BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Trần Thị Tuyết Hảo PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Trần Thị Tuyết Hảo PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội – Năm 2015 Mục lục i Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập tất số thực Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực x, y x = tích vô hướng hai véc tơ x y x, x chuẩn véc tơ x intC phần tập C riC phần tương đối tập C xk → x dãy xk hội tụ tới x domf miền hữu hiệu ánh xạ f epif tập đồ thị ánh xạ f ∇f (x) đạo hàm f x ∂f (x) vi phân f x min{f (x) : x ∈ C} giá trị cực tiểu f C agrmin{f (x) : x ∈ C} tập điểm cực tiểu f C dC (x) khoảng cách từ điểm x đến tập C PC (x) hình chiếu điểm x tập C NC (x) nón pháp tuyến tập C điểm x B[a, r] cầu đóng tâm a bán kính r f (x, d) đạo hàm theo hướng d f x Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo ∇x f (x, y) đạo hàm f (., y) x ∇y f (x, y) đạo hàm f (x, ) y ∂2 f (x, x) vi phân hàm f (x, ) x EP (C, f ) toán cân V IP (C, F ) toán bất đẳng thức biến phân đơn trị Sf tập nghiệm toán cân EP (C, f ) M N EP (C, f ) toán tìm cực tiểu hàm chuẩn tập Sf V IEP (C, f, G) toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân BV IP (C, F, G) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BEP (C, f, g) toán cân hai cấp Mở đầu Cho C tập lồi đóng không gian Hilbert thực H f : C × C −→ R ∪ {+∞} song hàm cân bằng, tức f thỏa mãn f (x, x) = 0, với x ∈ C Xét toán: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) 0, ∀y ∈ C Bài toán đưa lần H.Nikaido K.Isoda vào năm 1955 tổng quát hóa toán cân Nash trò chơi không hợp tác, Ky Fan giới thiệu vào năm 1972 thường gọi bất đẳng thức Ky Fan Tuy nhiên, có tên gọi Bài toán cân Bài toán cân đơn giản mặt hình thức bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thực tế như: toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash Vì việc nghiên cứu toán cân cần thiết Gần đây, nhiều tác giả mở rộng toán cho trường hợp véc tơ Và nữa, người ta xét cho trường hợp toán cân liên quan tới ánh xạ đa trị Tính đến nay, có nhiều kết nghiên cứu phương pháp giải cho lớp toán cân vô hướng Phần trọng tâm luận văn trình bày phương pháp Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo chiếu giải toán cân giả đơn điệu áp dụng vào lớp toán cân cấp Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương hệ thống lại kiến thức tập lồi hàm lồi sử dụng chương sau Tiếp theo giới thiệu toán cân toán cân tương đương Chương 2, trước hết, trình bày phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, trường hợp riêng toán cân Phần tiếp theo, trình bày phương pháp chiếu giải toán cân giả đơn điệu Chương giới thiệu toán cân hai cấp thuật toán giải số toán cân hai cấp Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả luận văn xin cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giúp tác giả hoàn thiện luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô cán công nhân viên Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình tác giả học tập nghiên cứu Viện Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Tuyết Hảo Chương Một số kiến thức sở 1.1 Kiến thức tập lồi hàm lồi Trong chương này, ta nhắc lại khái niệm kết cần thiết sử dụng chương sau Trước tiên, trình bày số khái niệm kết cần thiết giải tích lồi Tiếp theo, giới thiệu toán cân số điều kiện tồn nghiệm, định lý toán cân tương đương Trong luận văn này, kết số không gian khác, để dễ trình bày ta giới hạn không gian Hilbert Các kiến thức chương lấy từ tài liệu tham khảo [?], [?], [?], [?], [?] [?] 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Trong không gian Hilbert thực H, tập C ⊂ H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ví dụ 1.1.1 +Tập rỗng không gian tập lồi +Các hình tam giác, hình tròn mặt phẳng Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo tập lồi Dưới số phép tính tập lồi Định lý 1.1 Nếu A, B tập lồi không gian Hilbert thực H tập sau tập lồi: 1) A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B}, 2) αA + βB = {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}, 3) A × B = {x ∈ H × H : x = (a, b), a ∈ A, b ∈ B} Định nghĩa 1.2 Tập C ⊂ H gọi nón có đỉnh ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Nón C có đỉnh gọi nón lồi C tập lồi Có nghĩa ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > ⇒ λx + µy ∈ C Ví dụ 1.1.2 Các tập sau Rn nón lồi có đỉnh A = {(x1 , , xn ) ∈ Rn : xi 0, i = 1, n}(tập A gọi or- thant không âm), B = {(x1 , , xn ) ∈ Rn : xi > 0, i = 1, n}(tập B gọi orthant dương) Định nghĩa 1.3 Cho C tập lồi khác rỗng không gian Hilbert thực H xo ∈ C Khi đó, tập NC (xo ) = {ω ∈ H : ω, x − x0 ∀x ∈ C} gọi nón pháp tuyến C xo tập −NC (xo ) gọi nón pháp tuyến C xo Hiển nhiên ∈ NC (xo ) từ định nghĩa ta thấy NC (xo ) nón lồi đóng Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo Định nghĩa 1.4 Giả sử C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H y ∈ H véc tơ bất kỳ, gọi dC (y) = inf x∈C x − y Ta nói dC (y) khoảng cách từ y đến C Nếu tồn PC (y) ∈ C cho dC (y) = y − PC (y) , ta nói PC (y) hình chiếu y C Định lý 1.2 (Phép chiếu tập lồi)(xem [?], Mệnh đề 5.1) Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Khi đó: a) ∀x ∈ H hình chiếu PC (x) x C tồn nhất; b) ω = PC (x) ⇔ x − ω, y − ω 0, ∀y ∈ C; c) Ánh xạ : x −→ PC (x) có tính chất 1) PC (x) − PC (y) x − y , ∀x, y ∈ H (tính không giãn); PC (x) − PC (y) , ∀x, y ∈ H (tính 2) PC (x) − PC (y), x − y đồng bức); 3) x − PC (x), x − y 1.1.2 x − PC (x) , ∀y ∈ C Hàm lồi Cho C tập lồi khác rỗng không gian Hilbert thực H ánh xạ f : C −→ R ∪ {+∞} Định nghĩa 1.5 Các tập domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}, epif = {(x, t) ∈ C × R : f (x) t}, gọi miền hữu dụng đồ thị f Nếu domf = ∅ f (x) > −∞ ∀x ∈ C hàm f gọi hàm thường Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo Bây ta chứng minh dãy {xk }, {uk } bị chặn Vì xk+1 − x∗ = PC (uk − λk G(uk ) − PC (x∗ ) ≤ uk − λk G(uk )) − x∗ ≤ (uk − λk G(uk )) − (x∗ − λk G(x∗ )) + λk G(x∗ ) = (1 − L2 λk β β λk k )(u − x∗ ) − L2 [( G − I)uk − ( G − I)x∗ ] β β L L + λk G(x∗ ) ≤ (1 − L2 λk λk ) uk − x∗ + L2 Tk + λk G(x∗ ) , β β (3.26) với Tk = ( Lβ2 G − I)uk − ( Lβ2 G − I)x∗ Do toán tử G Lipschitz với hệ số L đơn điệu mạnh với hệ số β nên ta có β (G(uk ) − G(x∗ )) − (uk − x∗ ) 2 L β β2 = G(uk ) − G(x∗ ) − 2 G(uk ) − G(x∗ ), uk − x∗ + uk − x∗ L L 2 β β ≤ uk − x∗ − 2 uk − x∗ + uk − x∗ L L β ≤ (1 − ) uk − x∗ , L Tk2 = Tk ≤ k+1 x ∗ −x 1− β2 L2 uk − x∗ Kết hợp với (??), ta thu ≤ 1−L λk β 1− β2 1− L 59 uk − x∗ + λk G(x∗ ) Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo λk γ) uk − x∗ + λk G(x∗ ) β β = (1 − γk ) uk − x∗ + γk G(x∗ ) , Lγ ≤ (1 − L2 với γ = − 1− β2 L2 (3.27) γk = L2 λβk γ ∈ (0; 1) Từ (??) (??) ta suy xk+1 − x∗ ≤ (1 − γk ) xk − x∗ + γk β G(x∗ ) Lγ Bằng quy nạp ta nhận xk+1 − x∗ ≤ max{ xk − x∗ , max{ xo − x∗ , β G(x∗ ) } ≤ ≤ Lγ β G(x∗ ) } Lγ Từ suy dãy {xk } bị chặn, từ (3.24) ta có dãy {uk } bị chặn Mệnh đề 3.2 Tồn dãy {xki } ⊂ {xk } hội tụ điểm x ∈ C, dãy {y ki },{z ki }và {ω ki } bị chặn Chứng minh Theo Mệnh đề ?? ta có dãy {xk } bị chặn, C tập đóng nên tồn dãy {xki } ⊂ {xk } hội tụ điểm x ∈ C Ta tồn số M > cho xki − y ki ≤ M với số i đủ lớn Thật vậy, từ tính δ−lồi mạnh hàm fki (.) = ρf (xki , ) + h(.) − h(xki ) − ∇h(xki ), − xki , 60 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo nên với s(xki ) ∈ ∂fki (xki ) s(y ki ) ∈ ∂fki (y ki ) ta có s(xki ) − s(y ki ), xki − y ki δ xki − y ki , suy s(xki ), xki − y ki s(y ki ), xki − y ki + δ xki − y ki (3.28) Theo định nghĩa y ki , y ki = argmin{fki (y) : y ∈ C}, nên ta có ∈ ∂fki (y ki ) + NC (y ki ) tức s(y ki ) ∈ −NC (y ki ), điều tương đương với s(y ki ), y − y ki đặc biệt s(y ki ), xki − y ki 0, ∀y ∈ C, Kết hợp điều với (??) ta thu s(xki ), xki − y ki δ xki − y ki Từ suy xki − y ki ≤ √ s(xki ) , ∀s(xki ) ∈ ∂fki (xki ) δ (3.29) Bởi xki → x dãy {fki } hội tụ điểm C hàm f với f (y) = ρf (x, y) + h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x , nên theo Định lý ?? ta suy tồn số nguyên io > 0, đủ lớn cho ∂fki (xki ) ⊂ ∂f (x) + B[0; 1], ∀i > io , 61 (3.30) Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo với B[0; 1] hình cầu đơn vị đóng có tâm bán kính không gian Rn Mặt khác ta có ∂fki (xki ) = ρ∂2 f (xki , xki ), ∀i ∂2 f (x) = ρ∂2 f (x, x) nên (??) trở thành ∂2 f (xki , xki ) ⊂ ∂2 f (x, x) + B[0; 1], ∀i > io ρ (3.31) Do tập ∂2 f (x, x) bị chặn, kết hợp với (??) (??) ta suy dãy số { xki − y ki } bị chặn Mà dãy {xki } bị chặn nên suy dãy {y ki } bị chặn theo định nghĩa z ki , z ki = (1 − ηki )xki + ηki y ki , nên dãy {z ki } bị chặn Không tính tổng quát, ta giả sử z ki hội tụ điểm z Bởi ω ki ∈ ∂2 f (z ki , z ki ) nên áp dụng Định lý ?? lần nữa, ta suy dãy {ω ki } bị chặn Mệnh đề 3.3 Nếu dãy {xki } ⊂ {xk } hội tụ điểm x ( ηki ki ) x − y ki k i ω −→ i → ∞ (3.32) x ∈ Sf Chứng minh Ta xét hai trường hợp phân biệt ηk Trường hợp lim inf i→∞ ki > Từ (??), ta suy limi→∞ xki − ωi y ki = 0, y ki → x z ki → x i → ∞ Theo định nghĩa y ki ta có f (xki , y) + ρ1 [h(y) − h(xki ) − ∇h(xki ), y − xki ] 62 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo f (xki , y ki ) + ρ1 [h(y ki ) − h(xki ) − ∇h(xki ), y ki − xki ], ∀y ∈ C Do f, h ∇h liên tục nên chuyển qua giới hạn bất đẳng thức i → ∞ ta thu f (x, y) + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ 0, ∀y ∈ C, điều có nghĩa x ∈ Sf ηki = Trong trường hợp dãy ω ki {ω ki } bị chặn nên ta có limi→∞ ηki = 0, z ki = (1 − ηki )xki + Trường hợp limi→∞ y ki ηki → x i → ∞ Không giảm tổng quát, ta giả sử ω ki → ω ∈ ∂2 f (x, x) y ki → y i → ∞ Ta có f (xki , y) + ρ1 [h(y) − h(xki ) − ∇h(xki ), y − xki ] f (xki , y ki ) + [h(y ki ) − h(xki ) − ∇h(xki ), y ki − xki ], ∀y ∈ C ρ Cho i → ∞, ta f (x, y) + ρ1 [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] f (x, y) + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ], ∀y ∈ C ρ Mặt khác, theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (3.19), với số mki −1, tồn ω ki ,mki −1 ∈ ∂2 f (z ki ,mki −1 , z ki ,mki −1 ) cho ω ki ,mki −1 , xki − y ki < [h(y ki ) − h(xki ) − ∇h(xki ), y ki − xki ].(3.33) ρ Chuyển qua giới hạn i → ∞ kết hợp với z ki ,mki −1 → x, 63 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo ω ki ,mki −1 → ω ∈ ∂2 f (x, x), từ (??) ta thu ω, x − y ≤ [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ Do đó, ≤ ω, x − y + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ Điều dẫn đến f (x, y) + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ Vì f (x, y) + [h(y) − h(x) − ∇h(x), y − x ] ρ ∀y ∈ C, tức x nghiệm toán cân EP (C, f ) Định lý 3.2 Giả sử tập nghiệm Sf toán cân EP (C, f ) khác rỗng, hàm h(.) δ−lồi mạnh khả vi liên tục Ω, dãy {λk } dãy số dương cho ∞ k=0 λk ∞ k=0 λk = ∞ < ∞ Song hàm f thỏa mãn điều kiện (A1), (A2), (A3), toán tử G L−Lipschitz β−đơn điệu mạnh C Khi dãy {xk } sinh Thuật toán 3.3 hội tụ nghiệm x∗ toán V IEP (C, f, G) Chứng minh Theo Mệnh đề ?? ta có xk+1 − x∗ − xk − x∗ 64 + ηk δ ρ ωk xk − y k Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo ≤ −2λk uk − x∗ , G(uk ) + λ2k G(uk ) , ∀k, (3.34) dãy {xk }, {uk } bị chặn Do tính Lipschitz toán tử G nên dãy {G(uk )} bị chặn, tồn số dương A, B cho | uk − x∗ , G(uk ) | ≤ A, G(uk ) ≤ B, ∀k Đặt ak = xk − x∗ , kết hợp với bất đẳng thức trên, (??) trở thành ηk δ ρ ωk ak+1 − ak + xk − y k ≤ 2λk A + λ2k B (3.35) Ta xét hai trường hợp phân biệt Trường hợp 1.Tồn số ko cho dãy {ak } dãy giảm k Khi đó, ak ko 0, ∀k nên tồn giới hạn limk→∞ ak = a, lấy giới hạn hai vế (??) ta nhận lim k→∞ ηk δ ρ ωk xk − y k = (3.36) Thêm vào xk+1 − uk = PC (uk − λk G(uk )) − PC (uk ) ≤ uk − λk G(uk )) − uk 2 (3.37) = λk G(uk ) → k → ∞ Từ suy limk→∞ uk − x∗ = limk→∞ xk+1 − x∗ = a Do {uk } bị chặn, nên tồn dãy {uki } ⊂ {uk } cho uki → u ∈ C lim inf uk − x∗ , G(u∗ ) = limi→∞ uki − x∗ , G(x∗ ) Kết hợp điều với (3.36) (3.37) ta thu xki +1 → u 65 Luận văn Thạc sĩ toán học ηki +1 δ ρ ω ki +1 Trần Thị Tuyết Hảo xki +1 − y ki +1 → i → ∞ Theo Mệnh đề ??, ta có u ∈ Sf Do lim inf uk −x∗ , G(u∗ ) = limi→∞ uki −x∗ , G(x∗ ) = u−x∗ , G(x∗ ) k→∞ Bởi G β−đơn điệu mạnh, nên uk − x∗ , G(uk ) = uk − x∗ , G(uk ) − G(u∗ ) + uk − x∗ , G(x∗ ) β uk − x∗ + uk − x∗ , G(x∗ ) Chuyển qua giới hạn k → ∞ limk→∞ uk − x∗ = a, ta thu lim inf uk − x∗ , G(u∗ ) k→∞ Nếu a > 0, cách chọn βa (3.38) = 21 βa, từ (3.38) ta suy tồn ko > cho βa, ∀k uk − x∗ , G(u∗ ) ko Do (??), ta có ak+1 − ak ≤ −λk βa + λ2k B, ∀k ko Lấy tổng liên tiếp từ ko đến k, ta k ak+1 − ako ≤ − k j=ko Mặt khác, ∞ k=0 λk = ∞ λ2j λj βa + B ∞ k=0 λk 66 j=ko < ∞ nên ta suy lim inf k→∞ ak = Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo −∞ Ta gặp mâu thuẫn ak 0, ∀k Vậy a = 0, tức là, limk→∞ xk − x∗ = Trường hợp Tồn dãy {aki }i aki +1 với i ⊂ {ak }k cho aki < Trong trường hợp này, ta xét dãy số {σ(k)} xác định Bổ đề ?? Khi ta có aσ(k)+1 − aσ(k) 0, kết hợp điều với (??) dẫn đến ησ(k) δ ρ ω σ(k) xσ(k) − y σ(k) ≤ 2λσ(k) A + λ2σ(k) B Do lim k→∞ ησ(k) δ ρ ω σ(k) xσ(k) − y σ(k) = Từ tính bị chặn {xσ(k) }, không giảm tính tổng quát, ta giả sử xσ(k) → x Theo Mệnh đề ?? ta nhận x ∈ Sf Mặt khác, uσ(k) = PC∩Hσ(k) (xσ(k) ) = PCσ(k) (xσ(k) ), nên kết hợp với (??) ta suy uσ(k) − x ≤ xσ(k) − x → k → ∞, limk→∞ uσ(k) = x Từ (??) ta có 2λσ(k) uσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) ≤ aσ(k) − aσ(k)+1 − + λ2σ(k) G(uσ(k) ) ≤ λ2σ(k) B 67 ησ(k) δ ρ ω σ(k) xσ(k) − y σ(k) Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo Tức uσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) ≤ λσ(k) B (3.39) Vì G β− đơn điệu mạnh, nên β uσ(k) − x∗ ≤ uσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) − G(x∗ ) = uσ(k) − x∗ , G(uσ(k) ) − uσ(k) − x∗ , G(x∗ ) Kết hợp điều với (??), ta suy uσ(k) − x∗ ≤ lim uσ(k) − x∗ λσ(k) [ B − uσ(k) − x∗ , G(x∗ ) ] β Bởi k→∞ ≤− lim uσ(k) − x∗ , G(x∗ ) ] ≤ β k→∞ Từ suy lim uσ(k) − x∗ = k→∞ (3.40) Thêm vào xσ(k)+1 − uσ(k) = PC (uσ(k) − λσ(k) G(uσ(k) )) − PC (uσ(k) ) ≤ λσ(k) G(uσ(k) ) k → ∞ Kết hợp với (??), ta suy limk→∞ xσ(k) = x∗ , tức limk→∞ aσ(k)+1 = Theo (??) Bổ đề ??, ta có ≤ ak ≤ aσ(k)+1 → k → ∞ 68 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo Do {xk } hội tụ tới nghiệm x∗ toán V IEP (C, f, G) Một trường hợp riêng toán V IEP (C, f, G) toán bất đẳng thức biến phân cấp BV IP (C, F, G) sau: Tìm điểm x∗ ∈ SF cho G(x∗ ), y − x∗ 0, ∀y ∈ SF (3.41) đó, SF tập nghiệm toán cân bằng: Tìm điểm u ∈ C cho F (u), y − u 0, ∀y ∈ C, (3.42) F : Ω −→ Rn toán tử xác định Ω Bằng cách đặt f (x, y) = F (x), y − x chọn hàm h(x) = x Thuật toán 3.3 trở thành Thuật toán 3.4 cho toán BV IP (C, F, G) Thuật toán 3.4 Bước khởi tạo Chọn xo ∈ C tham số η, σ ∈ (0, 1), ρ > Bước lặp thứ k.(k = 0, 1, ) Có xk ta thực bước sau: Bước Tính y k = PC (xk − ρ2 F (xk )) Nếu xk = y k lấy uk = xk chuyển sang Bước Ngược lại, thực Bước Bước (quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo) Tìm số nguyên dương mk nhỏ số nguyên dương m thỏa mãn   z k,m = (1 − η m )xk + η m y k , ρ   F (z k,m ), xk − y k Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk 69 y k − xk (3.43) Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo Bước Lấy uk = PCk (xk ), với Ck = {x ∈ C : F (z k ), x − z k ≤ 0} (3.44) Bước Đặt xk+1 = PC (uk − λk G(uk )) chuyển Bước lặp thứ k với k thay k + Áp dụng Định lý ?? vào Thuật toán 3.4 ta có hệ sau: Hệ 3.3 Giả sử tập nghiệm SF toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) khác rỗng, toán tử F liên tục Ω, giả đơn điệu theo tập SF C, toán tử G L−Lipschitz β−đơn điệu mạnh C, dãy số {λk } dãy số dương cho ∞ k=0 λk ∞ k=0 λk = ∞ < ∞ Khi đó, dãy {xk } sinh Thuật toán 3.4 hội tụ nghiệm x∗ toán BV IP (C, F, G) 70 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: 1.Những kiến thức giải tích lồi số định lý tồn nghiệm toán cân Thuật toán chiếu chứng minh hội tụ dãy lặp cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Tổng quát hơn, luận văn trình bày thuật toán chiếu chứng minh hội tụ cho toán cân giả đơn điệu Thuật toán chứng minh hội tụ cho toán tìm cực tiểu hàm chuẩn Euclide tập nghiệm toán cân giả đơn điệu; toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh tập nghiệm toán cân giả đơn điệu, đồng thời áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 71 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng , NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ [3] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị, NXB Giáo Dục [B] Tài liệu tiếng Anh [4] M Castellani and M.Giuli(2010), On equivalent equilibrium problems, J.Optim Theory Appl,147,pp.157-168 [5] B V Dinh,L.D Mưu A projection algorithm for soving pseudomonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel equilibria, Optimization,64(2015).no.3.559-575 [6] B V Dinh, An algorithm for variational inequalities with pseudomonotone equilibrium constraints, submitted 72 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Tuyết Hảo [7] F Facchinei and J.S.Pang(2003), Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems ,Springer, New york [8] K Fan (1972), Aminimax inequality and application, in: O Shisha, Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities, Academic Press, New York [9] I V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities Springer [10] P E Mainge(2008), Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization, SetValued Anal., 16,pp 899-912 [11] G Mastroeni (2003), On auxiliary principle for equilibrium problems, in:P Daniele, F.Giannessi, and A.Maugeri Equilibrium problems and Variational Models , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [12] L D Muu and W Oettli (1992), Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonliear Anal., Theory Methods Appl., Ser A, 18, pp 1159-1166 [13] M.V Solodov and B.F Svaiter (1999), A new projection method for variational inequality problems, SIAM J.Control Optim,37,pp.765-776 73