LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy PGS TS Khuất Văn Ninh Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh, đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2013 Học viên Nguyễn Tiến Dũng ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác Hà Nội, tháng năm 2013 Học viên Nguyễn Tiến Dũng Mục lục Mở đầu Nội dung Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bổ sung không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Nguyên lý ánh xạ co không gian Banach Một số phương pháp giải phương trình Volterra-Fredholm 2.1 Lý thuyết tổng quan phương trình Volterra – Fredholm 2.1.1 Một số khái niệm 2.1.2 Toán tử tích phân Volterra 10 2.1.3 Phương trình Volterra – Fredholm 12 2.2 Phương pháp giải phương trình Volterra – Fredholm 21 2.2.1 Phương pháp lặp tổng quát 25 2.2.2 Phương pháp xấp xỉ hai phía 30 iii iv 2.3 Phương trình tích phân Volterra – Fredholm 33 2.3.1 Phương pháp lặp tổng quát giải phương trình tích phân Volterra – Fredholm 33 2.3.2 Phương pháp chuỗi lũy thừa giải phương trình tích phân VolterraFredholm 40 2.3.3 Phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích phân Volterra-Fredholm 43 2.4 Giải gần phương trình tích phân Volterra – Fredholm lập trình Maple Ứng dụng phương trình Voltera - Fredholm 3.1 Bài toán biên phương trình vi phân thường 47 53 53 3.2 Ứng dụng phương trình tích phân Volterra – Fredholm vào giải toán biên 54 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 BẢNG KÝ HIỆU C Tập số phức C[a;b] Tập tất hàm số thực liên tục [a, b] Dk[a;b] Tập tất hàm số xác định có đạo hàm liên tục đến cấp k [a, b] l2 Tập tất dãy số thực (phức) x = {xn } cho chuỗi ∞ |xn |2 hội tụ n=1 N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực Rk Không gian thực k chiều Ø Tập hợp rỗng ∞ Dương vô (tương ứng với +∞) −∞ Âm vô θ Phần tử không Chuẩn Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều vấn đề toán học, học, vật lí ngành kĩ thuật khác dẫn đến phương trình, hệ phương trình hàm chưa biết chứa dấu tích phân Phương trình tích phân công cụ toán học hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa Nói đến toán học ứng dụng không nói đến Giải tích số Đó môn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ hàm, toán tối ưu Có nhiều toán khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật, sống dẫn tới việc nghiên cứu phương trình dạng sau: Ax = y (A toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y ) Phương trình có dạng gọi phương trình toán tử Trong lớp phương trình toán tử, phương trình Volterra- Fredholm giữ vị trí quan trọng Phương trình Volterra- Fredholm phương trình có dạng: x = AF x + V x + f , A(t) (0 ≤ t ≤ T ) họ toán tử tuyến tính tác động X, hàm trừu tượng f (t) ∈ XT ; V toán tử Volterra, F toán tử Fredholm AF x = F Ax Với ý nghĩa trên, với lòng yêu thích môn học hướng dẫn tận tình PGS TS Khuất Văn Ninh chọn nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình Volterra- Fredholm” 2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu cách hệ thống phương trình Volterra- Fredholm Từ xây dựng số phương pháp giải phương trình Volterra- Fredholm Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết, số phương pháp giải phương trình Volterra - Fredholm Ứng dụng vào giải phương trình tích phân Volterra - Fredholm - Nghiên cứu ứng dụng phương trình tích phân Volterra - Fredholm vào giải toán biên phương trình vi phân thường Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung chủ yếu vào số phương pháp giải gần phương trình Volterra- Fredholm Giả thuyết khoa học Nghiên cứu làm rõ cách có hệ thống phương trình Volterra- Fredholm Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào tập Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bổ sung không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian vectơ trường K (thực phức), hàm thực · : X → R thoả mãn ba tính chất: x ≥ ∀x ∈ X, x = ⇔ x = ∀x ∈ X λx = |λ| · x ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ X Được gọi chuẩn X, cặp (X, · ) gọi không gian tuyến tính định chuẩn, hay không gian định chuẩn Ví dụ 1.1.1 Không gian véctơ tất hàm số x = x(t) xác định đo đoạn [a; b] với bình phương mođun khả tích [a; b], (−∞ < a < b < +∞) ta kí hiệu L2[a,b] b L2[a,b] = x = x(t) a |x(t)|2 dt < +∞ Khi L2[a,b] , · không gian định chuẩn, với chuẩn · xác định bởi: b 2 , x ∈ L2[a,b] |x(t)| dt x = a Thật vậy: 1) ∀x ∈ L2[a,b] : |x(t)|2 ≥ 0, ∀t ∈ [a, b] suy ra: b b |x(t)| dt ≥ hay 2 |x(t)| dt a = x ≥0 a b ⇒ x =0⇔ 2 |x(t)| dt =0 a b ⇔ |x(t)|2 dt = ⇔ |x(t)|2 = hầu khắp nơi [a; b] a ⇔ x(t) = hầu khắp nơi [a; b] ⇔ x(t) = 0, ∀t ∈ [a, b] ⇔ x = θ 2) ∀λ ∈ K, x ∈ L2[a,b] : b 2 |λx(t)| dt λx = b 2 |λ| |x(t)| dt = a a b 2 |x(t)| dt = |λ| b 2 |x(t)| dt = |λ| · = |λ| · x a a 3) ∀y, x ∈ L2[a,b] : (x + y) (t) = x(t) + y(t), ∀t ∈ [a, b] nên: b 2 b |(x + y)(t)| dt x+y = 2 |(x(t) + y(t))| dt = a a Từ bất đẳng thức Holder: b b |(x(t).y(t)| dt ≤ 2 |(x(t)| dt a b · a 2 |(y(t)| dt , a ta có: x+y b = |x(t) + y(t)|2 dt ≤ a b ≤ b (|x(t)| + |y(t)|)2 dt a b |x(t)|2 dt + a |y(t)|2 dt a b = |x(t)|2 dt a Cho nên x + y |x(t)|2 dt a b + |y(t)|2 dt a b ≤ ( x + y )2 hay: 2 b + |y(t)|2 dt a = ( x + y )2 x+y ≤ x + y Tính chất 1) d (x, y) = x − y , ∀x, y ∈ (X, · ) mêtric X 2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn X: (i) Phép cộng phép nhân vô hướng ánh xạ liên tục (ii) Chuẩn · hàm số liên tục X Chứng minh (i) Giả sử hai dãy {xn } , {yn } không gian định chuẩn X, hội tụ tới x0 , y0 thuộc X tức lim xn = x0 , lim yn = y0 {λn } dãy số trường K với lim λn = λ0 ∈ K Khi đó: +) xn + yn − (x0 + y0 ) = xn − x0 + yn − y0 ≤ xn − x0 + yn − y0 → (khi n → ∞) ⇒ lim(xn + yn ) = x0 + y0 +) λn xn − λ0 x0 = λn (xn − x0 ) + (λn − λ0 )x0 ≤ λn (xn − x0 ) + (λn − λ0 )x0 ≤ |λn | xn − x0 + |λn − λ0 | x0 → (khi n → ∞) Từ ta có: lim (λn xn ) = λ0 x0 (ii) Với x, y ∈ X ta có: x = x−y+y ≤ x−y + y ⇒ x − y ≤ x−y (1.1) y = y−x+x ≤ y−x + x = x−y + x ⇒ y − x ≤ x−y Từ (1.1) (1.2) suy ra: | x − y |≤ x−y Do đó, với {xn } dãy phần tử X mà hội tụ tới x0 ∈ X thì: (1.2) 49 sols: = evalf (solve(c[1]=g[1,1]*c[1]+g[1,2]*c[2]+d[1], c[2]=g[2,1]*c[1]+ + g[2,2]*c[2]+d[2])): x[k][t]:=sub(sols,c[1])*a[1][t] + subs(sols,c[2])*a[2][t]+f[k-1][t]: x[k][s]:=sub(sols,c[1])*a[1][s] + subs(sols,c[2])*a[2][s]+f[k-1][s]: collect(x[k][t],t): od: [> Print (x[n][t]); −0.06606407799 + 0.3918209876t + 0.6907407408t2 + 0.2453703704t3 + 0.0555555555t4 + 0.0083333334t5 Bằng lập trình tương tự thay n = 4, n = 5, n = 6, n = 7, ta kết x4 ,x5 ,x6 ,x7 x4 (t) = −0, 6005264060 + 0, 3922986479t + 0, 6959104938t2 + +0, 2302469136t3 + 0, 06134259260t4 + 0, 0111111111t5 + 0, 00138888889t6 x5 (t) = 0, 06661284213 + 0, 39222224671t + 0, 6961493240t2 + +0, 2319701646t3 + 0, 0575617284t4 + 0, 01226851852t5 + +0, 001851851852t6 + 0, 0001984126984t7 x6 (t) = −0, 6005385890 + 0, 3922106277t + 0, 6961112336t2 +0, 00002480159t3 + 0, 2320497747t4 + 0, 0579925412t5 +0, 01151234568t5 + 0, 00204475309t6 + 0, 000264550t7 x7 (t) = −0, 0661282914 + 0, 3922109713t + 0, 6961053139t2 +0, 2320370779t3 + 0, 0580144368t4 + 0, 0115985023t5 +0, 00191872428t6 + 0, 0002921075839t7 50 +0, 000033068783t8 + 0, 2755731922 · 10−5 t9 Ví dụ 2.4.2 Giải phương trình tích phân Volterra – Fredholm sau: u (x) = x − 11x + x2 + (xt2 − x2 t) u (t) dt + tu (t) dt 3 0 (2.57) Dùng phương pháp tổng quát ta tìm nghiệm gần phương trình Maple sau: [> n := : − 11x + x2 : 3 [> f [t] := − 11t + t2 :: 3 [> f [x] := [> K1[x, t] := x ∗ t2 − x2 ∗ t : [> K2[x, t] := t : [> K2[t, x] := x : [> a[1][x] := x : [> a[2][x] := −x2 : [> a[1][t] := t : [> a[2][t] := −t2 : [> b[1][x] := x2 : [> b[2][x] := x : [> b[1][t] := t2 : [> b[2][t] := t : [>for i from to 51 for j from to g[i, j] := (b[i][x] ∗ a[j][x])dx : od: od: [> u[0][x]:=f[x]: [> u[0][t]:=f[t]: [> for k from to n x f [k − 1][x] := f [x] + (K2[x, t] ∗ u[k − 1][t])dt : t f [k − 1][t] := f [t] + (K2[t, x] ∗ u[k − 1][x])dx : for m from to d[m] := (b[m][x] ∗ f [k − 1][x])dx : od: sols: = evalf (solve(c[1]=g[1,1]*c[1]+g[1,2]*c[2]+d[1], c[2]=g[2,1]*c[1]+ + g[2,2]*c[2]+d[2])): u[k][x]:=sub(sols,c[1])*a[1][x] + subs(sols,c[2])*a[2][x]+f[k-1][x]: u[k][t]:=sub(sols,c[1])*a[1][t] + subs(sols,c[2])*a[2][t]+f[k-1][t]: collect(u[k][x],x): od: [> Print (u[n][x]); u2 (x) := 1.666666667 − 13.54129722x + 4.786969892x2 − 4.486386090x3 52 +1.171721662x4 − 0.7333333333x5 + 0.02777777778x6 Bằng lập trình tương tự thay n = 3, n = 4, ta kết u3 (x),u4 (x): u3 ≈ 1.666666667 − 13.55451385x + 4.802558880x2 − 4.513765740x3 1.196742473x4 −0.8972772180x5 + 0.1952869437x6 − 0.1047619048x7 + 0.003472222222x8 , u4 ≈ 1.666666667−13.55632587x+4.804666295x2 −4.518171283x3 +1.200639720x4 −0.9027531480x5 + 0.1994570788x6 − 0.1281824597x7 +0.02441086796x8 − 0.01164021164x9 + 0.0003472222222x10 Chương Ứng dụng phương trình Voltera - Fredholm 3.1 Bài toán biên phương trình vi phân thường Cho phương trình: a0 (t)x + a1 (t)x + a2 (t)x = f (t) (3.1) Tìm nghiệm (3.1) thỏa mãn điều kiện:    αx (t0 ) + βx(t0 ) = (3.2)   γx (t ) + δx(t ) = 1 Bài toán (3.1)-(3.2) gọi toán biên Điều kiện (3.2) điều kiện biên Để tìm nghiệm toán biên ta thay điều kiện biên (3.2) vào biểu thức nghiệm tổng quát xác định giá trị cụ thể số (nếu điều kiện có thể) biểu thức nghiệm tổng quát 53 54 3.2 Ứng dụng phương trình tích phân Volterra – Fredholm vào giải toán biên Ví dụ 3.2.1 Xét toán biên: x = a(t)x + h(t) (3.3)    x(0) = x0 (3.4)   x(T ) = x T Ta nhận thấy toán (3.3)-(3.4) tương đương với phương trình Volterra – Fredholm: x(t) = f (t) + tF x + V x, (3.5) đó: T T −s t t (xT − x0 ) − t h(s)ds + (t − s)h(s)ds, T T 0 T −s a(s)x(s)ds, T f (t) = x0 + T Fx = − t Vx = (t − s)a(s)x(ds) Thật vậy: x (t) = a(t)x(t) + h(t) t ⇔ t x (s)ds = t a(s)x(s)ds + h(s)ds 0 t ⇔ x (t) = x (0) + t a(s)x(s)ds + h(s)ds (3.6) h(s)ds dt (3.7) T ⇔ T x (t)dt = T t 0 x (0)dt + 0 a(s)x(s)ds dt T t 0 + 55 T t 0 a(s)x(s)ds dt Tính Đặt     t a(s)x(s)ds = u ⇒   v=t    dt = dv T T t t ⇒    du = a(t)x(t)dt a(s)x(s)ds dt = t a(s)x(s)ds 0 T − ta(t)x(t)dt 0 T T a(s)x(s)ds − =T· sa(s)x(s)ds 0 T = (T − s)a(s)x(s)ds T t T h(s)ds dt = (T − s)h(s)ds Tương tự ta có: 0 Thay vào (3.7) ta có: T T xT − x0 = x (0).T + (T − s)a(s)x(s)ds + (T − s)h(s)ds 0 T T −s T T −s xT − x0 x (0) = − a(s)x(s)ds − h(s)ds T T T 0 Thay vào (3.6), ta có: T T −s T T −s xT − x − a(s)x(s)ds − h(s)ds T T T 0 x (t) = t t + a(s)x(s)ds + t ⇔ t x (z)dz = 0 t t xT − x0 dz − T h(s)ds T T −s a(s)x(s)ds dz T T t z t z T −s − h(s)ds dz + a(s)x(s)ds dz + h(s)ds dz T 0 x 0 T T −s T T −s xT − x0 t−t a(s)x(s)ds − t h(s)ds ⇔ x(t) − x0 = T T T 0 t z + t z 0 a(s)x(s)ds dz Tính t z 0 a(s)x(s)ds dz + h(s)ds dz (3.8) 56     u= Đặt z a(s)x(s)ds ⇒   v=z    dv = dz t z ⇒ t z a(s)x(s)dx dz = z    du = a(z)x(z)dz t − a(s)x(s)ds t t = t a(s)x(s)ds − za(z)x(z)dz t sa(s)x(s)ds = (t − s)a(s)x(s)ds 0 Tương tự ta có: t t z h(s)ds dz = (t − s)h(s)ds 0 Thay vào (3.8), ta có: x(t) = x0 + T T −s T T −s xT − x t−t a(s)x(s)ds − t h(s)ds T T T 0 t t + (t − s)a(s)x(s)ds + (t − s)h(s)ds 0 T T −s t t ⇔ x(t) = x0 + (xT − x0 ) − t a(s)x(s)ds + (t − s)h(s)ds T T 0 t T T −s h(s)ds + (t − s)a(s)x(s)ds +t − T 0 ⇔ x(t) = f (t) + tF x + V x Vậy việc giải toán biên (3.3)-(3.4) đưa giải phương trình tích phân Volterra – Fredholm (3.5) Ví dụ 3.2.2 Giải toán biên: x = x + a(t)x + h(t)    x(0) = x0   x(T ) = x T Ta nhận thấy toán biên (3.5)-(3.9) tương đương với phương trình: (3.9) (3.10) 57 x(t) = f (t) + t F x + V x, T (3.11) đó: f (t) = x0 + T T −s t t (xT − x0 ) − t h(s)ds + (t − s) h(s)ds, T T 0 T [(T − s) a(s) + 1] x(s)ds, Fx = − t [(t − s) a(s) + 1] x(s)ds Vx= Thật vậy, x (t) = x (t) + a(t)x(t) + h(t) t t t t ⇔ 0 0 h(s)ds a(s)x(s)ds + x (s)ds + x (s)ds = t ⇔ x (t) = x (0) + x(t) − x0 + t a(s)x(s)ds + T T ⇔ x (t)dt = T 0 T t T a(s)x(s)ds dt + T t 0 t a(s)x(s)ds = u ⇒ t ⇒    du = a(t)x(t)dt T t 0 T =T· T a(s)x(s)ds − T − a(s)x(s)ds dt = t a(s)x(s)ds (h(s)ds) dt   v=t    dt = dv T a(s)x(s)ds dt     Đặt x0 dt + Tính ta(t)x(t)dt T sa(s)x(s)ds = (T − s)a(s)x(s)ds 0 Tương tự ta có: T t T h(s)ds dt = (T − s)a(s)x(s)ds 0 (3.12) T x(t)dt − x (0)dt + h(s)ds 0 (3.13) 58 Thay vào (3.13), ta có: T xT − x0 = x (0).T + x(t)dt − x0 T T T + (T − s)a(s)x(s)ds + (T − s)h(s)ds 0 xT − x0 T ⇔ x (0) = x0 + − x(s)ds T T T T −s T T −s − a(s)x(s)ds − h(s)ds T T 0 Thay vào (3.12), ta có: T T T −s xT − x − x(s)ds + x(t) − a(s)x(s)ds T a T T T −s t t h(s)ds + a(s)x(s)ds + h(s)ds − T 0 t t x −x t T T ⇔ x (z) dz = dz − x(s)ds dz T 0 0 T t t T T −s + x(z)dz − a(s)x(s)ds dz T 0 t t T T −s z t z − h(s)ds dz + a(s)x(s)ds dz + h(s)ds dz T 0 0 0 T t t T T −s x T − x0 t− x(s)ds + x(s)ds − t a(s)x(s)ds x(t) − x0 = T T T 0 x (t) = T −t t z 0     u= z a(s)x(s)ds ⇒    dv = dz t z 0 h(s)ds dz    du = a(z)x(z)dz t z 0 t t = t a(s)x(s)ds − Tương tự ta có: t − a(s)x(s)ds dz = z a(s)x(s)ds t a(s)x(s)ds dz +   v=z z ⇒ z a(s)x(s)ds dz Tính Đặt t T −s h(s)ds + T za(z)x(z)dz t sa(s)x(s)ds = (t − s)a(s)x(s)ds 0 (3.14) 59 t t z h(s)ds dz = (t − s)h(s)ds Thay vào (3.14), ta có: T −t t 0 T t t xT − x0 t− x(s)ds + x(s)ds T T T T −s T −s a(s)x(s)ds − t h(s)ds T T x(t) = x0 + t + (t − s)a(s)x(s)ds + (t − s)h(s)ds 0 T T −s t ⇔ x(t) = x0 + (xT − x0 ) − t h(s)ds T T T t t − [T − s)a(s) + 1] x(s)ds + (t − s)h(s)ds + T 0 t + [(t − s) a(s) + 1] x(s)ds t ⇔ x(t) = f (t) + F x + Vx T Vậy việc giải toán biên (3.9)- (3.10) đưa giải phương trình Volterra – Fredholm (3.11) 60 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số phương pháp giải phương trình Volterra - Fredholm Chương trình bày ứng dụng phương trình tích phân Volterra - Fredholm vào giải toán biên phương trình vi phân thường Luận văn trình bày ba thuật toán giải phương trình tích phân Volterra - Fredholm xây dựng lập trình máy tính Các lập trình áp dụng cho ví dụ khác cách thay số liệu lập trình Việc xây dựng lập trình có vai trò quan trọng việc đưa nghiệm xấp xỉ phương trình tích phân Volterra - Fredholm Nhờ việc nghiên cứu ứng dụng phương trình tích phân Volterra Fredholm đơn giản Với phạm vi luận văn thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý thầy cô bạn đọc để vấn đề nghiên cứu hoàn thiện luận văn trở thành tài liệu khoa học hữu ích Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm , Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [5] Phạm Huy Điển (2002),Tính toán, Lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [6] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [7] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội 61 62 [B] Tài liệu tiếng Anh [8] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations Methods and Applications, Springer [9] Abul Has An Siddiqi (2004), Applied Functional Analysis, Marcel Dekker [10] C Corduneanu (1991), Integral equations and applications, Cambridge University Press [11] Christopher Heil (2011), A Basis Theory Primer, Birkh¨auser [12] Eberhard Zeidler (1989), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I: Fixed-Point Theotems, Translated by Peter R Wadsack, Springer- Verlag [13] Eberhard Zeidler (1989), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, II/B: Nonlinear Monotone Operators,Translated by the Author and by Leo F Boront, Springer- Verlag [14] Eberhard Zeidler (1989), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, III: Variational Methods and Optimization,Translated by Leo F Boron, SpringerVerlag [15] Heinz H Bauschke, Patrick L Combettes (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [16] H Gajewski, K Greger, K Zacharias (1978), Nonlinear operator equations and operator differential equations, Publishing World Moscow [17] I P Natanson (1964), Theory of Functions of A Real Variable, Translated from the Russian by Leo F Boron, Frederick Ungar Publishing Co New York 63 [18] Klaus Schmitt, Russell C Thompson (2004), Nonlinear Analysis and Differential Equations An Introduction, Department of Mathematics and Statistics Utah State University [19] Khuat V N (2011), A method of extending by parameter for approximate solutions of operator equations, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No [20] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (2005), Hilbert Spaces with Applications Third Edition, Elsevier Academic Press [21] L M Delves, J L Mohamed (1988), Computational methods for integral equations, Cambridge University Press [22] M Rahman (2007), Integral Equations and their Applications, Wit Press