BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - TRẦN ĐÌNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2016 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ …… ….***………… TRẦN ĐÌNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS ĐẶNG QUANG Á Hà Nội – 2016 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TS Đặng Quang Á Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, trung thực chưa công bố công trình khác, kết thực nghiệm kiểm tra chương trình thiết kế kiểm thử môi trường Matlab, số liệu hoàn toàn trung thực Những kết viết chung với Thầy hướng dẫn đồng ý đưa vào luận án Nghiên cứu sinh Trần Đình Hùng i LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS TS Đặng Quang Á Tôi vô biết ơn giúp đỡ tận tình, quí báu mà Thầy dành cho suốt trình thực luận án Thầy dành cho nhiều quan tâm, dẫn động viên giúp cảm thấy tự tin hơn, vượt qua khó khăn, vất vả suốt trình nghiên cứu Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp với hướng dẫn, bảo nhiệt tình Thầy công việc nghiên cứu, hoàn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy cán nghiên cứu Viện Công nghệ thông tin Trong thời gian qua, Viện CNTT tạo cho môi trường làm việc thuận lợi thường xuyên có lời động viên, nhắc nhở giúp thực tốt công việc nghiên cứu đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán toàn thể giáo viên khoa, bạn bè đồng nghiệp, đến gia đình người thân động viên khuyến khích, giúp đỡ suốt trình nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu ABC Điều kiện biên nhân tạo (Artificial Boundary Condition) NRBC Điều kiện biên không phản xạ (Non-Reflecting Boundary Condition) UG Lưới (Uniform Grid) Lr Lưới không với bước lưới tăng dần xi+1 = xi + hi+1 , i = 0, 1, , hi+1 = rhi , i = 1, 2, , r > HG Lưới tựa hyperbol (Hyperbolic Grid) LG Lưới tựa logarithm (Logarithmic Grid) TG Lưới tựa tangent (Tangential Grid) ¯ h ¯ Bước lưới nhỏ lưới không h = minhi h Bước lưới lớn lưới không h = maxhi error Sai số ∆ Toán tử Laplace S Ma trận (sij )M −1 , sij = Λ Ma trận đường chéo [λ1 , λ2 , , λM −1 ], i≥1 i≥1 M sin ijπ , i, j = 1, 2, , M − M jπ λj = cos M , j = 1, 2, , M − iii Danh sách hình vẽ βi 1−αi 2.1 Đồ thị hàm αi , βi , với h = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 2.1.1 41 2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới với h = 0.1, ε = 0.01, error = 0.0085 Ví dụ 2.1.1 41 2.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.1.2 43 2.4 Đồ thị hàm βi 1−αi lưới với h = 0.1, ε = 0.01, N = 911, error = 0.0084 Ví dụ 2.1.2 44 2.5 Đồ thị hàm βi 1−αi lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N = 50, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.1 50 2.6 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N = 50, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.1 50 2.7 Đồ thị hàm βi 1−αi lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N = 73, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.2 51 2.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N = 73, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.2 51 2.9 Đồ thị hàm βi 1−αi lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N = 89, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.3 52 2.10 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.2.3 53 2.11 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới với N = 160 Ví dụ 2.3.1 57 2.12 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với N = 55 Ví dụ 2.3.1.57 iv 2.13 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới tựa HG với Nq = 55 Ví dụ 2.3.1 58 2.14 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới với N = 258 Ví dụ 2.3.2 59 2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với N = 59 Ví dụ 2.3.2.59 2.16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới tựa HG với Nq = 100 Ví dụ 2.3.2 59 3.1 Các điều kiện biên 62 3.2 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.1.1 73 3.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.1.1 73 3.4 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 ví dụ 3.1.2 74 3.5 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.01, h2 = 0.1, ε = 0.01 ví dụ 3.1.3 75 3.6 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 ví dụ 3.1.4 76 3.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 ví dụ 3.1.4 76 3.8 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, ε = 0.01, N = 70 Ví dụ 3.1.7 81 3.9 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.1.7 82 3.10 Các điều kiện biên hỗn hợp miền 84 (10) 3.11 Đồ thị hàm βi,j (10) 1−αi,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5 Ví dụ 3.2.1.88 v (10) 3.12 Đồ thị hàm βi,j (10) 1−αi,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5, N (10) = 23 Ví dụ 3.2.2 89 3.13 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm 0, 1, , N hàm xấp xỉ ∂u ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = i = 1, 2, với γ1 = 1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 40 Ví dụ 3.2.3 90 3.14 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm 0, 1, , N hàm xấp xỉ ∂u ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = i = 1, 2, với γ1 = 10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 40 Ví dụ 3.2.3 91 3.15 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm 0, 1, , N hàm xấp xỉ ∂u ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = i = 1, 2, với γ1 = 1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 41 Ví dụ 3.2.4 92 3.16 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm 0, 1, , N hàm xấp xỉ ∂u ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = i = 1, 2, với γ1 = 10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 41 Ví dụ 3.2.4 92 3.17 Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−αi,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 3.3.1 100 3.18 Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−αi,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.3.2 101 3.19 Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−αi,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 3.3.3 102 vi Danh sách bảng 1.1 Kết kiểm tra độ xác hàm RC0000.m (Biên Dirichlet) 24 1.2 Kết kiểm tra độ xác hàm RC0001.m (Một biên Neumann) 26 1.3 Kết kiểm tra độ xác hàm RC0002.m (Hai biên Neumann) 27 2.1 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.1.1 41 2.2 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.1.2 42 2.3 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.2.1 49 2.4 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.2.2 51 2.5 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.2.3 52 3.1 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.1 73 3.2 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.2 74 3.3 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.3 75 3.4 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.4 77 3.5 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.5 80 3.6 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.6 81 3.7 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.7 81 3.8 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.2.1 88 3.9 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.2.2 89 vii 3.10 Sự hội tụ phương pháp với γ1 = 1, γ2 = 10 Ví dụ 3.2.390 3.11 Sự hội tụ phương pháp với γ1 = 10, γ2 = Ví dụ 3.2.491 3.12 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.1 100 3.13 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.2 101 3.14 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.3 102 viii h2 0.1 0.1 Bảng 3.12: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.1 ε N1 N0 error 0.1 46 36 0.0039 0.01 58 46 7.6506e-004 (a) Đồ thị hàm βi,j 1−α1 i,j với j = 1, 2, , (b) Đồ thị hàm βi,j 1−α0 i,j t 0.0936 0.1092 với j = 1, 2, , (c) Đồ thị nghiệm xấp xỉ Hình 3.17: Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−α1 i,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 3.3.1 Ví dụ 3.3.2 Chọn b(x) = 1, u = sin y sin[π(1 − y)]e−0.5x Kết hội tụ cho Bảng 3.13 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j nghiệm xấp xỉ cho Hình 3.18 100 βi,j , 1−αi,j h2 0.1 0.1 0.01 Bảng 3.13: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.2 ε N1 N0 error 0.5 45 31 0.029 0.1 49 42 0.0095 0.01 54 51 7.4887e-005 (a) Đồ thị hàm βi,j 1−α1 i,j với j = 1, 2, , (b) Đồ thị hàm βi,j 1−α0 i,j t 0.1872 0.2184 0.4212 với j = 1, 2, , (c) Đồ thị nghiệm xấp xỉ Hình 3.18: Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−α1 i,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.3.2 Ví dụ 3.3.3 Ta lấy b(x) = 1, f = x2 , + y2 + ϕ01 (x) = 0, ϕ02 (x) = 0, ψ0 (y) = 1, ϕ11 (x) = 0, ϕ12 (x) = 0, ψ1 (y) = 101 Trong ví dụ ta chưa biết trước nghiệm xác toán Kết hội tụ cho Bảng 3.14 Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−αi,j i,j nghiệm xấp xỉ cho Hình 3.19 (a) Đồ thị hàm βi,j 1−α1 i,j với j = 1, 2, , (b) Đồ thị hàm βi,j 1−α0 i,j với j = 1, 2, , (c) Đồ thị nghiệm xấp xỉ Hình 3.19: Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−αi,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 3.3.3 Bảng 3.14: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.3 h2 ε N1 N0 t 0.1 0.1 29 24 0.0936 0.1 0.01 42 29 0.1092 0.01 0.01 48 30 0.2184 102 Kết luận chương Trong chương 3, thực giải số số toán hai chiều nửa dải như: xây dựng lược đồ sai phân, xác định ổn định hội tụ phương pháp giải lưới đều, không đều, tựa cho toán elliptic với điều kiện biên Dirichlet Đối với toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, phương pháp chia miền tỏ hữu hiệu giải toán Đối với toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu, toán đưa giải hai toán elliptic cấp hai Trong phương pháp giải toán này, có điểm chung sử dụng ý tưởng Polozhii để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vô hướng ba điểm, từ áp dụng phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Trong chương trình tính toán, thực lưới không Lr với bước lưới tăng dần theo hướng x (vô hạn), qua giảm cỡ N hệ đại số tuyến tính chặt cụt 103 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề xuất nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính giải số toán biên tuyến tính cho phương trình vi phân cấp hai cấp bốn miền không giới nội Các kết luận án bao gồm: Phương pháp hệ vô hạn giải số toán chiều không gian phụ thuộc không phụ thuộc thời gian: toán truyền nhiệt, phương trình dạng phức hợp, cốt lõi cách xác định cắt cụt hệ vô hạn để đảm bảo thu nghiệm gần với sai số cho trước Sử dụng lưới cấu trúc phương pháp hệ vô hạn phương pháp lưới tựa giải toán miền không giới nội Thực nghiệm ví dụ số để so sánh phương pháp hệ vô hạn lưới đều, lưới không với nút lưới tăng dần phương pháp lưới tựa Thiết lập ổn định hội tụ lược đồ sai phân cho phương trình elliptic nửa dải Sử dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vô hướng ba điểm, áp dụng phương pháp hệ vô hạn giải toán thu nghiệm xấp xỉ với sai số cho trước 104 Phương pháp lặp giải toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải có điểm biên vô hạn phân cách loại điều kiện biên Sử dụng phương pháp chia miền đưa toán việc giải hai toán miền giới nội không giới nội Giải gần toán song điều hòa nửa dải thông qua việc phân tích toán gốc thành hai toán elliptic cấp hai nửa dải Hướng phát triển • Nghiên cứu giải toán truyền nhiệt hai chiều có phụ thuộc thời gian nửa dải • Nghiên cứu áp dụng phương pháp trường hợp toán xét dải • Phát triển phương pháp hệ vô hạn giải toán biên với điều kiện biên hỗn hợp, phức tạp khác miền không giới nội • Ứng dụng phương pháp số mô hình toán học vật lý miền không giới nội 105 Danh mục công trình công bố [1 ] Q A Dang and D.H Tran, Method of infinite system of equations for problems in unbounded domains, Journal of Applied Mathematics, Volume 2012, Article ID 584704, 17 pages, doi: 10.1155/2012/584704 [2 ] Q A Dang and D H Tran, Method of infinite systems of equations for solving an elliptic problem in a semistrip, Applied Numerical Mathematics, 87 (2015) 114 - 124 (SCI) [3 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Comparison of the efficiency of some methods for solving problems in unbounded domains, Vietnam Journal of Mathematical Applications, Vol 13, N 1, 2015, 57-72 [4 ] Đặng Quang Á, Trần Đình Hùng, Phương pháp số giải toán biên cho phương trình elliptic nửa dải, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VI, FAIR, NXB KHTN CN, 438-447, 2013 [5 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Numerical solution of a boundary value problem for biharmonic equation in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị quốc tế ứng dụng toán học, VIAMC, NXB thông tin truyền thông, 50-61, 2013 [6 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Domain decompositon method for solving a strongly mixed elliptic boundary value problem in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VII, FAIR, NXB KHTN CN, 119-126, 2014 106 Tài liệu tham khảo [1] A B Alshin and E A Alshina, Numerical solution of initial-boundary value problems for equations of composite type in unbounded domains, Zhurnal Vychislitel’noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol 42, no 12, pp 1796–1803, 2002 [2] X Antoine, A Arnold, C Besse, M Ehrhardt, A Schdle A Review of Transparent and Artificial Boundary Conditions Techniques for Linear and Nonlinear Schr¨dinger Equations, Communications in Como putational Physics, (2008), 729–796 [3] A Bayliss, E Turkel, Radiation boundary conditions for wave-like equations, Communications on Pure and Applied Mathematics, 33 (1980) 707–725 [4] J.P Berenger, A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, Journal of Computational Physics, 114 (1994) 185–200 [5] H.M Berger, A new approach to the analysis of large deflection of plates, Journal of Applied Mechanics, 22 (1955) 465–472 [6] A Coco, G Currenti, C D Negro, G Russo, A Second Order FiniteDifference Ghost-Point Method for Elasticity Problems on Unbounded 107 Domains with Applications to Volcanology, Communications in Computational Physics, 16 (2014), pp 983–1009 [7] T Colonius, Modeling Artificial Boundary Conditions for Compressible Flow Annual Review of Fluid Mechanics, 36 (2004), 315–345 [8] Đặng Quang Á, Bài toán đàn nhiệt đối xứng trục đè hệ đế nóng hình vành vào nửa không gian đàn hồi, Phương pháp Toán-Lý, (1977), 3-20 [9] Q A Dang, Mixed boundary-domain operator in approximate solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Mathematics, vol 26, no 3, pp 243–252, 1998 [10] Q A Dang and M Ehrhardt, Adequate numerical solution of air pollution problems by positive difference schemes on unbounded domains, Mathematical and Computer Modelling, 2006, Vol 44, No 9-10, 834856 [11] Q A Dang, V.L Ngo, Numerical solution of a stationary problem of air pollution, Proceedings of NCST of Vietnam, vol (1994), No 1, 11-23 [12] Q A Dang, D.A Nguyen, On numerical modelling for dispersion of active pollutants from a elevated point source, Vietnam Journal of Math., Vol 24 (1996), No 3, 315-325 [13] Q A Dang and D H Tran, Method of infinite system of equations for problems in unbounded domains, Journal of Applied Mathematics, Volume 2012, Article ID 584704, 17 pages, doi:10.1155/2012/584704 108 [14] Q A Dang and D H Tran, Method of infinite systems of equations for solving an elliptic problem in a semistrip, Applied Numerical Mathematics, 87 (2015) 114 - 124 [15] Đặng Quang Á, Trần Đình Hùng, Phương pháp số giải toán biên cho phương trình elliptic nửa dải, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VI, FAIR, NXB KHTN CN, 438-447, 2013 [16] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Domain decompositon method for solving a strongly mixed elliptic boundary value problem in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VII, FAIR, NXB KHTN CN, 119-126, 2014 [17] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Numerical solution of a boundary value problem for biharmonic equation in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị quốc tế ứng dụng toán học, VIAMC, NXB thông tin truyền thông, 50-61, 2013 [18] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Comparison of the efficiency of some methods for solving problems in unbounded domains, VietNam Journal of Mathematical Applications, Vol 13, N 1, 2015, 57-72 [19] Q A Dang, V Q Vu, Domain decompositon method for solving an elliptic boundary value problem, in book: Method of Complex and Clifford Analysis, SAS International Publications, Delhi, 309-319, 2006 [20] Q A Dang, V Q Vu, A domain decomposition method for strongly mixed boundary value problems for the Poisson equation In : Modeling, simulation and optimization of complex processes Proceedings 109 of the 4th international conference on HPSC, 2009, Hanoi, Vietnam, Springer, pp 65–76 [21] P Dewilde, V Olshevsky, A H Sayed, Special Issue on Structured and Infinite Systems of Linear Equations, Linear Algebra and its Applications 343–344 (2002) 1–4 [22] A.A Dorodnitsin, Method of a small parameter for numerical solution of the problems of mathematical physics, in: O.M Belotserkovski (Ed.), Numerical Methods for Solid Mechanics Problems, Moscow, 1969 [23] D G Duffy, Mixed Boundary Value Problems, Taylor & Francis, 2008 [24] M Ehrhardt, Discrete Artificial Boundary Conditions, Ph.D Thesis, Technische Universit¨t Berlin, 2001 a [25] M Elliotis, G Georgiou, and C Xenophontos, Solving Laplacian problems with boundary singularities: A comparison of a singular function boundary integral method with the p/hp version of the finite element method, Applied Mathematics and Computation, 169 (2005) 485–499 [26] B Engquist, A Majda, Radiation boundary conditions for acoustic and elastic calculations, Communications on Pure and Applied Mathematics, 32 (1979) 313–357 [27] V.I Fabrikant, Mixed Boundary Value Problems of Potential Theory and Their Applications in Engineering, Kluwer Academic Publishers, 1991 110 [28] R Fazio, A Jannelli, Finite difference schemes on quasi-uniform grids for BVPs on infinite intervals, Journal of Computational and Applied Mathematics, 269 (2014) 14–23 [29] G C Georgiou, L G Olson, and Y S Smyrlis, A singular function boundary integral method for the Laplace equation, Communications in Numerical Methods in Engineering, 12 (1996) 127–134 [30] D Givoli, High-order local non-reflecting boundary conditions: a review, Wave Motion 39 (2004) 319–326 [31] A.M Gomilko, A Dirichlet problem for the biharmonic equation in a semi-infinite strip, Journal of Engineering Mathematics 46 (2003) 253–268 [32] M.N Guddati and J.L Tassoulas, Continued-fraction absorbing boundary conditions for the wave equation, Journal of Computational Acoustics, (2000), 139–156 [33] M.N Guddati and K.W Lim, Continued fraction absorbing boundary conditions for convex polygonal domains, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 66 (2008), 949–977 [34] T Hagstrom and T Warburton, A new auxiliary variable formulation of high order local radiation boundary condition: corner compatibility conditions and extensions to first-order systems.Wave Motion, 39 (2004) 327–338 [35] T Hagstrom, A Mar-Or, and D Givoli, High-order local absorbing conditions for the wave equation: Extensions and improvements Journal of Computational Physics, 227 (2008) 3322–3357 111 [36] D W Hahn, M N Ozisik, Heat Conduction, 3th Edition, Wiley, New Jersey, 2012 [37] Trương Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng chương trình RC2009 giải số toán biên elliptic với hệ số số Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 7(69), 63–70, 2010 [38] L Halpern, Artificial boundary conditions for the linear advectiondiffusion equation, Mathematics of Computation, 46 (1986), 425–438 [39] H Han, Z Huang, A class of artificial boundary conditions for heat equation in unbounded domains, Computers and Mathematics with Applications, 43 (2002) 889-900 [40] N N Kalitkin, N O Kuznetsov, and S L Panchenko, The method of quasi-uniform grids in an infinite domain, Doklady Akademii Nauk, vol 374, no 5, pp 598–601, 2000 [41] N N Kalitkin, A B Alshin, E A Alshina, B V Rogov, Computations on quasi-uniform grids, Moskow, Phys.Mat, 2005, 224pp (Russian) [42] L.V Kantorovich, G.P Akilov, Functional Analysis, Higher Education Publishing House, Pergamon Press, 1982, pp 99–103 [43] L.V Kantorovich and Krylov V.I., Approximate methods of Higher Analysis, Phys.-Mat Publ., Moscow, 1962 [44] M N Koleva, Numerical solution of the heat equation in unbounded domains using quasi-uniform grids, in Large-Scale Scientific Computing, I Lirkov, S Margenov, and J Wasniewski, Eds., vol 3743 of 112 Lecture Notes in Comput Sciences, pp 509–517, Springer, Berlin, Germany, 2006 [45] Z C Li, Y L Chan, G Georgiou, and C Xenophontos, Special boundary approximation methods for Laplace’s equation with singularities, Computers and Mathematics with Applications., 51 (2006) 115–142 [46] Z C Li and T.T Lu, Singularities and treatments of elliptic boundary value problems, Mathematical and Computer Modelling, 31 (2000) 97–145 [47] V.V Meleshko, Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem, Applied Mechanics Reviews, vol 56, issue 1, 33–85, 2003 [48] G.N Polozhii, The method of summary representations for numerical solution of problems of mathematical physics, Pergamon Press, 1965 [49] K Rektorys, Variational Methods in Mathematics, Springer, 2nd edition, 2001 [50] A Samarskii, The Theory of Difference Schemes New York: Marcel Dekker, 2001 [51] A Samarskii and Nicolaev E., Numerical methods for grid equations, vol 1: Direct Methods, Birkhauser, Basel, 1989 [52] I Snedon, Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory, Amesterdam, North Holl Pub Com., 1966 [53] S.V Tsynkov, Numerical solution of problems on unbounded domains A review, Applied Numerical Mathematics, 27 (1998), 465–632 113 [54] G.V Turovtsev, An expansion of the solution of Dirichlet boundary value problem for Berger equation, Journal of Computational and Applied Mathematics 193 (2006) 1–9 [55] V Q Vu, The results of using the method of complete reduction for solving elliptic problems with mixed boundary conditions, Proceedings of The National Workshop ”Development of IT tools for teaching, researching and applying mathematics”, Hanoi, 4/2005, 247–256 [56] X Wu, Z Sun, Convergence of difference schemes for heat equation in unbounded domains using artificial boundary conditions, Applied Numerical Mathematics, 50 (2004), 261–277 [57] L Yingzhen, C Minggen, Z Yi, Representation of the exact solution for infinite system of linear equations, Applied Mathematics and Computation, 168 (2005) 636–650 [58] A.I Zadorin and A.V Chekanov, Numerical method for three-point vector difference schemes on infinite interval International Journal of Numerical analysis and modelling, Vol.5 (2008), N 2, 190–205 114