MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Sơ lược Phương trình đạo hàm riêng 1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu 1.2.1 Các phương trình đạo hàm riêng 1.2.2 Một số toán thực tế đến phương trình đạo hàm riêng 1.3 Khái niệm toán biên 15 1.4 Nội suy liệu rời rạc 17 1.5 Ma trận hàm xác định dương 19 1.6 Hàm bán kính 20 1.7 Hàm xác định dương đơn điệu hoàn toàn 21 1.8 Nội suy với độ xác đa thức hàm xác định dương có điều kiện 24 1.9 Ví dụ nội suy RBF 27 CHƯƠNG 30 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI NỘI SUY BỞI HÀM RBF GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 30 2.1 Giới thiệu 30 2.2 Đa thức nội suy Hermit 33 2.3 Phương pháp trùng khớp đối xứng 35 2.4 Ví dụ 37 CHƯƠNG 41 MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM THU ĐƯỢC 41 3.1 Cài đặt chương trình 41 3.1.1 Giao diện chương trình 41 3.1.2 Giao diện View bảng hàm RBF thông dụng 42 3.1.3 Giao diện help chương trình 43 3.2 Các ví dụ 43 3.2.1 Ví dụ 43 3.2.2 Ví dụ 47 3.2.3 Ví dụ 52 PHỤ LỤC 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Error! Bookmark not defined LỜI MỞ ĐẦU Nhiều toán khoa học kỹ thuật thông qua mô hình hóa toán học đưa đến việc giải toán biên phương trình đạo hàm riêng Trong số trường hợp đơn giản (miền hình học miền đơn giản, hệ số phương trình hệ số …), toán tìm nghiệm tường minh phương pháp giải tích Còn đại đa số trường hợp khác nghiệm tường minh phức tạp Hơn nữa, số toán thực tế yêu cầu tìm nghiệm toán vị trí Vì người ta sử dụng phương pháp số để tìm nghiệm gần chúng Hiện phương pháp số sử dụng phổ biến gồm có phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference method - FDM), phần tử hữu hạn (finite element method - FEM), khối hữu hạn (finite volume method - FVM),v.v … Các phương pháp gọi chung phương pháp rời rạc hóa theo không gian Đối với toán phụ thuộc thời gian, ta cần thêm công cụ số để rời rạc hóa phương trình theo biến thời gian Nếu phương pháp FDM, FEM, FVM, v.v … rời rạc hóa phương trình đạo hàm riêng sở chia nhỏ miền tính toán thành lưới (mesh) gồm phần tử ràng buộc lẫn lưới theo nguyên tắc xác định (ta gọi chung phương pháp nhóm phương pháp dựa vào lưới) phương pháp không lưới, miền tính toán chia thành tập hữu hạn điểm rời rạc, bố trí tùy ý (unstructured) mối ràng buộc vị trí tương đối chúng trình tính toán Có nhiều phương pháp không lưới, có phương pháp Radial Basis Function (RBF) Nội dung đồ án tốt nghiệp trình bày kết lý thuyết thực nghiệm tính toán phương pháp sử dụng RBF phương pháp trùng khớp đối xứng Đồ án bao gồm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức phương trình đạo hàm riêng phương pháp không lưới (RBF) Một số phương trình đạo hàm riêng tính chất RBF áp dụng cho toán nội suy liệu rời rạc Đây kiến thức quan trọng làm tảng cho kết trình bày chương đồ án Chương 2: Trình bày phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng phương pháp không lưới nội suy hàm RBF Chương 3: Xây dựng chương trình giải toán phương trình đạo hàm riêng (bài toán biên) phương pháp không lưới (nội suy hàm RBF) để kiểm tra độ xác phương pháp, ưu điểm sử dụng phương pháp Các kết thực nghiệm tính toán kiểm tra chương trình thực nghiệm lập trình môi trường Matlab máy PC CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, trình bày sơ lược phương trình đạo hàm riêng, số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu kết lý thuyết quan trọng phương pháp không lưới, toán nội suy liệu rời rạc đề cập động lực thúc đẩy phát triển phương pháp Cách xây dựng tính chất RBFs thường dùng…v.v Những kiến thức sở kết tham khảo từ tài liệu 1.1 Sơ lược Phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực quan trọng toán học Có nhiều mô hình tự nhiên mô tả phương trình hệ phương trình vi phân nói chung phương trình đạo hàm riêng nói riêng Định nghĩa 1.1 Một phương trình liên hệ ẩn hàm u ( x1 , , xn ) , biến độc lập xi đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng) Nó có dạng   u u ku   0, F  x, u ( x), , , , , k1 , kn  x  x  x  x n n   (1.1) F hàm đối số nó, với ký hiệu x  ( x1 , , xn )  R n , u ( x )  u ( x1 , , xn ) ( a ) Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt phương trình gọi cấp phương trình Phương trình gọi tuyến tính tuyến tính ẩn hàm đạo hàm riêng ẩn hàm Ví dụ phương trình tuyến tính cấp tổng quát hàm u= u(x,y) có dạng  2u  2u  2u u u a ( x, y )  2b( x, y )  c ( x, y )  d ( x, y )  e( x, y )  f ( x, y )u  g ( x, y ) x xy y x y (1.2) Phương trình gọi tuyến tính tuyến tính đạo hàm riêng cấp cao ẩn hàm Ví dụ phương trình tuyến tính cấp tổng quát có dạng  2u  2u  2u a( x, y, u x , u y )  2b( x, y, u x , u y )  c ( x, y , u x , u y )  d ( x, y, u x , u y )  xy x y (1.3) Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai nét đặc thù Thứ mối liên hệ trực tiếp với toán vật lý, trình nghiên cứu toán vật lý học dẫn đến toán phương trình đạo hàm riêng, người ta gọi phương trình đạo hàm riêng phương trình vật lý toán Những nhà tiên phong lĩnh vực J.D’ Alembert (1717-1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Larange (1736-1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (1768-1830) Thứ hai mối liên hệ mật thiết phương trình đạo hàm riêng với nghành toán học khác giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô, đại số, giải tích phức 1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu Trong mục giới thiệu số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu, có ứng dụng thực tiễn nghành khoa học như: toán học, vật lý, hoá học khoa học trái đất …vv 1.2.1 Các phương trình đạo hàm riêng Phương trình Laplace Laplace đưa vào khoảng nămg 1780 n u u  x  Rn  0, xi i 1 Phương trình Helmholtz Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860 u  u  Phương trình chuyển dịch tuyến tính n  (b u) ut  i xi  i 1 Phương trình Liouville nghiên cứu vào khoảng nămg 1851 n ut   (bi u ) xi  i 1 Phương trình truyền nhiệt Fourier công bố vào năm 1810-1822 ut  u Phương trình Schrodinger (1926) iut  u  Phương trình truyền sóng Alembert đưa năm 1752 utt  u  dạng tổng quát n n utt   aij u x i x j   bi u x i  i 1 i 1 Trên số phương trình đạo hàm riêng dạng tuyến tính, bên cạnh nhiều phương trình đạo hàm riêng khác 1.2.2 Một số toán thực tế đến phương trình đạo hàm riêng Trong thực tế có nhiều tượng mà biến đổi theo thời gian, không gian hay thời gian không gian mô tả phương trình đạo hàm riêng, sau vài thí dụ: a) Bài toán truyền nhiệt vật chất: Trước vào toán ta xét định luật truyền nhiệt Fourier: Luồng nhiệt q( cal/(cm s)) theo phương x (tức nhiệt lượng khuyếch tán qua đơn vị diện tích thiết diện thẳng nhỏ S đơn vị thời gian.) tỉ lệ với tốc độ biến thiên nhiệt độ u dọc theo phương x, tức tỉ lệ với u : x q = -k  C u x (1.4) Dấu trừ vế phải có nghĩa nhiệt truyền theo chiều giảm nhiệt độ Ta xét đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không đổi S(cm ), có khối lượng riêng  ( g / cm ) , có nhiệt dung C(cal/ g o C ) Xét phận vật chất tích V(cm ) Nếu phận có nhiệt độ không đổi thì nhiệt độ u( C) nhiệt lượng H(cal) liên hệ với công thức: H = u  CV (1.5) Khi quan sát người ta thấy vật chất có vùng nóng vùng lạnh nhiệt lượng có khả khuếch tán từ vùng nóng tới vùng lạnh Ta gọi suất khuếch tán k(cm /s) Bây giời ta giả sử vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ hai đầu nút Hãy xét diễn biến theo thời gian phân bố nhiệt độ Ta tưởng tượng vật chất đặt trục OX từ x = đến x = a + L = b (hình 1.1) a b x Hình 1.1 Gọi u(x,t) nhiệt độ điểm x thời gian t Sự lan truyền nhiệt giễn dọc theo trục x vật chất Nó tuân theo định luật Fourier (đã trình bày trên) Do có luật bảo toàn nhiệt lượng nên có cân nhiệt phân tố nhiệt nhỏ S  x từ x đến x +  x thời gian  t Sự cân mô tả theo công thức: Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ phân tố Trong đó: Nhiệt truyền vào phân tố q(x,t)S  t; Nhiệt khỏi phân tố q(x+  x,t)S  t; Nhiệt tích luỹ phân tố S  x  C  u,  u biến thiên nhiệt độ khoảng thời gian  t Vậy có công thức: q(x,t)S  t - q(x+  x,t)S  t = S  x  C  u hay: q(x, t) - q(x + x, t) u = C x t Khi chuyển qua giới hạn  x  ,  t  ta có: q u = C x t Áp dụng định luật Fourier ta suy ra: k  2u u = , x t a < x 0, k = const > (1.6) Phương trình (1.6) mô tả tượng trưyền nhiệt vật chất đồng chất gọi phương trình truyền nhiệt thanh, gọi phương trình truyền nhiệt chiều b) Bài toán truyền nhiệt miền phẳng: Nay ta thay vật chất mỏng vật chất  Có đường biên đường cong khép kín T, đặt mặt phăng Oxy y  T x Hình 1.2 10 PHỤ LỤC - Hàm Phuong_Phap_RBF.m Cài đặt phương pháp RBF function Phuong_Phap_RBF(testf,Name_domain) depend_on_numdif = 0; if depend_on_numdif ~= scl =1; end NN = 4; f1 = fopen ('result_FEM_RBF.txt','a'); c=1; a=0; [g,b]= domain(Name_domain); switch testf case f = '4*sin(2*x.*y).*(x.^2+y.^2)'; case f = '-4.*(x.*x + y.* y - 1).* exp(-x.* x - y.*y)'; case f = '2*pi.*pi.*sin(pi.*x).*sin(pi.*y) '; case f = 0; otherwise fprintf('Ban co the dinh nghia ham?'); 56 return; end % -luoi deu(chuan); if strcmp(Name_domain, 'circle_adaptmesh_f4') [u1,p,e,t]=adaptmesh(g,b,c,a,f,'maxt',250,'tripick','pdeadworst','ngen',inf); else [p,e,t]=initmesh(g,'Hmax',2,'init','on'); [p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t); [p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t); [p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t); end; figure(1), pdemesh(p,e,t); axis equal % tap hop he thong duong va loi giai FEM tm=cputime; [K,F,B,ud]=assempde(b,p,e,t,c,a,f,1e-1); u1=K\F; u1=B*u1+ud; fem_timing = cputime-tm; % sizeK=size(K) % figure(100), spy(K) % tim va bieu nghiem chinh xac exact_solution = gxy(p(1,:),p(2,:),testf)'; 57 figure(2), pdesurf(p,t,exact_solution) %(Nghiem chinh xac)Exact solution title('Nghiem chinh xac') % (tinh toan va ve so ve sai so phuong phap FEM) maxerror_FEM=max(abs(exact_solution-u1)) figure(3), pdesurf(p,t,exact_solution-u1) %FEM error (sai so su dung pp FEM) title('Sai so su dung phuong phap FEM') fprintf(f1, '\n\n DOMAIN: %s NUMBER OF NODES: %i NUMBER OF TRIANGLES: %i \n\n', Name_domain,size(p,2),size(t,2)); if strcmp(Name_domain,'square_tolstykh_Shi01_f3') fprintf(f1, 'Test Method sai so lon nhat thoi gian model err tol/Shi \n\n' ); fprintf(f1, 'FEM %e %8.4f',maxerror_FEM,fem_timing); err = exact_solution-u1; error_tolstykh_Shirobokov_FEM = norm(err)/sqrt(length(err)); fprintf(f1, ' %e\n\n', error_tolstykh_Shirobokov_FEM ); else fprintf(f1, 'Test Method fprintf(f1, 'FEM sai so lon nhat %e %8.4f\n\n',maxerror_FEM,fem_timing); end % Nghiem RBF 58 thoi gian \n\n' ); % RBF solution np = size(p,2); ne =size(e,2); nt = size(t,2); % tim tam tren bien bp = sort(e(1,:)) ;% noi chua cac diem tren bien % tim tam ip=setdiff(1:np,bp); for rbf = 0:NN-1; tm=cputime; % compute RHS R=fxy(p(1,ip),p(2,ip),testf)'; if depend_on_numdif ==1 numdif('init', rbf,testf); end % fill in the stencils into matrix A A =sparse([]); for i = ip [r,c] = find(t(1:3,:)==i); % find the centres connected to the i-th centre x=unique(t(1:3,c)); % compute the stencil and put it into A row = find_row_matlab(i,np,p(1,x),p(2,x),x, rbf, scl); A = [A;row]; end 59 % tach A vao ma tran, A cua cac cot trong, va B cua cac cot tren bien B =A; A(:,bp)=[]; B(:,ip)=[]; %gia tri bien g = gxy(p(1,bp),p(2,bp),testf)'; % su dung gia tri tren bien dieu chinh RHS R=R-B*g; % loi giai u -; u=zeros(np,1); % u on the boundary (u tren bien) u(bp)=g; % u in the interior (u ben trong) u(ip)=A\R; rbf_timing = cputime-tm; % anal=[anal, gxy(p(1,ip),p(2,ip))]; % sai so lon nhat= max(abs(nghiem chinh xac-u)); maxerror=max(abs(exact_solution-u)); figure(4), pdesurf(p,t,exact_solution-u) % sai so phuong phap RBF title('Sai so phuong phap RBF') if strcmp(Name_domain,'Mien Hinh Vuong 3’) % sai so = nghiem chinh xac -u; err = exact_solution-u; error_tolstykh_Shirobokov_RBF = norm(err)/sqrt(length(err)); end 60 switch rbf case fprintf(f1,' MQ '); fprintf(f1,' IMQ '); fprintf(f1,' IMQ2 '); fprintf(f1,' Gauss '); case case case end if strcmp(Name_domain,'Mien hinh vuong 3') fprintf(f1,' %e %8.4f %e\n',maxerror,rbf_timing, error_tolstykh_Shirobokov_RBF); else fprintf(f1,' %e %8.4f\n',maxerror,rbf_timing); end end function z=fxy(x,y,testf) switch testf case z=-4*sin(2*x.*y).*(x.^2+y.^2); case z= 4.*(x.*x + y.* y - 1).* exp(-x.* x - y.*y); case 61 z = -2*pi.*pi.*sin(pi.*x).*sin(pi.*y); case z =0; otherwise fprintf('Ban co the dinh danh ham?'); return; end function row = find_row_matlab(i,np,X,Y,x, rbf,delta) row = sparse(1,np); ndata = length(X); B = zeros(ndata+1); D= zeros(1,ndata+1); for i1 = 1:ndata for j = 1:ndata rx = X(i1) - X(j); ry = Y(i1) - Y(j); switch rbf case B(i1,j) = rbf_MQ(rx,ry,delta); case B(i1,j) = rbf_IMQ(rx,ry,delta); case B(i1,j) = rbf_IMQ2(rx,ry,delta); case B(i1,j) = rbf_Gauss(rx,ry,delta); 62 end end end B(:,ndata+1) = 1; B(ndata+1,:)=1; B(ndata+1,ndata+1) =0; for i1 = 1:ndata rx = X(1) - X(i1); ry = Y(1) - Y(i1); switch rbf case D(i1) = rbf_MQ_L(rx,ry,delta); case D(i1) = rbf_IMQ_L(rx,ry,delta); case D(i1) = rbf_IMQ2_L(rx,ry,delta); case D(i1) = rbf_Gauss_L(rx,ry,delta); end end D=D'; w = inv(B)*D w(ndata+1,:) =[] row(x) = w; % nghiem chinh xac 63 function z=gxy(x,y,testf) switch testf case z=sin(2*x.*y); case z = exp (-x.* x - y.* y); case z = sin(pi.*x).*sin(pi.*y); case z = (x.^2+y.^2).^(1/3).*cos(2/3.*atan2(y,x)); otherwise fprintf('Xin vui long dinh nghia ham?'); return; end % Xay dung ham RBF_MQ( ham RBF Da binh phuong) ; function rbf_MQ =rbf_MQ (rx, ry, delta) rbf_MQ= sqrt (delta * delta + rx * rx + ry * ry); % - Xay dung ham RBF_MQ_L (laplac cua ham RBF da binh phuong ) function rbf_MQ_L = rbf_MQ_L ( rx, ry, delta) tmp = 1/ rbf_MQ (rx, ry, delta); rbf_MQ_L = (tmp * tmp * delta * delta + 1.0) * tmp; % - Xay dung ham RBF_IMQ(ham RBF da binh phuong nguoc) -; function rbf_IMQ = rbf_IMQ (rx, ry, delta) 64 x = delta * delta + rx * rx + ry * ry; if x < 1.0e-20 fprintf (stderr, 'Loi: khong thich hop su xac dinh [rbf_IMQ] \n'); exit (-1); end rbf_IMQ = / sqrt (x); % - Xay dung ham RBF_IMQ_L (laplac cua ham RBF da binh phuong nguoc) ; function rbf_IMQ_L= rbf_IMQ_L( rx, ry, delta) tmp = rbf_IMQ (rx, ry, delta); tmp1 = tmp; tmp = tmp * tmp; tmp1 = tmp1 * tmp; delta = delta * delta; rbf_IMQ_L= tmp1 * (1 - * delta * tmp); % - Xay dung ham RBF_IMQ2(ham RBF da binh phuong nguoc 2) ; function rbf_IMQ2 = rbf_IMQ2(rx, ry, delta) x = delta * delta + rx * rx + ry * ry; if x < 1.0e-20 fprintf (stderr, 'loi: khong thich hop su xac dinh[rbf_IMQ2] \n'); exit (-1); end 65 rbf_IMQ2 = / x; % - Xay dung ham RBF_IMQ2(laplac cua ham RBF da binh phuong nguoc 2) -; function rbf_IMQ2_L = rbf_IMQ2_L( rx, ry, delta) tmp = rbf_IMQ2 (rx, ry, delta); delta = delta * delta; rbf_IMQ2_L = * tmp * tmp * (1 - * delta * tmp); % - Xay dung ham RBF_Gauss(ham RBF Gaussian) -; function rbf_Gauss = rbf_Gauss (rx, ry, delta) rr = rx * rx + ry * ry; rr = rr/(delta * delta); rbf_Gauss = exp (-rr); % - Xay dung ham RBF_Gauss_L(laplac cua ham RBF Gaussian); function rbf_Gauss_L = rbf_Gauss_L( rx, ry, delta) tmp = rbf_Gauss (rx, ry, delta); rr = rx * rx + ry * ry; delta = delta * delta; rr = rr/delta; rbf_Gauss_L = * tmp * (rr - 1) / delta; 66 Nhận xét Sau nghiên cứu cài đặt toán cụ thể với phương pháp không lưới sử dụng nội suy RBF đưa số nhận xét sau: 1, Phương pháp không lưới(trùng khớp đối xứng )cài đặt phức tạp, yêu cầu tính toán đạo hàm bậc cao RBF 2, Phương pháp trùng khớp đối xứng có sở lý thuyết chứng minh tính đặt toán tránh làm toán suy biến 3, Phương pháp trùng khớp đối xứng có nhiều ưu điểm ước lượng sai số áp dụng phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính nhằm cải thiện độ phức tạp Những ưu điểm ma trận trùng khớp phương pháp đối xứng ma trận đối xứng 67 Kết luận Báo cáo đề cập đến phương pháp không lưới, lĩnh vực nghiên cứu có nhiều ứng dụng có ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng Đây hướng nghiên cứu thu hút nhiều quan tâm gần nhà khoa học ưu điểm so với phương pháp lưới truyền thống Kết báo cáo gồm có: 1, Trình bày tóm tắt phương trình đạo hàm riêng số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu toán thực tế đến phương trình đạo hàm riêng, kết quan trọng phương pháp không lưới mà xuất phát điểm giải toán nội suy liệu rời rạc Từ việc nghiên cứu tính khả nghịch ma trận nội suy dẫn đến nghiên cứu hàm bán kính Các phương pháp xây dựng hàm RBF đảm bảo tính đặt toán nội suy mà tảng kiến thức hàm xác định dương, hàm xác định dương chặt, hàm đơn điệu hoàn toàn (Các hàm: GA, IMQ…) Thông qua hàm xác định dương có điều kiện, xây dựng mô hình nội suy với độ xác đa thức hàm RBF sử dụng tương ứng (Hàm TPS, MQ …) 2, Trong chương 2, báo cáo trình bày phương pháp trùng khớp trực tiếp sử dụng nội suy RBF để giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Eliptic Phương pháp trùng khớp đối xứng dựa nội suy Hermit đưa Wu Thông qua trùng khớp đưa hệ phương trình đối xứng tương ứng để giải hệ số công thức nghiệm xấp xỉ, từ xác định nghiệm số điểm miền xét 3, Với mục đích đánh giá độ xác phương pháp đưa nhận xét sử dụng hàm RBF khác nhau, chương 68 đồ án xây dựng chương trình giải số phương trình đạo hàm riêng cụ thể tính toán môi trường Matlab với toán Poisson cho Qua kết thực nghiệm tính toán, ta thấy phương pháp không lưới với trùng khớp đối xứng có độ xác cao so với phương pháp truyền thống Mặc dù cố gắng xong đồ án nhiều hạn chế không tránh khỏi sai sót Em mong nhận phê bình, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đọc Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bảo tận tình Cô giáo Th.s Đặng Thị Oanh Hướng phát triển đề tài: Hướng phát triển đồ án lần nghiên cứu phương pháp không lưới giải toán phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, miền hình học phức tạp Nghiên cứu xây dựng công thức xác định tham số tối ưu cho RBF chọn toán đầu vào cần giải Nghiên cứu phương pháp không lưới khác phương pháp Galekin, Pseudospectral, MLS,… nhằm tăng độ xác, giải toán biên phức tạp 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Quang Á (2007), Giáo trình phương pháp số, NXB Đại học Quốc Gia Hà nội [2] Dương Thủy Vỹ (2005), Giáo trình phương pháp tính, NXB Khoa học kỹ thuật [3] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học kỹ thuật [4] C.T Mouat and R.K Beatson (2002), RBF Collocation, Department of Mathematics & Statistics, University of Canterbury, Private Bag 4800, Christchurch, New Zealand [5] M D Buhmann, Radial Basis Functions : Theory and Implementations, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 [6] Xingping Sun Missouri State University, Radial Basis Functions and Their Applications, August 1, 2006 [7] G E Fasshauer, meshfree methods [8] Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [9] Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (1999), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục [10] C Franke and R.Schaback, Solving partial differential equations by collocation using radial basis functions, Appl Math Comp (93) 1998 70 [...]... tại khi áp dụng cho các phương trình phụ thuộc biến thời gian như hiệu quả tính toán và sự ổn định của phương pháp Với phương trình Eliptic, có ba nhóm phương pháp trùng khớp chính áp dụng nội suy RBF Ở nhóm phương pháp thứ nhất, chỉ sử dụng RBFs để tìm một nghiệm riêng của phương trình đạo hàm riêng không thuần nhất Sau đó, nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất được thêm vào bằng cách thỏa mãn các... lấy các hàm trên, với tham số điều chỉnh  đã được thay bằng   1 và loại bỏ các hệ số tỉ lệ thích  hợp Ngoài ra trong thời gian gần đây, người ta còn xây dựng các hàm cơ sở bán kính có giá compact Trong khuôn khổ của đồ án, chúng ta chỉ tập chung vào các hàm có giá toàn cục trên 29 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI NỘI SUY BỞI HÀM RBF GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 2.1 Giới thiệu Phương pháp lý tưởng... trường hợp phương pháp Fourier, điều kiện biên cần tuần hoàn Phương pháp phần tử hữu hạn rất linh hoạt đối với miền bất kỳ, nhưng khó đạt độ được độ chính xác cao Ngoài ra tất cả các phương pháp này đều có độ khó tăng lên khi số chiều của không gian tăng Trong thời gian gần đây, người ta tập chung nghiên cứu phương pháp không lưới, ứng dụng nội suy RBF để giải phương trình đạo hàm riêng Một hàm RBF chỉ... đã trình bày về phương trình đạo hàm riêng và phương pháp nội suy không lưới RBF, các kiến thức để xây dựng các hàm RBF đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy Một số hàm tổng quát được mô tả cách xây dựng lại gồm:  Hàm Gaussian (GA):  ( r )  e 2 2 r Hàm Multi Quadric (MQ) tổng quát:  (r )  (1)   (r 2   2 )  ,   0,   0,   N xác định dương chặt có điều kiện bậc m  k  1 Hàm. ..  Nhóm phương pháp trùng khớp thứ ba được đề xuất gần đây bởi Mai Duy và Trần Công Thay vì xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thông qua hàm RBF, sau đó tính đạo hàm và trùng khớp để tìm hệ số, nhóm phương pháp này xấp xỉ đạo hàm của nghiệm bằng RBF, sau đó tính tích phân rồi mới sử dụng điều kiện trùng khớp để tìm các hệ số của khai triển Trong chương này chúng ta trình bày phương pháp trùng... đó người ta chứng minh được hàm số u( x ,t) thoả mãn phương trình đạo hàm riêng:  2u  2u  c2 2 , t x a < x < b, t > 0 (1.24) trong đó c là hằng số đặc trưng cho tính đàn hồi của dây Phương trình này mô tả hiện tượng rung động của dây đàn, nên được gọi là phương trình dây rung hay phương trình truyền sóng một chiều 1.3 Khái niệm bài toán biên Như ta đã biết một phương trình vi phân thường có vô... ta cần một phương pháp khác để xây dựng hàm nội suy Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ thuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ liệu tương ứng Phương pháp này được đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971 và được gọi là phương pháp hàm cơ sở bán kính 1.5 Ma trận và hàm xác định... Phương pháp lý tưởng để giải số phương trình đạo hàm riêng cần đạt được các tiêu chí: Độ chính xác cao; linh hoạt đối với các miền hình học; tính toán hiệu quả và dễ dàng để thực hiện Các phương pháp thường được sử dụng chỉ đáp ứng được một hoặc hai tiêu chí đó Phương pháp sai phân hữu hạn có độ chính xác cao nhưng lại yêu cầu lưới (hoặc một tập hợp lưới) có cấu trúc Phương pháp phổ thậm chí còn có... phương pháp thứ hai bao gồm các phương pháp trùng khớp hoàn toàn Trong đó, cả phương trình đạo hàm riêng và điều kiện biên đều được thỏa mãn tại các điểm trùng khớp Chúng ta sẽ thấy rằng, tính chính xác của nghiệm là một hàm của tham số hình dạng  , và giá trị  nhỏ thường cho kết quả tốt nhất Vấn đề của các phương pháp này là ma trận nội suy có điều kiện xấu xuất hiện khi  nhỏ Điều này làm cho không. .. toán biên loại một, điều kiện y (a )   , y (b)   gọi là điều kiện biên (loại một) Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự Muốn có nghiệm duy nhất thì phương trình đạo hàm riêng phải kem theo một điều kiện phụ Mỗi cách cho điều kiện phụ xác định một lớp bài toán riêng biệt Thí dụ: Đối với phương trình Poisson hai chiều:  2u  2u = f ( x, y),  x 2 y 2 ( x, y )   điều kiện phụ chô tại