BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THÙY DUNG NHÚNG HYPERBOLIC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THÙY DUNG NHÚNG HYPERBOLIC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ TÀI THU HÀ NỘI, 2015 i Lời cám ơn Để hoàn thiện luận văn này, nhận giúp đỡ nhiệt tình đoàn thể cá nhân Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn kính trọng tới tất tập thể cá nhân tạo điều kiện giúp trình học tập nghiên cứu Trước hết xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu người hướng dẫn suốt trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn tới toàn thầy cô giáo Khoa Toán Phòng Sau Đại học, Thư viện, tập thể K17 Toán Giải Tích đợt giúp hoàn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, chia sẻ, giúp đỡ nhiệt tình đóng góp nhiều ý kiến quý báu để hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thùy Dung ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS.Lê Tài Thu Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thùy Dung Mục lục Lời cám ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy 1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi 1.1.2 Không gian hyperbolic 1.1.3 Không gian hyperbolic đầy 1.2 Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi 1.2.1 Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi đa tạp 1.2.2 Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 10 1.3 Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy không gian phức 10 1.3.1 Một số tiêu chuẩn hyperbolic, hyerbolic đầy không gian phức 10 1.3.2 Giả mêtric Sibony không gian tiếp xúc 14 Chương Nhúng hyperbolic không gian phức 2.1 Nhúng hyperbolic 19 20 2.1.1 Khái niệm nhúng hyperbolic 20 2.1.2 Tiêu chuẩn nhận biết tính nhúng hyperbolic 22 iii iv 2.2 Thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình 39 2.2.1 Thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình qua đĩa thủng 39 2.2.2 Thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình qua divisor 43 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết không gian phức hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỷ hai mươi, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học giới Một số kết sâu sắc đẹp đẽ lý thuyết chứng minh bởi: Kobayashi, Kwack, Noguchi Những công trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ hình thành nên chuyên ngành giải tích Toán học, giải tích phức hyperbolic Trong năm gần đây, lý thuyết tìm thấy mối liên hệ bất ngờ sâu sắc với lĩnh vực khác Toán học, đặc biệt không gian thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức Như biết, giả thuyết S Lang nói đa tạp đại số xạ ảnh trường số K (là mở rộng hữu hạn trường hữu tỉ Q) có hữu hạn điểm hữu tỉ đa tạp phức tương ứng hyperbolic Hơn nữa, nhiều tình giải tích phức hypebolic, điều quan trọng không tính hyperbolic không gian mà việc xem xét tính hyperbolic giữ hay không ta tiến tới biên không gian Nói cách khác, ta phải nghiên cứu tính nhúng hyperbolic không gian Khái niệm nhúng hyperbolic Kobayashi đưa từ đầu năm 70 kỷ hai mươi để mở rộng định lý Picard lớn sang trường hợp nhiều chiều Sau nhiều nhà toán học đưa đặc trưng để nhận biết tính nhúng hyperbolic không gian phức không gian ban đầu Vì lý trên, đồng thời hướng dẫn thầy Lê Tài Thu chọn đề tài “Nhúng hyperbolic không gian phức” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhúng hyperbolic, đặc trưng để nhận biết tính nhúng hyperbolic không gian phức không gian ban đầu ứng dụng việc thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết tính hyperbolic Nghiên cứu nhúng hyperbolic, số dấu hiệu để nhận biết tính nhúng hyperbolic không gian phức không gian ban đầu ứng dụng việc thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nhúng hyperbolic không gian phức Phạm vi nghiên cứu: Các không gian phức trang bị tô pô compact mở Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp nghiên cứu giải tích Thu thập, tổng hợp báo, công trình nghiên cứu nước Dự kiến kết nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết tính hyperbolic, nhúng hyperbolic không gian phức không gian ban đầu Nghiên cứu toán thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương giới thiệu số định nghĩa, khái niệm kết biết Cụ thể, tìm hiểu vấn đề sau: • Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy • Biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi • Một số tiêu chuẩn nhận biết không gian phức hyperbolic, hyperbolic đầy 1.1 Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy 1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi i) Giả sử D đĩa đơn vị mở mặt phẳng phức D = {z ∈ C : |z| < 1} Trên D ta xét mêtric Bergman – Poincaré ρD cho bởi: ρD (0, a) = ln + |a| , ∀a ∈ D − |a| 37 D cho hn (Q ∩ D∗ ) ⊂ V2 Do đó, hn (sn ) = fn (ωn ) ∈ V2 , điều mâu thuẫn (2) ⇒ (3) Điều dễ dàng nhận từ tính liên tục fn cho phép giả thiết ωn ∈ (D∗ )m với n M = Dm (3) ⇒ (4) Cho U lân cận hyperbolic p cho V lân cận p với bao đóng compact cho V ⊂ U Khi V không gian phức nhúng hyperbolic compact tương đối không gian phức U Từ (3), tồn lân cận hyperbolic W ω0 cho fn (W − A) ⊂ V cho kết Kiernan (còn gọi “Định lý K ”) Lang [15], fn thác triển tới fn ∈ H (W, Y ), (4)(a) Khi fn họ đồng liên tục W fnk → f ∈ H (W, Y ) W với dãy {fnk } Định lý 2.7 biểu diễn kết phần Định lý 2.7 Các điều kiện sau tương đương với không gian phức M không gian phức Y : (1) X nhúng hyperbolic Y (2) C [M, Y + ; H (M − A, X)] compact tương đối C (M, Y + ) với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc (3) H [M, Y ; H (M − A, X)] compact tương đối C (M, Y + ) với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc (4) H (M, X) compact tương đối C (M, Y + ) với đa tạp phức M Chứng minh 38 Điều rõ ràng từ tập bao hàm thức tương đương (1) (6) định lý 2.4 (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) (1) ⇒ (2) Ta cần chứng tỏ C [M, Y + ; H (M − A, X)] tập liên tục C (M, Y + ) Nếu trường hợp ngược lại, tồn ω0 ∈ M dãy {ωn } M , fn C [M, Y + ; H (M − A, X)] cho ωn → ω0 , fn (ω0 ) → p, fn (ωn ) → q ; q, p ∈ Y + , q = p Bởi tính trù mật M − A M tính liên tục fn M , giả thiết ωn ∈ M − A với n tồn dãy {ωn } M − A cho ωn → ω0 fn (ωn ) → p Điều mâu thuẫn với tương đương (1) (3) định lý 2.6 từ p ∈ R (X) q ∈ R (X) Hệ 2.5 Nếu X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y A divisor với giao chuẩn tắc đa tạp phức M , f ∈ H (M − A, X) thác triển tới f ∈ C (M, Y + ) Chứng minh Cho ω0 ∈ M Nếu p ∈ Y + {ωn } dãy M − A cho ωn → ω0 ∈ M f (ωn ) → p, p ∈ R(X) p = ∞ p giới hạn xác định tương đương (1) (3) định lý 2.6 Với ω0 p, xác định h (ωo ) = p Rõ ràng,h (ω) = f (ω) với ω ∈ M −A Chúng ta h liên tục Nếu h (ω0 ) = p ∈ Y , U mở quanh p, cho V lân cận p với bao đóng compact cho V ⊂ U U ∩ X ⊂ R (X) Bởi tương đương (1) (3) định lý 2.6, nên tồn lân cận W ω0 M cho f (W − A) ⊂ V Điều kéo theo h (W ) ⊂ V ⊂ U Nếu h(w0 ) = ∞ U lân cận h (ω0 ), tương đương (1) (3) định lý 2.6, nên tồn W 39 mở quanh ω0 M cho f (W − A) ⊂ U Điều kéo theo W mở quanh ω0 M cho h (W) ⊂ U 2.2 Thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình 2.2.1 Thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình qua đĩa thủng Định lý 2.8 sau mở rộng định lý Kobayashi-Kwack khái quát từ định lý Picard lớn tới xạ ảnh H (D∗ , X) X không gian nhúng hyperbolic không gian phức Y Ngoài ra, H (D∗ , X) bao đóng C (D∗ , Y + ) Định lý 2.8 Nếu X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y , f ∈ H (D∗ , X) thác triển tới f ∈ C (D∗ , Y + ) Chứng minh Nếu {fn } dãy H (D∗ , X) fn → f ∈ C (D∗ , X), fn tồn với n hệ 2.3 định lý 2.4, nên tồn g ∈ C (D, Y + ) dãy {fnk } {fn } cho fnk → g Do g = f D∗ Vậy g = f Sử dụng định lý Lelong độ đo (xem Lang [15], p, 56), Noguchi ra: Nếu X không gian phức nhúng hyperbolic compact tương đối không gian phức Y Nếu {fn } dãy H (D∗ , X) fn → f ∈ H (D∗ , X), fn → f Định lý 2.9 chứng minh kết việc chứng minh không sử dụng lý thuyết độ đo Định lý 2.9 Giả sử X không gian phức nhúng hyperbolic 40 không gian phức Y {fn } dãy H (D∗ , X) fn → f , fn → f Chứng minh Cho {fn } dãy H (D∗ , X) f ∈ C (D∗ , Y + ) cho fn → f Nếu {fnk } dãy {fn } cho fnk → g ∈ C (D, Y + ) fnk → g D∗ , g = f D∗ g = f Từ định lý 2.4, dãy fn có dãy hội tụ tới phần tử C (D, Y + ), chứng minh hoàn thành Ví dụ 2.3 Trong ví dụ 2.2, fk → h h hàm [0, 1, 0, , 0]; fk ,h thác triển tới fk, h ∈ H (D, P n (C)) với k Tuy nhiên, fk → h Định lý sau mô tả đặc trưng tính nhúng hyperbolic sử dụng để mở rộng định lý Noguchi D Định lý 2.10 Không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y C D, Y + ; H(D∗ , X) compact C (D, Y + ) Chứng minh Từ C [D, Y + ; H (D∗ , X)] ⊂ C D, Y + ; H(D∗ , X) , điều kiện đủ rõ ràng suy từ định lý 2.4(3) Với điều kiện cần, C D, Y + ; H(D∗ , X) = C [D, Y + ; H (D∗ , X)] X nhúng hyperbolic Y sử dụng định lý 2.4(3) lần Xét f , dãy {fn } H (D∗ , X) thỏa mãn fn → f Khi f ∈ C (D∗ , Y + ) từ định lý 2.8 định lý 2.9, fn → f 41 Như C D, Y + ; H(D∗ , X) ⊂ C [D, Y + ; H (D∗ , X)] Với bao hàm thức ngược lại, giả sử fn dãy C (D, Y + ) cho fn → g fn ∈ H (D∗ , X) với n Khi fn → g D∗ ; bao hàm thức ngược chứng minh Các hệ sau trình bày mở rộng định lý Noguchi D Hệ 2.6 Giả sử X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Nếu {fn } dãy H (D∗ , X) fn → f fn → f Chứng minh Nếu {fnk } dãy {fn } cho fnk → g, fnk → g D∗ , g = f D∗ g = f Từ định lý 2.10, với dãy {fn } H (D∗ , X), fn dãy hội tụ, fn → f Trong trường hợp X không gian phức compact tương đối không gian phức Y Định lý 2.10 chứng minh từ (i) ⇒ (iii) định lý 2.2 [9] điều kiện cần hệ sau Hệ 2.7 Không gian phức compact tương đối X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y tồn g ∈ H D, Y ; H (D∗ , X) cho |dg (0)| = sup df (0) : f ∈ H (D∗ , X) Chứng minh Điều kiện đủ suy từ định lý [13] Ta cần chứng minh điều kiện cần Giả sử {fn } dãy H (D∗ , X) cho dfn (0) → sup df (0) : f ∈ H (D∗ , X) 42 Theo định lý 2.10, tồn dãy {fnk } {fn } g ∈ H D, Y ; H (D∗ , X) cho fnk → g Khi dfnk (0) → |dg (0)| Chú ý 2.4 Trong chứng minh điều kiện cần định lý 2.10, đẳng thức thiết lập sẵn sau: Giả sử X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Tập phía bên trái tập tập phía bên phải chứng minh định lý 2.10 Mặt khác, fn → g, fn ∈ H (D∗ , X), định lý 2.5, fnk → f ∈ C (D∗ , Y + ) với dãy {fnk } {fn } Do đó, fnk → f định lý 2.8 2.9, f = g Chú ý 2.5 Nếu X không gian phức tương đối compact không gian phức Y phần này, thay thể C H Y + Y từ đầu đến cuối Chú ý 2.6 Định lý 2.8 xem dạng tổng quát kết với f ∈ H (D∗ , X) H (D∗ , C) thác triển X miền bị chặn C, định lý Riemann điểm kỳ dị bỏ [3] Chúng ta kết thúc phần với ví dụ sử dụng định lý 2.4 để không gian phức chắn nhúng hyperbolic P (C) Ví dụ 2.4 Cho M = (C − {0, 1}) × Ω Ω ⊂ C miền bị chặn Giả sử [ω0 , ω1 , ω ] biểu diễn tọa độ P (C) Xác định ψ : M → P (C) cho ψ (z1 , z2 ) = [1, z1 , z2 ] Chúng ta chứng tỏ H D, P (C) ; H (D∗ , ψ (M )) compact tương đối H D, P (C) Cho {gn } dãy H (D∗ , ψ (M )) Tồn 43 dãy {fn } H (D∗ , M ) cho gn = ψ ◦ fn với n, fn cho fn (z) = (an (z) , bn (z)) {an }, {bn } dãy C − {0, 1}, Ω tương ứng Từ C − {0, 1} Ω nhúng hyperbolic P (C), giả sử a, b ∈ H D∗ , P (C) cho an → a, bn → b, an , bn , a, b ∈ H D, P (C) tồn với n , an → a, bn → b; với n, gn thác triển tới gn xác định bởi: gn (z) =    1, an (z) , bn (z) , a ˜n (z) ∈ C   [0, 1, 0] ,a ˜n (z) ∈ /C Xác định h ∈ H D, P (C) bởi:    [1, a (z) , b (z)] , a (z) ∈ C h (z) =   [0, 1, 0] , a (z) ∈ C Khi gn → h 2.2.2 Thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình qua divisor Trong phần này, trình bày định lý 2.7 đưa kết cho không gian nhiều chiều có so sánh D ứng dụng định lý 2.4 Chứng minh tất trừ ba định lý cuối bị bỏ qua từ chúng tương tự chứng minh phần H (M − A, X) bao đóng C (M − A, Y + ) Định lý 2.11 Giả sử X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Giả sử M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Khi 44 (a) Mỗi f ∈ H (M − A, X) C (M − A, Y + ) thác triển tới f ∈ C (M, Y + ); (b) Nếu {fn } dãy H (M − A, X) fn → f ∈ C (M − A, Y + ),thì fn → f Định lý 2.12 Không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y C M, Y + ; H (M − A, X) compact C [M, Y + ] với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc Hệ 2.8 Giả sử X không gian phức nhúng hyperbolic compact tương đối không gian phức Y Giả sử M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Với z ∈ M , tồn g ∈ H M, Y ; H (M − A, X) cho |dg (z)| = sup df (z) : f ∈ H (M − A, X) Định lý 2.13 Giả sử X là không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Giả sử M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Nếu {fn } dãy H (M − A, X), fn → f ∈ C (M − A, Y + ), fn → f Ta đóng với vài ý, ba tính đặc trưng tính nhúng hyperbolic, mở rộng định lý cổ điển Vitali tới hàm nhiều biến Chú ý 2.7 Định lý 2.11(a) tổng quát mở rộng kết Kieman (xem định lý 5.2 chương II [15]) Chú ý 2.8 Định lý 2.11(b) 2.13 tổng quát định lý Noguchi (xem định lý 5.4 chương II [15]) 45 Định lý 2.14 Không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y ba điều kiện sau với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc: (1) H (M − A, X) compact tương đối C (M − A, Y + ) (2) Mỗi f ∈ H(M − A, X) có thác triển C (M, Y + ) (3) Nếu {fn } dãy H (M − A, X) fn → f ∈ C (M − A, Y + ), fn → f Chứng minh Chúng ta chứng minh điều kiện đủ Cho {fn } dãy H (M − A, X) Bởi (1), tồn dãy {fnk } {fn } f ∈ C (M − A, Y + ) cho fnk → f Bởi (2), fnk f tồn với k (3), fnk → f Như vậy, theo định lý 2.7, kết thúc chứng minh Chú ý 2.9 Định lý 2.13 2.14 rằng, thay H (M − A, X) H(M − A, X) điều kiện định lý 2.14 Chú ý 2.10 Dễ dàng quan sát từ ý 2.9 định lý 2.14 không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y hai điều kiện sau thỏa mãn với đa tạp phức M divisor A M với giao chuẩn tắc: (1) H (M − A, X) tương đối compact C (M − A, Y + ) (2) Ánh xạ κ: H (M − A, X) → C (M, Y + ) xác định κ(f ) = f nhúng Định lý 2.15 sau đưa đặc trưng tính nhúng hyperbolic, tương tự mệnh đề sau đưa Taimanov [18] 46 Mệnh đề 2.1 Giả sử A tập trù mật không gian tô pô Hausdorff X cho f ánh xạ A tới không gian Hausdorff Y Ánh xạ f có thác triển liên tục X cặp B1 , B2 tập đóng rời Y ảnh ngược f −1 (B1 ) f −1 (B2 ) có bao đóng rời X Định lý 2.15 Các phát biểu sau tương đương với không gian phức X không gian phức Y : (1) X nhúng hyperbolic Y (2) Với đa tạp phức M , divisor A M với giao chuẩn tắc dãy {fn } H (M − A, X), tồn dãy {fnk } {fn } cho: limfn−1 (P ) ∩ limfn−1 (Q) = φ k k với tô pô M với P Q tương ứng tập compact đóng rời Y (3) Phát biểu thu thay H (M − A, X) H (M − A, X) (2) Chứng minh (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (2) ⇒ (3) Bởi hệ 2.1 định lý 2.4 với dãy {fn } H (M − A, X), fn ∈ C (M, Y + ) tồn với n có dãy {fn } cho fnk → g ∈ C (M, Y + ) Nếu P ⊂ Y compact Q ⊂ Y đóng x ∈ limfn−1 (P ) ∩ limfn−1 (Q) k k fnk 47 cho W lân cận g (x) cho K lân cận compact x M cho g (K) ⊂ W Khi fnk (K − A) ⊂ W, fnk (K − A) ∩ P = ∅ fnk (K − A) ∩ Q = ∅ xảy thường xuyên Vì W ∩ P = ∅, W ∩ Q = ∅ g (x) ∈ P ∩ Q Y + Từ P compact Y , g (x) ∈ P ∩ Q (3) ⇒ (1) Giả sử {fn } {zn } dãy H (D∗ , X) D∗ tương ứng , cho zn → fn (zn ) → p ∈ Y Cho U mở quanh p chọn W mở quanh p cho W compact W ⊂ U Nếu không tồn < r < cho fn (Dr∗ ) ⊂ U , tồn dãy {fn }, mà gọi {fn }, cho ∈ limfn−1 W ∩ limfn−1 (Y − U ) với k k dãy {fnk } {fn }, (3) sai Do kết thúc chứng minh Bổ đề 2.1 tương đương (2) định lý 2.1 Cuối cùng, tổng quát định lý Vitali cổ điển [3] với hàm biến phức tới trường hợp nhiều chiều Định lý 2.16 Giả sử X không gian phức nhúng hyperbolic không gian phức Y Giả sử M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Giả sử N ⊂ M có tính chất f, g ∈ C (M, Y + ) f = g N , f = g Nếu {fn } dãy H (M − A, X) hội tụ N , fn fn hội tụ Chứng minh Tồn dãy fnk fn cho fnk → f ∈ C (M, Y + ) Như fnk → f N fn → f N Điều kéo theo fn → f 48 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu tính nhúng hyperbolic không gian phức Luận văn hệ thống lại: Một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic hyperbolic đầy Một số dấu hiệu để nhận biết tính nhúng hyperbolic không gian phức không gian phức ban đầu Thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thùy Dung 49 Tài liệu tham khảo [1] Abate M and Vigue J P (1991), “Common fixed points in hyperbolic Riemann surfaces and convex domains”, Proc Amer Soc., (112), 503-512 [2] Barth.T (1972), “The Kobayashi distance induces the standar topology”, Proc Amer Math Soc., (35), 439 – 441 [3] Boas R (1978), Invitation to Complex Analysis, Random House, New York [4] Conway J B (1978), Functions of One Complex Variable, SpringerVerlag New York [5] Eastwood.A, (1975), "A propos des variétés hyperboliques complètes", C R Acad Sci Paris série A., (280), 1071 – 1075 [6] Grautert H and Reckziegel H (1965), “Hermitesche Metriken und normale Familien holomorpher Abbildungen“, Math Z 89 108-125 [7] Joseph J and Kwack M, Hyperbolic points and imbeddedness of complex subspaces, Preprint [8] Kelley J L (1955), General Topology, Van Nostrand Priceton NJ 50 [9] Kieman P (1972), “Extensions of holomorphic maps”, Trans Amer Math Soc., (172), 347-355 [10] Kwack M (1969), “Generalizations of the Picard theorem”, Ann of Math., (2), 9-22 [11] Kobayashi S (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, Marcel Dekker, New York [12] Kobayashi S, Relative intrinsic distance and hyperbolic imbedding, Intern, Preprint [13] Kieman P and Kobayashi S (1973), “Holomorphic mapping into projective space with lacunary hyperplanes”, Nagoya Math J., (50), 119-216 [14] Kobayashi S and Ochlai T (1971), “Satake compactifications and the great Picard theorem”, J Math Soc Japan, (23), 340-350 [15] Lang S (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Space, SpringerVeriag NY [16] Noguchi J (1985), “Hyperblic fiber spaces and Mordell’s conjecture over functipon fields”, Publ Research Institute Math Sciences Kyoto University , (21), No.1, 27-46 [17] Royden H (1971), “Remarks on the Kobayashi metric”, Proc Maryland Conference on Several Complex Variables Springer Lecture Notes, Vol 185, Springer-Verlag, Berlin 51 [18] Taimanov A D (1952), “On extension of continuous mappings of topological spaces”, Math Sb 31, (73), 459-462, Russian [19] T Urata (1982), “The hyperbolicity of complex analytic spaces”, Bull Aichi Univ Educ., (31), 65 – 75 [20] S Venturini (1996), “The Kobayashi metric on complex spaces”, Math Ann., (305), 24 – 44 [21] H Wu (1977), “The Kobayashi pseudometric on algebraic manifols of general type and in deformations of complex manifolds”, Trans Amer Math Soc., (232), 357 – 370 [22] M G Zaidenberg and V Ja Lin (1979), “On bounded domains of holomorphy that are not holomorphically contractible”, Soviet Math Dokl., (20), 1262 – 1266 [...]... là không gian con phức của không gian phức Y X là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi mỗi điểm của X là điểm hyperbolic của X Với 0 < r < 1, kí hiệu Dr = {z ∈ D : |z| < r} và Dr∗ = Dr − { 0} 2.1.2 Tiêu chuẩn nhận biết tính nhúng hyperbolic Nếu X là không gian con phức của không gian phức Y , kí hiệu tập các điểm hyperbolic của X là R(X, Y ) và đơn giản là R(X) Định lý 2.2 Giả sử X là không gian. .. hyperbolic, hyperbolic đầy trong không gian phức 1.3.1 Một số tiêu chuẩn hyperbolic, hyerbolic đầy trong không gian phức Trong phần này, chúng ta giới thiệu một số tiêu chuẩn để nhận biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy trong không gian phức 11 Kobayashi [12] đã đưa ra một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy: Định lý 1.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y (1)... suy ra X là hyper- 19 Chương 2 Nhúng hyperbolic của không gian phức Trong chương này, giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Chúng ta xem xét nhúng hyperbolic của X trong Y được đặc trưng bởi tính compact tương đối trong tô pô compact mở trong không gian thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng D∗ tới X và từ M − A tới X, ở đó M là đa tạp phức và A là divisor trên M với... xuất hiện định nghĩa đã có một số nghiên cứu về nhúng hyperbolic của không gian con phức đã sử dụng đặc trưng của nhúng hyperbolic trong hướng nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình trên đĩa đơn vị D = { z ∈ C : |z| < 1} trong mặt phẳng phức với trang bị tô pô compact mở (xem [8]) Kí hiệu H(A, B) là không gian ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức A vào không gian phức B và FX,Y là tập f ∈ H (D, Y ) sao cho f −1... trưng của nhúng hyperbolic để tổng quát và mở rộng các định lý của Kobayashi, Kiernam, Kwack, Noguchi và Vitali trong đĩa D và trong trường hợp nhiều chiều Tất cả không gian hàm trong chương này được giả thiết là trang bị tô pô compact mở 20 2.1 Nhúng hyperbolic 2.1.1 Khái niệm nhúng hyperbolic Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để đưa ra khái niệm nhúng hyperbolic của không gian con phức trong không gian. .. trên U k Cho H = ϕE 30 Hệ quả 2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Giả sử f ∈ H (D∗ , X) và {zn } là dãy trong D∗ sao cho zn → 0 và f (zn ) → p ∈ R (X) Khi đó f thác triển tới f ∈ H(D, Y ) Chứng minh Hệ quả này là áp dụng (3) của định lý 2.2 tới dãy hằng {f } Hệ quả 2.3 Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Khi đó với mỗi f ∈ H (D∗ , X)thác triển... X thì dX xác định tô pô của X Như vậy không gian phức (hữu hạn chiều) X là hyperbolic khi và chỉ khi giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X 1.1.3 Không gian hyperbolic đầy Định nghĩa 1.2 Không gian hyperbolic X được gọi hyperbolic đầy nếu mọi dãy Cauchy đối với dX đều hội tụ trong X Kobayashi [12] đã chứng minh rằng, nếu X là không gian phức hữu hạn chiều thì X là hyperbolic đầy khi và chỉ... f (zn ) → ∞ Trong mệnh đề 1.1 của [1], đã chỉ ra miền hyperbolic X của siêu mặt Riemann compact Y là nhúng hyperbolic trong Y Một trong những kết quả chính được sử dụng Y − X0 là hữu hạn với một miền hyperbolic X0 ⊃ X Ta tổng quát mệnh đề này Hệ quả 2.4 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó hoặc X là nhúng hyperbolic trong Y hoặc X − R (X) là không đếm được Chứng minh Cho p... phức của không gian phức Y (1) Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic; (2) Nếu Y là hyperbolic đầy và X là đóng thì X là hyperbolic đầy Định lý 1.3 Giả X, Y là các không gian phức và f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình Giả sử Y là không gian con của Y và X = f −1 (Y ) Nếu X và Y là hyperbolic đầy thì X cũng là hyperbolic đầy Định lý 1.4 Giả sử X là không gian phức Nếu tồn tại họ các điểm pα ∈ X và... đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy) Định lý 1.9 Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là hàm chỉnh hình bị chặn ở trên X Thế thì không gian con mở X = {p ∈ X : f (p) = 0} = X − Zero (f ) là hyperbolic đầy Định nghĩa 1.4 13 i) Cho Y là không gian phức Không gian con X ⊂ Y được gọi là hyperbolic đầy địa phương ở trong Y nếu mỗi điểm p ∈ X có lân cận Vp ở trong Y sao cho Vp ∩ X là hyperbolic