BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN TRƯỜNG LÂM DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN ĐÌNH KẾ HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành cách tiếp cận vấn đề nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên cao học giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn này! Hà Nội, tháng năm 2016 Nguyễn Trường Lâm ii Lời cam đoan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa kết khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo Hà Nội, tháng năm 2016 Nguyễn Trường Lâm iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Độ đo không compact 1.2 Một số khái niệm lý thuyết nửa nhóm 1.3 Dưới vi phân 11 1.4 Lý thuyết tập hút toàn cục 12 Chương Tính giải tính chất tập nghiệm 15 2.1 Sự tồn nghiệm toàn cục 15 2.2 Tính chất tập nghiệm 23 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm 28 3.1 Sự tồn tập hút toàn cục 28 3.2 Ứng dụng 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Lý chọn đề tài Xét hệ bất đẳng thức vi biến phân x✶ ♣tq ✁ Ax♣tq € F ♣x♣tq, u♣tqq, x♣tq € X, t ➙ 0, Bu♣tq   ❇ φ♣u♣tqq ◗ g ♣x♣tq, u♣tqq, u♣tq € U, t ➙ 0, x♣0q ✏ ξ, (0.1) (0.2) (0.3) với hàm trạng thái x lấy giá trị không gian Banach X, hàm điều khiển u lấy giá trị không gian Hilbert U , A, B toán tử tuyến tính, ❇ φ vi phân phiếm hàm φ, F g hàm phi tuyến Trong trường hợp X U không gian hữu hạn chiều φ ✏ IK hàm tập lồi đóng K U ta có bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều x✶ ♣tq ✁ Ax♣tq € F ♣x♣tq, u♣tqq, x♣tq € X, t ➙ 0, ①v ✁ u♣tq, Bu♣tq ✁ g♣x♣tq, u♣tqq② ➙ 0, ❅v € K, x♣0q ✏ ξ (0.4) (0.5) (0.6) Đây đối tượng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học sau công trình Pang Stewart [14] năm 2008 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ (0.4)-(0.6) nghiên cứu công trình [2] ứng với thiết lập cụ thể hàm F g Tiếp theo, kết mở rộng cho trường hợp vô hạn chiều trình bày [3] Bất đẳng thức vi biến phân mô hình nhiều toán ứng dụng kinh tế học, học, mạng lưới giao thông, hệ thống mạch điện, Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết bất đẳng thức vi biến phân, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Đình Kế chọn vấn đề "Dáng điệu tiệm cận nghiệm bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic" cho đề tài nghiên cứu luận văn Các kết trình bày dựa công trình [3] Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu điều kiện đủ cho tính giải tồn tập hút toàn cục nửa dòng đa trị sinh hệ (0.1)-(0.3) Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu bất đẳng thức biến phân; • Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động; • Tìm hiểu lý thuyết hệ động lực đa trị Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: bất đẳng thức vi biến phân • Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: • Giải tích đa trị, giải tích hàm phi tuyến, giải tích biến phân; • Lý thuyết hệ động lực đa trị không gian vô hạn chiều Đóng góp đề tài Chứng minh chi tiết kết công trình [3] Đặt vấn đề Giả sử ♣X, ⑥ ☎ ⑥q không gian Banach ♣U, ①☎, ☎②q không gian Hilbert Xét toán x✶ ♣tq ✁ Ax♣tq € F ♣x♣tq, u♣tqq, x♣tq € X, t ➙ 0, Bu♣tq   ❇ φ♣u♣tqq ◗ g ♣x♣tq, u♣tqq, u♣tq € U, t ➙ 0, x♣0q ✏ ξ, (0.8) (0.9) cặp hàm ♣x♣☎q, u♣☎qq lấy giá trị X ✂ U , φ : U phiếm hàm thường (φ (0.7) Ñ R ✙  ✽), lồi nửa liên tục xác định ✂ U Ñ P ♣X q hàm đa trị, A toán tử tuyến tính sinh C0 -nửa nhóm X, B : U Ñ U ✶ g : X ✂ U Ñ U ✶ U , F : X ánh xạ mô tả phần sau, ký hiệu U ✶ không gian đối ngẫu U Trong trường hợp X U không gian vô hạn chiều, tìm thấy mô hình ứng dụng cụ thể cho hệ (0.7)-(0.9) hệ phương trình đạo hàm riêng Chẳng hạn với X ✏ U ✏ L2♣Ωq, Ω ⑨ Rn miền Xét hệ phương trình parabolic-elliptic ✏ ∆Z   F ♣Z, uq, Ω ✂ ♣0, ✽q, ∆u   h♣uq ✏ g ♣Z, uq, Ω ✂ ♣0, ✽q, Z ♣x, 0q ✏ Z0 ♣xq, x € Ω, Zt (0.10) (0.11) (0.12) Z ✏ Z ♣x, tq u ✏ u♣x, tq hàm xác định Ω ✂ R  ứng với điều kiện biên Dirichlet Neumann Hệ xuất sinh học nghiên cứu chuyển động vi khuẩn có tác động hóa chất (xem [9]), toán khôi phục ảnh (xem [10]) Chú ý với điều kiện thích hợp, hàm h♣uq (0.11) viết dạng h♣uq ✏ ❇ j ♣uq, j ♣uq ✏ với H ♣uq ✏ ➩u ✩ ➩ ✬ ✫ H u x dx Ω ♣ ♣ qq  ✽ ✬ ✪ H ♣uq € L1 ♣Ωq, trường hợp lại, h♣sqds (xem [4]) Do trường hợp nêu hệ (0.10)-(0.11) có dạng (0.7)-(0.9) Ta xem xét hệ (0.7)-(0.9) bất đẳng thức vi biến phân không gian vô hạn chiều Cho đến nay, kết nghiên cứu dáng điệu nghiệm cho hệ chưa biết đến nhiều Mục tiêu luận văn trình bày kết gần dáng điệu nghiệm hệ (0.7)-(0.9) thiết lập [3] Kết mở rộng kết [2] cho hệ vô hạn chiều Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Độ đo không compact Cho E không gian Banach Ký hiệu P ♣E q ✏ tB ⑨ E : B ⑧✏ ❍✉, B ♣E q ✏ tB € P ♣E q : B bị chặn ✉ Độ đo không compact Hausdorff (MNC) χ♣☎q hàm tập hợp xác định sau, với Ω € B ♣E q, χ♣Ωq ✏ inf t → : Ω có ✁ lưới hữu hạn✉ Ký hiệu L1 ♣0, T ; E q không gian hàm xác định đoạn r0, T s, ⑨ L1♣0, T ; E q tập thỏa mãn với f € D, ⑥f ♣tq⑥ ↕ ν ♣tq với hầu khắp t € r0, T s, ν € L1 ♣0, T ; Rq, ta nói D bị chặn tích phân Xét số lấy giá trị E khả tích theo nghĩa Bochner Giả sử D ước lượng thông qua độ đo không compact Hausdorff (gọi MNC-ước lượng) sau Mệnh đề 1.1 [11] Nếu twn ✉ ⑨ L1 ♣0, T ; E q bị chặn tích phân ➺t χ♣t wn ♣sqds✉q ↕ ➺t χ♣twn ♣sq✉qds, với t € r0, T s Ta có ước lượng tương tự cho tập không đếm (xem [12, Proposition 2.5]) Mệnh đề 1.2 Giả sử D ⑨ L1♣0, T ; E q có tính chất D bị chặn tích phân, χ♣D♣tqq ↕ q ♣tq với hầu khắp t € r0, T s, q € L1♣0, T ; Rq Khi χ   ➺t ➩t 0D D♣sqds ✟ ↕4 ➺t q ♣sqds, ➩t ♣sqds ✏ t ξ ♣sqds : ξ € D✉ Ta sử dụng khái niệm χ-chuẩn toán tử tuyến tính bị chặn T ♣T L♣E qq sau € ⑥T ⑥χ ✏ inf tβ → : χ♣T ♣B qq ↕ βχ♣B q với tập bị chặn B ⑨ E ✉ (1.1) Ta biết χ-chuẩn T xác định ⑥T ⑥χ ✏ χ♣T ♣B1qq, với B1 hình cầu đơn vị E Ta có ⑥T ⑥χ ↕ ⑥T ⑥L♣Eq, chuẩn cuối đánh giá chuẩn toán tử L♣E q Rõ ràng T toán tử compact ⑥T ⑥χ ✏ Ta nhắc lại quan hệ khái niệm k-nén k-Lipschitz toán tử phi tuyến Cho E˜ không gian Banach χ˜ độ đo 25 ↕2 ➺t ↕ 2M ↕ 2M χ♣tS ♣t ✁ sqfn ♣sq✉qds ➺t χ♣tfn ♣sq✉qds ➺0t ✏ p  qη1 ηB ✁ η2 sχ♣txn♣sq✉qds (sử dụng ước lượng (2.8)) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall lần nữa, ta nhận χ♣txn ♣tq✉q ✏ 0, ❅t € r0, T s Vậy ✏ χ♣tfn ♣tq✉q ↕ p   qη1 ηB ✁ η2 sχ♣txn♣tq✉q ✏ 0, ❅t € r0, T s Điều có nghĩa tfn ✉ nửa compact L1 ♣0, T ; X q Do Mệnh đề 2.5, tW ♣fn q✉ compact tương đối C ♣r0, T s; X q Nhờ (2.16), txn ✉ compact tương đối C ♣r0, T s; X q Bây ta chứng minh πT ✆ Σ♣ξ q tập compact với ξ € X Ta cần tập đóng Giả sử xn € πT ✆ Σ♣ξ q, xn Ñ x✝ C ♣r0, T s; X q Bằng lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.6, ta nhận x✝ € πT ✆ Σ♣ξ q Nghĩa πT ✆ Σ♣ξ q đóng Bổ đề chứng minh ✆ Bây ta xác định nửa dòng đa trị liên kết với toán (0.7)-(0.9) sau G : R  ✂ X Ñ P ♣X q, G ♣t, ξ q ✏ tx♣tq : x nghiệm (0.7) ✁ (0.9), x♣0q ✏ ξ ✉ Rõ ràng G ♣t, ξ q ✏ Σ♣ξ q♣tq, ❅t ➙ Hơn sử dụng lý luận [13], ta có G ♣t1   t2 , ξ q ✏ G ♣t1 , G ♣t2 , ξ qq, với t1 , t2 € R , ξ € X, nghĩa là, G nửa dòng đa trị chặt Ta chứng minh G nửa liên tục bổ đề sau 26 Bổ đề 2.8 Giả sử giả thiết Định lý 2.6 thỏa mãn Khi G ♣t, ☎q nửa liên tục nhận giá trị compact với t → Chứng minh Ta có πt ✆ Σ♣ξ q compact C ♣r0, ts; X q với t → Bổ đề 2.7 Điều chứng tỏ G ♣t, ξ q tập compact € X Vậy G ♣t, ☎q nhận giá trị compact Theo Bổ đề 1.3, ta cần chứng minh G ♣t, ☎q tựa compact có đồ thị đóng Trước hết ta G ♣t, ☎q tựa compact Giả sử K ⑨ X tập compact Với tzn ✉ ⑨ G ♣t, K q, ta tìm dãy tξn ✉ ⑨ K cho zn € G ♣t, ξn q Giả sử tξn ✉ hội tụ đến ξ ✝ X Lấy xn € Σ♣ξn q cho với ξ xn ♣0q ✏ ξn , xn ♣tq ✏ zn (2.17) Nhờ Bổ đề 2.7, ta có πt ✆ Σ♣tξn ✉q compact tương đối C ♣r0, ts; X q Do tồn dãy txn ✉ (vẫn ký hiệu txn ✉) cho πt ♣xn q Ñ x✝ C ♣r0, ts, X q Từ (2.17) suy tzn ✉ hội tụ đến x✝ ♣tq X x✝ ♣0q ✏ ξ ✝ Bây ta chứng minh G ♣t, ☎q có đồ thị đóng Giả sử tξn ✉ ⑨ X hội tụ € G ♣t, ξnq cho ηn Ñ η✝ Ta phải η✝ € G ♣t, ξ ✝q Chọn xn € Σ♣ξn q cho ηn ✏ xn ♣tq Sử dụng Bổ đề 2.7 lần nữa, ta có txn✉ có dãy hội tụ (vẫn ký hiệu txn✉) Giả sử x✝ ✏ nlim x Ñ✽ n C ♣r0, ts; X q, η ✝ ✏ x✝ ♣tq Ta phải chứng minh x✝ € πt ✆ Σ♣ξ ✝ q Lấy fn € PG ♣xn q cho xn ✏ S ♣☎qξn   W ♣fn q (2.18) Sử dụng (2.9) tính bị chặn txn ✉, ta thấy tfn ✉ ⑨ L1 ♣0, t; X q bị chặn tích phân Hơn nữa, K ♣rq ✏ G♣txn ♣rq✉q, r € r0, ts, compact tfn♣rq✉ ⑨ K ♣rq Do tfn✉ nửa compact Áp dụng Mệnh đề 2.5, ta đến ξ ✝ ηn 27 có fn f ✝ W ♣fnq Ñ W ♣f ✝q Do ta qua giới hạn (2.18) nhận ✏ S ♣☎qξ ✝   W ♣f ✝q Do PG nửa liên tục yếu nên f ✝ € PG ♣u✝ q Vậy x✝ € πt ✆ Σ♣ξ ✝ q Bổ x✝ đề chứng minh ✆ 28 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm 3.1 Sự tồn tập hút toàn cục Trong phần ta thay giả thiết (A) giả thiết sau (A*) Nửa nhóm S ♣☎q ổn định mũ với số mũ α, χ-giảm với số mũ β, tức ⑥S ♣tq⑥L♣X q ↕ e✁αt, ⑥S ♣tq⑥χ ↕ P e✁βt, ❅t → 0, α, β → 0, P ➙ 1, ⑥ ☎ ⑥χ χ-chuẩn định nghĩa (1.1) Chú ý S ♣☎q compact ⑥S ♣tq⑥χ ✏ 0, ❅t → Khi ta chọn β ✏  ✽ Với T → 0, ta định nghĩa toán tử tịnh tiến GT ✏ G ♣T, ☎q Ta chứng minh tính chất dạng nén GT , từ suy G có tập hút toàn cục compact X Bổ đề 3.1 Giả sử (A*), (B), (F) (G) thỏa mãn Khi tồn → ζ € r0, 1q cho với T ➙ T0 ta có χ♣GT ♣B qq ↕ ζ ☎ χ♣B q với tập bị chặn B ⑨ X, ta có bất đẳng thức qη1 q → β ✁ 4P ♣p   η ✁η T0 B (3.1) 29 Chứng minh Giả sử B ⑨ X tập bị chặn Đặt D ✏ Σ♣B q, ta có D♣tq ✏ Gt ♣B q ⑨ S ♣tqB   ➺t S ♣t ✁ sqPG ♣Dq♣sqds, t → Có thể kiểm tra πt ♣Dq bị chặn C ♣r0, ts; X q với t (3.2) → Do nửa nhóm S ♣☎q compact χ♣D♣tqq ✏ với t → Trường hợp ngược lại, nửa nhóm S ♣☎q không compact, từ (3.2) suy χ♣D♣tqq ↕ P e✁βt χ♣B q   χ ✂➺ t ➺t ↕ P e✁βtχ♣B q   4P ✒ ↕ P e✁βt χ♣B q   ➺ 0t S ♣t ✁ sqPG ♣Dq♣sqds ✡ e✁β ♣t✁sq χ♣PG ♣Dq♣sqqds ✂ eβs p   qη1 ✡ ηB ✁ η2 ✚ χ♣D♣sqqds Do e χ♣D♣tqq ↕ P χ♣B q   4P ♣p   βt q ηB ✁ η2 qη1 ➺t eβs χ♣D♣sqqds Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có eβt χ♣D♣tqq ↕ P e 4P ♣p  η qη1 B η2 ✁ qt χ♣B q Hay tương đương, χ♣D♣tqq ↕ P e ✁♣β ✁4P ♣p  ηBqη✁1η2 qqt χ♣B q Do χ♣Gt ♣B qq ↕ ζt ☎ χ♣B q, ✏ P e✁♣β✁4P ♣p  ✁ qqt Chọn T0 → β ✁4P ♣lnp P ζ ✏ ζT , ta có kết luận bổ đề ✁ q ζt qη1 ηB η2 qη1 ηB η2 ✆ Bổ đề 3.2 Giả sử giả thiết Bổ đề 3.1 thỏa mãn Khi G tiệm cận nửa compact 30 Chứng minh Giả sử B ξk ⑨ X tập bị chặn ΞB họ dãy tξk : € G ♣tk , B q, tk Ñ ✽✉ Ký hiệu µ ✏ suptχ♣Ωq : Ω € ΞB ✉ Ta cần chứng minh µ ✏ Giả sử ngược lại, với θ Ωθ ✏ tξk ✉ € ΞB cho € ♣0, ♣1 ✁ ζ qµq tồn χ♣Ωθ q → µ ✁ θ → Bổ đề 3.1, với tk € ♣T, ✽q tồn số mk € N cho tk ✏ mk T   rk , rk € r0, T q Với τk ✏ ♣mk ✁ 1qT   rk , ξk € G ♣tk , B q ✏ G ♣T   τk , B q ✏ GT ♣G ♣τk , B qq, lấy ηk € G ♣τk , B q cho ξk € GT ♣ηk q Từ suy Ở ζ xác định Bổ đề 3.1 Lấy T χ♣Ωθ q ✏ χ♣tξk ✉q ↕ χ♣GT ♣tηk ✉qq ↕ ζχ♣tηk ✉q ↕ ζµ ➔ µ ✁ θ ✆ Điều mâu thuẫn chứng minh kết luận định lý Bổ đề 3.3 Giả sử (A*), (B), (F) (G) thỏa mãn Khi nửa dòng G có tập hấp thụ bị chặn, ta có bất đẳng thức α → a   ηBbη✁1η2 Chứng minh Lấy t x € Σ♣ξ q, ta có → B ⑨ X x♣tq ✏ S ♣tqξ   f ⑥x♣tq⑥X ➺t tập bị chặn Với ξ S ♣t ✁ sqf ♣sqds, € PG♣xq Sử dụng (A*) (2.9), ta có ↕ e✁αt⑥ξ ⑥ X   ➺t e✁α♣t✁sq ✒✂ a  bη1 ηB ✁ η2 Do giả thiết α→a  € B bη1 ηB ✁ η2 ✡ ✚ ⑥x♣sq⑥X   d ds (3.3) 31 ta chọn R → cho γ ✏ a   η bη✁1 η   Rd ➔ α B Ta hình cầu đóng BR (tâm bán kính R) tập hấp thụ G Trước tiên ta rằng, tồn t0 → cho ⑥x♣t0q⑥X ↕ R Thật vậy, giả sử ⑥x♣tq⑥ → R với t → Khi từ (3.3) ⑥x♣tq⑥X ↕ e✁αt⑥ξ ⑥X   ➺t e✁α♣t✁sq γ ⑥x♣sq⑥X ds Suy ⑥x♣tq⑥X ↕ ⑥ξ ⑥X e✁♣α✁γqt, ❅t → Vậy ⑥x♣tq⑥X Ñ t Ñ ✽, điều mâu thuẫn Bây ta lấy t0 → cho ⑥x♣t0 q⑥X ↕ R Tiếp theo, ta chứng minh ⑥x♣tq⑥X ↕ R với t ➙ t0 Giả sử ngược lại, tồn t1 ➙ t0 δ → cho ⑥x♣tq⑥X → R với t € ♣t1 , t1   δ q Khi x♣tq ✏ S ♣t ✁ t1 qx♣t1 q   ➺t t1 S ♣t ✁ sqf ♣sqds, ta có bất đẳng thức tương tự (3.3) ⑥x♣tq⑥X ↕ e✁α♣t✁t1q⑥x♣t Do ⑥x♣tq⑥X q⑥X   ➺t e✁α♣t✁sq ✒✂ t1 a  bη1 ηB ✁ η2 ✡ ✚ ⑥x♣sq⑥X   d ds → R khoảng ♣t1, t1   δq nên ⑥x♣tq⑥X ↕ e✁α♣t✁t q⑥x♣t1q⑥X   ➺t t1 e✁α♣t✁sq γ ⑥x♣sq⑥X ds, ⑥x♣tq⑥X ↕ ⑥x♣t1q⑥X e✁♣α✁γq♣t✁t q ↕ R, ❅t € ♣t1, t1   δq Bất đẳng thức lại mâu thuẫn Bổ đề chứng minh Kết hợp Bổ đề 2.8, 3.2 3.3, ta đến kết sau ✆ 32 Định lý 3.4 Giả sử (A*), (B), (F) (G) thỏa mãn Khi nửa dòng đa trị G sinh hệ (0.7)-(0.9) có tập hút toàn cục compact ta có bất đẳng thức sau ✧ ✂ α ✁ a   ✡ bη1 ηB ✁ η2 , β ✁ 4P ✂ p  qη1 ✡✯ ηB ✁ η2 → 3.2 Ứng dụng Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên trơn ❇ Ω Xét toán ❇u ♣t, xq ✁ ∆ u♣t, xq ✏ f ♣t, xq, t → 0, x € Ω, (3.4) x ❇t f ♣t, xq € rf1 ♣x, u♣t, xq, v ♣t, xqq, f2 ♣x, u♣t, xq, v ♣t, xqqs , t → 0, x € Ω, (3.5) ✁ ∆xv♣t, xq   β ♣v♣t, xq ✁ ψ♣xqq ◗ g♣x, u♣t, xq, v♣t, xqq, t ➙ 0, x € Ω, (3.6) u♣t, xq ✏ v ♣t, xq ✏ 0, t ➙ 0, x € Ω, (3.7) u♣0, xq ✏ ϕ♣xq, x € Ω (3.8) f1 , f2 : Ω✂R✂R Ñ R hàm liên tục, hàm g : Ω✂R✂R Ñ R liên tục, ψ € H 2♣Ωq β : R Ñ 2R hàm đa trị biểu diễn đồ thị đơn điệu cực đại, β ♣r q ✏ ✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ → 0, r ✏ 0, r ➔ r R✁ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ ❍ Ở đoạn rf1 , f2 s ✏ tτ f1   ♣1 ✁ τ qf2 : τ Xét X € r0, 1s✉ ✏ U ✏ L2♣Ωq Chuẩn X U xác định ➺ ⑥u⑥ ✏ ⑤u♣xq⑤2dx X Ω 33 Xét hàm đa trị ✂ U Ñ P ♣X q, F ♣u, v q♣xq ✏ rf1 ♣x, u♣xq, v ♣xqq, f2 ♣x, u♣xq, v ♣xqqs F :X Khi (3.4)-(3.5) viết lại dạng u✶ ♣tq ✁ Au♣tq € F ♣u♣tq, v ♣tqq, t ➙ 0, ✏ ∆, D♣Aq ✏ H 2♣Ωq ❳ H01♣Ωq, u♣tq € X, v♣tq € U cho u♣tq♣xq ✏ u♣t, xq, v ♣tq♣xq ✏ v ♣t, xq.Ta biết nửa nhóm S ♣tq ✏ etA A compact ổn định mũ (xem [8]) ⑥S ♣tq⑥L♣X q ↕ e✁λ t, λ1 ✏ inf t⑥∇u⑥2X : ⑥u⑥X ✏ 1✉ Vậy giả thiết (A*) thỏa mãn Ta giả sử tồn hàm a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 € L2♣Ωq cho ⑤f1♣x, u, vq⑤ ↕ a1♣xq⑤u⑤   b1♣xq⑤v⑤   c1♣xq, ⑤f2♣x, u, vq⑤ ↕ a2♣xq⑤u⑤   b2♣xq⑤v⑤   c2♣xq, ❅x € Ω, u, v € R Dễ dàng kiểm tra F ánh xạ đa trị với giá trị lồi compact Hơn ta có đánh giá ⑥F ♣u, vq⑥ ↕ maxt⑥a1⑥X , ⑥a2⑥X ✉⑥u⑥X   maxt⑥b1⑥X , ⑥b2⑥X ✉⑥v⑥X   c Có thể kiểm tra F có đồ thị đóng giới hạn đơn giản Ngoài ra, tun ✉ ⑨ X, tvn✉ ⑨ U dãy hội tụ ta tìm dãy fn € F ♣un , q hội tụ X cách sử dụng định lý hội tụ trội Lebesgue Do F tựa compact Theo Bổ đề 1.3, F nửa liên tục Giả thiết (F) thỏa mãn 34 Xét bao hàm thức (3.6) Đặt B ✏ ✁∆, ✁∆ toán tử Laplace theo nghĩa phân phối, tức ①u, ✁∆v② :✏ Rõ ràng ①v, Bv ② với ηB ✏ λ1 ➺ Ω ∇u♣xq∇v ♣xqdx, với u, v € H01♣Ωq ✏ ⑥v⑥2H ♣Ωq ➙ λ1⑥v⑥2X Vậy giả thiết (B) kiểm tra Liên quan đến hàm phi tuyến g, giả sử tồn hàm η1 , η2 € L2♣Ωq cho ⑤g♣x, p, qq✁g♣x, p✶, q✶q⑤ ↕ η1♣xq⑥p✁p✶⑥ η2♣xq⑤q✁q✶⑤, ❅x € Ω, p, q, p✶, q✶ € R Xét dạng trừu tượng g sau ✂ U Ñ L2♣Ωq, g ♣u, v q♣xq ✏ g ♣x, u♣xq, v ♣xqq g:X Khi ⑥g♣u, vq✁ g♣u✶, v✶q⑥X ↕ ⑥η1⑥X ⑥u ✁ u✶⑥X  ⑥η2⑥X ⑥v ✁ v✶⑥X , ❅u, u✶, v, v✶ € X Sử dụng lý luận [4, Proposition 2.11], (3.6) viết dạng Bv ♣tq   ❇ IK ♣v ♣tqq ◗ g ♣u♣tq, v ♣tqq, ✏ tu € L2♣Ωq; u♣yq ➙ ψ♣yq, với hầu khắp x € Ω✉, ➺ ✥ ✭ ❇IK ♣vq ✏ u € L ♣Ωq; u♣yq♣v♣yq ✁ z♣yqqdy ➙ 0, ❅z € K , K Ω ✏ tu € L2♣Ωq; u♣yq € β ♣v♣yq ✁ ψ♣yqq, Ta có kết sau suy từ Định lý 3.4 với hầu khắp x € Ω✉, 35 Định lý 3.5 Nửa dòng đa trị sinh (3.4)-(3.8) có tập hút toàn cục compact L2 ♣Ωq ⑥η2 ⑥X ➔ λ1 bất đẳng thức sau thỏa mãn λ1 → maxt⑥a1⑥X , ⑥a2⑥X ✉   maxt⑥b1⑥X , ⑥b2⑥X ✉ λ ⑥✁η1⑥⑥ηX ⑥ X 36 Kết luận Luận văn trình bày số kết nghiên cứu gần tính giải dáng điệu nghiệm cho bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolicelliptic Cụ thể: Tính giải toàn cục tính chất tập nghiệm Sự tồn tập hút toàn cục nửa dòng đa trị sinh hệ Áp dụng kết thu cho hệ phương trình đạo hàm riêng Luận văn tiếp tục phát triển cho trường hợp hệ chứa trễ trường hợp bất đẳng thức biến phân liên kết với hệ tính nghiệm 37 Tài liệu tham khảo [1] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkh¨auser, Boston-Basel-Berlin [2] N.T.V Anh, T.D Ke (2015), Asymptotic behavior of solutions to a class of differential variational inequalities, Ann Polon Math 114, no 2, 147-164 [3] N.T.V Anh, T.D Ke (2015), On the differential variational inequalities of parabolic-elliptic type, preprint [4] V Barbu (2010), Nonlinear Differential Equations of Monotone Types in Banach Spaces, Springer Monographs in Mathematics, London [5] D Bothe (1998), Multivalued Perturbations of m-Accretive Differential Inclusions, Israel J Math 108, 109-138 [6] X Chen, Z Wang (2014), Differential variational inequality approach to dynamic games with shared constraints Math Program 146, no 1-2, 379-408 [7] W Desch, A Rhandi (1998), On the norm continuity of transition semigroups in Hilbert spaces, Arch Math 70, 52-56 38 [8] K.-J Engel, R Nagel (2000), One-parameter semigroups for linear evolution equations With contributions by S Brendle, M Campiti, T Hahn, G Metafune, G Nickel, D Pallara, C Perazzoli, A Rhandi, S Romanelli and R Schnaubelt Graduate Texts in Mathematics, 194 Springer-Verlag, New York [9] W J¨ager, S Luckhaus (1992), On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis, Trans Amer Math Soc 329, no 2, 819-824 [10] Z Jin, X Yang (2010), Weak solutions of a parabolic-elliptic type system for image inpainting, ESAIM Control Optim Calc Var 16, no 4, 1040-1052 [11] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York [12] T.D Ke, D Lan (2014), Global attractor for a class of functional differential inclusion with Hille-Yosida operators, Nonlinear Analysis 103, 72-86 [13] V.S Melnik, J Valero (1998), On attractors of Multivalued SemiFlows and Differential Inclusions, Set-Valued Analysis 6, 83-111 [14] J.-S Pang, D.E Stewart (2008), Differential variational inequalities, Math Program Ser A 113, 345-424 [15] J Diestel, W M Ruess, W Schachermayer (1993), Weak compactness in Ll ♣µ, X q, Proc Amer Math Soc 118, 447 - 453 39 [16] I Ekeland, R Temam (1999), Convex analysis and variational problems, Society for industrial and Applied Mathematics, (SIAM), Philadenphia, PA [17] L Górniewicz, M Lassonde (1994), Approximation and fixed points for compositions of Rδ -maps Topology Appl 55 (3), 239-250 [...]... điểm Hơn nữa, ánh xạ z Với y € U ✶, tập S♣zq là € X cố định, xét bất đẳng thức biến phân sau Bu   ❇ φ♣uq ◗ g ♣y, uq (2.2) Sử dụng bổ đề trên ta có kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính chất của ánh xạ nghiệm của (2.2) như sau Bổ đề 2.2 Giả sử (B) và (G) thỏa mãn Khi đó với mỗi y € X, tồn tại duy nhất nghiệm u € U của (2.2) Hơn nữa, ánh xạ nghiệm Ñ U, y ÞÑ u, V:X là liên tục Lipschitz, cụ thể ⑥V♣y1q ✁... các hàm chọn của F ♣x♣☎q, u♣☎qq với mỗi ♣x, uq C ♣r0, T s; X q ✂ L1 ♣0, T ; U q € Ta định nghĩa nghiệm của (0.7)-(0.9) như sau Định nghĩa 2.1 Hàm liên tục x : r0, T s Ñ X là nghiệm của (0.7)-(0.9) nếu tồn tại hàm u : r0, T s Ñ D♣B q và hàm chọn f x♣tq ✏ S ♣tqξ   ➺t 0 € PF ♣x, uq sao cho S ♣t ✁ sqf ♣sqds, t € r0, T s, Bu♣tq   ❇ φ♣u♣tqq ◗ g ♣x♣tq, u♣tqq, t € r0, T s Xét bất đẳng thức biến phân (0.8) Ký... tích phân Do đó dãy tfn✉ là nửa compact Áp dụng Mệnh đề 2.5 ta có tW ♣fnq✉ là compact trong C ♣r0, T s; X q Khi đó ta có thể qua giới hạn (2.13) và nhận được z ✝ ♣tq ✏ S ♣tqξ   W ♣f ✝ q♣tq, với f ✝ € PG ♣y ✝ q Vậy z ✝ € F ♣y ✝ q Định lý được 1.4 đề khẳng định rằng fn chứng minh ✆ 2.2 Tính chất tập nghiệm Trong phần này, ta chứng minh một số tính chất của tập nghiệm, dùng cho vi c nghiên cứu dáng điệu nghiệm. .. Lúc này, mỗi nghiệm x của (0.7)-(0.9) được xác định bởi x♣tq ✏ S ♣tqξ   ➺t 0 S ♣t ✁ sqf ♣sqds, f € PG♣xq, t € r0, T s ✆ 20 Xét toán tử Cauchy W : L1 ♣0, T ; X q Ñ C ♣r0, T s; X q W ♣f q♣tq ✏ Với ξ ➺t 0 S ♣t ✁ sqf ♣sqds € X, xét toán tử nghiệm F : C ♣r0, T s; X q Ñ P ♣C ♣r0, T s; X qq F ♣xq ✏ tS ♣☎qξ   W ♣f q : f € PG♣xq✉ Rõ ràng x là điểm bất động của F nếu và chỉ nếu x là một nghiệm của bài toán (0.7)-(0.9)... ♣r0,  ✽q; X q, πT ♣z q là hạn chế của z lên đoạn r0, T s Ký hiệu Xét πT , T Σ♣ξ q ✏ tx € C ♣r0,  ✽q; X q : x♣0q ✏ ξ, x là một nghiệm của (0.7)-(0.8) trên r0, T s với mỗi T → 0✉ Rõ ràng rằng ✆ Σ♣ξ q ⑨ S ♣☎qξ   W ✆ PG♣πT ✆ Σ♣ξ qq, (2.14) với mọi T → 0 và πT ✆ Σ♣ξ q ✏Fix(F), tập các điểm bất động của toán tử nghiệm F trong C ♣r0, T s; X q πT Bổ đề 2.7 Giả sử các giả thiết của Định lý 2.6 được thỏa mãn Nếu... χ♣D♣sqqds Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có eβt χ♣D♣tqq ↕ P e 4P ♣p  η qη1 B η2 ✁ qt χ♣B q Hay tương đương, χ♣D♣tqq ↕ P e ✁♣β ✁4P ♣p  ηBqη✁1η2 qqt χ♣B q Do đó χ♣Gt ♣B qq ↕ ζt ☎ χ♣B q, ✏ P e✁♣β✁4P ♣p  ✁ qqt Chọn T0 → β ✁4P ♣lnp P và ζ ✏ ζT , ta có kết luận của bổ đề ✁ q ở đây ζt qη1 ηB η2 qη1 ηB η2 0 ✆ Bổ đề 3.2 Giả sử các giả thiết của Bổ đề 3.1 được thỏa mãn Khi đó G là tiệm cận trên nửa compact... (2) A có giải thức compact, tức là toán tử giải R♣λ, Aq ✏ ♣λI ✁ Aq✁1 là compact với mọi λ € ρ♣Aq Từ giả thiết của A suy ra phổ của A là một dãy đếm được gồm toàn giá trị riêng thực với bội hữu hạn 0 ➔ a ↕ λ1 ↕ λ2 ↕ λ3 ↕ , và λn Ñ ✽ khi n Ñ ✽ Các vectơ riêng tương ứng te1 , e2 , ✉ lập thành một cơ sở trực chuẩn của H Khi đó mỗi u € H có biểu diễn u✏ ✽ ➳ i✏1 ①u, ei② ei Hơn nữa, đẳng thức Parseval... ♣t ✁ t1 qx♣t1 q   ➺t t1 S ♣t ✁ sqf ♣sqds, và ta có bất đẳng thức tương tự như (3.3) ⑥x♣tq⑥X ↕ e✁α♣t✁t1q⑥x♣t Do ⑥x♣tq⑥X 1 q⑥X   ➺t e✁α♣t✁sq ✒✂ t1 a  bη1 ηB ✁ η2 ✡ ✚ ⑥x♣sq⑥X   d ds → R trong khoảng ♣t1, t1   δq nên ⑥x♣tq⑥X ↕ e✁α♣t✁t q⑥x♣t1q⑥X   ➺t 1 t1 e✁α♣t✁sq γ ⑥x♣sq⑥X ds, và do đó ⑥x♣tq⑥X ↕ ⑥x♣t1q⑥X e✁♣α✁γq♣t✁t q ↕ R, ❅t € ♣t1, t1   δq 1 Bất đẳng thức trên lại là một mâu thuẫn Bổ đề được chứng minh... B 2 ✆ Bổ đề được chứng minh Để giải bài toán (0.7)-(0.9), ta sẽ chuyển nó về bao hàm thức vi phân Xét ánh xạ đa trị G♣y q :✏ F ♣y, V♣y qq, y Ta thấy ánh xạ G : X € X Ñ P ♣X q nhận giá trị lồi và compact Hơn nữa, nhờ giả thiết (F) và tính liên tục của ánh xạ V, ta có G là u.s.c Ngoài ra, nhờ có (2.3) và tính chất của độ đo Hausdorff ta nhận được U ♣V♣Ωqq ↕ η1 ηB ✁ η2 χ♣Ωq, ❅Ω € B ♣X q, 19 ở đây U là... tự như (2.12) ta có ➺t ⑥xn♣tq⑥X ↕ M1   M2 ⑥xn♣sq⑥X ds, ❅t ➙ 0 0 (2.15) ✏ dT   M sup ⑥ξn⑥X Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta n€ N có txn ✉ là dãy bị chặn trong C ♣r0, T s, X q Lấy fn € PG ♣xn q sao cho xn ✏ S ♣☎qξn   W ♣fn q (2.16) Sử dụng đánh giá (2.9), ta có tfn ✉ là bị chặn tích phân do tính bị chặn của txn ✉ Khi đó nếu S ♣☎q compact thì txn ✉ compact Ngược lại ta có χ♣txn ♣tq✉q ↕ χ♣W ♣fn q♣tqq