ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI ———————————– LÊ THẾ SẮC ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỌI NGHIỆM GIỚI NỘI CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM LÀ ỔN ĐỊNH MẠNH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Hà Bình Minh Hà Nội - 2011 i Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử đóng không gian Banach 1.2 Phổ toán tử vi phân 1.3 Phổ toán tử vi phân không gian thương 1.3.1 Lớp không gian F + 1.3.2 Không gian thương 1.3.3 Toán tử vi phân cảm sinh không gian thương 1.3.4 Tính chất toán tử vi phân không gian thương Phổ hàm số 1.4.1 Định nghĩa phổ hàm số 1.4.2 Không gian hàm sinh từ phổ hàm số 10 1.4.3 Toán tử vi phân không gian ΛF (X) 10 1.4.4 Điều kiện phổ để hàm số thuộc không gian hàm cho trước 10 1.4 Điều kiện để nghiệm giới nội phương trình vi phân ổn định mạnh 12 2.1 Định nghĩa nghiệm đủ tốt 12 2.2 Tính chất phổ nghiệm đủ tốt 13 2.3 Điều kiện phổ để nghiệm đủ tốt ổn định tiệm cận 17 Điều kiện để nghiệm giới nội phương trình vi phân hàm ổn định mạnh 18 3.1 Định nghĩa nghiệm đủ tốt 18 3.2 Tính chất phổ nghiệm đủ tốt 19 3.3 Điều kiện phổ để nghiệm đủ tốt ổn định tiệm cận 25 Tài liệu tham khảo 26 ii Lời mở đầu Luận văn chia thành chương với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị không gian Banach, lý thuyết phổ lớp hàm số bị chặn nửa đường thẳng Trong chương trình bày phương pháp tiếp cận phổ hàm số đưa báo [7] GS Nguyễn Văn Minh Phương pháp liên quan đến toán tử vi phân d D := không gian hàm BU C(R+ , X) Thông qua kỹ thuật ta thiết lập dt mối quan hệ phổ hàm số phổ toán tử vi phân D, với kết Định lý Định lý công cụ quan trọng để chứng minh kết Chương Chương Chương 2: Trình bày ứng dụng lý thuyết phổ hàm số bị chặn R+ với dáng điệu tiệm cận nghiệm đủ tốt phương trình tiến hóa nửa đường thẳng Chương 3: Trình bày ứng dụng lý thuyết phổ hàm số bị chặn R+ với dáng điệu tiệm cận nghiệm đủ tốt phương trình vi phân hàm Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh thuộc khoa Toán trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giúp đỡ khoa học mà thầy dành cho tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy phản biện, người đọc đóng góp ý kiến cho để luận văn hoàn thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thành viên Xemina thuộc Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN trường Đại học Bách Khoa Hà Nội phân tích, đóng góp nhiều ý kiến quý báu giúp hoàn thành luận văn tốt Cuối cùng, xin cám ơn thầy cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để ngày hoàn thiện chuyên môn Hà Nội, tháng 11 năm 2011 iii Danh mục ký hiệu R: Tập hợp số thực; R+ : Tập hợp số thực không âm; C: Tập hợp số phức; Reλ: Phần thực số phức λ; L(X): Không gian Banach bao gồm toán tử tuyến tính bị chặn X; BC(R+ , X): Không gian hàm f : R+ → X liên tục, bị chặn; BU C (R+ , X) := f ∈ BC (R+ , X) : f liên tục ; C0 (R+ , X) := f ∈ BC (R+ , X) : lim f (t) = ; t→∞ Y := BU C(R+ , X)/F; 10 A: Toán tử tuyến tính; 11 σ(A): Phổ toán tử A; 12 ρ(A): Tập giải A; 13 R(λ, A): Giải thức A; 14 D: Toán tử đạo hàm D := d ; dt ˜ Toán tử vi phân cảm sinh toán tử D; 15 D: 16 sp+ F (f ): Phổ rút gọn f theo F; 17 ΛF (X) := ˜ ˜ ˜ ˜ f˜ ∈ Y : sp+ F (f ) ⊂ Λ, lim αR(α + iξ, D)f = 0, ∀ξ ∈ Λ ; α↓0 ˜ ΛF (X) 18 DΛ : Toán tử hạn chế toán tử D iv Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử đóng không gian Banach Định nghĩa Một không gian véc-tơ X gọi không gian định chuẩn với x ∈ X có số thực không âm gọi chuẩn x, ký hiệu x , thỏa mãn tính chất sau: x 0, x = x = 0; λx = |λ| x , ∀λ ∈ C R; x + y x + y Một không gian định chuẩn X gọi không gian Banach đầy đủ, nghĩa dãy Cauchy X hội tụ Trong luận văn sử dụng không gian hàm Banach sau đây: Ví dụ 1 Ta ký hiệu BC(R, X) không gian hàm f : R → X liên tục, bị chặn, có chuẩn sup định nghĩa sau: f := sup f (t) , ∀f ∈ BC(R, X) t∈R Khi BC(R, X) không gian Banach Tương tự, không gian BU C (R, X) := f ∈ BC (R, X) : f liên tục không gian Banach với chuẩn sup định nghĩa (1.1) (1.1) Ta ký hiệu BC(R+ , X) không gian hàm f : R+ → X liên tục, bị chặn có chuẩn f := sup f (t) , ∀f ∈ BC(R+ , X) (1.2) t∈R+ Khi BC(R+ , X) không gian Banach Tương tự, không gian sau không gian Banach với chuẩn sup định nghĩa (1.2): BU C R+ , X := f ∈ BC R+ , X : f liên tục , C0 R+ , X := f ∈ BC R+ , X : lim f (t) = t→∞ Định nghĩa Cho X không gian Banach phức, A : D(A) ⊂ X → X toán tử tuyến tính, D(A) không gian véc tơ X Số λ ∈ C gọi giá trị quy A tồn toán tử nghịch đảo bị chặn (A − λI)−1 : X → D(A) xác định toàn không gian X Tập giá trị quy A gọi tập giải A, kí hiệu ρ(A) Tập σ(A) = C \ ρ(A) gọi phổ A Định nghĩa Toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X gọi toán tử đóng từ điều kiện {xn } ⊂ D(A), xn → x, Axn → y ta suy x ∈ D(A) Ax = y Mệnh đề Nếu toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X phổ toàn mặt phẳng phức C A toán tử đóng Chứng minh Giả sử λ ∈ ρ(A) B = (A − λI)−1 ∈ L(X), B : X → D(A) Từ giả thiết {xn }n ⊂ D(A) : xn → x, Axn → y n → ∞, ta cần chứng minh x ∈ D(A), Ax = y Đặt hn = (A − λI)xn Khi đó, lim hn = lim (A − λI)xn = y − λx n→∞ n→∞ Từ suy B(y − λx) = lim Bhn = lim (A − λI)−1 (A − λI)xn = lim xn = x ∈ D(A), n→∞ n→∞ n→∞ đồng thời ta có (A − λI)x = (A − λI)B(y − λx) = y − λx ⇒ Ax = y Do A toán tử đóng 1.2 Phổ toán tử vi phân Việc nghiên cứu phổ toán tử vi phân đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết phổ hàm số Mục dành để khảo sát tính chất phổ toán tử vi phân Định nghĩa D(D) tập tất hàm khả vi f ∈ BU C(R+ , X) cho f ∈ BU C(R+ , X) Toán tử D xác định bởi: Df = f , ∀f ∈ D(D) Mệnh đề D toán tử đóng BU C(R+ , X) với σ(D) = iR Hơn nữa, với ξ ∈ R, Reλ = ta có R(λ, D)f (t) =     ∞ eλ(t−s) f (s)ds, Reλ > 0, t ∈ R+ , t t    − eλ(t−s) f (s)ds, Reλ < 0, t ∈ R+ (1.3) Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh σ(D) = iR cách σ(D) ⊂ iR σ(D) ⊃ iR Bước 1: Ta σ(D) ⊂ iR Điều tương đương với λ ∈ / iR λ ∈ / σ(D) Số λ ∈ / σ(D) giá trị quy D, tức với f ∈ BU C(R+ , X) phương trình sau Dx − λx = f (1.4) có nghiệm x ∈ BU C(R+ , X) Giả sử λ ∈ / iR Ta chia làm trường hợp: Trường hợp Reλ > 0: Trong trường hợp này, phương trình (1.4) có nghiệm thuộc BU C(R+ , X) cho công thức sau: ∞ f (s)eλ(t−s) ds, xλ,f (t) := − t ∈ R+ t Thật vậy, trước tiên ta chứng minh công thức nghiệm phương trình (1.4) (1.4) ⇔ x (t) = λx(t) + f (t) (1.5) Ta viết lại xλ,f (t) dạng: ∞ e−λs f (s) ds xλ,f (t) = −eλt t Sử dụng công thức tính đạo hàm tích phân có cận thay đổi ta được: ∞ e−λs f (s) ds + eλt e−λt f (t) = λxλ,f (t) + f (t) xλ,f (t) = −λeλt t Do xλ,f nghiệm phương trình (1.4) Tiếp theo ta xλ,f (t) bị chặn Thật vậy, f bị chặn R+ nên |f (s)| M, ∀s Từ ta có đánh giá sau: ∞ ∞ (t−s)Reλ xλ,f (t) f (s) e ds M t A (t−s)Reλ e t M lim e(t−s)Reλ =− Reλ A→∞ e(t−s)Reλ ds ds = M lim A→∞ t M M =− lim e(t−A)Reλ − = Reλ A→∞ Reλ A s=t Cuối ta xλ,f (t) liên tục R+ Thật vậy, với ε ε > cho trước, tồn số δ = cho với t1 , t2 ≥ thỏa mãn M t1 − t2 < δ ta có: t1 f (s) eλ(t−s) ds ≤ M |t1 − t2 | = ε |xλ,f (t1 ) − xλ,f (t2 )| = t2 Trường hợp Reλ < 0: Tương tự, trường hợp phương trình (1.4) có nghiệm thuộc BU C(R+ , X) cho công thức sau: t eλ(t−s) f (s)ds xλ,f (t) := Bước 2: Ta σ(D) ⊃ iR Thật vậy, giả sử iξ ∈ iR, ta iξ ∈ σ(D) Xét hàm số fξ (t) := eiξt x Hàm số véc tơ riêng D ứng với giá trị riêng iξ Dfξ (t) − iξfξ (t) = iξeiξt x − iξeiξt x = Điều chứng tỏ iξ ∈ σ(D), hay σ(D) ⊃ iR Kết hợp Bước Bước 2, ta chứng minh σ(D) = iR Tiếp theo, ta chứng minh đẳng thức (1.3) Theo chứng minh ta thấy với hàm f ∈ BU C(R+ , X) cho trước phương trình có nghiệm bị chặn xf,λ ∈ BU C(R+ , X) xác định sau:  ∞  λ(t−s)  f (s)ds, Reλ > 0, t ∈ R+ ,  e t −xf,λ (t) = t    − eλ(t−s) f (s)ds, Reλ < 0, t ∈ R+ Dễ kiểm tra thấy −xf,λ toán tử tuyến tính bị chặn theo f BU C(R+ , X), nghĩa R(λ, D) tồn R(λ, D)f = −xf,λ 1.3 Phổ toán tử vi phân không gian thương Trước tiên, ta định nghĩa lớp không gian thỏa mãn điều kiện F + 1.3.1 Lớp không gian F + Định nghĩa Một không gian hàm F ⊂ BU C(R+ , X) gọi thỏa mãn điều kiện F + có tính chất sau: F đóng F ⊇ C0 (R+ , X); Nếu g ∈ F hàm R+ t → eiξt g(t) ∈ X thuộc F với ξ ∈ R; Nếu h ∈ F, Reλ > 0, Reη < hàm y(.), z(.) xác định ∞ t eλ(t−s) h(s)ds, y(t) = eη(t−s) h(s)ds, z(t) = t t ∈ R+ thuộc F; Nếu B ∈ L(X) f ∈ F Bf (.) thuộc F Lớp không gian thỏa mãn điều kiện F + bao gồm nhiều không gian quen thuộc, chẳng hạn không gian C0 (R+ , X) Mệnh đề Không gian F = C0 (R+ , X) thỏa mãn điều kiện F + Chứng minh • Hiển nhiên, C0 (R+ , X) không gian BU C(R+ , X) • Tiếp theo, ta C0 (R+ , X) không gian đóng Thật vậy, giả sử {yn } ⊂ C0 (R+ , X), yn → y n → ∞ Ta chứng minh y ∈ C0 (R+ , X) Theo giả thiết ta có lim yn − y = lim sup yn (t) − y(t) = n→∞ n→∞ t Ta biết rằng: Dãy hàm {fn } hội tụ đến hàm f A lim sup fn (t) − f (t) = n→∞ A Từ suy dãy hàm {yn } hội tụ R+ đến hàm y, mà dãy hàm {yn } liên tục R+ nên y hàm liên tục R+ Hàm y bị chặn suy từ đẳng thức y(t) = y(t) − yn (t) + yn (t) Do đó, y ∈ BC(R+ , X) Ta chứng minh lim y(t) = t→∞ ε t > M t→∞ Hơn dãy hàm {yn } hội tụ R+ đến hàm y nên lim yn (t) = yn ∈ C0 (R+ , X) ⇒ lim yn (t) = ⇔ ∀ε > 0, ∃M > : |yn (t)| < n→∞ y (t) Do với n đủ lớn ta có ε yn (t) − y(t) < Như với ε > 0, với n đủ lớn, tồn M > cho với t > M ta có y(t) yn (t) + yn (t) − y(t) < ε ε + = ε 2 Từ suy lim y(t) = t→∞ • Tiếp theo, ta chứng minh không gian C0 (R+ , X) thỏa mãn tiên đề thứ ba điều kiện F + Bước 1: Ta h ∈ C0 (R+ , X) Reλ > ∞ eλ(t−s) h(s)ds ∈ C0 (R+ , X) Thật vậy, h ∈ C0 (R+ , X) nên với y(t) = t ε > 0, tồn số M > cho với s > M ta có |h(s)| < εReλ Từ ta có đánh giá sau ∞ ∞ eλ(t−s) h(s)ds |y(t)| = t ∞ eReλ(t−s) |h(s)|ds t eReλ(t−s) ds εReλ t Định nghĩa Một nghiệm đủ tốt x R+ (2.1) gọi ổn định tiệm cận lim x (t) = 0, nói cách khác x ∈ F t→∞ 2.2 Tính chất phổ nghiệm đủ tốt Ta ký hiệu A toán tử nhân toán tử A không gian BU C(R+ , X) sau: A : BU C(R+ , X) → BU C(R+ , X), (Ax)(t) = Ax(t) Mệnh đề Cho f ∈ F x ∈ BU C(R+ , X) nghiệm đủ tốt (2.1) R+ Khi sp+ F (x) ⊂ σi (A) σi (A) := {ξ ∈ R : iξ ∈ σ(A)} Hơn nữa, với Reλ = ta có ˜ x = R(λ, A)˜ ˜ x R(λ, D)˜ ˜ ˜ x = x˜ với Chứng minh Bước 1: Trước tiên, ta chứng minh (λ − A)R(λ, D)˜ Reλ > Do x nghiệm đủ tốt phương trình (2.1) nên s x(s) = x(0) + A s x(ξ)dξ + f (ξ)dξ, ∀s ∈ R+ Từ phương trình trên, sử dụng tích chất tích phân với Reλ > t ∈ R+ , ta có: ∞ ∞ e−λs x(t + s)ds = ∞ e−λs x(0)ds + VT t+s Ae−λs x(ξ)dξ ds B C t+s ∞ e−λs + f (ξ)dξ ds D Ta tính B, C, D vế trái: • Vế trái: ∞ e−λs x(t + s)ds = R (λ, D) x(t) VT = 13 (2.3) • Tính B: B= e−λs x (0) −λ e−λs x(0) x(0) x(0) + = s→∞ −λ λ λ ∞ = lim • Tính C: ∞ C=A e−λs A −λ t+s x (ξ) dξ ds = A e = ∞ t+s −λs t+s ∞ ∞ + A λ s=0 x(ξ)dξ e−λs −λ x(ξ)dξ d e−λs x (t + s) ds t+s A = − lim e−λs λ s→∞ ∞ t A x(ξ)dξ + λ x (ξ) dξ + A λ 0 e−λs x (t + s) ds Do x ∈ BU C(R+ , X) nên tồn M > cho |x(ξ)| M, ∀ξ ∈ R+ Từ ta có đánh giá sau: t+s e−λs t+s e−sReλ x(ξ)dξ t+s |x(ξ)| dξ e−sReλ M dξ = M (t + s) esReλ M (t + s) = nên ta có s→∞ esReλ Nhưng lim t+s −λs lim e x(ξ)dξ = s→∞ Từ suy ∞ t A C= λ t A e−λs x (t + s) ds = λ x (ξ) dξ + A λ x (ξ) dξ + AR (λ, D) x(t) λ (2.4) • Tính D: Tương tự tính C, ta có ∞ t D= λ f (ξ)dξ + λ t −λs e f (t + s) ds = λ f (ξ) dξ + R (λ, D) f (t) λ Thay B, C, D vế trái tính vào (2.3), ta thu được: 1 R (λ, D) x(t) = AR (λ, D) x(t) + R (λ, D) f (t) λ  λ t + 1 x(0) + A λ t =λ x(t) 14 f (ξ) dξ  x (ξ) dξ +  Khi (2.3) trở thành: λR (λ, D) x (t) = AR (λ, D) x (t) + R (λ, D) f (t) + x(t) Với A toán tử nhân toán tử A không gian BU C(R+ , X): A : BU C(R+ , X) → BU C(R+ , X), (Ax)(t) = Ax(t), ta viết lại (2.3) dạng biểu thức không gian hàm số: λR (λ, D) x = AR (λ, D) x + R (λ, D) f + x Do ta có (λ − A)R(λ, D)x = R(λ, D)f + x Từ suy ra, theo tiên đề xác định điều kiện F + giả thiết, ˜ ˜ x = R(λ, D) ˜ f˜ + x˜ D)˜ (λ − A)R(λ, (do f ∈ F nên f˜ = ˜0) = x˜, ˜ ˜ x = x˜ với Reλ < Do Bước 2: Tiếp theo, ta chứng minh (λ − A)R(λ, D)˜ x nghiệm đủ tốt phương trình (2.1) nên s x (s) = x (0) + A s x (ξ) dξ + ∀s ∈ R+ f (ξ) dξ, Nhân hai vế phương trình với eλ(t−s) , Reλ < s ∈ R+ , sau lấy tích phân theo s từ đến t ta được: t t eλ(t−s) x (s) ds = t eλ(t−s) x (0) ds + A s eλ(t−s) x (ξ) dξ ds VT E F t s eλ(t−s) + f (ξ) dξ ds G Ta tính E, F, G vế trái: • Vế trái: t eλ(t−s) x (s) ds = −R (λ, D) x(t) VT = 15 (2.5) • Tính E: E= eλ(t−s) x (0) −λ t =− s=0 x(0) eλt x (0) + λ λ • Tính F : t s F =A eλ(t−s) −λ x (ξ) dξ d 0 s eλ(t−s) A = −λ t x (ξ) dξ + A λ s=0 t 0 t A =− λ eλ(t−s) x (s) ds t A x (ξ) dξ + λ t λ(t−s) e A x (s) ds = − λ x (ξ) dξ − A R(λ, D)x(t) λ • Tính G: Tương tự tính F ta có t G=− λ f (ξ) dξ − R(λ, D)f (t) λ Thay E, F, G vế trái tính vào (2.5), ta thu được: −R(λ, D)x(t) = eλt x(0) A − R(λ, D)x(t) − R(λ, D)f (t) λ λ λ  t − x(0) + A λ t x (ξ) dξ + f (ξ) dξ  =λ x(t) Khi (2.5) trở thành λR (λ, D) x (t) = AR (λ, D) x (t) + R (λ, D) f (t) + x(t) − eλt x(0) Chú ý R+ t → eλt x (0) ∈ F f ∈ F nên với Reλ < ta có ˜ x + x˜ ˜ x = AR(λ, ˜ λR(λ, D)˜ D)˜ Từ ta suy ˜ ˜ x = x˜ (λ − A)R(λ, D)˜ Bước 3: Từ hai bước trên, ta chứng minh được: với Reλ = 0, 16 ˜ ˜ x = x˜ (λ − A)R(λ, D)˜ (2.6) Để chứng minh sp+ F (x) ⊂ σi (A), ta cần phải ξ0 ∈ R\σi (A) ξ0 ∈ / sp+ F (x) Do ξ0 ∈ R\σi (A) nên với λ thuộc lân cận đủ nhỏ iξ0 ta có toán ˜ = (λ − A)−1 toán tử giới nội giải tích theo λ Tác động toán tử tử R(λ, A) ˜ vào hai vế (2.6), ta thu được: R(λ, A) ˜ x = R(λ, A)˜ ˜ x R(λ, D)˜ Do vế phải biểu thức giải tích theo λ nên vế trái có thác triển giải tích theo λ lân cận iξ0 Nói cách khác, ξ0 ∈ / sp+ F (x) Như bổ đề chứng minh 2.3 Điều kiện phổ để nghiệm đủ tốt ổn định tiệm cận Định lý Cho x ∈ BU C(R+ , X) nghiệm đủ tốt phương trình (2.1) R+ f ∈ F Giả sử toán tử A thỏa mãn điều kiện sau: i) σ(A) ∩ iR đếm được; ii) lim αR (α + iξ, A) x (t) = theo t ∈ R+ , với iξ ∈ σ (A) ∩ iR α↓0 Khi nghiệm x ổn định tiệm cận Chứng minh Theo Mệnh đề 6, ta có: sp+ F (x) ⊂ σi (A) = σ(A) ∩ iR Nhưng theo giả thiết i), σ(A) ∩ iR đếm được, nên ta suy sp+ F (x) đếm Hơn nữa, theo Mệnh đề 6, với α > iξ ∈ σ (A) ∩ i R, kết hợp với giả thiết ii) ta có ˜ x = lim αR(α + iξ, A)˜ ˜x=0 lim αR(α + iξ, D)˜ α↓0 α↓0 Do vậy, theo Bổ đề ta suy x ∈ F, hay x ổn định tiệm cận 17 Chương Điều kiện để nghiệm giới nội phương trình vi phân hàm ổn định mạnh 3.1 Định nghĩa nghiệm đủ tốt Xét phương trình dx (t) = dt dη (θ) x (t + θ) + f (t) , (3.1) −r t ∈ R+ , x(t) ∈ X, r > 0, f ∈ C0 (R+ , X); η : [−r; 0] → L (X) có biến phân bị chặn Ta ký hiệu ∆ (λ) := λ − Bλ dη (θ) eλθ đó, Bλ = −r Định nghĩa 10 (Xem [10]) Một hàm x ∈ BU C [−r, ∞), X gọi nghiệm đủ tốt (3.1) với điều kiện đầu x|[−r,0] = ϕ ∈ BU C [−r, 0), X t ∈ R+ t x (t) = x (0) +    t dη (θ) x (ξ + θ)dξ + −r f (ξ)dξ 18 với 3.2 Tính chất phổ nghiệm đủ tốt Bổ đề Giả sử f ∈ C0 (R+ , X) Khi đó, x nghiệm đủ tốt (3.1) [−r; ∞) sp+ F (x) ⊂ σi (Bλ ) σi (Bλ ) := {ξ ∈ R : iξ ∈ σ (Bλ )} Hơn nữa, với Reλ = ta có ˜ x = x˜ + ψ˜ (λ − B˜λ )R(λ, D)˜ 0 e−λs x(t + s)ds dη(θ)eλθ với ψ(t) = −r θ ˜ x = x˜ + ψ˜ Chứng minh Bước 1: Trước tiên, ta chứng minh (λ − B˜λ )R(λ, D)˜ với Reλ > Do x nghiệm đủ tốt phương trình (3.1) nên   s s x (s) = x (0) + f (ξ)dξ, ∀s ∈ R+ dη (θ) x (ξ + θ)dξ +  −r Áp dụng công thức nghiệm trường hợp Reλ > t ∈ R+ , ta có:     ∞ ∞ ∞ t+s e−λs x (t + s) ds = e−λs x (0) ds + e−λs VT  dη (θ) x (ξ + θ)dξ ds −r A B ∞  t+s e−λs +  f (ξ) dξ ds C (3.2) Ta tính A, B, C vế trái: • Vế trái: ∞ e−λs x (t + s) ds = R (λ, D) x(t) VT = • Tính A: A= e−λs x(0) −λ ∞ e−λs x(0) x(0) x(0) + = s→∞ −λ λ λ = lim 19 • Tính B:   ∞ t+s B=    e−λs dη (θ) x (ξ + θ)dξ d −λ −r    t+s  −λs = ∞ ∞ e  −λ dη(θ) x(ξ + θ)dξ   s=0 e  s→∞ −λ = lim t dη(θ) x(ξ + θ)dξ  + λ    −r dη (θ) x(t + s + θ)ds −r  t+s  e−λs  −r −λs λ +     dη(θ) x(ξ + θ)dξ −r B1 ∞ + λ   e−λs  dη (θ) x(t + s + θ)ds −r B2 • Tính B1 : Do η : [−r; 0] → L (X) có biến phân bị chặn nên ta có   t+s B1 = lim e−λs  s→∞ dη (θ) x (ξ + θ) dξ  = −r • Tính B2 : ∞ e−λ(s+θ) x (t + s + θ)ds λθ B2 = dη (θ) e −r ∞ e−λs x (t + s)ds dη (θ) eλθ = −r θ  e−λs x (t + s)ds + dη (θ) eλθ  = −r −r e−λt x (t + s)ds dη (θ) eλθ −r θ 0 e−λs x (t + s) ds + Bλ R (λ, D) x (t) λθ dη (θ) e −r ∞ e−λs x (t + s)ds + = 0 dη (θ) eλθ  e−λs x (t + s)ds θ = ∞ θ 20 Thay B1 , B2 vừa tính vào B ta có B= λ t 1 e−λs x (t + s) ds+ Bλ R (λ, D) x (t)+ λ λ dη (θ) eλθ −r   dη(θ) x(ξ + θ)dξ −r θ  • Tính C: Tương tự cách tính D Chương 2, ta có t C= λ f (ξ) dξ + R (λ, D) f (t) λ Thay A, B, C VT tính vào (3.2) ta R (λ, D) x(t) = λ 1 e−λs x (t + s) ds + Bλ R (λ, D) x (t) + R (λ, D) f (t) λ λ λθ dη (θ) e −r θ ψ(t)  + t 1 x (0) + λ    dη (θ) x (ξ + θ)dξ + −r  t f (ξ)dξ  =λ x(t) Khi (3.2) trở thành λR (λ, D) x(t) = Bλ R (λ, D) x (t) + R (λ, D) f (t) + x(t) + ψ(t) Với Bλ toán tử nhân toán tử Bλ không gian BU C(R+ , X): Bλ : BU C(R+ , X) → BU C(R+ , X), (Bλ x)(t) = Bλ x(t), ta viết lại (3.2) dạng biểu thức không gian hàm số: λR (λ, D) x = Bλ R (λ, D) x + R (λ, D) f + x + ψ Do ta có (λ − Bλ ) R (λ, D) x = R (λ, D) f + x + ψ Từ suy ra, theo tiên đề xác định điều kiện F + giả thiết, ˜ ˜λ )R(λ, D)˜ ˜ x = x˜ + ψ (λ − B ˜ x = x˜ + ψ˜ với Reλ < Bước 2: Tiếp theo, ta chứng minh (λ − B˜λ )R(λ, D)˜ 21 Do x nghiệm đủ tốt phương trình (3.1) nên   s x (s) = x (0) + s f (ξ)dξ, ∀s ∈ R+ dη (θ) x (ξ + θ)dξ +  −r 0 Áp dụng công thức nghiệm trường hợp Reλ < s ∈ R+ , ta có:     t s t t eλ(t−s) x(s)ds = eλ(t−s) eλ(t−s) x(0)ds + VT −r 0 dη(θ)x(ξ + θ) dξ  ds  F G t  eλ(t−s) +  s f (ξ)dξ  ds 0 H (3.3) Ta tính F, G, H vế trái: • Vế trái: t eλ(t−s) x(s)ds = −R(λ, D)x(t) VT = • Tính F: F = • Tính G:  t G= s   =− s=0  −r  s   λ eλ(t−s) −λ   dη(θ)x(ξ + θ) dξ  + s=0 −r t x(0) eλt x(0) + λ λ t  −λ  e =− t dη(θ)x(ξ + θ) dξ  d  λ(t−s) =  eλ(t−s) x(0) −λ λ dη(θ)x(ξ + θ) dξ + dη(θ)eλθ λ −r −r    dη(θ)x(ξ + θ) dξ + dη(θ)eλθ λ t =− λ −r −r t eλ(t−s−θ) x(s + θ)ds t+θ eλ(t−s) x(s)ds θ K 22 dη(θ)x(s + θ) ds −r   eλ(t−s)    t • Tính K:  0 t eλ(t−s) x(s)ds + dη(θ)eλθ  K= −r −r t dη(θ)eλθ eλ(t−s) x(s)ds + −r θ eλ(t−s) x(s)ds t+θ 0 dη(θ)eλθ = eλ(t−s) x(s)ds − θ  t eλ(t−s) x(s)ds K1 K2 t λθ − eλ(t−s) x(s)ds dη(θ)e −r t+θ K3 • Tính K1 : λt eλ(θ−s) x(s)ds dη(θ) K1 = e −r θ • Tính K2 : K2 = −Bλ R(λ, D)x(t) • Tính K3 : Thức phép đổi biến u = s − t ta 0 e−λu x(t + u)du = dη(θ)eλθ K3 = −r 0 −r θ e−λs x(t + s)ds = ψ(t) dη(θ)eλθ θ Thay K1 , K2 , K3 vừa tính vào K ta K = −Bλ R(λ, D)x(t) − ψ(t) + eλt eλ(θ−s) x(s)ds dη(θ) −r θ Thay K vào G ta   t Bλ ψ(t) eλt  dη(θ)x(ξ + θ) dξ− R(λ, D)x(t)− + G=− λ λ λ λ −r eλ(θ−s) x(s)ds dη(θ) −r 23 θ • Tính H: t H=   s f (ξ)dξ  d  0 λ(t−s) =−  s t f (ξ)dξ  + λ s=0 e λ eλ(t−s) −λ  t  eλ(t−s) f (t)dt t =− λ f (ξ)dξ − R(λ, D)f (t) λ Tiếp theo thay F, G, H vào phương trình (3.3) ta 0 eλt x(0) Bλ ψ(t) eλt − R(λ, D)f (t) − R(λ, D)x(t) − + dη(θ) eλ(θ−s) x(s)ds −R(λ, D)x(t) = λ λ λ λ λ −r θ   t t − x (0) +  dη (θ) x (ξ + θ)dξ + f (ξ)dξ λ −r x(t) λ Đơn giản phương trình ta thu λt λt (λ − Bλ ) R (λ, D) x(t) = R (λ, D) f (t)+x(t)+ψ(t)−e x(0)−e θ t → eλt x (0) ∈ C0 (R+ , X), f ∈ C0 (R+ , X) R+ eλ(θ−s) x(s)ds dη(θ) −r Chú ý R+ t → eλt dη(θ) eλ(θ−s) x(s)ds ∈ C0 (R+ , X) nên theo tiên đề xác định −r θ điều kiện F + trường hợp Reλ < ta có ˜ ˜ x = x˜ + ψ (λ − B˜λ )R(λ, D)˜ Từ lập luận ta chứng minh rằng: với Reλ = thu ˜ ˜ x = x˜ + ψ (λ − B˜λ )R(λ, D)˜ Tiếp theo, ta sp+ F (x) ⊂ σi (Bλ ) 24 Thật vậy, ξ0 ∈ R\σi (Bλ ) λ thuộc lân cận đủ nhỏ iξ0 Reλ = ta có ˜ ˜ x = R(λ, B˜λ )˜ R(λ, D)˜ x + R(λ, B˜λ )ψ (3.4) ˜ x có thác triển giải tích lân cận iξ0 nên ξ0 ∈ Do R(λ, D)˜ / sp+ F (x) Điều chứng minh mệnh đề 3.3 Điều kiện phổ để nghiệm đủ tốt ổn định tiệm cận Định lý Cho x ∈ BU C [−r, ∞), X nghiệm đủ tốt phương trình (3.1) Bλ thỏa mãn điều kiện sau: i) σ(Bλ ) ∩ iR đếm được; ii) lim αR (α + iξ, Bλ ) = iξ ∈ σ(Bλ ) ∩ iR α↓0 Khi nghiệm x ổn định tiệm cận Chứng minh Cho x nghiệm đủ tốt (3.1) cho F := C0 (R+ , X) Theo Bổ đề giả thiết i) suy sp+ F (f ) đếm Hơn theo (3.4) với α > ta có ˜ x αR(α + iξ, D)˜ ˜λ )˜ ˜λ )ψ˜ αR(α + iξ, B x + αR(α + iξ, B ˜λ ) x˜ + αR(α + iξ, B ˜λ ) ψ˜ αR(α + iξ, B Do với ξ ∈ σi (Bλ ) ta có ˜ x lim αR(α + iξ,D)˜ α↓0 ˜λ ) x˜ + lim R(α + iξ,B ˜λ ) ψ˜ = lim R(α + iξ,B α↓0 α↓0 Suy ˜ x˜ = 0, lim αR α + iξ, D α↓0 với ξ ∈ sp+ F (x) Theo Định lý suy x ∈ F hay x ∈ C0 25 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm Thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, (2005), Bài tập phương trình vi phân, Nhà xuất giáo dục [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Nguyễn Viết Triều Tiên, Hoàng Quốc Toàn (2004), Bài tập giải tích tập 1, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [5] Nguyen Van Minh (2009), "Asymptotic behavior of individual orbits of discrete systems", Proceedings of the A.M.S, 137, 3025 − 3035 [6] Nguyen Van Minh (2008), "Katznelson - Tzapriri type theorems for individual solutions of evolution equations", Proceedings of the A.M.S, 136, 1749 − 1755 [7] Nguyen Van Minh (2009), "A spectral theory of non - uniformly continuous functions and the Loomis - Arendt - Batty - Vu theory on the asymptotic behavior of solutions of evolution equations", Preprint in ArXiv.org at the URL: http://arxiv.org/abs/math.FA/0609652v2 [8] Nguyen Van Minh (2008), "A new approach to the spectral theory of functions and the Loomis - Arendt - Batty - Vu Theory", Preprint in ArXiv.org at the URL: http://arxiv.org/abs/math.FA/0609652 [9] Nguyen Van Minh (2009), "Corrigendum to "A spectral theory of continuous functions and the Loomis - Arendt - Batty - Vu theory on the asymptotic behavior of solutions of evolution equations", J Differential equations 247(4)1249 − 1274 26 [10] Tetsuo Furumochi, Toshiki NaiTo, Nguyen Van Minh (2002), "Boundedness and Almost Periodicity of Solutions of Partial Functional differential equations", J Differential equations 180, 125 − 152 [11] Jack Hale, (1977), Theory of functional differential equations, Springer-Verlag, New York - Berlin [12] Wolfgang Arendt, Charles J.K.Batty, Matthias Hieber, Frank Neubrander, (2001), Vector - Valued Laplace transforms and Cauchy problems, Monographs in Mathematics, 96, Birkhuser Verlag, Basel 27 [...]... ΛF (X) phải là tầm thường Nói cách khác f ∈ F 11 Chương 2 Điều kiện để nghiệm giới nội của phương trình vi phân là ổn định mạnh 2.1 Định nghĩa nghiệm đủ tốt Xuyên suốt chương này nếu không nói gì thêm thì ta luôn hiểu rằng F := C0 (R+ , X) Xét phương trình: dx(t) = Ax(t) + f (t), t ∈ R+ , x(t) ∈ X, dt (2.1) trong đó f ∈ F, A là toàn tử tuyến tính đóng trên X Nghiệm của phương trình vi phân (2.1), theo... cận của iξ0 nên ξ0 ∈ Do đó R(λ, D)˜ / sp+ F (x) Điều này chứng minh mệnh đề 3.3 Điều kiện phổ để nghiệm đủ tốt là ổn định tiệm cận Định lý 3 Cho x ∈ BU C [−r, ∞), X là một nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1) và Bλ thỏa mãn các điều kiện sau: i) σ(Bλ ) ∩ iR đếm được; ii) lim αR (α + iξ, Bλ ) = 0 đối với mọi iξ ∈ σ(Bλ ) ∩ iR α↓0 Khi đó nghiệm x là ổn định tiệm cận Chứng minh Cho x là nghiệm đủ tốt của. .. σ(A) ∩ iR là đếm được, nên ta suy ra sp+ F (x) là đếm được Hơn nữa, theo Mệnh đề 6, với α > 0 và iξ ∈ σ (A) ∩ i R, kết hợp với giả thiết ii) ta có ˜ x = lim αR(α + iξ, A)˜ ˜x=0 lim αR(α + iξ, D)˜ α↓0 α↓0 Do vậy, theo Bổ đề 1 ta suy ra x ∈ F, hay x là ổn định tiệm cận 17 Chương 3 Điều kiện để nghiệm giới nội của phương trình vi phân hàm ổn định mạnh 3.1 Định nghĩa nghiệm đủ tốt Xét phương trình 0 dx... lân cận của iξ0 Nói cách khác, ξ0 ∈ / sp+ F (x) Như vậy bổ đề được chứng minh 2.3 Điều kiện phổ để nghiệm đủ tốt là ổn định tiệm cận Định lý 2 Cho x ∈ BU C(R+ , X) là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1) trên R+ và f ∈ F Giả sử rằng toán tử A thỏa mãn các điều kiện sau: i) σ(A) ∩ iR đếm được; ii) lim αR (α + iξ, A) x (t) = 0 đều theo t ∈ R+ , với mọi iξ ∈ σ (A) ∩ iR α↓0 Khi đó nghiệm x là ổn định tiệm... theo cách hiểu thông thường, là các hàm số x : R+ → X có các tính chất: khả vi, x(t) ∈ D(A) với mọi t ∈ R+ và thỏa mãn phương trình (2.1) Tuy nhiên, lớp các hàm số như vậy khá là hẹp Sau đây, ta sẽ đưa ra một lớp các hàm số rộng hơn, không nhất thiết phải khả vi, được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1) Định nghĩa 8 Một hàm x ∈ BU C(R+ , X) được gọi là nghiệm đủ tốt của (2.1) t + nếu với mỗi t... D là toán tử vi phân được định nghĩa trên không gian BU C(R+ , X).Trong ˜ là toán tử vi phân cảm sinh bởi toán tử D trên không mục này, ta xét toán tử D ˜ được xác định như sau: gian thương Y Toán tử cảm sinh D ˜ là tập của tất cả các lớp hàm chứa hàm khả vi g ∈ 1 Miền xác định: D(D) BU C(R+ , X) sao cho g ∈ BU C(R+ , X); ˜ ˜ g := g˜ , ∀˜ 2 Định nghĩa: D˜ g ∈ D(D) 1.3.4 Tính chất của toán tử vi phân. .. cách khác, D ˜ là toán tử đóng C\iR = ∅ hay σ(D) 1.4 1.4.1 Phổ của hàm số Định nghĩa phổ của hàm số Định nghĩa 6 Cho F là một không gian hàm thỏa mãn điều kiện F + và f ∈ BU C(R+ , X) Khi đó phổ rút gọn của f theo F, ký hiệu sp+ F (f ), được xác định 9 ˜ f˜ là hàm phức theo λ trong C\iR là tập hợp tất cả các số thực ξ sao cho R(λ, D) không có thác triển giải tích với lân cận bất kỳ của iξ thuộc mặt... biến phân bị chặn Ta ký hiệu ∆ (λ) := λ − Bλ 0 dη (θ) eλθ trong đó, Bλ = −r Định nghĩa 10 (Xem [10]) Một hàm x ∈ BU C [−r, ∞), X được gọi là nghiệm đủ tốt của (3.1) với điều kiện đầu x|[−r,0] = ϕ ∈ BU C [−r, 0), X t ∈ R+ thì t x (t) = x (0) +   0  0 t dη (θ) x (ξ + θ)dξ + −r f (ξ)dξ 0 18 nếu với mỗi 3.2 Tính chất phổ của nghiệm đủ tốt Bổ đề 2 Giả sử f ∈ C0 (R+ , X) Khi đó, nếu x là nghiệm đủ tốt của. .. (ξ)dξ, 0 12 ∀t ∈ R+ (2.2) Định nghĩa 9 Một nghiệm đủ tốt x trên R+ của (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu lim x (t) = 0, nói cách khác x ∈ F t→∞ 2.2 Tính chất phổ của nghiệm đủ tốt Ta ký hiệu A là toán tử nhân của toán tử A trên không gian BU C(R+ , X) như sau: A : BU C(R+ , X) → BU C(R+ , X), (Ax)(t) = Ax(t) Mệnh đề 6 Cho f ∈ F và x ∈ BU C(R+ , X) là nghiệm đủ tốt của (2.1) trên R+ Khi đó sp+... 1.4.2 Không gian hàm sinh ra từ phổ hàm số Định nghĩa 7 Cho Λ ⊂ R là một tập đóng Không gian các hàm số có phổ nằm trong tập Λ được định nghĩa như sau: ΛF (X) := 1.4.3 ˜ ˜ ˜ ˜ f˜ ∈ BU C(R+ , X)/F : sp+ F (f ) ⊂ Λ, lim αR(α + iξ, D)f = 0, ∀ξ ∈ Λ α↓0 Toán tử vi phân trên không gian ΛF (X) ˜ Λ là sự hạn chế của D ˜ trên ΛF (X) Gọi D Mệnh đề 4 Cho Λ ⊂ R là một tập đóng Khi đó ΛF (X) là một không gian