BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== PHẠM THỊ PHƯỢNG GIÁ TRỊ CỦA HÀM ZETA RIEMANN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Thị Phượng i Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Tôi xin cam đoan luận văn “Giá trị hàm zeta Riemann” không trùng với luận văn khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Thị Phượng ii Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Xây dựng tập hợp số phức 1.1.2 Một số khái niệm topo mặt phẳng phức 1.1.3 Hàm chỉnh hình 1.1.4 Chuỗi lũy thừa 1.1.5 Tích phân phức 12 1.1.6 Không điểm, cực điểm 22 1.1.7 Thặng dư hàm biến phức 26 Hàm gamma 31 Một số vấn đề giá trị hàm zeta Riemann 2.1 37 Hàm zeta Riemann 37 2.1.1 Khái niệm hàm zeta Riemann 37 2.1.2 Một số công thức biểu diễn khác hàm zeta 2.1.3 Riemann 38 Thác triển hàm zeta Riemann 40 iii 2.2 2.3 Vấn đề giá trị hàm zeta Riemann điểm nguyên dương chẵn 46 2.2.1 Biểu diễn gốc số Bernoulli 46 2.2.2 Biểu diễn số Bernoulli từ hàm giải tích 48 2.2.3 Đa thức Bernoulli 51 2.2.4 Một số tính chất đa thức Bernoulli 51 2.2.5 Kết Euler 52 2.2.6 Mối quan hệ ζ(k) Bk 53 Giá trị hàm zeta Riemann điểm nguyên dương 55 iv Mở đầu Lý chọn đề tài Hàm zeta Riemann hàm quan trọng có sức hút lớn giới Toán học Nhà toán học L Euler người giới thiệu hàm này, định nghĩa chuỗi ∞ ζ(s) = n=1 ns Chuỗi hội tụ s số phức với Re(s) > Năm 1734, Euler khám phá kiện đáng kinh ngạc, ông tuyên bố xác định tất giá trị ζ(2), ζ(4), ζ(6), Thêm nữa, ông khám phá mối liên hệ đẹp đẽ số nguyên tố với hàm ζ(s) Tuy nhiên, giới Toán học đương thời chưa đánh giá cao kiện Mãi đến năm 1859, qua thác triển hàm lên toàn mặt phẳng phức C trừ s = nhà toán học Riemann, nhà Toán học thực thấy tầm quan trọng vấn đề Thậm chí tới tận ngày nay, việc nghiên cứu hàm zeta Riemann chứa đựng nhiều huyền bí Điều này, ta nói đến việc không điểm tầm thường hàm −2, −4, −6, phân bố không điểm khác mức độ mang tính đoán Đây bảy giả thuyết Riemann, mà đến chưa giải Ngoài vấn đề đây, người ta quan tâm đến việc tính giá trị hàm zeta Riemann, có số phương pháp tính giá trị hàm ζ(2n) Chẳng hạn, ta kể đến phương pháp khai triển chuỗi Fourier, dùng tích vô hạn, dùng số phương trình hàm, dùng thặng dư hàm biến phức Tuy nhiên, việc tính giá trị hàm zeta Riemann với số mũ lẻ ζ(2n + 1) vấn đề nhà Toán học quan tâm chưa có kết đẹp giá trị ζ(2n) Năm 1979, Apéry [1], chứng minh giá trị ζ(2) ζ(3) số vô tỷ Gần năm 2001, Zudilin [8] giá trị ζ(3), ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) số vô tỷ Với mong muốn tìm hiểu sâu giá trị hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ, nên chọn đề tài “Giá trị hàm zeta Riemann” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số vấn đề hàm zeta Riemann Giới thiệu phương pháp tính giá trị hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu giá trị hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trình bày số kết nghiên cứu hàm zeta Riemann số kỹ thuật tính tổng hàm Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu Đóng góp đề tài Trình bày số phương pháp tính giá trị hàm zeta Riemann Đặc biệt, việc tính giá trị hàm số nguyên dương lẻ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Số phức mặt phẳng phức Xây dựng tập hợp số phức Số phức số có dạng z = x + iy, với x, y ∈ R với i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, ký hiệu x = Rez; y = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C → R2 z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ); z1 z2 =(x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) =x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 =(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ) Với số phức z = x + iy, ta xác định modul số phức z giá trị |z| = x2 + y Số phức liên hợp số phức z = x + iy ký hiệu xác định z¯ = x − iy Không khó khăn, ta kiểm tra mối liên hệ Rez = z + z¯ z − z¯ , Imz = 2i z¯ z¯ = , = , với z = z |z| z |z| Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiθ ; với r > 0, θ ∈ R Trong r modul θ gọi argument số phức z ký hiệu argz (argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2π) Argument số phức z thỏa mãn ≤ argz < 2π gọi argument chính, ký hiệu phz Ta có eiθ = cosθ + i sin θ Bởi eiθ = 1, nên r = |z| θ góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý z = r.eiθ w = s.eiϕ z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.1.2 Một số khái niệm topo mặt phẳng phức Cho z0 ∈ C r > Ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r tập hợp Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} ; đĩa đóng tâm z0 bán kính r tập hợp Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} Biên đĩa đóng mở đường tròn Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} Đĩa mở có tâm z0 = bán kính r = gọi đĩa đơn vị, ký hiệu Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} Cho tập Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω gọi điểm Ω tồn r > cho Dr (z0 ) ⊂ Ω Phần Ω kí hiệu intΩ gồm tất điểm Ω Tập Ω tập mở điểm điểm Tập Ω gọi tập đóng phần bù C\Ω mở Điểm z ∈ C gọi điểm giới hạn tập Ω tồn dãy điểm zn ∈ Ω cho zn = z lim zn = z Chúng ta kiểm tra n→∞ hảo việc xác định số Bernoulli Khai triển chuỗi luỹ thừa hàm 2πiz = e2πiz − ∞ j=0 Bj (2πiz)j ; j! hệ số Bj (số Bernoulli) thoả mãn hệ thức  B0 = 1;  n+1    B0 +  n+1    B1 + · · · +  n+1 n   Bn = 0; số Bernoulli với số lẻ, trừ số B1 = − , z Thật vậy, sử dụng khai triển hàm e 2πiz 2πiz = = e2πiz − 2πiz (2πiz)2 (2πiz)3 + + + ··· 1! 2! 3! 2πiz ∞ (2πiz)r r! r=1 Từ đó, nhận đồng thức ∞ j=0 Do ∞ j=0 Bj (2πiz)j = j! Bj (2πiz)j j! ∞ r=1 2πiz ∞ (2πiz)r r! r=1 (2πiz)r r! = 2πiz Thực phép nhân hai chuỗi ta nhận 2πiz = B0 (2πiz) + + B1 B0 + (2πiz)2 2!.0! 1!.1! B0 B1 B2 + + (2πiz)3 3!.0! 2!.1! 1!.2! 49 + B0 B1 B2 B3 + + + (2πiz)4 + · · · 4!.0! 3!.1! 2!.2! 1!.3! Đồng hai vế đẳng thức ta nhận kết Tiếp theo, sử dụng đẳng thức 2πiz 2πiz − = −2πiz; e2πiz − e−2πiz − thay khai triển hàm B0 + 2πiz phần có e2πiz − B1 B2 B3 (2πiz) + (2πiz)2 + (2πiz)3 + · · · 1! 2! 3! = −2πiz + B0 + B2 B3 B1 (−2πiz) + (−2πiz)2 + (−2πiz)3 + · · · 1! 2! 3! Thực việc giản ước số hạng xếp theo luỹ thừa tăng (2πiz) nhận B1 (2πiz) + B3 B5 (2πiz)3 + (2πiz)5 + · · · = −2πiz 3! 5! Đồng hai vế đẳng thức ta nhận B1 = − ; B3 = B5 = B7 = = Sử dụng hệ thức  B0 = 1;  n+1    B0 +  n+1    B1 + · · · +  tính hệ số khai triển 1 B0 = 1; B1 = − ; B2 = ; 50 n+1 n   Bn = 0; 2.2.3 Đa thức Bernoulli Đa thức Bernoulli xác định qua số Bernoulli sau k Bk (x) =   j=0 k j   Bj xk−j ; khai triển hàm giải tích zexz = ez − ∞ k=0 Bk (x) k z ; với |z| < 2π k! (2.10) Không khó khăn lắm, ta chứng minh đa thức Bernoulli có mối quan hệ truy hồi đẹp đẽ sau Bk (x + 1) − Bk (x) = kxk−1 ; k ≥ 1; Bk (0) = Bk (1); k ≥ Từ định nghĩa số Bernoulli đa thức Bernoulli (2.10) ta nhận đồng thức Bk = Bk (0); với k ≥ Từ đồng thức này, ta thấy tổng Sk (n) công thức (2.9) biểu diễn qua số hạng đa thức Bernoulli sau Sk (n) = 2.2.4 Bk+1 (n) − Bk+1 Bk+1 (n) − Bk+1 (0) Bk+1 (n) − Bk+1 (1) = = k+1 k+1 k+1 Một số tính chất đa thức Bernoulli Từ định nghĩa, ta dễ dàng nhận số tính chất đa thức Bernoulli 51 (i) B0 (x) = 1; (ii) d Bk (x) = kBk−1 (x); k ≥ 1; dx Bk (x)dx = 0; k ≥ (iii) Từ số kết số Bernoulli đa thức Bernoulli, ta giới thiệu kết Euler việc tính tổng hàm zeta Riemann điểm nguyên chẵn 2.2.5 Kết Euler Sau số năm nghiên cứu trao đổi với nhà toán học đương thời, năm 1734 Leonhard Euler công bố kết bất ngờ việc đưa công thức tính giá trị hàm ζ(2n) Về mặt ta giới thiệu trình bày kết Euler sau Với z ∈ C mà |z| < π ta có ∞ cos z z2 z cot z = z =1−2 sin z n2 π − z n=1 ∞ =1−2 n=1 ∞ =1−2 n=1 ∞ z2 n2 π z2 n2 π ∞ =1−2 n=1 52 k=0 1− ∞ k=0 z nπ z nπ n2k+2 2k z 2k+2 π 2k+2 ∞ ∞ n=1 k=1 =1−2 n2k z 2k π 2k Ngoài ra, sử dụng dạng khai triển khác hàm sau eiz + e−iz 2iz cos z z cot z = z = iz iz = iz + =1+ sin z e − e−iz e2iz − ∞ k=2 (2iz)k Bk ; k! Bk số Bernoulli So sánh hệ số lũy thừa z k hai công thức trên, ta thu biểu diễn tiếng sau ζ(2k) = (−1) 2k k+1 (2π) 2(2k)! B2k Từ công thức này, ta nhận giá trị hàm zeta Riemann số nguyên chẵn ζ(2) = 2.2.6 π2 π4 π6 π8 ; ζ(4) = ; ζ(6) = ; ζ(8) = ; 945 9450 Mối quan hệ ζ(k) Bk Để giới thiệu mối quan hệ hai giá trị trên, trước cách thay cách hình thức giá trị s = 0; −1; −2; vào công thức (2.1) dĩ nhiên bỏ qua tính phân kỳ hàm ζ(s) ta nhận 1 + + + = ζ(0) = − ; + + + = ζ(−1) = − ; 12 12 + 22 + 32 + = ζ(−2) = 0; 53 1k + 2k + 3k + = ζ(−k) = − Bk+1 k+1 Về mối quan hệ hàm ζ(k) số Bk số nhà Toán học nghiên cứu đến Ở đây, giới thiệu số kết thiết lập [10] Bằng việc thay biến nguyên dương n biến thực x hàm tương ứng xét khả tích đoạn [0, 1] nên ta có 1 (x − 1)dx = − = ζ(0); + + = n − ❀ x − ❀ + + (n − 1) = x(x − 1) n(n − 1) ❀ 2 ❀ x(x − 1) dx = − = ζ(−1); 12 12 + + (n − 1)2 = n(n − 1)(2n − 1) ❀ x(x − 1)(2x − 1) x(x − 1)(2x − 1) dx = = ζ(−2); Sk (n) = 1k + +(n − 1)k ❀ Sk (x) ❀ Sk (x)dx = − 54 Bk+1 = ζ(−k) k+1 2.3 Giá trị hàm zeta Riemann điểm nguyên dương Một khám phá đánh giá ngoạn mục hàm zeta Riemann việc tính giá trị ζ(2n + 1) chứng minh R Apéry vào năm 1978 ζ(3) số vô tỷ Ta giới thiệu cách khái quát kết sau (chi tiết ta tham khảo [1]) Để nhận đươc kết này, Apéry đưa công thức biểu diễn khác giá trị ζ(3) dạng chuỗi hữu tỷ hội tụ với tốc độ đủ nhanh sau ∞ ζ(3) = k=1 = k3 ∞ k=1 (−1)k   2k  k3  k (2.11) Sử dụng kết lý thuyết số “Nếu chuỗi số hữu tỷ hội tụ đủ nhanh, tổng chuỗi số vô tỷ” Chuỗi vế phải công thức biểu diễn (2.11) thỏa mãn giả thiết định lý Từ đó, Apéry đạt kết việc khẳng định ζ(3) số vô tỷ Dạng tương tự với công thức Euler tìm trước hai giá trị sau ∞ ζ(2) = k=1 =3 k2 55 ∞ k=1 (−1)k  ; 2k  k2  k ∞ ζ(4) = k=1 36 = k4 17 ∞ k=1 (−1)k   2k  n4  k Tuy nhiên, chưa có công thức biểu diễn cho giá trị khác ζ(n); n = 5, 6, 7, để khẳng định tính vô tỷ chúng Theo hướng nghiên cứu Apéry để khẳng định tính vô tỷ giá trị này, Van der Poorten quan tâm đến khó khăn định (xem [6]) Trong thời gian gần đây, số kết trọng yếu liên quan đến vấn đề thu Tanguy Rivoal số nhà Toán học khác Chúng ta giới thiệu số kết Định lý 2.3.1 (Rivoal 2000 [13]) Có vô hạn giá trị vô tỷ hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ Hơn nữa, N (n) = # số vô tỷ số ζ(3), ζ(5), , ζ(2n + 1), N (n) ≥ C log n với n đủ lớn, C nhận giá trị 2(log + 2) Định lý 2.3.2 (Rivoal 2002 [12]) Ít chín số ζ(5), ζ(7), , ζ(21) số vô tỷ Định lý 2.3.3 (Rivoal 2002 [17]) Ít bốn số ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) số vô tỷ Việc tìm công thức biểu diễn đẹp đẽ giá trị ζ(2n) giá trị ζ(2n + 1) quan tâm nhiều nhà toán học đương thời Mục đích luận văn 56 việc giới thiệu số biểu diễn giá trị ζ(2n) trên, giới thiệu kết gần giá trị hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ Cũng phải nhấn mạnh biểu diễn nằm dạng tích phân Trước hết, cần đến số kết sau Bổ đề 2.3.1 Ta có công thức lượng giác + cos θ + cos(2θ) + + cos(nθ) = sin θ , θ sin n+ sin sin θ + sin(2θ) + + sin(nθ) = θ − cos n+ θ θ sin Chứng minh Ta có (cos θ + cos 2θ + + cos nθ) + i(sin θ + sin 2θ + + sin nθ) = (cos θ + i sin θ) + (cos 2θ + i sin 2θ) + + (cos nθ + i sin nθ) = (cos θ + i sin θ) + (cos θ + i sin θ)2 + + (cos θ + i sin θ)n − (cos θ + i sin θ)n = (cos θ + i sin θ) − (cos θ + i sin θ) (1 − cos nθ) − i sin nθ = (cos θ + i sin θ) (1 − cos θ) − i sin θ [(1 − cos nθ) − i sin nθ] [(1 − cos θ) + i sin θ] (cos θ + i sin θ) = − cos θ 57 θ θ sin − 2 = − θ 4sin2 θ θ θ sin cos + cos n + θ sin − 2 2 +i θ 4sin2 1 θ sin n + θ cos − cos n + θ 2 = − +i θ 2θ sin 2sin 2 −2 sin n + Từ đó, ta nhận công thức bổ đề Tiếp theo giới thiệu hai công thức tiếng xây dựng [5] Việc chứng minh công thức dựa tính chất đa thức Bernoulli giới thiệu phần việc lấy tích phân phần liên tiếp Bổ đề 2.3.2 Ký hiệu Bk (x) đa thức Bernoulli Khi đó, ta có công thức sau (i) trường hợp chẵn 1 (−1)k−1 (2π)2k = j 2k (2k)! B2k (x) cos(2πjx)dx; (2.12) B2k+1 (x) sin(2πjx)dx; (2.13) với j, k = 1, 2, ; (ii) trường hợp lẻ j 2k+1 (−1)k−1 (2π)2k+1 = (2k + 1)! 58 với j = 1, 2, 3, ; k = 0, 1, 2, Các giá trị ζ(n) dạng tích phân Từ công thức (2.12) (2.13) ta thu giá trị hàm zeta Riemann biểu diễn dạng tích phân sau n ζ(2k) = lim n→∞ j=1 n = lim n→∞ j=1 j 2k (−1)k−1 (2π)2k (2k)! (−1)k−1 (2π)2k lim = n→∞ (2k)! (−1)k−1 (2π)2k = lim n→∞ (2k)! n B2k (x) cos(2πjx)dx B2k (x) cos(2πjx)dx j=1 n B2k (x) cos(2πjx)dx j=1 (−1)k−1 (2π)2k = lim n→∞ 2(2k)! B2k (x) sin [(2n + 1)πx] dx sin(πx) k−1 = 2k (−1) (2π) B2k 2(2k)! n ζ(2k + 1) = lim n→∞ j=1 j 2k+1 (−1)k−1 (2π)2k+1 = lim n→∞ (2k + 1)! B2k+1 (x) cos(πx) − cos [(2n + 1)πx] dx sin(πx) (−1)k−1 (2π)2k+1 = 2(2k + 1)! B2k+1 (x) cot(πx)dx 59 Kết luận Luận văn trình bày 02 chương với nội dung sau Chương thứ giành cho việc giới thiệu số kiến thức hàm biến phức: Xây dựng tập hợp số phức; khái niệm hàm chỉnh hình; lý thuyết tích phân Cauchy; thặng dư hàm biến phức Ngoài ra, giới thiệu hàm gamma số tính chất liên quan đến giá trị hàm zeta Riemann Chương thứ hai phần luận văn Trước hết, trình bày số vấn đề hàm zeta Riemann số tính chất quan trọng hàm Mục tiêu giới thiệu số kết gần việc tính giá trị hàm zeta Riemann điểm nguyên dương lẻ lớn Tuy nhiên, biểu diễn giá trị biểu thị dạng tích phân 60 Tài liệu tham khảo [1] R Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 (1979), 11 - 13 [2] B C Berndt, Elementary evaluation of ζ(2n), Mathematics magazine 48 (1975), 148 - 154 [3] D Cvijovíc and J Klinowski, Intergral representations of Riemann zeta function for odd - interger arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics 142 (2002) 435 - 439 [4] K Dilcher, L Skula, and I S Slavutskii, Bernoulli Numbers Bibliography (1713-1990), Queen’s Paper in Pure and Applied Mathematics, 87 Queen’s University, Kingston, ON, 1991 iv+175 pp [5] R Dwilewicz and J Minác, An introduction to relations between the values of ζ(s) in terms of holomorphic functions of two variables, Proceedings of the Hayama Symposium on Several Complex Variables, Japan, Dec 2000 Pages 28 - 38 (2001) [6] R Dwilewicz and J Minác, The Hurwitz zeta function a convergent series, Rocky Mountain J Math 36 (2006), 1191 1219 61 [7] G Everest, C Rottger and T Ward, The continouing story of zeta, The math Intelligencer 31 (2009), 13 - 17 [8] X Gourdon and P Sebah, The Riemann Zeta-funtion ζ(s) : Generalities, Numbers, constants and computation, 2004 [9] K Ireland and M Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Astérisque 61 (1979), 11 - 13 [10] J Minác, A remark on the values of the Riemann zeta function, Exposition Math 12 (1994), no 5, 459 - 462 [11] M R Murty and M Reece, A simple derivation of ζ(1 − BK , Funct Approx Comment Math 28 (2000), 141 K) = − K 154 [12] T Rivoal, Irrationalité d’au moins un des neuf nombres ζ(5), ζ(7), , ζ(21), Acta Arith 103 (2002), no 2, 157 - 167 [13] T Rivoal, La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, C R Acad Sci Paris Sé I Math, 331 (2000), 267-270 [14] T Rivoal, Propriétés diophantinnes des valeurs de la fonction zeeta de Riemann aux entiers impairs, Thèse de Doctorat, Univ de Caen, Caen 2001 [15] E C Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta Function, Claredon Press, Oxford 1986 62 [16] A Van der Poorten, A proof that Euler missed Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3) An informal report, Math Intelligencer (1978/79), no 4, 195 - 203 [17] W Zudilin, One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, (Russian) Uspekhi Mat Nauk 56 (2001), no 4(340), 149 150; translation in Russian Math Surveys 56 (2001), no 4, 774 776 [18] V V Zudilin, Uspekhi Mat Nauk, 56:2 (2001), 215 - 216; English trasl.,Russian Math Survey, 56 (2001), 423 - 424 63 [...]... vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến có sự khác biệt đáng kể Như ta đã thấy hàm f (z) = z¯ không khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ Mối quan hệ giữa hai khái... rời nhau 1.1.3 Hàm chỉnh hình Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω Hàm f (z) được gọi là C−khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức f (z0 + h) − f (z0 ) ; h (1.1) khi h → 0, ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm phức của hàm f (z) tại điểm z0 Như vậy, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) h→0 h f (z0 ) = lim 6 Hàm f được gọi là hàm chỉnh hình... khai triển Laurentz của hàm f trong lân cận R < |z| có dạng ∞ cn z n f (z) = n=−∞ 27 Lấy tích phân từng phần trên γR− ta được res [f, ∞] = c−1 z −1 dz = −2πic−1 f (z)dz = − − γR + γR Hệ quả 1.1.4 Tại điểm khử được z0 ∈ C thặng dư của hàm bằng 0 Khi không biết khai triển Laurentz của hàm f tại một cực điểm z0 nào đó, ta cũng có thể tính thặng dư của hàm tại điểm đó theo phương pháp của định lý sau Định... trong đĩa hội tụ của nó Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng số hạng của nó Một hàm f (z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy ∞ thừa an (z − z0 )n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho n=0 ∞ an (z − z0 )n ; f (z) = n=0 11 với mọi z trong lân cận của điểm z0 Nếu... điểm cấp một của hàm f (z) thì res [f, z0 ] = lim (z − z0 )f (z); z→z0 (ii) nếu z0 là cực điểm cấp một của hàm f (z) = ϕ(z) mà ϕ(z0 ) = ψ(z) 0, ψ(z0 ) = 0, ψ(z0 ) = 0 thì res [f, z0 ] = ϕ(z0 ) ; ψ (z0 ) (iii) nếu z0 là cực điểm cấp m > 1 của hàm f thì res [f, z0 ] = 1 dm−1 lim m−1 [(z − a)m f (z)] (n − 1)! z→z0 dz Chứng minh (i) Giả sử z0 là cực điểm cấp một và khai triển Laurentz của hàm tại lân cận... lượng, bậc của không điểm mô tả mức độ mà tại đó hàm triệt tiêu Bây giờ chúng ta có thể mô tả chính xác các loại điểm kỳ dị qua hàm 1 tại điểm z0 Để tiện lợi, chúng ta định nghĩa lân cận thủng f (z) của điểm z0 là đĩa mở tâm tại z0 trừ ra điểm z0 , đó là tập hợp {z : 0 < |z − z0 | < r} , với r > 0 Lúc này, ta nói z0 là cực điểm của 1 f (z) xác định trong một lân cận thủng của z0 , nếu hàm chỉnh f... cận đầy của z0 và bị triệt tiêu tại z0 24 Như một hệ quả của định lý 1.1.9, chúng ta có Định lý 1.1.10 Nếu f (z) có một cực điểm tại z0 ∈ D, thì trong một lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số nguyên dương k duy nhất sao cho f (z) = h(z) (z − z0 )k Số nguyên dương k trong định lý 1.1.10 được gọi là bậc (hoặc bội ) của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z... ta bắt đầu với một nghiên cứu địa phương các không điểm của hàm chỉnh hình Số phức z0 là không điểm đối với hàm chỉnh hình f nếu f (z0 ) = 0 Đặc biệt thác triển chỉnh hình cho thấy rằng không điểm của hàm chỉnh hình không tầm thường là cô lập Nói cách khác, nếu f là chỉnh hình trong D và f (z0 ) = 0 với z0 ∈ D nào đó thì tồn tại một lân cận mở U của z0 sao cho f (z) = 0 với mọi z ∈ U \ {z0 } , trừ khi...được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, được ¯ Biên của Ω được kí hiệu và xác định bởi ∂Ω = Ω\intΩ ¯ ký hiệu là Ω Tập Ω là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho |z| ≤ M ; với mọi z ∈ Ω Nếu tập Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} Tập Ω được gọi là compact... mũ phức eiz + e−iz eiz − e−iz cosz = và sinz = 2 2 ∞ Định lý 1.1.3 Chuỗi lũy thừa f (z) = an z n xác định một hàm n=0 chỉnh hình trong đĩa hội tụ của nó Đạo hàm của f (z) cũng là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f (z), tức là ∞ nan z n−1 f (z) = n=0 Hơn nữa, f (z) có cùng bán kính hội tụ với f (z) 9 1 Chứng minh Bởi vì lim n n = 1, nên ta có n→∞ 1 1 lim