1 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS.Khuất Văn Ninh Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc TS.Khuất Văn Ninh, người quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè học, đội ngũ bảo vệ an ninh khu vực động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 Lê Thị Thu Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS.Khuất Văn Ninh Hà Nội, tháng năm 2011 Lê Thị Thu Phương MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa…………………………………………………………… Lời cảm ơn ……………………………………………………………… Lời cam đoan …………………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………………… Bảng kí hiệu ………………………………………………………… Mở đầu…………………………………………………………………… Nội dung ………………………………………………………………… Chương 1: Kiến thức sở …………………………………………….8 1.1 Không gian véc tơ ………………………………………………… 1.2 Các không gian quan trọng ……………………………………… 11 1.3 Đạo hàm Gateaux đạo hàm Frechet ……………………………15 Chương 2: Một số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến………………………………… 19 2.1 Phương pháp Newton số biến thể nó………………… 19 2.2 Phương pháp cát tuyến…………………………………………… 27 2.3 Một số biến thể …………………………………………………….44 2.4 Phương pháp sử dụng tính liên tục ánh xạ …………………….52 2.5 Các phương pháp đặc biệt hàm biến ………………….57 2.6 Bàn thảo phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến …………………………………………….62 Chương 3: Bài tập…………………………………………………… 67 Kết luận kiến nghị…………………………………………………….71 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….72 BẢNG CÁC KÝ HIỆU R Tập hợp số thực Rn Không gian véc tơ Ơclit thực n chiều L# ( X , Y ) Không gian ánh xạ tuyến tính từ X vào Y L( X , Y ) Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y X # := L# ( X , K ) Không gian phiếm hàm tuyến tính X X * := L( X , K ) Không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X Mat (m × n, K ) Tập ma trận m dòng n cột Mat (n, K ) Tập ma trận vuông n dòng n cột GL(n, K ) Tập ma trận vuông cấp n không suy biến L(X ) Không gian toán tử tuyến tính từ X vào X C Tập hợp số phức K Tập hợp số thực phức K* Tập hợp số thực phức khác không MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào năm 70 kỷ 20, số nhà toán học nghiên cứu giải phương trình hệ phương trình dạng: Fx = y (1) F toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X , y ∈ Y Trường hợp đặc biệt (1) là: Fx = (2) với F = ( f1 , , f n ) : R n → R n , n ≥ hay: ⎧ f ( x1 , , x n ) = ⎪ M ⎨ ⎪ f ( x , , x ) = n ⎩ n Với hiểu biết ban đầu qua tham khảo số tài liệu liên quan, thấy: Phạm vi ứng dụng lý thuyết toán tử rộng lớn Phạm vi ứng dụng rộng có hiệu lực thực tiễn trước phát triển nhanh chóng máy tính điện tử với phát triển mạnh mẽ công trình nghiên cứu xấp xỉ Việc giải xấp xỉ phương trình, hệ phương trình dạng (2) phù hợp với lực Có nhiều phương pháp giải, song phương pháp lặp phương pháp lập trình máy tính điện tử Vì chọn đề tài: “Một số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến n ẩn số” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến n ẩn số, ứng dụng vào tập cụ thể có sử dụng máy tính điện tử để giải Đánh giá nghiên cứu khoa học Nêu đóng góp đề tài Đề xuất kiến nghị Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến n ẩn số Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến n ẩn số Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào toán cụ thể có sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple Pascal Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, áp dụng lý thuyết vào giải toán số Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống hoá phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến n ẩn số Lập trình toán máy tính điện tử ngôn ngữ lập trình Maple Pascal NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian véc tơ 1.1.1 Định nghĩa: Cho X tập hợp, K trường số Một không gian véc tơ X trường K tập hợp X với hai ánh xạ: (phép cộng): (phép nhân với vô hướng): X×X → X ( x, y ) a x+ y K×X → X (α , x) a α x thoả mãn tiên đề sau: ∀x, y, z ∈ X ; ∀α , β ∈ K x+ y = y+x (phép cộng có tính giao hoán) x + y + z = ( x + y) + z = x + ( y + z) (phép cộng có tính kết hợp) ∃θ ∈ X : x + θ = θ + x = x ( θ gọi phần tử không X ) ∃ − x ∈ X : x + (− x) = (− x) + x = θ ( − x gọi phần tử đối x ) (α β ) x = α ( β x) (α + β ) x = α x + β x α ( x + y) = α x + α y x = x1 = x ( phần tử đơn vị trường K ) Các phần tử: θ − x nhất, (− x) = −1 x 1.1.2 Cơ sở Hamel số chiều không gian véc tơ Cho X không gian véc tơ trường K 1.1.2.1 Định nghĩa: Giả sử { x1 , , x n } ⊂ X {α , , α n } ⊂ K số tuỳ ý Ta gọi hệ véctơ tuỳ ý, n y = ∑ α i xi tổ hợp tuyến tính i =1 véc tơ x1 , , x n X (hay nói y biểu thị tuyến tính qua véc tơ x1 , , x n ) Hệ véc tơ { x1 , , x n } ⊂ X gọi độc lập tuyến tính ∀α , , α n ∈ K , từ đẳng thức: n ∑α x i i =1 i = θ ⇒ α i = 0, ∀i = 1, n Hệ véc tơ { x1 , , xn } ⊂ X gọi phụ thuộc tuyến tính không độc lập tuyến tính 1.1.2.2 Định nghĩa: Tập M ⊂ X , M ≠ φ gọi tập độc lập tuyến tính hệ hữu hạn { x1 , , xn } ⊂ M , {α , , α n } ⊂ K từ đẳng thức n ∑α x i =1 i i = θ ⇒ α i = 0, ∀i = 1, n Tập M ⊂ X tập độc lập tuyến tính tối đại X tập độc lập tuyến tính có B tập độc lập tuyến tính X mà M ⊆ B M = B 1.1.2.3 Định lí định nghĩa: Cho hệ hữu hạn vectơ X1 = { x , , x m } ⊂ X số phần tử hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ X Số gọi hạng hệ véc tơ X 1.1.2.4 Định nghĩa: Tập M ⊂ X gọi sở Hamel X M tập độc lập tuyến tính phần tử X biểu thị tuyến tính qua phần tử M (hay M tập độc lập tuyến tính tối đại X ) Khi số chiều X , kí hiệu d i m X , số phần tử M 1.1.3 Không gian véc tơ Cho X không gian véc tơ trường K 1.1.3.1 Định nghĩa: Tập M ⊂ X gọi không gian véc tơ X M đóng kín phép toán X , nghĩa là: x + y ∈ M ; ∀x, y ∈ M α x ∈ M ; ∀α ∈ K , ∀x ∈ M (hay M không gian véc tơ với phép toán cảm sinh từ X ) 1.1.3.2 Định nghĩa: Giả sử M tập X Khi tập tất tổ 10 hợp tuyến tính phần tử thuộc M lập thành không gian X , ký hiệu M Nhận xét: M hay sp a n M giao không gian véc tơ X chứa M , không gian véc tơ nhỏ X chứa M gọi không gian sinh M (hay gọi bao tuyến tính M ) 1.1.4 Ánh xạ ma trận Cho X , Y hai không gian véc tơ trường K Ánh xạ F : X →Y 1.1.4.1 Định nghĩa: F gọi ánh xạ tuyến tính nếu: n n i =1 i =1 F ( ∑ α i xi ) = ∑ α i F ( xi ); ∀ xi ∈ X , α i ∈ K , i = 1, n n ≥ 1.1.4.2 Ma trận: Giả sử X Y không gian hữu hạn chiều, u = { u1 , , u n } sở X, v = { v1 , , v m } sở Y , F ánh xạ tuyến tính Khi F hoàn toàn xác định bởi: m F (u j ) = b j = ∑ j vi ; j = 1, n i =1 n Nếu y = F ( x), x = ( x1 , , xn ) ∈ X , y = ( y1 , , y m ) ∈ Y y i = ∑ j x j ; i = 1, m j =1 Hay ⎧ y1 = a11 x1 + a12 x + + a1n x n ⎪ y = a x + a x + + a x ⎪ 21 22 2n n ⎨ ⎪ ⎪⎩ y m = a m x1 + a m x + + a m n x n 58 (i) Nghiệm ξ đoạn [ a ; b ] (ii) f ∈ C [ a ; b ] , f ' ( x) f ' ' ( x) không đổi dấu đoạn [ a ; b ] 2.5.1 Định nghĩa: Điểm x ∈ [ a ; b ] gọi điểm Fourier f ' ' ( x) f ( x) > 2.5.2 Phương pháp dây cung Không tính tổng quát ta giả sử f ' ' ( x) > (vì không ta xét g = − f ) Xét f ' < Điểm x = a điểm Fourier vì: f (a) > f (ξ ) = f ' ' (a) > Gọi x0 = b xấp xỉ ban đầu; x k , k ≥ xấp xỉ thứ k nghiệm ξ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy gọi M ( a, f (a) ); N k ( x k , f ( xk ) ) Để tìm hoành độ giao điểm cung M N k với trục hoành ta thay cung M N k dây cung M N k tìm giao điểm đoạn thẳng M N k với trục hoành Phương trình đường thẳng qua hai điểm M N k là: y = f (a) + f ( x k ) − f (a) ( x − a) xk − a Cho y = ta tìm hoành độ giao điểm đường thẳng M N k với trục hoành x k +1 , ta có phép lặp: x k +1 = x k − f ( xk ) ( xk − a) f ( x k ) − f (a) Suy x k +1 − x k = − f ( xk ) ( xk − a) f ( x k ) − f (a ) Theo công thức số gia hữu hạn ta có: x k +1 − x k = − f ( xk ) f ' ( xk ) (2.5.2) 59 Chứng minh phương pháp quy nạp ta có f ( x k ) < , lại f ' ( x k ) < nên x k +1 < x k Vậy dãy { x k } đơn điệu giảm đến nghiệm ξ Xét f ' > Điểm x = b điểm Fourier vì: f (b) > f (ξ ) = f ' ' (b) > Gọi x0 = a xấp xỉ ban đầu; x k , k ≥ xấp xỉ thứ k nghiệm ξ Làm tương tự trường hợp f ' < ta có phép lặp: x k +1 = x k − f ( xk ) ( x k − b) f ( x k ) − f (b) (2.5.3) dãy { xk } đơn điệu tăng đến nghiệm ξ Phương pháp dây cung biểu diễn hình 2.5 đây: Hình 2.5 Ta đánh giá sai số phương pháp dây cung theo hai cách: Cách1: Giả sử f ' ( x) ≥ m > ; ∀ x ∈ [ a ; b ] Ta có: f ( x k ) = f ( x k ) − f (ξ ) = f ' ( x k ) ( x k − ξ ) ≥ m x k − ξ Suy ra: xk − ξ ≤ f ( xk ) m (2.5.4) 60 Cách 2: Giả sử f ' ( x) không đổi dấu đoạn [ a ; b ] và: < m ≤ f ' ( x) ≤ M Khi đó: x n +1 = x n − f ( xn ) ( xn − a) f ( x n ) − f (a) Hay − f ( xn ) = f ( x n ) − f (a) ( x n +1 − x n ) xn − a Áp dụng công thức số gia hữu hạn ta được: ( ξ − x n ) f ' (ξ n ) = f (ξ ) − f ( x n ) = − f ( x n ) = f ( x n ) − f (a ) ( x n +1 − x n ) = f ' ( x n ) ( x n +1 − x n ) xn − a Vậy ( ξ − x n +1 + x n +1 − x n ) f ' (ξ n ) = f ' ( x n ) ( x n +1 − x n ) Hay ξ − x n +1 = f ' ( x n ) − f ' (ξ n ) f ' (ξ n ) x n +1 − x n Vì f ' ( x) không đổi dấu đoạn [ a ; b ] nên f ' ( x n ) − f ' (ξ n ) ≤ M − m Suy ra: x n +1 − ξ ≤ M −m x n +1 − x n m (2.5.5) 2.5.3 Phương pháp tiếp tuyến Chọn xấp xỉ ban đầu x0 điểm Fourer: f ( x0 ) f ' ' ( x0 ) > Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f (x) điểm M ( x0 , f ( x0 ) ) có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) Hoành độ giao điểm tiếp tuyến với trục hoành x1 ta có: = f ' ( x0 ) ( x1 − x0 ) + f ( x0 ) ⇒ Nói chung: x1 = x0 − f ( x0 ) f ' ( x0 ) 61 x n +1 = x n − f ( xn ) f ' ( xn ) (2.5.6) Không tính tổng quát ta coi f ' ' ( x) > (vì không ta xét g = − f ) Sau ta xét f ' < (trường hợp f ' > hoàn toàn tương tự) Khai triển f ( x n ) điểm x n−1 theo công thức Taylor ta có: f ( x n ) = f ( x n −1 ) + f ' ( x n −1 ) ( x n − x n −1 ) + f ' ' (ξ n −1 ) ( x n − x n −1 ) 2 Suy ra: f ( xn ) = f ' ' (ξ n −1 ) ( x n − x n −1 ) ≥ Mặt khác: x n +1 − x n = − f ( xn ) f ' ' (ξ n −1 ) ( x n − x n −1 ) =− ≥0 f ' ( xn ) f ' ( xn ) Do dãy { xn } đơn điệu không giảm Nếu có x n > ξ f ' ( x) < nên: f ( x n ) < f (ξ ) = Điều mâu thuẫn x n ≤ x n +1 ≤ ≤ ξ , suy tồn với bất đẳng thức f ( xn ) ≥ Vậy, l i m xn = ζ n→∞ Ta có: f ( x n ) = f ' ( x n ) x n +1 − x n ≤ M x n +1 − x n M = su p { f ' ( x) : x ∈ [ a ; b ] } Cho n → ∞ ta f (ζ ) = Vậy, ζ = ξ Phương pháp tiếp tuyến gọi phương pháp Newton Ta đánh giá sai số phương pháp Newton: Giả sử 62 f ' ( x) ≥ M , ∀ x ∈ [ a ; b ] f ' ' ( x) ≤ M , Một mặt ta có: f ( x n +1 ) = f ( x n +1 ) − f (ξ ) = f ' ( x n +1 ) ( x n +1 − ξ ) , từ suy ra: x n +1 − ξ ≤ f ( x n +1 ) (2.5.7) M2 Mặt khác, sử dụng (2.5.6) khai triển Taylor ta có: f ( x n +1 ) = f ( x n ) + f ' ( x n ) ( x n +1 − x n ) + ⇒ M1 x n +1 − x n f ( x n +1 ) ≤ f ' ' (ξ n ) f ' ' (ξ n ) ( x n +1 − x n ) = ( x n +1 − x n ) 2 2 Áp dụng (2.5.7) ta có: x n +1 − ξ ≤ Khi x n +1 − ξ = O đủ n (x n +1 − xn lớn M1 x n +1 − x n 2M2 độ lệch ) nên từ (2.5.8) suy ra: x x n +1 − x n n +1 (2.5.8) bé Vì gần ξ phương pháp Newton có hội tụ bậc Do phương pháp Newton hội tụ nhanh thường sử dụng để giải phương trình (2.5.1) 2.6 Bàn thảo phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến 2.6.1 Định nghĩa Định nghĩa 1: Họ toán tử: { G k } : G k : Dk ⊂ (R n ) k+ p → R n ; k = 0,1, (2.6.1) xác định phương pháp lặp P = (Gk , D * , p ) , với p điểm ban đầu miền xác định D * ⊂ D0 , nếu: (i) D * ≠ φ (ii) Với ∀ ( x , , x − p +1 )∈ D * tồn dãy { x k } cho: 63 x k +1 = Gk ( x k , , x − p +1 ); k = 0,1, (2.6.2) Hay (x k , , x − p +1 ) ∈ Dk ; ∀ k ≥ Định nghĩa 2: Điểm x * cho l i m x k = x * gọi giới hạn trình lặp k →∞ Kí hiệu tập dãy { x k } sinh P hội tụ đến x * C ( P, x * ) Chú ý: Theo định nghĩa trình lặp không xác định tập D * ≠ φ cho với ∀ ( x , , x − p +1 )∈ D * dãy { xk } sinh Nếu Gk định nghĩa toàn ( R n ) k + p ; ∀ k ≥ điều kiện xác định trình lặp tự động thoả mãn Nhưng điều lúc có Chẳng hạn xét phương pháp Newton (2.1.8), giả sử tìm x thuộc miền xác định D F cho F ' ( x ) tồn không suy biến Khi chắn tồn x1 , x1 không cần thuộc D , x1 ∈ D F ' ( x1 ) −1 không cần phải tồn Từ trình lặp dừng sau bước Nói chung việc xác định cách xác miền xác định D * trình lặp toán khó vô Tuy vậy, ta nghiên cứu đặc tính tập biết D * , đặc tính tập hợp điểm biết ( x , , x − p +1 ) mà chắn có tập đảm bảo dãy { x k } sinh Các phương pháp lặp tổng quát dạng (2.6.2) sử dụng thực hành thuận lợi cho việc phân loại kiểu phương pháp lặp quan trọng Định nghĩa 3: Phương pháp lặp P = (Gk , D * , p ) phương pháp lặp m bước p = m ánh xạ Gk có dạng: ( ) G k : Dk ⊂ R n m → R n ; k = 0,1, Định nghĩa 4: Phương pháp lặp m bước liên tiếp lần lặp sinh bởi: 64 x k +1 = Gk ( x k , , x k − m +1 ) ; k = 0,1, Định nghĩa 5: Phương pháp lặp m bước liên tiếp dừng với hàm lặp G nếu: Gk ≡ G, Dk ≡ D ; k = 0,1, 2.6.2 Chú ý nhận xét Khái niệm phương pháp lặp dừng bước (là khái niệm đơn giản nhiều trường hợp phương pháp quan trọng nhất) mô tả bởi: x k +1 = G x k ; k = 0,1, (các phép lặp kiểu bao gồm phép lặp Newton (2.1.8), phép lặp Steffensen(2.2.34)) Một phương pháp lặp mà phương pháp lặp bước gọi phương pháp lặp nhiều bước Ví dụ: phương pháp cát tuyến hai điểm, phương pháp cát tuyến (n + 1) điểm liên tiếp không liên tiếp phương pháp lặp nhiều bước Mặc dù định nghĩa nêu rõ ý nghĩa phương pháp lặp tổng quát để tiện lợi ta viết lại (2.6.2) dạng ẩn: ( ) H k x k +1 , , x − p +1 = ; k = 0,1, (2.6.3) Trong trường hợp dạng tự nhiên phép lặp Newton là: F ' ( x k ) x k +1 = F ' ( x k ) x k − F x k ; k = 0,1, (2.6.4) Vì thực hành ta tính xác F ' ( x k ) −1 nên ta phải giải hệ tuyến tính (2.6.4) để thay cho việc tính F ' ( x k ) −1 Quan trọng hơn, có nhiều kiểu phương pháp lặp sinh cách tự nhiên dạng (2.6.3) Trong trường hợp toán phi tuyến phải giải để thu lần lặp x k +1 , trình lặp không xác định cách đầy đủ thuật giải phụ trợ định rõ để thu x k +1 65 Ta khẳng định toán không gian chiều giải phương pháp Newton Có hai toán liên quan tới (2.6.3) là: Bài toán 1: Cho x − p +1 , , x k , hỏi có tồn x k +1 mà thoả mãn (2.6.3) hay không? Bài toán 2: {x k ,i Nếu x k +1 tồn thuật giải phụ trợ có cho dãy ; i = 0,1, } hội tụ tới x k +1 hay không? Từ đó, tồn tất x k tương đương với tồn nghiệm { x k } phương trình (2.6.3), vấn đề hội tụ tốc độ hội tụ x k xem vấn đề trạng thái tiệm cận nghiệm phương trình (2.6.3) Mặt khác trả lời toán có nói chung x k +1 có giới hạn dãy vô hạn Do đó, điều kiện cần thiết (2.6.3) với đặc tính thuật giải phụ trợ hoàn toàn xác định ánh xạ Gk (2.6.2) nhìn chung ta tính giá trị ánh xạ Gk Bởi vậy, trình lặp có có thuật giải phụ trợ cần đến để lấy nhiều bước lặp hữu hạn Ngoài ta định rõ phép lặp phụ trợ để tiếp tục tiến hành lần lặp thứ i x k ,i thoả mãn điều kiện hội tụ đó, chẳng hạn thoả mãn H k ( x k ,i , x k , , x − p +1 ) ≤ εk Trong hai toán, phân tích tồn trạng thái nghiệm { x } cho phương trình (2.6.3) xem phân tích trình k lặp lí tưởng, thường đạt điều Vả lại, điều kì vọng phân tích đưa quan điểm mà theo nghĩa quan điểm xấp xỉ nghiệm lí tưởng 66 Mặc dù cân nhắc nhắc lại theo bất khả ta để tính nghiệm toán phi tuyến có nhiều bước hữu hạn, cân nhắc phân tích trình lặp có tính thực hành, (chẳng hạn phương pháp Newton) phương trình tuyến tính cần giải để thu lần lặp Ngoại trừ trường hợp quan trọng, hầu hết lần lặp { x k } sinh việc thực phương pháp Newton máy tính thoả mãn hệ thức thu gọn (2.6.4) cách xấp xỉ sai số làm tròn Từ phân tích phương trình (2.6.4) trường số thực lại mô tả lí tưởng hoá Ánh xạ H k (2.6.3) không cần phải tuyến tính x k +1 67 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP Một số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến trình bày chương lí thuyết chúng khó khăn thực hành Tuy nhiên mức độ ta thực hành cách dễ dàng dựa vào điều kiện cho trước Sau ta đưa số toán sử dụng phép lặp Newton cải biên, phép lặp Newton, phép lặp Steffensen Bài toán 1: Biết hàm số: f : [ ; ] ⎯⎯→ R , f ( x) = 0,1 x + x − x + x − x − 1,357824 có nghiệm x * Hãy viết công thức phương pháp Newton cải biên không gian chiều để tìm nghiệm xấp xỉ Giải: Ta có: f ' ( x) = 0,5 x + x − 15 x + x − Chọn x = 2,41 ta có: f ( x ) = 0,42062239201; f ' ( x ) = 42,545680805 Công thức phương pháp Newton cải biên để tìm nghiệm xấp xỉ là: x k +1 = x k − f (xk ); 42,545680805 k = 0,1, Bài toán 2: Biết hàm F = ( f1 , , f ) : B [ ;1 ] ⊂ R ⎯ ⎯→ R có nghiệm x * , với: f1 : R ⎯ ⎯→ R , f1 ( x) = x1 x 22 + 0,4 x3 + 0,5 x + x53 − f2 : R5 ⎯ ⎯→ R , f ( x) = 0,3 x13 + x x32 + x 43 − x5 + f3 : R5 ⎯ ⎯→ R , f ( x) = 0,2 x1 + x − x3 x 42 + x52 − f4 : R5 ⎯ ⎯→ R , f ( x) = − x12 − x 23 + 0,5 x3 x x5 f5 : R5 ⎯ ⎯→ R , f ( x) = x1 + x + x3 + x x5 ( ∀ x = ( x , , x ) ∈ R ) 5 68 Hãy viết công thức phương pháp Newton cải biên không gian chiều để tìm nghiệm xấp xỉ Giải: Ta có: ⎛ x 22 ⎜ ⎜ 0,9 x12 F ' ( x) = ⎜ 0,2 ⎜ ⎜ − x1 ⎜ ⎝ x1 x x32 − x 22 0,4 x x3 x 42 0,5 x x5 0,5 x 42 x3 x 0,5 x3 x5 x5 x52 −1 x5 0,5 x3 x x4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Chọn x = ( 0,1; 0,01; − 0,1; − 0,01; 1,01) Ta có: F x = ( − 0,014689 ; − 0,009601; 0,00991; − 0,009496 ; − 0,0001 ) 0,4 0,5 3,0603 ⎞ ⎛ 0,0001 0,002 ⎜ ⎟ − 0,002 −1 ⎟ 0,01 0,0003 ⎜ 0,009 F ' ( x ) = ⎜ 0,2 0,0001 0,002 2,02 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − 0,2 − 0,0003 − 0,00505 − 0,0505 0,0005 ⎟ ⎜ 1 1,01 − 0,01 ⎟⎠ ⎝ Từ ta tìm F ' ( x ) −1 Công thức phương pháp Newton cải biên để tìm nghiệm xấp xỉ là: x k +1 = x k − F ' ( x ) −1 Fx k , k = 0,1, Bài toán 3: Biết hàm số ⎡ π π ⎤ f : ⎢ ; ⎥⎯ ⎯→ R, ⎣ 24 ⎦ f ( x) = x − si n x − π −6 12 có nghiệm x * Hãy viết công thức phương pháp Newton không gian chiều để tìm nghiệm xấp xỉ Giải: Ta có: f ' ( x) = − co s x Chọn x = π 16 ta có: 69 f (x0 ) = π 16 − si n π f ' ( x ) = − co s − π π 12 + 1 π = − − 2 48 = 1− + co s − co s π =1− π − 2 48 π 2− 2 2+ = 1− + 4 = 1− Công thức phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp xỉ là: x k +1 = x k − f ' ( x k ) −1 f ( x k ), k = 0,1, Bài toán 4: Hãy viết công thức phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình: ⎧ e x+ y − x + y = ⎨ 2 ⎩ ( x + 0,5 ) + y = biết hệ phương trình có nghiệm ( x * ; y * ) Giải: Xét hàm F = ( f1 , f ) : R ⎯ ⎯→ R , với: f1 : R ⎯ ⎯→ R , f1 ( x ; y ) = e x + y − x + y − f2 : R2 ⎯ ⎯→ R , f ( x ; y ) = ( x + 0,5 ) + y − Ta có: ⎛ e x+ y − x e x+ y + ⎞ ⎟ F ' ( x ; y ) = ⎜⎜ y ⎟⎠ ⎝ x +1 Chọn ( x ; y ) = ( − 0,5 ;1) ta có: e ≈ 2,7183 ; e ≈ 1,64872678 F ( x ; y ) = ( e − 1,25 ; ) ⎛ e +1 F ' ( x ; y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ ( e + ) −1 F ' ( x ; y ) −1 = ⎜⎜ ⎝ e +1 ⎞ ⎟ ⎟⎠ − 0,5 ⎞ ⎟ 0,5 ⎟⎠ Công thức phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình cho là: ( x k +1 ; y k +1 ) = ( x k ; y k ) − F ' ( x k ; y k ) −1 F ( x k ; y k ) ; k = 0,1, 70 Bài toán 5: Biết phương trình: π x + t an x − =0 ⎡π π ⎤ ⎥ Hãy viết công thức phương pháp Steffensen ⎣ 4,5 ⎦ có nghiệm x * ∈ ⎢ ; không gian chiều để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình ⎡π π ⎤ f : ⎢ ; ⎯→ R , ⎥⎯ ⎣ 4,5 ⎦ Giải: Xét hàm số Chọn x = π f (x0 ) = f ( x) = π x + t an x − ta có: π × π + t an π − 5 − 13 + = − + = 12 Công thức phương pháp Steffensen để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình cho là: x k +1 = x k − f (xk ) f ( x k ) ; k = 0,1, k k k f ( x + f (x ) ) − f (x ) 71 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Bản luận văn trình bày phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Cụ thể: Chương 1: Trình bày khái niệm, định lí, tính chất kiến thức sở Chương 2: Trình bày lý thuyết số phương pháp lặp giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Chương 3: Một số toán giải phương trình hệ phương trình phi tuyến sử dụng phương pháp Newton phương pháp Steffensen Ứng dụng giải toán số máy tính điện tử ngôn ngữ lập trình Maple Pascal Với khả có hạn chắn luận văn có thiếu sót mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện tốt Xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh, (1996), Giải tích số, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Văn Khuê (Chủ biên), Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập 1, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Văn Khuê (Chủ biên), Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập 2, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [6] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Trường đại học khoa học Huế [7] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Nguyễn Doãn Tuấn, Khu Quốc Anh, Tạ Mân, Nguyễn Anh Kiệt (1998), Đại số tuyến tính hình học giải tích, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [8] Hoàng Tuỵ (2006), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [9] J.M Ortega and W.C.Rheinboldt (1970), Iterative solution of nonlinear equations in several variables, University of Maryland College Park, Maryland Academig Press New York and London [10] Rajendra Akerkar (1999), Nonlinear Functional Analysis, Narosa Publishing House New Delhi Madras Bombay Calcutta London