ĐẠI HỌC THĂNG LONG PHẠM TUẤN KHƯƠNG TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thăng Long - Năm 2015 ĐẠI HỌC THĂNG LONG PHẠM TUẤN KHƯƠNG TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS VŨ HOÀI AN Thăng Long - Năm 2015 Thang Long University Libraty i Mục lục Các kí hiệu Danh mục từ viết tắt ii Mở đầu 1 Tập giá trị hàm số 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Các định lí hàm số liên tục liên quan đến vấn đề nhận giá trị 1.1.2 1.2 Các định lí hàm số khả vi liên quan với vấn đề nhận giá trị 1.1.3 Bài tập áp dụng 10 Các phương pháp xác định tập giá trị hàm số thực 13 1.2.1 Phương pháp thứ ví dụ áp dụng 13 1.2.2 Phương pháp thứ hai ví dụ áp dụng 18 1.2.3 Phương pháp thứ ba ví dụ áp dụng 23 Ứng dụng Tập giá trị hàm số thực vào phương trình, bất phương trình 2.1 2.2 28 Ứng dụng vào phương trình 29 2.1.1 Các phương pháp ứng dụng 29 2.1.2 Ví dụ áp dụng 30 Ứng dụng vào bất phương trình 42 2.2.1 Các phương pháp ứng dụng 43 i 2.2.2 2.3 Ví dụ ứng dụng 43 Bài tập tổng hợp 49 Kết Luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Thang Long University Libraty ii Các kí hiệu • R: Tập số thực • f : Hàm số thực • [a; b]: Đoạn đóng tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • (a;b): Khoảng mở tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • ∀: Với • ∃: Tồn •A B : Hợp hai tập hợp A B •A B :Giao hai tập hợp A B • TXĐ: Tập xác định • SBT: Sự biến thiên • BBT: Bảng biến thiên • CĐ: Cực đại • CT: Cực tiểu • TCĐ: Tiệm cận đứng • TCN: Tiệm cận ngang • GTLN: Giá trị lớn • GTNN: Giá trị nhỏ I MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Trong toán học phổ thông, toán liên quan đến tập giá trị hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình, tìm m để phương trình, bất phương trình có nghiệm, tìm giá trị nhỏ - giá trị lớn hàm số toán khó, toán thường xuất đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia, đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học đề thi học sinh giỏi môn toán Vấn đề ngày thu hút quan tâm nhiều học sinh giáo viên trung học phổ thông Tập giá trị hàm số khái niệm Khái niệm liên quan đến vấn đề sau toán học cao cấp Vấn đề A Giả sử A, B hai tập khác rỗng, f ánh xạ từ A đến B b ∈ B Khi đó, f có nhận giá trị b? Chú ý rằng, Vấn đề A phát biểu theo ngôn ngữ phương trình sau: Vấn đề B Giả sử A, B hai tập khác rỗng, f ánh xạ từ A đến B b ∈ B Khi đó, phương trình f (x) = b có nghiệm A? Đối với toán học phổ thông, ta thường gặp vấn đề sau: Vấn đề C Cho bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số m Tìm m để bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình Thang Long University Libraty thỏa mãn điều kiện nghiệm Vấn đề B, Vấn đề C thường xuyên xuất Báo Toán học Tuổi trẻ, đề thi tốt nghiệp phổ thông, đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi môn toán, tài liệu toán nâng cao dành cho học sinh, giáo viên toán trung học sở, trung học phổ thông Đối với hàm số thực toán học cao cấp, [1], Nguyễn Văn Khuê - Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang đề cập đến vấn đề nhận giá trị, xác định tập giá trị thông qua định lý hàm liên tục hàm khả vi Các định lý sở để giải Vấn đề B, Vấn đề C Quy trình giải Vấn đề C gồm bước: - Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định A phù hợp với bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình - Bước Xác định f (A) - Bước Cho b ∈ f (A) Quy trình giải Vấn đề C gồm bước: - Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định A phù hợp với bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình - Bước Xác định f (A) - Bước Cho Cho m ∈ f (A) Chú ý rằng, Bước 1, nhiều phải đặt ẩn phụ Khi đó, cần tìm điều kiện cho ẩn phụ thông qua việc tìm tập giá trị hàm số Với cách tiếp cận đây, thấy rằng: Trong toán học phổ thông, vấn đề phương trình với ẩn số thực gắn kết với vấn đề hàm số thực góc độ Lý thuyết phân bố giá trị Theo hướng tiếp cận đây, luận văn nhằm nghiên cứu vấn đề: Tập giá trị hàm số Ứng dụng Đây vấn đề Toán học sơ cấp Mục đích nghiên cứu Luận văn tổng hợp trình bày định lý hàm số thực liên quan đến Tập giá trị nó; tổng hợp trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số thực toán học phổ thông ứng dụng vào phương trình, bất phương trình Luận văn tài liệu tham khảo, tài liệu ôn tập, ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông dành cho học sinh trung học phổ thông, giáo viên toán trung học phổ thông, trung học sở, học viên cao học chuyên ngành Phương phápToán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: - Tập giá trị hàm số thực toán học phổ thông Đối tượng nghiên cứu luận văn là: - Ứng dụng Tập giá trị hàm số thực toán học phổ thông vào phương trình, bất phương trình Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa giải tích 12, Báo toán học tuổi trẻ, đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học môn toán, tài liệu tham khảo môn toán nâng cao II NỘI DUNG Luận văn chia thành chương với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Tập giá trị hàm số Trong chương nghiên cứu Vấn đề A, Vấn đề B Mục tiêu tổng hợp trình bày định lý hàm số thực liên quan đến Tập giá Thang Long University Libraty trị Tổng hợp trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số hàm số thực toán học phổ thông Chương 2: Ứng dụng Tập giá trị hàm số thực vào phương trình , bất phương trình Trong chương này, nghiên cứu Vấn đề C Mục tiêu tổng hợp trình bày ứng dụng Tập giá trị hàm số hàm số thực toán học phổ thông vào phương trình, bất phương trình Trong trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Vũ Hoài An Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học toán khóa trường Đại học Thăng Long mang đến cho nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Cuối xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thăng Long tạo điều kiện cho học tập môi trường tốt Tuy nhiên hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên chắn trình nghiên cứu không tránh khỏi sai sót, tác giả mong dạy đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả: Phạm Tuấn Khương Chương Tập giá trị hàm số Trước tiên trình bày lại định lý hàm liên tục hàm khả vi [1] Các định lý sở để giải vấn đề nhận giá trị hàm số thực.Tổng hợp trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số hàm số thực toán học phổ thông kèm theo số Ví dụ minh họa 1.1 1.1.1 Hàm số liên tục Các định lí hàm số liên tục liên quan đến vấn đề nhận giá trị Định nghĩa 1.1 Cho hàm f : A −→ R; x0 ∈ A Nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0,sao cho ∀x ∈ A : |x − x0 | < δ : |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói f liên tục điểm x0 Nếu f liên tục điểm x0 ∈ A ta nói f liên tục A Nếu f không liên tục điểm x0 ∈ A ta nói f gián đoạn điểm x0 Nhận xét 1.2 f liên tục x0 với lân cận V f (x0 ) tồn lân cận U x0 cho: f (U ∩ A) ⊂ V Nếu x0 ∈ A điểm cô lập f liên tục x0 Định lý 1.3 Điều kiên cần đủ để f liên tục x0 dãy {xn } ⊂ A mà x −→ x0 lim f (xn ) = f (x0 ) n−→∞ Định lý 1.4 Nếu f g hai hàm xác định A liên tục Thang Long University Libraty 59 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 + Bất phương trình có nghiệm tập A4 * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m m m m 16 108 50 m ∈ R 47 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m 15 + Bất phương trình có nghiệm tập A4 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m 64 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m 225 + Bất phương trình có nghiệm tập A4 m 64 6) Tìm m để bất phương trình fi (x) m m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3,4 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 + Bất phương trình có nghiệm tập A4 * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m m m m m −4 −4 −4 −6 Thang Long University Libraty 60 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ R + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm tập A4 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm tập A4 m 7) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3,4 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m −4 + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m −4 + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A4 m −4 * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m −6 + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A4 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A4 m 8) Tìm m để bất phương trình fi (x) ∀x tập Aj với j = 1,2,3,4 m, i = 1, 2, có nghiệm 61 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m tập A2 m tập A3 m tập A4 m tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A4 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m tập A2 m tập A3 m tập A4 m 16 108 50 47 15 64 225 64 9) Tìm m để phương trình fi (x) = m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Phương trình f1 (x) = m có nghiệm [1; 2] m ∈ [0; 16] 13 + Phương trình f1 (x) = m có nghiệm [1; 2] m ∈ ; + Phương trình f1 (x) = m có nghiệm [1; 2] m ∈ [0; 9] 10) Tìm m để phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Bất phương trình f1 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f2 (x) m có nghiệm [1; 2] m 16 13 Thang Long University Libraty 62 + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [1; 2] m 11) Tìm m để phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Bất phương trình f1 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f2 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [1; 2] m 12) Tìm m để phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Bất phương trình f1 (x) m có nghiệm ∀x [1; 2] m + Bất phương trình f2 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [1; 2] m 13) Tìm m để phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Bất phương trình f1 (x) m có nghiệm ∀x [1; 2] m 13 + Bất phương trình f2 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [1; 2] m 16 14) Tìm m để phương trình sau fi (x) = m, i = 1, 2, có nghiệm tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số ta 15 f1 (A4 ) = [−4; 50] ; f2 (A4 ) = 3; ; f3 (A4 ) = [0; 64] + Phương trình f1 (x) = m có nghiệm [−4; 50] m ∈ [−20; 132496] 21 327 15 ; m ∈ + Phương trình f2 (x) = m có nghiệm 3; 34 63 + Phương trình f3 (x) = m có nghiệm [0; 64] m ∈ [0; 16769025] 15) Tìm m để bất phương trình sau fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fi (x) , i = 1, 2, ta nhận + Bất phương trình f1 (x) + Bất phương trình f2 (x) + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [−4; 50] m 132496 327 15 m m có nghiệm 3; 34 m có nghiệm [0; 64] m 16769025 16) Tìm m để bất phương trình sau fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fi (x) , i = 1, 2, ta nhận + Bất phương trình f1 (x) + Bất phương trình f2 (x) + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [−4; 50] m −20 15 21 m m có nghiệm 3; m có nghiệm [0; 64] m 17) Tìm m để bất phương trình sau fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fi (x) , i = 1, 2, ta nhận + Bất phương trình f1 (x) m −20 + Bất phương trình f2 (x) 327 34 + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm ∀x [−4; 50] 21 m có nghiệm ∀x [0; 64] m m có nghiệm ∀x 3; m 18) Tìm m để bất phương trình sau fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm Thang Long University Libraty 64 tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fi (x) , i = 1, 2, ta nhận + Bất phương trình f1 (x) m 132496 + Bất phương trình f2 (x) 327 34 + Bất phương trình f3 (x) 16769025 m có nghiệm ∀x [−4; 50] m có nghiệm ∀x 3; 327 34 m Bài tập 2.41 Cho hàm số m có nghiệm ∀x [0; 64] m x+3 ; f3 (x) = x4 − 2x2 + x−1 Các tập A1 = [−1; 3] ; A2 = [0; 4] ; A3 = [3; 5] , A = f3 (sinx − cosx) 1) Khảo sát biến thiên hàm số fi với i = 1,2,3 2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số fi với i = 1,2,3 tập Aj với j = 1,2,3 2sinx + cosx + ) 3) Tìm tập giá trị hàm số f1 ( sinx − 2cosx + 4) Xác định tập A 5) Tìm m để phương trình fi (x) = m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 6) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 7) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 8) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3 9) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3 f1 (x) = x3 − 3x2 ; f2 (x) = Lời giải 65 1) Khảo sát biến thiên hàm số fi với i = 1, 2, * Xét hàm số f1 (x) = x3 − 3x2 - TXĐ: D = R - Sự biến thiên + Chiều biến thiên f1′ (x) = 3x2 − 6x, f1′ (x) = ⇒ x = x = Hàm số đồng biến khoảng (-∞;0) (2;+∞) Hàm số nghịch biến khoảng (0;2) + Cực trị Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y = Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y = −4 + Giới hạn lim f1 (x) = +∞; lim f1 (x) = −∞ x−→+∞ x−→−∞ + Bảng biến thiên x −∞ + f1′ (x) f1 (x) −∞ ✶ ✏✏ ✏✏ 0 ❳❳ +∞ ❳❳❳ ③ ❳ −4 + ✶+∞ ✏ ✏✏ ✏ ✏ x+3 x−1 - TXĐ D = R\ {1} - Sự biến thiên + Chiều biến thiên: f2 ′ (x) = * Xét hàm f2 (x) = −4 (x − 1)2 Hàm sô NB (−∞; 1) (1; +∞) + Cực trị Hàm số cực trị + Giới hạn lim f2 (x) = 1; lim f2 (x) = x−→+∞ x−→−∞ Thang Long University Libraty 66 lim f2 (x) = −∞; lim+ f2 (x) = +∞ x→1 ⇒ TCN:y = 1; TCĐ:x = x→1− x −∞ - f1′ (x) f1 (x) €€ € +∞ - €€ q € +∞€€ −∞ €€ € €€ q * Xét hàm f3 (x) = x4 − 2x2 + - TXĐ :D = R - Sự biến thiên + Chiều biến thiên f3′ (x) = 4x3 − 4x, f3′ (x) = ⇒ x = −1 x = x = Hàm số NB khoảng (-∞;-1) (0;1) Hàm số ĐB khoảng (-1;0)và (1;+∞) + Cực trị Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y = Hàm số đạt cực tiểu x = ±1 ⇒ y = + Giới hạn: lim f3 (x) = +∞; lim f3 (x) = −∞ x−→−∞ x−→+∞ + Bảng biến thiên x - f3′ (x) f3 (x) -1 −∞ +∞ ❳ ❳❳ ③ ❳ + - +∞ + +∞ ✿ ❳❳❳ ✘ ✘ ✿ ✘ ✘ ❳③ ✘✘✘ ❳ ✘✘ 2) Tìm GTLN;GTNN hàm số fi với i = 1, 2, tập Aj với j = 1, 2, * Xét với hàm f1 (x) = x3 − 3x2 67 Dựa vào BBT ta có kết luận sau: + Trên tập A1 = [−1; 3] ta có max f1 (x) = f1 (0) = f1 (3) = 0; f1 (x) = f1 (3) = f1 (−1) = −4 + Trên tập A2 = [0; 4] ta có max f1 (x) = f1 (2) = 16; f1 (x) = f1 (0) = −4 + Trên tập A3 = [3; 5] ta có max f1 (x) = f1 (5) = 50; f1 (x) = f1 (3) = x+3 x−1 Dựa vào BBT ta có kết luận sau + Trên tập A1 = [−1; 3] giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f2 (x) + Trên tập A2 = [0; 4] giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f2 (x) + Trên tập A3 = [3; 5] ta có max f2 (x) = f2 (3) = 3; f2 (x) = f2 (5) = * Xét với hàm f2 (x) = * Xét với hàm f3 (x) = x4 − 2x2 + + Trên tập A1 = [−1; 3] ta có max f3 (x) = f3 (3) = 13; f3 (x) = f3 (±1) = + Trên tập A2 = [0; 4] ta có max f3 (x) = f3 (4) = 36; f3 (x) = f3 (1) = + Trên tập A3 = [3; 5] ta có max f3 (x) = f3 (5) = 79; f3 (x) = f3 (3) = 13 3) Tìm tập giá trị hàm số f1 sin x + cos x + sin x − cos x + Theo kết phần trước ta có tập giá trị hàm số g (x) = 2sinx + cosx + sinx − 2cosx + T = − ; Dựa vào BBT hàm số tập T ta có tập giá trị hàm f1 [−4; 0] Thang Long University Libraty 68 4) Xác định tập A √ √ Đặt t = cosx − sinx với − ≤ t ≤ √ √ Khi :A = f3 (t) với − ≤ t ≤ √ Dựa vào bảng biến thiên hàm y = f3 (x) ta A = −6 − 2; 5) Tìm m để phương trình fi (x) = m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 * Xét phương trình f1 (x) = m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Phương trình có nghiệm tập A1 m ∈ [−4; 0] + Phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ [−4; 16] + Phương trình có nghiệm tập A3 m ∈ [0; 50] * Xét phương trình f2 (x) = m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Phương trình có nghiệm tập A1 m ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞) + Phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ (−∞; −3]∪ ; +∞ + Phương trình có nghiệm tập A3 m ∈ [2; 3] * Xét phương trình f3 (x) = m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Phương trình có nghiệm tập A1 m ∈ [3; 13] + Phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ [3; 36] + Phương trình có nghiệm tập A3 m ∈ [13; 79] 6) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m 16 50 69 * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 7) Tìm m để bất phương trình fi (x) m ∈ R m ∈ R m m 13 36 79 m m m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m −4 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m −4 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m ∈ R + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ R + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m 13 8) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3 * Xét bất phương trình f1 (x) m Thang Long University Libraty 70 Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x −4 −4 * Xét bất phương trình f2 (x) 9) Tìm m để bất phương trình fi (x) tập A3 m tập A1 m 3 13 tập A2 m tập A3 m m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m Kết luận chương 16 50 13 36 79 71 Trong Chương 2, trình bày phương pháp ứng dụng tập xác định hàm số xác định hàm-tập ví dụ minh họa Cụ thể là: Các phương pháp ứng dụng vào phương trình Các phương pháp ứng dụng vào bất phương trình Thang Long University Libraty 72 Kết luận Luận văn Trong luận văn, trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số thực ứng dụng vào phương trình, bất phương trình Cụ thể I Đối với phương trình Phương Pháp thứ nhất: Dùng định nghĩa để tìm tập giả trị hàm số thực Phương pháp thứ hai: Dùng bảng biến thiên để tìm tìm tập giả trị hàm số thực Phương pháp thứ ba: Dùng định nghĩa bảng biến thiên để tìm tập giả trị hàm số thực II.Đối với bất phương trình Các phương pháp ứng dụng vào phương trình Các phương pháp ứng dụng vào bất phương trình Luận văn sau hoàn thành em hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên THPT cho học sinh trình dạy học nhà trường Dự kiến sau hoàn thành luận văn em tiếp tục nghiên cứu Vấn đề 1, hợp hàm số 73 Tài liệu tham khảo 1.Vũ Hoài An, Giới thiệu Lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình phức p-adic, Bài giảng 2.Nguyễn Văn Khuê - Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang, Toán cao cấp-Tập I(A1 ) - Giải tích biến, Nhà xuất Giáo Dục-1997 3.Toán học & Tuổi Trẻ (9-2012), số 423, Nhà xuất Giáo Dục 4.Toán học & Tuổi Trẻ (10-2012),số 424, Nhà xuất Giáo Dục 5.Toán học & Tuổi Trẻ (10-2011), số 1, Nhà xuất Giáo Dục 6.Toán học & Tuổi Trẻ (8-2012), số 422, Nhà xuất Giáo Dục Đề thi Đại học - Môn toán(2000-2014), Bộ Dục Đào Tạo Đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông - Môn toán (2000-2014), Bộ Dục Đào Tạo Lê Hồng Đức - Đào Thiện Khải - Lê Hữu Trí, Đạo hàm Và Ứng Dụng, Nhà xuất Hà Nội Thang Long University Libraty [...]... University Libraty 22 3.Tìm tập giá trị của hàm số fi với i =1,2,3 trên các tập Aj , j = 1, 2, 3, 4 * Xét với hàm f1 (x) = x3 + 3x2 − 4 1 + Trên tập A1 = −3; − ta có tập giá trị của hàm f1 (x) là [−4; 0] 2 + Trên tập A2 = [−2; 2] ta có tập giá trị của hàm f1 (x) là [−4; 16] + Trên tập A3 = [1; 4] ta có tập giá trị của hàm f1 (x) là [0; 108] + Trên tập A4 = [0; 3] ta có tập giá trị của hàm f1 (x) là [−4; 50]... với hàm f2 (x) = x+1 1 ta có tập giá trị của hàm f2 (x) là [−6; 14] + Trên tập A1 = −3; − 2 + Trên tập A2 = [−2; 2] ta có tập giá trị của hàm f2 (x) là (−∞; −5] ∪ [3; +∞) 47 + Trên tập A3 = [1; 4] ta có tập giá trị của hàm f2 (x) là 4; 5 15 + Trên tập A4 = [0; 3] ta có tập giá trị của hàm f2 (x) là 3; 2 * Xét với hàm f3 (x) = x4 − 2x2 + 1 1 ta có tập giá trị của hàm f3 (x) là [0; 64] + Trên tập A1... D Từ Định lí 2.1 và các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số ta có: Ba phương pháp ứng dụng đối với phương trình f (x) = m và f (g(x)) = m, ∀x ∈ D, trong đó D là tập con của R - Phương pháp thứ nhất: Dùng Định lí 2.1 và phương pháp thứ nhất của vấn đề tìm tập giá trị của hàm số - Phương pháp thứ hai: Dùng Định lí 2.1 và phương pháp thứ hai của vấn đề tìm tập giá trị của hàm số - Phương pháp... nghĩa, bảng biến thiên và các định lí về hàm liên tục để tìm tập giá trị của hàm số thực Thang Long University Libraty 28 Chương 2 Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực vào phương trình, bất phương trình Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tổng hợp và trình bày các ứng dụng Tập giá trị của hàm số của hàm số thực trong toán học phổ thông vào phương trình, bất phương trình.Cụ thể là xét phương trình, bất... g◦ f trên B là [−4; −3] Sau đây chúng tôi nêu một số phương pháp xác định tập giá trị của hàm số thực 1.2 1.2.1 Các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số thực Phương pháp thứ nhất và ví dụ áp dụng Trong phương pháp này ta dùng định nghĩa và các định lí về hàm liên tục để tìm tập giá trị của hàm số thực Trước tiên ta nhắc lại điều kiện có nghiệm của phương trình a cos x + b sin x = c; a2 + b2 >... + Trên tập A2 = [0; 4] ta có max f1 (x) = f1 (4) = 16; min f1 (x) = f1 (0) = −4 + Trên tập A3 = [3; 5] ta có max f1 (x) = f1 (5) = 50; min f1 (x) = f1 (3) = 0 x+3 x−1 Dựa vào BBT ta có các kết luận sau + Trên tập A1 = [−1; 3] không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số f2 (x) + Trên tập A2 = [0; 4] không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số f2 (x) + Trên tập A3 =... có tập giá trị của hàm số g (x) = sinx − 2cosx + 3 1 là T = − ; 2 2 Dựa vào BBT của hàm số trên tập T ta có y thuộc tập [−4; 0] 27 4) Xác định các tập A √ √ Đặt t = cosx + sinx với − 2 ≤ t ≤ 2 √ √ Khi đó :A = f3 (t) với − 2 ≤ t ≤ 2 √ Dựa vào bảng biến thiên của hàm y = f3 (x) ta được A = −6 − 2 2; 0 Kết luận chương 1 Trong Chương I chúng tôi đã trình bày ba phương pháp tìm tập giá trị của hàm số. .. áp dụng, cụ thể là: Phương pháp thứ nhất: Trong phương pháp này ta dùng định nghĩa và các định lí về hàm liên tục để tìm tập giá trị của hàm số thực Phương pháp thứ hai:Trong phương pháp này ta dùng bảng biến thiên và các định lí về hàm liên tục để tìm tập giá trị của hàm số thực Phương pháp thứ ba:Trong phương pháp này ta dùng định nghĩa, bảng biến thiên và các định lí về hàm liên tục để tìm tập giá. .. biến thiên của các hàm số fi , i = 1, 2, 3 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm fi , i = 1, 2, 3 trên Aj với j = 1, 2, 3, 4 3.Tìm tập giá trị của hàm số fi , i = 1, 2, 3 trên Aj với j = 1, 2, 3, 4 Lời giải * Xét hàm f1 (x) - TXĐ:D = R - Sự biến thiên + Chiều biến thiên f1′ (x) = 3x2 + 6x, f1′ (x) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = −2 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (0;+∞) Hàm số nghịch... 2x2 + 1 1 ta có tập giá trị của hàm f3 (x) là [0; 64] + Trên tập A1 = −3; − 2 + Trên tập A2 = [−2; 2] ta có tập giá trị của hàm f3 (x) là [0; 9] + Trên tập A3 = [1; 4] ta có tập giá trị của hàm f3 (x) là [0; 225] + Trên tập A4 = [0; 3] ta có tập giá trị của hàm f3 (x) là [0; 64] Ví dụ 1.24 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau:f (x) = sinx.cos3 x, 0 x π 2 Lời giải Ta có f 2 (x) = sin2 xcos6 x = 1 − cos2