BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN MẠNH HÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI GIÁ TRỊ (DF) - KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN MẠNH HÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI GIÁ TRỊ (DF) - KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy, Cô phòng Sau đại học, Thầy, Cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Trong trình tiến hành nghiên cứu không tránh khỏi hạn chế thiếu sót, xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp nhận Thầy giáo, Cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn thành Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Mạnh Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian” hoàn thành nhận thức thân tác giả, không trùng với luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Mạnh Hà Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương 1.2 Không gian Frechet 1.3 Đối ngẫu không gian Frechet 11 1.3.1 Đối ngẫu tô pô yếu 11 1.3.2 Pô la 13 1.3.3 Đa thức không gian lồi địa phương 16 1.3.4 Ánh xạ chỉnh hình 22 1.3.5 Tô pô không gian ánh xạ chỉnh hình 27 1.3.6 Không gian mầm hàm chỉnh hình 29 1.4 Một số bất biến tô pô tuyến tính không gian Frechet 31 1.4.1 Bất biến tô pô tuyến tính (DN ) không gian 31 1.4.2 Bất biến tô pô tuyến tính Ω 35 Chương Tính quy không gian mầm 38 2.1 Không gian mầm hàm chỉnh hình 39 2.2 Không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị 45 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong giải tích phức, vấn đề lớn đặt lý thuyết hàm chỉnh hình tính chỉnh hình địa phương tập X không gian lồi địa phương Điều dẫn tới khái niệm mầm hàm chỉnh hình tập X Ý nghĩa quan trọng khái niệm địa phương hóa khái niệm phần tử, thay cho việc xét phần tử cố định người ta xét lớp tất phần tử tương đương phần tử Một vấn đề quan tâm nhiều lớp không gian mầm hàm chỉnh hình việc đặc trưng tập bị chặn Nhớ lại rằng, không gian mầm H(K, F ) xây dựng từ không gian H(U, F ) hàm chỉnh hình lân cận mở U K không gian lồi địa phương E, với giá trị không gian lồi địa phương F , giới hạn quy nạp phạm trù không gian lồi địa phương Như vậy, không gian mầm H(K, F ) gọi quy giới hạn quy nạp quy Nghĩa là, tập bị chặn H(K, F ) bao hàm bị chặn không gian H(U, F ) Tính quy không gian mầm H(K) = H(K, C) nhiều tác giả quan tâm Mở đầu cho hướng nghiên cứu Chae [4, 5] Hirschowitz [11] Trong đó, tác giả xét toán cho trường hợp K tập compact không gian Banach Các kết tổng quát hóa làm sâu sắc Mujica [14] chuyển sang lớp không gian lồi địa phương khả metric Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị vô hướng vấn đề mang tính thời Theo hướng nghiên cứu hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, chọn đề tài Tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị không gian đối ngẫu mạnh không gian Frechet thương siêu phản xạ nghiên cứu không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian hạch Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ lý thuyết không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị không gian đối ngẫu mạnh không gian Frechet siêu phản xạ giá trị (DF) - không gian hạch Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình H(K, F ) với K tập compact không gian Frechet - Schwartz F (DF) - không gian hạch Giả thuyết khoa học Trình bày cách có hệ thống số kết tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình với miền giá trị (DF) - không gian Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1 Cho E không gian vectơ A tập E (i) Tập A gọi lồi với x, y ∈ A ta có λx+(1 − λ) y ∈ A, ≤ λ ≤ (ii) Tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn n n λi xi với λi ≥ 0, i=1 λi = 1, xi ∈ A i=1 tập lồi chứa A gọi bao lồi A (iii) Tập A gọi cân với x ∈ A ta có λx ∈ A |λ| ≤ (iv) Tập A gọi lồi tuyệt đối đồng thời lồi cân (v) Bao tuyệt đối lồi A tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn n i=1 λi xi với λi ≥ 0, nhỏ chứa A) n λi ≤ với xi ∈ A (là tập tuyệt đối lồi i=1 (vi) Tập A gọi hút với x ∈ X, tồn λ > cho x ∈ µA với µ mà |µ| ≥ λ Định nghĩa 1.1.2 Một không gian véc tơ có sở gồm lân cận cân lồi điểm gốc gọi không gian véc tơ tô pô lồi địa phương (không gian lồi địa phương) tô pô gọi tô pô lồi địa phương Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E không gian véc tơ trường K (K = R K = C) Một hàm p xác định E có giá trị thực không âm (hữu hạn) gọi nửa chuẩn với x, y ∈ E λ ∈ K ta có (i) p (x) ≥ (ii) p (λx) = |λ| p (x) (iii) p (x + y) ≤ p (x) + p (y) Mệnh đề 1.1.1 [16] Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi hút A gọi hàm cỡ tập A Mệnh đề 1.1.2 Trong không gian lồi địa phương E, nửa chuẩn p liên tục liên tục điểm gốc Chứng minh Nếu p liên tục điểm gốc ε > số cho trước tồn lân cận V cho p (x) < ε x ∈ V Do đó, với a điểm tuỳ ý E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε x ∈ a+V Định nghĩa 1.1.4 Không gian véc tơ E gọi khả định chuẩn tô pô xác định chuẩn p Mệnh đề 1.1.3 Không gian lồi địa phương E khả metric tách có sở lân cận điểm gốc đếm Tô pô không gian khả metric xác định metric, bất biến phép tịnh tiến Chứng minh Nếu E khả metric dĩ nhiên tách có sở đếm lân cận điểm gốc Ngược lại, giả sử E có sở lân cận đếm Khi đó, lân cận chứa lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn sở (un ) lân cận tuyệt đối lồi Gọi pn hàm cỡ un Đặt ∞ 2−n inf {pn (x) , 1} f (x) = n=1 Thế f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) Hơn nữa, bời E tách nên f (x) = pn (x) = 0, với n x = Đặt d (x, y) = f (x − y) d metric d (x + z, y + z) = d (x, y) Như d bất biến phép tịnh tiến Trong tô pô metric, tập hợp Vn = x : f (x) < 2−n lập thành sở lân cận Nhưng Vn mở tô pô xuất phát pn f liên tục Hơn Vn ⊂ Un x ∈ / Un pn (x) ≥ , f (x) ≥ 2−n Thành thử d xác định tô pô xuất phát E Định nghĩa 1.1.5 Một phiếm hàm tuyến tính ϕ (x) (trong không gian thực hay phức) sơ chuẩn ϕ (αx) = |α| ϕ (x) với x ∈ X số α ∈ K Mệnh đề 1.1.4 Một hàm p : X → R sơ chuẩn hàm cỡ tập lồi, cân, hút; sơ chuẩn hàm cỡ tập lồi, cân, hút không chứa trọn đường thẳng Chứng minh Nếu B tập lồi, cân, hút hàm cỡ pB 37 Nếu x ∈ Uq x = Drd m + n; m ∈ Uk n ∈ Up r Khi đó, ta có |u (x)| = u Drd m + n r ≤ Drd |u (m)| + |u (n)| r u ∗p ; ≤ Drd u ∗k + r với u ∈ E ′ x ∈ Uq Do u ∗ q ≤ Drd u ∗ k + u r ∗ p; với x ∈ E ′ r > Vậy ∗ q ≤ Drd ∗ k + r ∗ p; với r > Ta có ∗ q ≤ C ∗ k ∗d p 1+d D(1 + d)1+d C= dd Điều chứng tỏ E có tính chất Ω ∗1+d q ≤C ∗ k ∗d p Chương TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH GIÁ TRỊ (DF) - KHÔNG GIAN Trong chương nghiên cứu tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian (đối ngẫu không gian Frechet) Điều tự nhiên (DF) - không gian có dãy vét cạn tập bị chặn, không gian Frechet có dãy nửa chuẩn Phần thứ chương, chứng tỏ tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình điểm gốc không gian đối ngẫu mạnh không gian Frechet có tính chất (DN), với miền giá trị đối ngẫu mạnh không gian Frechet thương siêu phản xạ Kết chứng minh Dineen [9] Soraggi [17] trường hợp vô hướng Tiếp theo khẳng định tính quy không gian H(K, F ) với K tập compact không gian Frechet - Schwartz F (DF) - không gian hạch, khẳng định không gian đầy đủ Việc nghiên cứu tính đầy đủ không gian mầm hàm chỉnh hình thường gặp khó khăn so với việc nghiên cứu tính quy 39 2.1 Không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị không gian đối ngẫu mạnh không gian Frechet thương siêu phản xạ Để chuẩn bị cho việc trình bày kết phát biểu số khái niệm đưa số kết liên quan Định nghĩa 2.1.1 Mọi không gian định chuẩn (DF) - không gian Giới hạn quy nạp dãy (DF) - không gian (DF) không gian dãy (DF) - không gian tựa - đầy đầy Kết sau ta tham khảo phép chứng minh [10, tr.61, Định lý 1] Mệnh đề 2.1.1 Đối ngẫu mạnh không gian lồi địa phương metric (DF) - không gian Định nghĩa 2.1.2 Một không gian lồi địa phương E gọi không gian thương với nửa chuẩn liên tục ρ E E/ ker ρ không gian Banach Một không gian lồi địa phươngE gọi không gian thương siêu phản xạ E không gian thương E/ ker ρ phản xạ với nửa chuẩn liên tục ρ E Khi xem xét không gian mầm chỉnh hình với giá trị (DF) không gian, ý tới kết sau Soraggi [17] Định lý 2.1.1 Cho E không gian Frechet hạch có tính chất (DN) Khi H (OE ∗ ) quy 40 Kết khẳng định Dineen [9, Hệ 2.6] với giả thiết thêm E có sở Schauder điều kiện (DN) cho dạng không gian B-hạch Chúng mở rộng kết cho trường hợp không gian mầm hàm chỉnh hình có miền giá trị đối ngẫu không gian Frechet thương siêu phản xạ Định lý sau để thấy tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình giá trị Frechet, điều kiện ràng buộc chủ yếu không gian miền giá trị Nhưng đây, miền giá trị đối ngẫu Frechet điều kiện tương tự lại đặt không gian miền xác định Cụ thể ta có: Định lý 2.1.2 Cho E không gian Frechet hạch với sở Schauder Nếu E có tính chất (DN) F không gian Frechet thương siêu phản xạ H (OE ∗ , F ∗ ) = lim ind∗ [H (U, F ∗) ; τω ] U ց0∈E giới hạn quy nạp quy Trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây: Bổ đề 2.1.1 Cho B không gian Banach không gian Banach A {Tα }α∈I họ ánh xạ tuyến tính liên tục từ B H(E) Khi đó, tồn họ ánh xạ tuyến tính liên tục Tα α∈I từ A vào H(E) cho: Tα |B = Tα với α ∈ I Chứng minh Cho {ej } sở Schauder E Khi phần tử z ∈ E biểu diễn dạng z = zj ej Do phần j≥i 41 tử z đồng với dãy (zj )j≥1 Với α ∈ I, ta viết (1) Tα (x) (z) = m∈M aαm (x) z m aαm (x) = (2πi)n |λ1 |=r1 |λn |=rn Tα (x) (λ1 e1 + + λn en ) dλ +1 n +1 λm λm n m ∈ M = {(m1 , , mn, 0, ) : mj ∈ N} Từ kết Dineen [8], ta suy chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối tập compact E Với m = (m1 , , mn, 0, ) ∈ M α ∈ I, ta chọn bαm ∈ A∗ cho: bαm |B = aαm & bαm = aαm Cho K tập compact giảm modul E; nghĩa là: η = (ηj ) ∈ K z = (zj ) ∈ K, |zj | ≤ |ηj | với j ≥ i Ta chọn dãy δ = (δn )n≥1, δn > với n thỏa mãn: (2) < +∞ n≥1 δn Theo bất đẳng thức tích phân Cauchy hàm nhiều biến, với CK ξ = (ξn )n≥1 ∈ K ta có |aαm (x)| ≤ m , |ξ | CK = sup |Tα (x) (z)| : x ≤ 1; z = α∈I zj ej & |zj | ≤ |ξj | j≥1 Từ ta có: aαm ≤ CK |ξ m | với m = (m1 , , mn, 0, ) Khi với tập compact δK = (δj zj )j≥1 : (zj )j≥1 ∈ K , < +∞ 42 nhận đánh giá sau: aαm ≤ (3) CδK |(δξ)m | với m = (m1 , , mn, 0, ) ∈ M Từ bất đẳng thức (2) (3) ta suy sup |bαm (x)| |ξ m | = m∈M x ≤1 aαm |ξ m | ≤ CδK m∈M m∈M < ∞ δm Như bαm (x) z m Tα (x) = m∈M với α ∈ I, xác định họ ánh xạ tuyến tính liên tục bị chặn Tα α∈I từ A vào H(E) thỏa mãn Tα |B = Tα với α ∈ I Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 2.1.2 Từ giả thiết F không gian thương siêu phản xạ, ta viết F = lim projFn Trong không gian Fn Banach phản xạ ánh xạ ωn+1,n : Fn+1 → Fn toàn ánh Từ bổ đề 2.1.1, ta suy ánh xạ tắc ∗ θn : L (Fn+1 , H (E)) → L (Fn∗ , H (E)) toàn ánh Từ đẳng cấu ∗ H (E, Fn+1) ∼ , H (E)) &H (E, Fn) ∼ = L (Fn+1 = L (Fn∗, H (E)) 43 ta suy [H (E, F ) ; τ0] F ∼ = lim proj [H (E, Fn) ; τ0] Ở ánh xạ Ωn+1,n : H (E, Fn+1) → H (E, Fn) toàn ánh Hơn nữa, với n ≥ ta có: Ω∗n+1,n : [H (E, Fn) ; τ0]∗ → [H (E, Fn+1) ; τ0]∗ đẳng cấu lên ảnh Tiếp tục ta chứng tỏ Ω∗n+1,n ([H (E, Fn) ; τ0]∗ ) đóng [H (E, Fn+1) ; τ0]∗ Thực vậy, cho {Tα } lưới tùy ý [H (E, Fn) ; τ0]∗ cho Ω∗n+1,n (Tα ) hội tụ tới phần tử S Bởi Ω∗n+1,n toàn ánh, nên với g ∈ H (E, Fn) tồn ánh xạ f ∈ H (E, Fn+1) cho Ωn+1,n (f ) = g Ta đặt T (g) − lim Tα Ωn+1,n (f ) với g ∈ H (E, Fn) α Hiển nhiên T ánh xạ tuyến tính ta có: Ω∗n+1,n (T ) (g) = Ω∗n+1,n lim Tα Ωn+1,n (f ) = Ω∗n+1,n lim Tα (g) α α = lim Ω∗n+1,nTα (g) = S (g) α Vậy Ω∗n+1,n (T ) = S Vì E có tính chất (DN), từ Vogt [19] ta suy H (E, Fn) bornological Do để chứng minh T liên tục ta cần chứng tỏ T (B) bị chặn tập bị chặn H (E, Fn) Muốn vậy, lấy tập 44 bị chặn A H (E, Fn+1) cho B = Ωn+1,n (A) Ta để ý Ω∗n+1,n (Tα ) hội tụ tập bị chặn H (E, Fn+1) Đặc biệt Ω∗n+1,n (Tα ) hội tụ tập A Do tồn α0 cho: Tα Ωn+1,n (f ) ≤ M với f ∈ A T (g) − Tα Ωn+1,n (f ) ≤ với g ∈ B α ≥ α0 Do ta có: |T (g)| ≤ M + với g ∈ B Điều chứng tỏ T liên tục H (E, Fn) Ta suy Ω∗n+1,n ([H (E, Fn) ; τ0]∗) đóng [H (E, Fn+1) ; τ0]∗ Bởi [16, Tr 159, Mệnh đề 4] giới hạn quy nạp lim ind[H (E, F ∗) ; τ0]∗ quy Ta có nhận xét tập bị chặn W lim indH (Da , Fn∗) bị chặn lim ind lim indH (Da , Fn∗) , Da đa đĩa mở E ∗ n a Từ đẳng thức ∗ lim ind H a (Da , Fn∗) = lim ind H a (Da ) ⊗ Fn∗ π = lim ind H = lim proj H Da0 ⊗ Fn π ∗ a Da0 ⊗ Fn π = [H (E, Fn)]∗, ta suy W bị chặn lim ind[H (E, Fn) ; τ0]∗ Vậy W bị chặn [H (E, Fn0 ) ; τ0]∗ với n0 Khi đó, tồn lân cận U điểm gốc E ∗ cho W bị chặn H U, Fn∗0 Vậy giới hạn quy nạp lim ind∗ H (U, F ∗) quy U ց0∈E Định lý chứng minh 45 2.2 Không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian hạch Như nhận phần trước (Định lý 2.1.2), khẳng định kết tính quy không gian mầm điểm gốc Việc mở rộng kết cho tập compact chưa biết Khi miền xác định không gian metric, thông thường việc giải vấn đề liên quan đến hàm chỉnh hình có miền xác định miền giá trị loại gặp phải khó khăn so với cặp không gian khác loại Vì vậy, chuyển sang nghiên cứu không gian mầm có miền giá trị miền xác định khác loại với mong muốn thu kết mạnh Định lý cho ta kết khẳng định tính quy không gian mầm tập compact tùy ý không gian Frechet với miền xác định (DF)-không gian Định lý 2.2.1 Cho F (DF) - không gian hạch Khi H (K, F ) = lim ind [H (U, F ) ; τω ] U ⊃K quy đầy đủ với tập compact K không gian Frechet - Schwartz E Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Cho h : U → F ánh xạ chỉnh hình từ tập mở U không gian Frechet E vào (DF) - không gian F Khi với x ∈ U tồn lân cận Vx x cho h (Vx ) tập bị chặn F Chứng minh Giả sử ngược lại rằng, tồn điểm x0 ∈ U cho 46 h không bị chặn lân cận x0 Ta đặt: với n ≥ 1, Bn = x ∈ E : d (x, x0) < n d metric E Khi h (Bn) không bị chặn F Theo giả thiết F (DF) - không gian nên ta chọn hệ tập bị chặn {An } F Từ giả thiết phản chứng, với n ta tìm phần tử xn ∈ Bn cho h (xn) ∈ / An Ta đặt K = {xn}n≥1 ∪ {x0 } Khi K tập compact E h (K) tập bị chặn F Cho nên ta tìm số tự nhiên n0 để h (K) ⊂ An0 , suy h (x0 ) ∈ An0 Điều mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Bổ đề chứng minh xong Bổ đề 2.2.2 Cho F (DF) - không gian hạch U tập mở không gian lồi địa phương E Khi H ∞ (U, F ) không gian Bornological Chứng minh Từ giả thiết F (DF) - không gian hạch, ta viết F dạng F = lim indF (Bn ), F (Bn ) → F (Bn+1) ánh xạ hạch Để ý, ta thấy H ∞ (U, F ) ∼ = H ∞ (U ) ⊗ F Điều lại ta π chứng tỏ lim ind H ∞ (U ) ⊗ F (Bn) ∼ = H ∞ (U ) ⊗ F π π Bởi bổ đề 2.2.1, ta suy ánh xạ tắc lim ind H ∞ (U ) ⊗ F (Bn) → H ∞ (U ) ⊗ F π π song ánh Bây cho Z lân cận đóng lim ind H ∞ (U ) ⊗ F (Bn ) π 47 Khi Z bao hàm lân cận lim ind H ∞ (U ) ⊗ F (Bn ) dạng π ∞ conv (W ⊗ Vn ) , W hình cầu đơn vị H (U ) Bởi n≥1 conv (W ⊗ Vn ) = conv W ⊗ n≥1 nên conv W ⊗ Vn n≥1 ⊆ Z, có nghĩa Z lân cận H ∞ (U ) ⊗ F Vn π n≥1 Vậy H ∞ (U ) ⊗ F ∼ = lim ind H ∞ (U ) ⊗ F (Bn ) π n π H ∞ (U, F ) không gian Bornological Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 2.2.1 Ta viết F = lim ind F (Bn ) F (Bn ) → n F (Bn+1) ánh xạ hạch Từ Bổ đề 2.2.1 2.2.2 ta suy H (K, F ) = lim ind H ∞ (Un, F (Bn )) Un ցK Từ giả thiết, ta thấy ánh xạ tắc H ∞ (Un , F (Bn )) → H ∞ (Un+1, F (Bn+1)) đơn ánh compact Do H(K, F ) quy đầy đủ Định lý chứng minh Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình với giá trị (DF) - không gian đưa số ứng dụng không gian Luận văn đóng góp kết sau: Khẳng định tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình với miền giá trị (DF) - không gian hạch (tương ứng, đối ngẫu không gian Frechet thương siêu phản xạ) tập compact không gian Frechet Schwartz (tương ứng, điểm gốc đối ngẫu không gian Frechet có tính chất (DN)) Tài liệu tham khảo [1] C Bănică and O, Stănăsilă , (1976), Algebraic Methods in the global of complex spaces, John Wiley, London - New York - Sydney Toronto [2] J Bonet, P Domanski, and J Mujica, (1994), "Complete spaces of vectorvalued holomorphic germs", Math Scand , (75), 150 - 160 [3] D T Cap and N V Khue, "On the integral extension of algebras of semiglobal holomorphy and of semiglobally analytic algebras", Rev Roumaine Math, (35), 523 - 529 [4] S B Chae, (1970), "Sur les espaces localement convexes de germes holomorphes", C R Acad Sci,(271) 990 - 991 [5] S B Chae, (1971), Holomorphic germs on Banach spaces, Ann Inst Fourier Grenoble [6] H H Chaefer, (1971), Topological vector Spaces, Springer - Verlag, Berlin - New York [7] S Dineen, (1981), "Complex Analysis in Locally Convex Spaces", North - Holland Mathematics Studies, (57) [8] S Dineen,(1981), "Holomorphic germs on compact subsets of locally convex spaces", Funtional Analysis, Holomorphy and Approximation Theory, Ed S Machado, Springer - Verlag Lecture Notes in Math, (843), 247 - 263 50 [9] S Dineen, (1982), Analytic functionals on fully nuclear spaces, Studia Math [10] A Grothendieck, (1954), "Sur les espaces (F) et (DF)", Summa Brasil Math, (3), 57 - 122 [11] A Hirschowitz, (1970), Bornologie des espaces de functions analytiques en dimension infinie, Séminaire Lelong, Springer - Verlag, Lecture Notes in Math [12] A.Matineau, (1963), Sur les fonctionnelles analytiques et la transformation de Fourier - Borel, J Anal Math [13] A Matineau, (1966), Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes, Math Ann, (163), 62 - 88 [14] J Mujica, (1979), Spaces of germs of holomorphic functions, Studies in analysis Advances in Mathematics, Sup Studies [15] Ph Noverraz, (1973), Pseudo - convexité, concexité polinomiale et domains d’holomorphie en dimension infinie, North - Holland Publ, Amsterdam [16] A P Roberson and W.Roberson, (1964), Topological Vector Spaces, Cambridge University Press [17] R L Soraggi, (1986), Holomorphic germs on certain locally convex spaces, Ann Math Pura et App [18] D Vogt, (1984), "Some results on continuous linear maps between Frechet spaces", in Funtional Analysis: Surveys and Recent Results, 51 K D Bierstedt, B Fuchsstiener (Eds.), North - Holland Math Studies, (90), 349 - 381 [19] D Vogt, (1992), Regularity properties of (LF) - spaces, Progress in Functional Analysis, K D Bierstedt, J Bonet, J Horvath and M Maestre (Eds), Elsevier Science Publishers, 57 - 84