BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNH PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn nghiêm túc nhiệt tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy kính chúc thầy gia đình mạnh khỏe Tôi xin gửi lời cảm ơn thầy cô giảng dạy Đại học sư phạm Hà Nội Viện toán học, Viện Hàn Lâm Khoa học công nghệ Việt Nam mang lại cho nhiều kiến thức bổ ích giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Tôi chân thành cảm ơn bạn đồng môn giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cuối cùng, cảm ơn Bố Mẹ vất vả tạo điều kiện cho học tập kết ngày hôm Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, 2016 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Quỳnh Mục lục Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 11 Các khái niệm kết 11 1.1.1 Một số khái niệm tập lồi 11 1.1.2 Một số khái niệm hàm lồi 13 1.1.3 Đạo hàm vi phân hàm lồi 16 Bài toán cân số toán mô tả dạng cân 19 1.2.1 Bài toán cân 19 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 19 1.2.3 Bài toán tối ưu 21 1.2.4 Bài toán điểm bất động 21 1.2.5 Bài toán cân Nash trò chơi không hợp tác 22 1.2.6 Bài toán điểm yên ngựa 23 1.2.7 Sự tồn nghiệm toán cân 24 1.3 Bài toán cân tương đương 27 1.4 Bài toán cân hai cấp 29 1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 29 1.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 29 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU 2.1 31 Một phương pháp chiếu cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 31 2.2 Bài toán cân giả đơn điệu 35 2.3 Thuật toán cho toán cân giả đơn điệu 39 ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP 3.1 47 Áp dụng vào toán tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu 47 3.2 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 55 3.3 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 68 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập tất số thực Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực x = x, x x, y chuẩn véc tơ x tích vô hướng hai véctơ x y intC phần tập C riC phần tương đối tập C xk → x dãy xk hội tụ tới x domf miền hữu hiệu ánh xạ f epif tập đồ thị ánh xạ f ∇f (x) đạo hàm f x ∂f (x) vi phân f x {f (x) : x ∈ C} giá trị cực tiểu f C agrmin {f (x) : x ∈ C} tập điểm cực tiểu f C dC (x) khoảng cách từ điểm x đến tập C PC (x) hình chiếu điểm x tập C NC (x) nón pháp tuyến tập C điểm x B [a, r] cầu đóng tâm a bán kính r f (x, d) đạo hàm theo hướng d f x ∇x f (x, y) đạo hàm f (., y) x ∇y f (x, x) đạo hàm f (x, ) y ∂2 f (x, x) vi phân hàm f (x, ) x EP (C, f ) toán cân V IP (C, f ) toán bất đẳng thức biến phân đơn trị Sf tập nghiệm toán cân EP (C, f ) M N EP (C, f ) toán tìm cực tiểu hàm chuẩn tập Sf V IEP (C, f, G) toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân BV IP (C, F, G) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BEP (C, f, g) toán cân hai cấp Mở đầu LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Sự cân thường hiểu trạng thái đồng lực lượng đối lập hay đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc Thuật ngữ sử dụng rộng rãi nhiều ngữ cảnh khoa học kỹ thuật Vật lí, Hóa học, Sinh học Trong Vật lí, trạng thái cân hệ, theo thuật ngữ cổ điển, xảy hợp lực tác động lên hệ không trạng thái trì thời gian dài Trong Hóa học, cân hóa học xảy tốc độ phản ứng thuận với tốc độ phản ứng nghịch Trong Sinh học, cân sinh thái trạng thái ổn định tự nhiên hệ sinh thái, hướng tới thích nghi cao với điều kiện sống Trong Toán học: Cho C tập lồi đóng không gian Hilbert thực H f : C × C → R ∪ +∞ song hàm cân bằng, tức f thỏa mãn f (x, x) = với ∀x ∈ C Xét toán: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) 0, ∀y ∈ C Bài toán đưa lần H.Nikaido K.Isoda vào năm 1955 tổng quát hóa toán cân Nash trò chơi không hợp tác, Ky Fan giới thiệu vào năm 1972 thường gọi bất đẳng thức Ky Fan Tuy nhiên, có tên gọi toán cân Bài toán cân đơn giản mặt hình thức bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thực tế như: toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash Vì việc nghiên cứu toán cân cần thiết Gần đây, nhiều tác giả mở rộng toán cho trường hợp véc tơ Và nữa, người ta xét cho trường hợp toán cân liên quan tới ánh xạ đa trị Tính đến nay, có nhiều kết nghiên cứu phương pháp giải cho lớp toán cân vô hướng Bằng cách kết hợp thuật toán chiếu cho toán cân với kĩ thuật siêu phẳng cắt ta thu thuật toán cho toán tìm cực tiểu hàm chuẩn tập nghiệm toán cân Phần trọng tâm luận văn trình bày phương pháp chiếu giải toán cân giả đơn điệu áp dụng vào số toán cân hai cấp Cấu trúc luận văn gồm chương: • Chương Một số kiến thức chuẩn bị • Chương Một phương pháp chiếu cho toán cân giả đơn điệu • Chương Ứng dụng vào số toán cân hai cấp Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả luận văn xin cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giúp tác giả hoàn thiện luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô cán công nhân viên Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình tác giả học tập nghiên cứu Viện Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 10 Với Tk = ( β β G − I)uk − ( G − I)x∗ L L Do toán tử G Lipchitz với hệ số L đơn điệu mạnh với hệ số β nên ta có Tk2 β = (G(uk ) − G(x∗ )) − (uk − x∗ ) L2 β2 β = G(uk ) − G(x∗ ) − 2 G(uk ) − G(x∗ ), uk − x∗ + uk − x∗ L L β2 k β 2 u − x∗ − 2 uk − x∗ + uk − x∗ L L β2 1− u k − x∗ L 1− Tk xk+1 − x∗ β2 k u − x∗ Kết hợp với (3.24), ta thu L2 − L2 λk β − L2 1− λk γ β 1− β2 L2 1− uk − x∗ + λk G(x∗ ) uk − x∗ + λk G(x∗ ) = (1 − γk ) uk − x∗ + γk Với γ = − β G(x∗ ) L2 γ (3.25) λ β2 γk = L2 k γ ∈ (0; 1) L β Từ (3.22) (3.25) ta suy xk+1 − x∗ (1 − γk ) xk − x∗ + γk β G(x∗ ) L γ Bằng quy nạp ta nhận xk+1 − x∗ max max xk − x∗ , x0 − x∗ , β G(x∗ ) L2 γ β G(x∗ ) L2 γ Từ suy dãy xk bị chặn, từ (3.22) có dãy uk bị chặn Định lý 3.3 Tồn dãy xki ⊂ xk hội tụ điểm x ∈ C , dãy y ki , z ki ω ki bị chặn 59 Chứng minh: Theo Định lý (3.2) ta có dãy xk bị chặn, C tập đóng nên tồn dãy xki ⊂ xk hội tụ điểm x ∈ C Ta tồn số M > cho xki − y ki M với số i đủ lớn Thật vậy, hàm có tính δ - lồi mạnh fki (.) = ρf (xki , ) + h(.) − h(xki ) − ∇h(xki ), − xki , nên với s(xki ) ∈ ∂f (xki ) s(y ki ) ∈ ∂fki (y ki ) ta có s(xki ) − s(y ki ), xki − y ki δ xki − y ki , suy s(xki ), xki − y ki s(y ki ), xki − y ki + δ xki − y ki (3.26) Ta có định nghĩa y ki , y ki = argmin {fki (y) : y ∈ C}, nên ta có ∈ ∂fki (y ki ) + NC (y ki ) tức s(y ki ) ∈ −NC (y ki ), điều tương đương với s(y ki ), y − y ki 0, ∀y ∈ C Đặc biệt s(y ki ), xki − y ki 0, Kết hợp điều với (3.26) ta thu s(y ki ), xki − y ki δ x ki − y ki Từ suy x ki − y ki √ s(xki ) , ∀s(xki ) ∈ ∂fki (xki ) ρ Bởi xki → x dãy {fki } hội tụ điểm C hàm f với 60 (3.27) f (y) = ρf (x, y) + h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x , nên theo Định lý (1.9) ta suy tồn số nguyên i0 > đủ lớn cho ∂fki (xki ) ⊂ ∂f (x) + B [0; 1] , ∀i > i0 (3.28) Với B [0; 1] hình cầu đơn vị đóng có tâm bán kính không gian Rn Mặt khác ta có ∂fki (xki ) = ρ∂2 f (xki , xki ), ∀i ∂2 f (x) = ρ∂2 f (x, x) nên (3.28) trở thành ∂2 f (xki , xki ) ⊂ ∂2 f (x, x) + B [0; 1] , ∀i > i0 ρ (3.29) Do tập ∂2 f (x, x) bị chặn, kết hợp với (3.27) (3.29) ta suy dãy số xki − y ki bị chặn Mà dãy xki bị chặn nên suy dãy y ki bị chặn Theo định nghĩa z ki , z ki = (1 − ηki )xki + ηki y ki , nên dãy z ki bị chặn Không tính tổng quát, ta giả sử z ki hội tụ điểm z Bởi ω ki ∈ ∂2 f (z ki , z ki ) nên áp dụng Định lý (1.9) lần ta suy dãy ω ki bị chặn Định lý 3.4 Nếu dãy xki ⊂ xk hội tụ điểm x ηki ω ki x ki − y ki → i → ∞ x ∈ Sf Chứng minh: Ta xét hai trường hợp phân biệt Trường hợp : lim infi→∞ ηki ω ki > Từ (3.30) ta suy 61 (3.30) limi→∞ xki − y ki = y ki → x z ki → x i → ∞ Theo định nghĩa y ki ta có h(y) − h(xki ) − ∇h(xki ), y − xki ρ f (xki , y ki ) + h(y ki ) − h(xki ) − ∇h(xki ), y ki − xki ρ f (xki , y) + , ∀y ∈ C Do f, h ∇h liên tục nên chuyển qua giới hạn bất đẳng thức i → ∞ ta thu f (x, y) + ρ1 [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] 0, ∀y ∈ C , điều có nghĩa x ∈ Sf Trường hợp : limi→∞ ηki ω ki = trường hợp dãy ω ki bị chặn nên ta có limi→∞ ηki = 0, z ki = (1 − ηki )xki + y ki ηki → x i → ∞ Không tính tổng quát ta giả sử ω ki → ω ∈ ∂2 f (x, x) y ki → y i → ∞ Ta có h(y) − h(xki ) − ∇h(xki ), y − xki ρ f (xki , y ki ) + h(y ki ) − h(xki ) − ∇h(xki ), y ki − xki ρ f (xki , y) + , ∀y ∈ C Cho i → ∞ ta f (x, y) + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ f (x, y) + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] , ∀y ∈ C ρ Mặt khác theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (3.19) với số mki − 1, tồn ω ki ,mki −1 ∈ ∂2 f (z ki ,mki −1 , z ki ,mki −1 ) cho : ω ki ,mki −1 , xki − y ki < h(y ki − h(xki ) − ∇h(xki ), y ki − xki ρ Chuyển qua giới hạn i → ∞ kết hợp với z ki ,mki −1 → x, 62 (3.31) ω ki ,mki −1 → ω ∈ ∂2 f (x, x), từ (3.31) ta thu [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ ω, x − y Do ω, x − y + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ Điều dẫn đến f (x, y) + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ 0, f (x, y) + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ 0, ∀y ∈ C , tức x nghiệm toán cân EP (C, f ) Bổ đề 3.1 Giả sử {ak } dãy số thực không giảm vô cùng, tức tồn dãy {aki } dãy {ak } cho : aki < aki+1 , ∀i Gọi {σ(k)}k k0 dãy số tự nhiên xác định σ(k) = max {i Khi đó, {σ(k)}k k0 k|ai < ai+1 } dãy số không giảm thỏa mãn : lim σ(k) = ∞, k→∞ 63 với k k0 ta có aσ(k) (3.32) aσ(k)+1 ak (3.33) aσ(k)+1 Định lý 3.5 Giả sử tập nghiệm Sf toán cân EP (C, f ) khác rỗng, hàm h(.) δ - lồi mạnh khả vi lên tục Ω, dãy {λk } dãy số ∞ ∞ λ2k < ∞ λk = ∞ dương cho k=0 k=0 Song hàm f thỏa mãn điều kiện (A1), (A2),(A3), (A4) Khi dãy xk sinh Thuật toán 3.3 hội tụ nghiệm x∗ toán V IEP (C, f, G) Chứng minh: Theo Định lý (3.2) ta có xk+1 − x ∗ − xk − x ∗ + ηk δ ρ ωk xk − y k −2λk uk − x∗ , G(uk ) + λ2k G(uk ) dãy xk , uk , ∀k, (3.34) bị chặn Do tính Lipchitz toán tử G dãy G(uk ) bị chặn, tồn số dương A, B cho: uk − x∗ , G(uk ) Đặt ak = xk − x∗ A, G(uk ) B, ∀k kết hợp với bất đẳng thức (3.34) trở thành: ak+1 − ak + ηk δ ρ ωk xk − y k 2λk A + λ2k B (3.35) Ta xét hai trường hợp phân biệt Trường hợp : Tồn k0 cho dãy {ak } dãy giảm k ak 0, ∀k nên tồn giới hạn 64 k0 Khi đó, lim ak = a k→∞ lấy giới hạn hai vế (3.35) ta nhận ηk δ ρ ωk lim k→∞ xk − y k (3.36) = Thêm vào đó: xk+1 − uk = PC (uk − λk G(uk )) − PC (uk ) uk − λk G(uk ) − uk 2 = λk G(uk ) → k → ∞ (3.37) Từ suy lim k→∞ u k − x∗ = lim k→∞ xk+1 − x∗ = a Do uk bị chặn, nên tồn dãy uki ⊂ uk cho uki → u ∈ C lim inf uk − x∗ , G(uk ) = lim uki − x∗ , G(uk ) i→∞ Kết hợp điều với (3.36) (3.37) ta thu xki +1 → u ηki +1 δ ρ ω ki +1 xki +1 − y ki +1 → i → ∞, theo Định lý (3.4) ta có u ∈ Sf Do đó: lim inf uk − x∗ , G(u∗ ) = lim uki − x∗ , G(x∗ ) = u − x∗ , G(x∗ ) k→∞ i→∞ Bởi song hàm f thỏa mãn (A4) nên G β - đơn điệu mạnh, suy ra: uk − x∗ , G(uk ) = uk − x∗ , G(uk ) − G(u∗ ) + uk − x∗ , G(x∗ ) β u k − x∗ + uk − x∗ , G(x∗ ) 65 Chuyển qua giới hạn k → ∞ limk→∞ uk − x∗ lim inf uk − x∗ , G(u∗ ) = a ta thu được: (3.38) βa k→∞ Nếu a > cách chọn = βa từ (3.38) ta suy tồn k0 > cho: βa, ∀k uk − x∗ , G(u∗ ) k0 Do (3.34) ta có: −λk βa + λ2k B, ∀k ak+1 − ak k0 Lấy tổng liên tiếp từ k0 đến k ta : k ak+1 − ak0 − k j=k0 ∞ j=k0 ∞ λ2k < ∞ nên ta suy : λk = ∞ Mặt khác, λ2j λj βa + B k=0 k=0 lim inf ak = −∞ k→∞ Ta gặp mâu thuẫn ak 0, ∀k Vậy a = 0, tức : lim k→∞ xk − x∗ = Trường hợp : Tồn dãy {aki }i i ⊂ {ak }k cho aki < aki +1 với Trong trường hợp ta xét dãy số {σ(k)} xác định Bổ đề (3.1) Khi ta có: aσ(k)+1 − aσ(k) Kết hợp điều với (3.35) ta thu 66 ησ(k) δ ρ xσ(k) − y σ(k) ω σ(k) 2λσ(k) A + λ2σ(k) B Do đó: ησ(k) δ lim xσ(k) − y σ(k) ρ ω σ(k) k→∞ = Từ tính bị chặn xσ(k) , không giảm tính tổng quát ta giả sử : xσ(k) → x Theo Định lý (3.4) ta nhận x ∈ Sf Mặt khác, uσ(k) = PHσ(k) ∩C (xσ(k) ) = PCσ(k) (xσ(k) ) nên kết hợp với (3.22) suy : uσ(k) − x xσ(k) − x → k → ∞ lim uσ(k) = x k→∞ Từ (3.34) ta có : 2λσ(k) uσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) aσ(k) − aσ(k)+1 − ησ(k) δ xσ(k) − y σ(k) ρ ω σ(k) + λ2σ(k) G(uσ(k) ) λ2σ(k) B Tức uσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) λσ(k) B (3.39) Vì song hàm f thỏa mãn (A4) nên β uσ(k) − x∗ uσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) − G(x∗ ) = uσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) − uσ(k) − x∗ , G(x∗ ) Kết hợp điều với (3.39) ta suy 67 uσ(k) − x∗ ∗ λσ(k) B − uσ(k)−x , G(x∗ ) β 2 Bởi lim k→∞ uσ(k) − x∗ − lim uσ(k) − x∗ , G(x∗ ) β k→∞ Từ suy lim k→∞ uσ(k) − x∗ = (3.40) Thêm vào xσ(k)+1 − uσ(k) = PC (uσ(k) − λσ(k) G(uσ(k) )) − PC (uσ(k) ) λσ(k) G(uσ(k) ) k → ∞ Kết hợp với (3.40) ta suy lim xσ(k) = x∗ tức k→∞ lim aσ(k)+1 k→∞ Theo (3.32) Bổ đề (3.1) ta : ak aσ(k)+1 → k → ∞ Do xk hội tụ tới nghiệm x∗ toán V IEP (C, f, G) 3.3 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV IP (C, F, G) trường hợp riêng toán V IEP (C, f, G) sau Tìm điểm x∗ ∈ SF cho G(x∗ ), y − x∗ 68 0, ∀y ∈ SF (3.41) Trong đó, SF tập nghiệm toán cân Tìm điểm u ∈ C cho F (u), y − u 0, ∀y ∈ C (3.42) thuật toán Với F : Ω → Rn toán tử xác định Ω Bằng cách đặt f (x, y) = F (x), y − x chọn hàm h(x) = x 3.3 trở thành Thuật toán 3.4 cho toán BV IP (C, F, G) Thuật toán 3.4 Bước khởi tạo: Chọn x0 ∈ C tham số η, σ ∈ (0, 1).ρ > Bước lặp thứ k (k = 0, 1, ): Có xk ta thực bước sau: ρ Bước : Tính y k = PC (xk − F (xk )) Nếu xk = y k lấy uk = xk chuyển sang Bước Ngược lại, thực Bước Bước (Quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo): Tìm số nguyên dương mk nhỏ số nguyên dương m thỏa mãn     z k,m = (1 − η m )xk + η m y k ,     F (z k,m ), xk − y k ρ y k − xk (3.43) Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk Bước : Lấy uk = PC (xk ) với Ck = x ∈ C : F (z k ), x − z k (3.44) Bước : Đặt xk+1 = PC (uk − λk G(uk )) chuyển Bước lặp thứ k với k thay k + Áp dụng Định lý (3.5) vào Thuật toán 3.4 ta có hệ quả: Hệ 3.3 Giả sử tập nghiệm SF toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) khác rỗng, toán tử F liên tục Ω, giả đơn điệu theo tập SF 69 C , toán tử G L- Lipchitz β - đơn điệu mạnh C , dãy số {λk } dãy ∞ ∞ λ2k < ∞ Khi đó, dãy λk = ∞ số dương cho k=0 xk sinh Thuật k=0 toán 3.4 hội tụ nghiệm x∗ toán BV IP (C, F, G) 70 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau Những kiến thức giải tích lồi số định lý tồn nghiệm toán cân Thuật toán chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu thuật toán chiếu cho toán cân giả đơn điệu Thuật toán chứng minh hội tụ cho toán tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu; toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh tập nghiệm toán cân giả đơn điệu, áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 71 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, 2000, Giải tích lồi NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, 2009, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ [3] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh, 2006, Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị NXB Giáo Dục [4] B V Dinh, L.D Mưu A projection algorithm for soving pseudomonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel equilibria, Optimization, 64(2015).no.3.559-575 [5] B V Dinh, An algorithm for variational inequalities with pseudomonotone equilibrium constraints, submitted [6] F Facchinei and J.S.Pang, 2003, Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New york [7] K Fan, (1972), A minimax inequality and application, in: O.Shisha, Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on In-equalities, Academic Press, New York 72 [8] I V Konnov, (2001), Combined Relaxation Methods for Varia-tional Inequalities, Springer [9] L D Muu and W Oettli, (1992), Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonliear Anal.,Theory Methods Appl., Ser A, 18, pp 1159-1166 [10] M.V Solodov and B.F Svaiter, (1999), A new projection method for variational inequality problems, SIAM J.Control Optim,37,pp.765-776 73 [...]... Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng thường được phát triển từ các thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân Ở chương này, ta sẽ trình bày một phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, sau đó sẽ trình bày một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3], [4], [6], [10] 2.1 Một phương pháp chiếu. .. ký hiệu bài toán này là EP (C, f ) và tập nghiệm của nó là Sf Về mặt hình thức bài toán cân bằng khá đơn giản, nhưng nó lại bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như: bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash Dưới đây là những bài toán được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng 1.2.2 Bài toán bất... mỗi x ∈ C và f đơn điệu mạnh trên C thì bài toán cân bằng EP (C, f ) có nhiều nhất một nghiệm 1.3 Bài toán cân bằng tương đương Thường thì khi xem xét tìm kiếm lời giải cho bài toán cân bằng EP (C, f ) người ta đưa về giải một bài toán cân bằng khác tương đương với nó nhưng dễ giải hơn Sau đây là một số định lý về bài toán cân bằng tương đương Ta giả thiết C là một tập lồi trong không gian Rn Định lý... H và f (x, y) là song hàm cân bằng xác định trên C Bài toán bất đẳng 29 thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng V IEP (C, f, G) là bài toán: Tìm x∗ ∈ Sf sao cho G(x∗ ), y − x∗ Trong đó Sf = {u ∈ C : f (u, y) 0, ∀y ∈ Sf 0, ∀y ∈ C} Với mỗi x, y ∈ C đặt g(x, y) = G(x), y − x , ta đưa được bài toán V IEP (C, f, G) về bài toán BEP (C, f, g) 30 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG... của f trên C khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (x0 ) Đặc biệt, nếu hàm f khả vi thì điều kiện này trở thành ∇f (x0 ) = 0 18 1.2 1.2.1 Bài toán cân bằng và một số bài toán mô tả dưới dạng cân bằng Bài toán cân bằng Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và f : C × C → R ∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0 với ∀x ∈ C ; một hàm f như vậy được gọi là song hàm cân bằng Bài toán cân bằng được phát... các thuật toán chiếu khác Những điểm ưu việt của thuật toán này cho thấy việc mở rộng thuật toán cho bài toán cân bằng EP (C, f ) và các bài toán khác là khá cần thiết 2.2 Bài toán cân bằng giả đơn điệu Cho Ω ⊂ Rn là một tập lồi mở chứa tập lồi đóng C và f : C × C → R là song hàm cân bằng xác định trên C Bài toán cân bằng EP (C, f ) như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) 0, ∀y ∈ C Ta sử dụng đến các... Khi đó, x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân bằng sau: Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , y) + h(y) − h(x∗ ) − ∇h(x∗ ), y − x∗ , ∀y ∈ C Hệ quả 1.3 Với các giả thiết của Bổ đề 1.1 thì x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) khi và chỉ khi: x∗ = argmin {f (x∗ , y) + h(y) − h(x∗ ) − ∇h(x∗ ), y − x∗ : y ∈ C} 28 1.4 Bài toán cân bằng hai cấp Cho C là tập lồi đóng... thực H và các ánh xạ G, F : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV IP (C, F, G) là bài toán Tìm x∗ ∈ SF sao cho G(x∗ ), y − x∗ Ở đó, SF = {u ∈ C : F (u), y − u 0, ∀y ∈ SF 0, ∀y ∈ C} Bằng cách đặt g(x, y) = G(x), y − x ; f (x, y) = F (x), y − x , x, y ∈ C thì bài toán BV IP (C, F, G) trở thành bài toán BEP (C, f, g) 1.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng. .. y) 0, ∀(x, y) ∈ A × B, và với x = x , y = y khi đó ϕ(x , y ∗ ) − ϕ(x∗ , y ) Theo cách đặt, ta có f (u∗ , v) 0, ∀(x , y ) ∈ A × B 0, ∀v ∈ C hay u∗ = (x∗ , y ∗ ) ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) 1.2.7 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng Trong phần này chúng tôi trình bày một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm và một số tính chất của tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) Định lý... toán cân bằng EP (C, f ) 1.2.4 Bài toán điểm bất động Giả sử C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng, H là không gian Hilbert thực và ánh xạ đơn trị F : C → C Khi đó, bài toán điểm bất dộng F P (C, F ) là bài toán: Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = F (x∗ ) Đặt: f (x, y) = x − F (x), y − x ∀x, y ∈ C 21 Bài toán F P (C, F ) trở thành bài toán EP (C, f ) Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị M F P (C, F ) là bài