ), (2b − x − ξ ) > 42 Footer Page 42 of 258 Header Page 43 of 258 Φ e s ( x +ξ − b ) e s ( x +ξ − b ) −1 L { = Φ L } { } s1/2 (Φ + s1/2 ) (Φ + s1/2 ) s1/2 1/2 1/2 −1 = ΦeΦ τ −Φ ( x +ξ − 2b ) erfc(Φτ 1/ − x + ξ − 2b ) 2τ 1/ Vậy b ∫ { 2(πτ ) [e = u ( x, τ ) − ( x −ξ )2 4τ +e 1/2 −∞ − ( x +ξ − b ) ) 4τ −ΦeΦ τ −Φ ( x +ξ − 2b ) erfc(Φτ 1/ − Từ (3.36), thay x = ln S , τ = σ2 ] (3.36) x + ξ − 2b )}eα ( x−ξ )e− βτ f (eξ )dξ 2τ 1/ (T − t ), ξ = ln S ta có nghiệm v( S , t ) cho phương trình (3.1) thỏa điều kiện (3.2) (3.28) ∫ v( S , t ) −Φe D S α ln( S ) − β e S ( Φ 2σ (T −t )/2 −Φ ln( SS / D )) σ2 [ln( S / S )]2 − − { 1/2 [e 2σ (T −t ) + e [2πσ (T − t )] (T − t ) [ln( SS / D )]2 2σ (T −t ) ] Φ ln( SS / D ) 1/2 erfc( [2σ (T − t )] − )} f (S )dS [2σ (T − t )]1/2 Từ ta suy hàm Green cho toán (3.1), (3.2) (3.28) [ln( S / S )]2 − − S α − β σ2 (T −t ) 2σ (T −t ) e e e ( ) { [ + [2πσ (T − t )]1/2 S S G ( S , t ; S ) − Φ( [ln( SS / D )]2 2σ (T −t ) ] ln( SS / D ) SS −Φ Φ 2σ (T −t )/2 Φ 1/2 ) erfc ( [2 ( )] )}, e T t σ − − [2σ (T − t )]1/2 D2 σ2 / 2−r dó α , β= = σ2 ( r +σ / σ ), Φ = D + α Một số trường hợp đặc biệt điều kiện biên dạng hỗn hợp Một trường hợp đặc biệt toán (3.1), (3.2) (3.28)là  = , (3.28) trở thành | v(0, t ) |< ∞, ∂v( D, t ) =0 ∂S (3.39) rong (3.37) ta thay biến Φ α từ (3.38)  = ta có Φ =α Vì ta có hàm Green cho phương trình (3.1), (3.2) (3.39) 43 Footer Page 43 of 258 Header Page 44 of 258 [ln( S / S )]2 (− − S α − β σ2 (T −t ) 2σ (T −t )  G ( S , t; S ) = e e e ( ) ×{ [ + [2πσ (T − t )]1/2 S S −α( [ln( SS / D )]2 2σ (T −t ) SS −α (α 2σ (T −t )/2) α ln( SS / D ) 1/2 ) e erfc ( [2 σ ( T − t )] − )} D2 [2σ (T − t )]1/2 ] (3.40) Trường hợp đặc biệt thứ hai toán (3.1), (3.2) (3.28)  dần đến vô Khi ta biến đổi điều kiện (3.28) trở thành | v(0, t ) |< ∞, v( D, t ) =0 (3.41) Chúng ta tìm hàm Green toán (3.1), (3.2) (3.41) từ kết (3.37) Vì ( + α ) − ω ( D + α ) − ω = lim lim =  →∞ ( + α ) + ω  →∞ ( D + α ) + ω nên từ (334) ta có nghiệm toán (3.1), (3.2) (3.41) = U ( x; s ) eα ( x −ξ ) ( −ω| x −ξ | ω ( x +ξ − 2b ) −e ] f (eξ )dξ ∫−∞ 2ω [e b eα ( x −ξ ) e − ( s + β ) | x −ξ | e(( s + β ) ( x +ξ − 2b )) =∫ [ ] f (eξ )dξ −∞ ( s + β )1/2 ( s + β )1/2 1/2 1/2 b Lấy biến đổi laplace ngược biểu thức có u ( x, τ ) = ∫ b −∞ (e − ( x −ξ )2 4τ −e (− ( x +ξ − b ) 4τ )× eα ( x −ξ ) e − βτ f (eξ )d ξ 1/2 2(πτ ) Từ ta có nghiệm toán (3.1), (3.2) (3.41) v( S , t ) ∫ S[2πσ S S α ln(  ) − β D (T − t )] 1/2 e σ2 (T − t ) [e − [ln( S / S )]2 2σ (T −t ) −e − [ln( SS / D )]2 2σ (T −t ) ] f (S )dS Hay [ln( S / S )]2 − − S α e − βσ (T −t )/2 2σ (T −t ) ( ) e e [ − S S [2πσ (T − t )]1/2 v( S , t ) = ∫ D [ln( SS / D )]2 2σ (T −t ) ] f (S )dS Do ta suy hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện cuối (3.2), điều kiện biên (3.41) 44 Footer Page 44 of 258 Header Page 45 of 258 [ln( S / S )]2 − − S α e − βσ (T −t )/2 2σ (T −t ) = G ( S , t ; S ) ( ) [ e − e S S [2πσ (T − t )]1/2 Chú ý α β liên quan σ r theo (3.38) 45 Footer Page 45 of 258 [ln( SS / D )]2 2σ (T −t ) ] Header Page 46 of 258 KẾT LUẬN Quá trình hoàn thành luận văn đâ thực giúp ích cho người viết biết nhiều kiến thức thú vị, cách tiếp cận kiến thức điều bổ ích cho trình học tập nghiên cứu sau này.\\ Qua việc hoàn thành luận văn, người viết tìm hiểu nhiều tài liệu tham khảo liên quan biết sâu sắc phương pháp hàm Green, phép biến đổi Laplace, mô hình Black- Scholes Phương pháp tìm hàm Green luận văn cách đến hàm Green cho phương trình Black-Scholes nhanh chóng Những kỹ thuật đề xuất nghiên cứu thu hàm Green nhỏ gọn mặt hình thức, điều cho phép dễ dàng tiếp cận lý thuyết hàm Green sử dụng việc giải số vấn đề thực tế kỹ thuật tài Người viết mong có điều kiện tiếp tục tìm hiểu áp dụng nghiên cứu vấn đề liên quan đến luận văn 46 Footer Page 46 of 258 Header Page 47 of 258 Tài liệu tham khảo [Tiếng Việt] [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Trần Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2009), Biến đổi tích phân, NXB GD, Tp HCM [2] Nguyễn Kim Đính (2003)}, Phép biến đổi Laplace, NXB ĐHQG, Tp HCM [3] Trần Mạnh Hùng (2009)}, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHSP, Hà Nội [4] Trần Trọng Nguyên (2011)}, Cơ sở toán tài chính, NXB KHKT, Hà Nội [5] Võ Văn Lai (2008), "Mô hình định giá quyền chọn Black- Scholes ứng dụng", Tạp chí khoa học ứng dụng, ĐH Tôn Đức Thắng (số 6/2008) [6] Trần Hùng Thao (2004)}, Nhập môn toán tài chính, NXB KHKT, Hà Nội [7] Lê Thị Thanh (2010)}, Phương pháp hàm Green cho số toán biên phương trình đạo hàm riêng, Luận văn Thạc Sỹ Toán học, ĐHSP Hà Nội [8] Trần Đức Vân (2004)}, Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB KHKT, Hà Nội [Tiếng Anh] [9] F Black, M S Scholes (1973), "The pricing of options and corporate liabilities",Journal of Political Economics, 81, 637-54 [10] Dean G.Duffy (2001), Green's Function wuth Application, Chapman & Hall/CRC [11] G.Evans, J.Blackledge, P.Yardley (2004), Analytic Methods for Partial Equations, London Springer [12] M Y Melnikov, Y A Melnikov (2007), "Construction of Green's functions for the Black-Scholes equation", Electronic Journal of Differential Equations, 1, Vol 2007, No 153, pp 1_14 [13] S N Neftci (2000), An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, New York: Academic [14] Joel L Schiff (1999), The Laplace Transform:Theory and Applications, Springer 47 Footer Page 47 of 258 Header Page 48 of 258 [15] Steven E.Shreve (2004), Stochastic Calculus for Finance (I, II), Springer [16] V I Smirnov (1964), A Course of Higher Mathematics, Oxford_New York: Pergamon [17] D Silverman (1999), Solution of the Black-Scholes equation using the Green's function of the diffusion equation, Manuscript Department of Physics and Astronomy, University of California 48 Footer Page 48 of 258 ... XÂY DựNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK- SCHOLES 27 Footer Page of 258 Header Page of 258 3.1 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes với điều kiện biên bị chặn 27 3.2 Xây dựng. .. thiết lập phương trình Black- Scholes cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes số điều kiện biên khác Phương trình Black - Scholes luận văn thiết lập từ việc xem xét trình ngẫu... Footer Page 26 of 258 Header Page 27 of 258 Chương Xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes 3.1 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes với điều kiện biên bị chặn Trong chương