B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI BI TH NHUNG XP X EULER-MARUYAMA CHO PHNG TRèNH VI PHN NGU NHIấN VI H S KHễNG B CHN TUYN TNH LUN VN THC S TON HC H Ni - 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI BI TH NHUNG XP X EULER-MARUYAMA CHO PHNG TRèNH VI PHN NGU NHIấN VI H S KHễNG B CHN TUYN TNH Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS NGễ HONG LONG H Ni - 2015 Li cm n Lun c hon thnh vi lũng tri õn sõu sc m tụi kớnh gi n cỏc thy cụ, bn ng khúa v gia ỡnh thõn thng ca tụi Trc tiờn, tụi xin by t lũng bit n sõu sc n TS Ngụ Hong Long, ngi thy ó nh hng chn ti, trc tip tn tỡnh hng dn v giỳp tụi hon thnh lun ny Tụi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng o to Sau i hc, Khoa Toỏn cựng cỏc thy cụ trng i hc S Phm H Ni ó nhit tỡnh giỳp , ging dy, to iu kin tt nht cho tụi thi gian hc ti trng Tụi xin kớnh gi li cm n sõu sc n b m - nhng ngi ó sinh thnh, nuụi dng v to nhng iu kin hc tt nht cho tụi Cui cựng, tụi xin chõn thnh cm n cỏc bn ng khúa cao hc K17 - t (2013-2015) núi chung v chuyờn ngnh Toỏn ng dng núi riờng ó giỳp , ng viờn tụi hon thnh lun ny H Ni, thỏng 06 nm 2015 Hc viờn Bựi Th Nhung Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Ngụ Hong Long Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng 06 nm 2015 Hc viờn Bựi Th Nhung Mc lc M u 1 Kin thc chun b 1.1 Khụng gian xỏc sut 1.1.1 nh ngha khụng gian xỏc sut 1.1.2 Bin ngu nhiờn v hm phõn phi 1.1.3 Kỡ vng 1.1.4 Mt s nh lý gii hn 1.1.5 Mt s bt ng thc 1.1.6 Mt s dng hi t 1.1.7 Kỡ vng iu kin 1.2 Quỏ trỡnh ngu nhiờn 1.2.1 i cng v quỏ trỡnh ngu nhiờn 1.2.2 Thi im dng 1.2.3 Martingale 1.2.4 Mt s bt ng thc 1.2.5 Chuyn ng Brown 1.3 Gii tớch ngu nhiờn Itụ 1.3.1 Xõy dng tớch phõn Itụ 1.3.2 Cụng thc vi phõn Itụ 1.4 Phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn 1.4.1 nh ngha phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn 1.4.2 S tn ti v nht nghim Xp x Euler-Maruyama 2.1 Phng phỏp xp x Euler-Maruyama cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s Lipschitz ton cc 2.2 S phõn k ca phng phỏp xp x Euler-Maruyama cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s khụng b chn tuyn tớnh 2.2.1 S phõn k ca phng phỏp xp x Euler-Maruyama 2.2.2 Vớ d 2.2.3 Chng minh nh lý 2.3 2.3 Phng phỏp xp x Euler-Maruyama khng ch 2.3.1 nh ngha lc Euler khng ch 4 7 10 10 11 12 12 13 14 14 15 15 15 17 29 29 32 32 34 36 39 39 2.3.2 2.3.3 2.3.4 Tớnh b chn ca momen nghim 41 Chng minh kt qu chớnh 45 Tc hi t 48 S húa v mụ phng trờn mỏy tớnh 3.1 Mụ hỡnh chuyn ng Brown hỡnh hc 3.1.1 Mụ phng qu o ca chuyn ng Brown hỡnh hc 3.1.2 Xp x E[|X1 |2 ] 3.1.3 Code Matlab 3.2 Mụ hỡnh Ginzburg - Landau 3.2.1 Mụ phng qu o ca nghim phng trỡnh GinzburgLandau 3.2.2 Xp x E[|X1 |2 ] 3.2.3 Code Matlab 3.3 ỏnh giỏ kt qu mụ phng 50 50 50 50 54 55 55 58 58 60 Kt lun 61 Ti liu tham kho 62 M u Lý chn ti Lý thuyt quỏ trỡnh ngu nhiờn vi thi gian liờn tc ó cú nhng bc phỏt trin t phỏ nh cỏc nghiờn cu tiờn phong ca N Wiener, A Kolmogorov, P Levy, K Itụ Mt nhng lp quỏ trỡnh ngu nhiờn thi gian liờn tc quan trng nht c xỏc nh thụng qua cỏc phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn dng dXt = à(Xt )dt + (Xt )dWt , t X = x, vi W l mt chuyn ng Brown v tớch phõn i vi dWt c hiu l tớch phõn ngu nhiờn Itụ Trong cỏc ng dng thc t ca mụ hỡnh trờn, nhng cn gii quyt thng c a v bi toỏn xỏc nh kỡ vng ca mt phim hm ca X Do phn ln cỏc phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn trờn khụng th gii nghim mt cỏch tng minh, vic xp x nghim l ht sc cn thit Mt nhng phng phỏp xp x n gin nhng rt hiu qu v ang c s dng rng rói thc t l phng phỏp Euler-Maruyama: Ta chia on [0, T ] thnh n on bi cỏc im chia tk = kT = k, k = 0, , n Dóy xp x X n c xỏc n nh bi Xtn0 = x; Xtnk+1 = Xtnk + Xtnk + Xtnk Wtk+1 Wtk Nu v tha iu kin Lipschitz ton cc thỡ ngi ta ó chng minh c rng tn ti hng s Cp khụng ph thuc vo n cho E sup Xtnk Xtk p k Cp p n2 , tc l lc Euler-Maruyama hi t theo ngha mnh vi tc bng Hn na, ta cng cú |Ef (XTn ) Ef (Xt ))| C n vi mi hm f trn v vi hng s dng C no ú khụng ph thuc vo n Khi ú ta núi lc Euler hi t yu vi tc bng Vic xỏc nh tc hi t mnh v yu ca phộp xp x Euler-Maruyama trng hp h s v khụng tha iu kin Lipschitz ton cc n cha c tr li mt cỏch trit Gn õy, cỏc tỏc gi HutzenthalerJentzen-Kloeden [3] ó ch rng cỏc h s v khụng b chn tuyn tớnh, lc Euler-Maruyama khụng hi t theo ngha mnh Cỏc tỏc gi ny cựng vi Sabanis [6] cng gii thiu mt ci tin ca phng phỏp Euler-Maruyama xp x nghim ca cỏc phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn cú dng ny Vi mong mun tỡm hiu sõu thờm phng phỏp xp x Euler-Maruyama cho cỏc phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s khụng tha iu kin Lipschitz, tụi la chn ti nghiờn cu: Xp x Euler-Maruyama cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s khụng b chn tuyn tớnh cho lun thc s ca mỡnh Lun gm cú chng Chng I trỡnh by mt s kin thc chun b v gii tớch ngu nhiờn Ti liu tham kho chớnh ca chng ny l Mao [5] Chng II trỡnh by v phộp xp x Euler-Maruyama Mc 2.1 trỡnh by v phộp xp x Euler-Maruyama cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s Lipschitz ton cc (tham kho t [5] v [1]) Mc 2.2 chng minh s phõn k ca phộp xp x Euler-Maruyama ỏp dng i vi phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn cú h s tng trờn tuyn tớnh (tham kho t bi bỏo ca Hutzenthaler v cỏc cng s [3]) Mc 2.3 trỡnh by phng phỏp Euler-Maruyama khng ch ỏp dng cho phng trỡnh vi h s tng trờn tuyn tớnh (tham kho t bi bỏo ca Sabanis [6]) Chng III ca lun trung vo vic nghiờn cu kt qu ca cỏc lc dng Euler-Maruyama bng phng phỏp mụ phng da trờn phn mm Matlab Chỳng tụi trung vo hai mụ hỡnh l chuyn ng Brown hỡnh hc v mụ hỡnh Ginzburg-Landau ngu nhiờn Mc ớch nghiờn cu Xỏc nh tớnh phõn k ca lc Euler-Maruyama c in cho lp cỏc phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn khụng tha iu kin Lipschitz ton cc Xõy dng phng phỏp Euler-Maruyama ci tin cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s tng trờn tuyn tớnh Nhim v nghiờn cu H thng kin thc v phộp tớnh vi phõn ngu nhiờn Itụ v phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn Nghiờn cu tớnh phõn k ca lc Euler-Maruyama cho lp cỏc phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn khụng tha iu kin Lipschitz ton cc Xõy dng phng phỏp Euler-Maruyama ci tin cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s tng trờn tuyn tớnh Mụ phng thut toỏn xp x trờn mỏy tớnh i tng v phm vi nghiờn cu Phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn Phng phỏp gii s phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn úng gúp mi ca ti Lun lm rừ s hi t theo ngha mnh ca cỏc phng phỏp xp x nghim phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn Lun cng xõy dng chng trỡnh mụ phng phộp xp x trờn mỏy tớnh Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu lý thuyt Nghiờn cu thc nghim mụ phng trờn mỏy tớnh Chng Kin thc chun b 1.1 1.1.1 Khụng gian xỏc sut nh ngha khụng gian xỏc sut nh ngha 1.1 Cho khỏc rng H A cỏc ca c gi l mt i s nu tha cỏc iu kin sau õy i , A; ii B A thỡ \B = B c A; iii A, B A thỡ A B A, A B A Nu i s A tha thờm iu kin iii (An )n1 A thỡ An A, n=1 An A thỡ A c gi l mt -i s n=1 nh ngha 1.2 Cho = Rn v C l h tt c cỏc m ca Rn thỡ B(Rn ) = (C) (l -i s nht cha C trờn ) c gi l -i s Borel trờn Rn nh ngha 1.3 Cho khỏc rng, A l -i s trờn thỡ (, A) c gi l mt khụng gian o nh ngha 1.4 Gi s (, A) l khụng gian o, P : A [0, 1] tha i P() = 1; ii (An )n1 A cho Ai Aj = , i = j Ta cú An P = n=1 P (An ) n=1 Khi ú (, A, P) l mt khụng gian xỏc sut ú CR := CR (p, T, LR ) v (nh ngha li) C := C(p, T ) l cỏc hng s dng p dng bt ng thc Gronwall ta cú kt qu l lim E n sup |Xn (t)|p = 0, 0tT vi mi R > B 2.4 v B 2.7 Cui cựng, cho trc e > 0, ta cú th chn nh np q e C< , q R ln qp q p/(qp) R 2C < p e v n ln E e sup |Xn (t)|p < , 0tT kt hp (2.58) v (2.59) ta thu c E sup |X(t) Xn (t)|p < e 0tT Vỡ vy ta chng minh c kt qu mong mun 2.3.4 Tc hi t Trc tiờn gi s iu kin A-4 v A-5 c tha món, sau ú |b(t, x)| |b(t, x)b(t, 0)|+|b(t, 0)| L(1+|x|l )|x|+N0 (t) N (t)(1+|x|l+1 ), (2.66) vi t [0, T ] v x Rd tựy ý, ú N (t) Lp vi mi p > Chng minh H qu 2.1 u tiờn ta vit li phng trỡnh (2.61) theo phng phỏp sau õy Xn (s)n (s) = X(s) Xn (s) b s, X(s) b s, Xn (s) + + X(s) Xn (s) b s, Xn (s) b s, Xn (n (s)) + X(s) Xn (s) b s, Xn (n (s)) bn s, Xn (n (s)) 48 + (2.67) 1[snR ] , v iu chnh cho phự hp, iu kin A-5 v cỏc rng buc Jn (2.62) L2 + |Xn (s)|l Xn n (s) Xn (s)n (s) Jn (s) := + (L + 1)|Xn (s)|2 + b s, Xn n (s) l Xn (s) Xn n (s) + bn s, Xn n (s) 1[snR ] v vỡ vy s hng cui cựng ca (2.65) c thay th bi tnR C + |Xn (s)|lp + Xn n (s) (t) := E lp Xn (s) Xn n (s) p ds, c c tớnh t bờn trờn bi t 2p (t) C E Xn (s nR ) Xn n (s) nR ds bt ng thc Hăolder v iu kin (2.52) Chỳ ý hng s tng quỏt C khụng ph thuc vo t v n p dng B 2.4, ta cú kt lun sau sup (t) Cnp/2 (2.68) 0tT Hn na, kt hp (2.57), (2.52) v (2.66) ta cú T p b s nR , Xn (n (s nR )) bn s nR , Xn (n (s nR )) E ds Cnp/2 , (2.69) cựng vi (2.44), (2.68) v (2.69) dn n kt qu E sup |Xn (t)|p Cnp/2 , (2.70) 0tT q p (2.65) Cui cựng, chn = n , R = n 2(qp) , q > p 2, ta thu c kt qu mong mun kt hp (2.58), (2.59) v (2.70) 49 Chng S húa v mụ phng trờn mỏy tớnh 3.1 Mụ hỡnh chuyn ng Brown hỡnh hc Xột phng trỡnh chuyn ng Brown hỡnh hc dX(t) = bX(t)dt + X(t)dW (t) Phng trỡnh trờn cú nghim nht X(t) = X(0) exp (b /2)t + W (t) Sau õy ta s c nh = v xột hai trng hp b = v b = 3.1.1 Mụ phng qu o ca chuyn ng Brown hỡnh hc Cỏc hỡnh 3.1 3.4 mụ phng mt qu o ca chuyn ng Brown hỡnh hc X trờn on [0, 1] ng lin nột l giỏ tr chớnh xỏc ca X ng gch mụ t giỏ tr xp x ca X bi lc Euler-Maruyama ng chm chm ã ã ã mụ t giỏ tr xp x ca X bi lc Euler-Maruyama khng ch S im chia on [0, 1] l n = 27 hỡnh 3.1, 3.3, v n = 210 hỡnh 3.2, 3.4 3.1.2 Xp x E[|X1 |2 ] Giỏ tr ca E[|X1 |2 ] = 0.0498 b = 148.4132 b = Bng 3.1 v 3.2 cho giỏ tr xp x ca E[|X1 |2 ] s dng phng phỏp Monte Carlo Euler-Maruyma v Euler-Maruyama khng ch vi s im chia on [0, 1] l n = 2k 50 X EM EM KC 1.5 0.5 0 20 40 60 80 100 120 Hỡnh 3.1: Chuyn ng Brown hỡnh hc: n = 27 , b = 1.4 X EM EM KC 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 200 400 600 800 1000 Hỡnh 3.2: Chuyn ng Brown hỡnh hc: n = 210 , b = 51 X EM EM KC 0 20 40 60 80 100 120 Hỡnh 3.3: Chuyn ng Brown hỡnh hc: n = 27 , b = 14 X EM EM KC 12 10 0 200 400 600 800 1000 Hỡnh 3.4: Chuyn ng Brown hỡnh hc: n = 210 , b = 52 k 10 kvEM 0.0451 0.0487 0.0473 0.0469 0.0485 0.0502 0.0475 0.0509 kvKC 0.3471 0.2619 0.1707 0.1272 0.0935 0.0816 0.0665 0.068 Bng 3.1: Bng giỏ tr ca E[|X1 |2 ] b = k kvEM 134.98 138.43 145.2 149.64 10 146.52 11 150.975 12 147.37 15 147.62 kvKC 22.91 28 36.16 44.51 53.5358 64.313 73 104.18 Bng 3.2: Bng giỏ tr ca E[|X1 |2 ] b = 53 3.1.3 Code Matlab Code v qu o %dX(t) = bX(t)dt + smX(t)dW(t) % X(0) = x0; % Ve qu o ca X trờn on [0,1] clear k = b = -2; T = 1; n = 2^k; % n la so khoang chia doan [0,T] dt = T/n; % dt la Delta sdt = sqrt(dt); % sdt la can bac hai cua dt x0 = 1; ld = 1/2; % ld la lambda nld = n^(-ld); % nld la n mu - lambda %khai bao tham so sm = 1; hs = b-sm*sm/2; xEM(1) = x0; % euler-maruyama thong thuong xKC(1) = x0;% euler-maruyama khong che X(1) = x0; for i = 1:n dw = randn; %dw co phan phoi chuan N(0,1) xEM(i+1) = xEM(i) + b*xEM(i)*dt + sm*xEM(i)*sdt*dw; xKC(i+1) = xKC(i) + b*xKC(i)*dt/(1 + nld*abs(b*xKC(i))) + sm*xKC(i)*sdt*dw; X(i+1) = X(i)*exp(hs*dt+sm*dw*sdt); end plot(X) hold on plot(xEM, ) plot(xKC) Code tớnh kỡ vng E[|X1 |2 ] %dX(t) = bX(t)dt + smX(t)dW(t) % X(0) = x0; % Tinh E[X(1)^2] clear k = b = -2; T = 1; n = 2^k; % n la so khoang chia doan [0,T] dt = T/n; % dt la Delta sdt = sqrt(dt); % sdt la can bac hai cua dt x0 = 1; ld = 1/2; % ld la lambda nld = n^(-ld); % nld la n mu - lambda %khai bao tham so sm = 1; N = n^2; % N la so phep lap Monte Carlo if (N9) N = 50000 end % Neu N qua lon thi cho N = 10000 de han che thoi gian tinh toan sumEM = 0; sumKC = 0; for iMC = 1:N xEM = x0; % euler-maruyama thong thuong xKC = x0;% euler-maruyama khong che for iEu = 1:n dw = randn; %dw co phan phoi chuan N(0,1) xEM = xEM + b*xEM*dt + sm*xEM*sdt*dw; xKC = xKC + b*xKC*dt/(1 + nld*abs(b*xKC)) + sm*xKC*sdt*dw; end sumEM = sumEM + xEM^2; sumKC = sumKC + xKC^2; end kvEM = sumEM/N kvKC = sumKC/N exactE = x0^2*exp(2*b*T+sm^2*T) % exactE la ket qua dung cua ki vong 3.2 Mụ hỡnh Ginzburg - Landau Xột phng trỡnh Ginzburg-Landau dXt = + Xt dWt , Xt Xt3 dt + X0 = x0 (0, ) (3.1) vi t [0, T ] ú 0, , > Nghim phng trỡnh trờn l Xt = x0 exp(t + Wt ) t Ws )ds + 2x20 exp(2s + (3.2) vi t [0, T ] Sau õy ta s c nh x0 = = = v ln lt cho = v = 3.2.1 Mụ phng qu o ca nghim phng trỡnh GinzburgLandau Cỏc hỡnh 3.5 3.8 mụ phng mt qu o quỏ trỡnh X trờn on [0, 1] ng lin nột l giỏ tr ca X c xp x da vo ng thc (3.2) Lu ý rng mc dự phng trỡnh Ginzburg-Landau cú th gii c nghim di dng hin ta khụng th v chớnh xỏc c qu o ca X vỡ nghim cú cha tớch phõn, v ta phi xp x tớch phõn ny bng cụng thc hỡnh thang ng gch mụ t giỏ tr xp x ca X bi lc Euler-Maruyama ng chm chm ã ã ã mụ t giỏ tr xp x ca X bi lc Euler-Maruyama khng ch S im chia on [0, 1] l n = 27 hỡnh 3.5, 3.7, v n = 210 hỡnh 3.6, 3.8 55 2.4 X EM EM KC 2.2 1.8 1.6 1.4 1.2 0.8 20 40 60 80 100 120 Hỡnh 3.5: n = 27 , = 1.6 X EM EM KC 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 200 400 600 Hỡnh 3.6: n = 210 , = 56 800 1000 15 X EM EM KC 10 -5 -10 -15 20 40 60 80 100 120 Hỡnh 3.7: n = 27 , = X EM EM KC 0 500 1000 1500 Hỡnh 3.8: n = 210 , = 57 2000 k kvEM 10.58 2.85E+13 1.0675 1.0918 1.1111 1.0997 1.1123 1.1115 10 1.1099 11 1.1056 kvKC 2.05 1.753 1.525 1.3887 1.2784 1.2103 1.1781 1.1537 1.1374 1.1244 kvD 0.7179 0.8051 0.9303 1.0027 1.0545 1.0732 1.0986 1.1041 1.1057 1.104 Bng 3.3: Bng giỏ tr ca E[|X1 |2 ] = k kvEM NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN 11 2.9651 kvKC 8.04E+06 2.06E+09 1.81E+10 1.47E+07 3.58E+04 5.93E+02 8800 4.75E+02 kvD 0.5586 0.7571 0.9728 1.3524 1.7748 2.1931 2.6161 3.036 Bng 3.4: Bng giỏ tr ca E[|X1 |2 ] = 3.2.2 Xp x E[|X1 |2 ] Bng 3.1 v 3.2 cho giỏ tr xp x ca E[|X1 |2 ] s dng phng phỏp Monte Carlo Euler-Maruyma v Euler-Maruyama khng ch vi s im chia on [0, 1] l n = 2k Ct kvD l giỏ tr xp x ca E[|X1 |2 ] da vo cụng thc nghim (3.2) vi tớch phõn di mu c c lng theo cụng thc hỡnh thang 3.2.3 Code Matlab Code v qu o %dX(t) = ((eta + sm^2/2)X(t) - ld X(t)^3)dt + smX(t)dW(t) % X(0) = x0; clear k = sm = % sm la sigma 58 T = 1; n = 2^k; % n la so khoang chia doan [0,T] dt = T/n; % dt la Delta sdt = sqrt(dt); % sdt la can bac hai cua dt x0 = 1; alphaKC = 1/2; % alphaKC la alpha luoc khong che aKC = n^(-alphaKC); % aKC la n mu - alphaKC eta = 1; ld = 1; %ld la lambda hs1 = eta + sm^2/2; xEM(1) = x0; % euler-maruyama thong thuong xKC(1) = x0;% euler-maruyama khong che X(1) =x0; W(1) = 0; s=0; tp=0; for i = 1:n dw = sdt*randn; %dw co phan phoi chuan N(0,1) xEM(i+1) = xEM(i) + (hs1*xEM(i)-ld*xEM(i)^3)*dt + sm*xEM(i)*dw; b = hs1*xKC(i)-ld*xKC(i)^3; xKC(i+1) = xKC(i) + b*dt/(1+ aKC*abs(b))+ sm*xKC(i)*dw; W(i+1) = W(i) +dw; s = s + dt; = + exp(2*eta*s + 2*sm*W(i))*dt; X(i+1) = x0*exp(eta*s + sm*W(i))/sqrt(1+ 2*x0^2*ld*tp); end plot(X) hold on plot(xEM, ) plot(xKC) Code tớnh kỡ vng %dX(t) % X(0) % Tinh k = 11 sm = = ((eta + sm^2/2)X(t) - ld X(t)^3)dt + smX(t)dW(t) = x0; E[X(1)^2] % sm la sigma T = 1; n = 2^k; % n la so khoang chia doan [0,T] dt = T/n; % dt la Delta sdt = sqrt(dt); % sdt la can bac hai cua dt x0 = 1; alphaKC = 1/2; % alphaKC la alpha luoc khong che aKC = n^(-alphaKC); % aKC la n mu - alphaKC eta = 1; ld = 1; %ld la lambda hs1 = eta + sm^2/2; N = n^2; % N la so phep lap Monte Carlo if (N9) N = 50000; end % Neu N qua lon thi cho N = 10000 de han che thoi gian tinh toan sumEM = 0; sumKC = 0; sumD = 0; W = 0; for iMC = 1:N W = 0; xEM = x0; % euler-maruyama thong thuong xKC = x0;% euler-maruyama khong che = 0; s = 0; for iEu = 1:n dw = sdt*randn; %dw co phan phoi chuan N(0,1) xEM = xEM + (hs1*xEM-ld*xEM^3)*dt + sm*xEM*dw; b = hs1*xKC-ld*xKC^3; xKC = xKC + b*dt/(1+ aKC*abs(b))+ sm*xKC*dw; W = W +dw; s = s + dt; = + exp(2*eta*s + 2*sm*W); end W = W -dw; sumEM = sumEM + xEM^2; sumKC = sumKC + xKC^2; Xdung = x0*exp(eta*T+sm*W)/sqrt(1+2*x0^2*ld*tp*dt); sumD = sumD + Xdung^2; end kvEM = sumEM/N kvKC = sumKC/N kvD = sumD/N 3.3 ỏnh giỏ kt qu mụ phng T kt qu ca cỏc mụ phng mc trc, ta rỳt mt s kt lun nh sau Khi cỏc h s ca phng trỡnh tha iu kin Lipschitz, lc Euler-Maruyama c in rt n nh v hi t ti nghim ỳng nhanh hn lc Euler-Maruyama khng ch Khi cỏc h s ca phng trỡnh tng trờn tuyn tớnh, lc EulerMaruyama c in v c bn l b n ging nh lý thuyt ó chng minh Trong cỏc trng hp nú khụng b n lý l vỡ s xỏc sut nú b n l rt nh v s phộp lp Monte-Carlo l cha nhiu bin c n xut hin Mc dự vy lc Euler-Maruyama khụng b n thỡ tc hi t ca nú nhanh hn tc ca lc Euler-Maruyama khng ch Cỏc lc Euler-Maruyama khng ch khụng b n nhng tc hi t l khỏ chm 60 Kt lun Lun trung nghiờn cu Xp x Euler-Maruyama cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s khụng b chn tuyn tớnh thc hin thnh cụng nhim v ny, chỳng tụi nghiờn cu v gii quyt cỏc : H thng kin thc v phộp tớnh vi phõn ngu nhiờn Itụ v phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn Nghiờn cu phng phỏp xp x Euler-Maruyama cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s Lipschitz ton cc Nghiờn cu s phõn k ca phng phỏp xp x Euler-Maruyama cho phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn vi h s khụng b chn tuyn tớnh Phỏt trin k nng chuyn húa thut toỏn thnh chng trỡnh mỏy tớnh S dng ngụn ng Matlab lp trỡnh v s húa mt s mụ hỡnh Tỡm hiu mụ hỡnh chuyn ng Brown hỡnh hc, mụ hỡnh Ginzburg Landau, mụ phng qu o ca chỳng bng ngụn ng Matlab so sỏnh tc hi t ca lc Euler-Maruyama c in v lc Euler-Maruyama khng ch Nh vy cú th núi lun ó hon thnh nhim v nghiờn cu t Nhng kt qu v chng trỡnh t c khuụn kh lun ny s l c s tỏc gi tip tc nghiờn cu chuyờn sõu cỏc bi toỏn cú ng dng thc t phc hn 61 Ti liu tham kho [1] Ngụ Hong Long (2014) Bi ging gii tớch ngu nhiờn v ng dng [2] Ginzburg, V L and Landau, L D (1950) J Exptl Theoret Phys (U.S.S.R), 20 [3] Hutzenthaler, Martin, Arnulf Jentzen, and Peter E Kloeden (2012), Strong convergence of an explicit numerical method for SDEs with nonglobally Lipschitz continuous coefficients, The Annals of Applied Probability, 22.4, 1611-1641 [4] Kloeden, P E and Platen, E (1992) Numerical solution of stochastic differential equations Volume 23 of Applications of Mathematics (New York) Springer-Verlag, Berlin [5] Mao, Xuerong (2007), Stochastic differential equations and applications, Elsevier [6] Sabanis, S (2013), A note on tamed Euler approximations, Electronic Communications in Probability, 18, 1-10 62 [...]... điều kiện Lipshitz địa phương và điều kiện đều tức là 1 xT f (x, t) + |g(x, t)|2 ≤ k 1 + |x|2 , 2 thì phương trình (1.4) cũng có nghiệm duy nhất 28 Chương 2 Xấp xỉ Euler- Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính 2.1 Phương pháp xấp xỉ Euler- Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz toàn cục Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên t t g x(s), s dBs... x(t; t0 , ξ) thì từ phương trình (1.5) ta có với mọi s ∈ [t0 , T ], t t g(x(u), u)dB(u) với s ≤ t ≤ T f (x(u), u)du + x(t) = x(s) + s (1.6) s Mặt khác, (1.6) lại là một phương trình vi phân ngẫu nhiên trên đoạn [s, T ] với giá trị ban đầu là x(s) = x(s; t0 , ξ) Kí hiệu nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.6) bởi x(t; s, x(s; t0 , ξ)) Khi đó, nếu phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.4) và (1.6)... Mệnh đề 1.13 Cho hàm số f : [0, T ] → R sao cho 0 T T f (s)dBs Thì Xt có phân phối chuẩn N Xt = 0 1.4 f 2 (s)ds 0, 0 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.4.1 Định nghĩa phương trình vi phân ngẫu nhiên • Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ với họ lọc {Ft }t≥0 thỏa mãn điều kiện thông thường • B(t) = (B1 (t), B2 (t), , Bm (t))T , t ≥ 0 là chuyển động Brown m chiều xác định trên không gian... thấy tích phân trên M cũng thỏa mãn các tính chất của Mệnh đề 1.11 2 Tiếp theo, ta xét P[0,T ] = f : [0, T ] × Ω → R sao cho ft là Ft -đo được và T fs2 ds < +∞ hầu chắc chắn Ta có M2 ⊂ P 2 Bằng cách xét dãy quá trình 0 dừng, ta cũng có thể định nghĩa được tích phân ngẫu nhiên cho quá trình ngẫu nhiên thuộc P Tuy nhiên tích phân trên P 2 không còn giữ được tính chất đẳng cự 1.3.2 Công thức vi phân Itô... sử a(t, w) và b(t, w) là hai quá trình ngẫu nhiên tương thích với lọc Ft và T T |b(s, w)|2 ds < +∞ hầu chắc chắn |a(s, w)| ds + 0 0 t Quá trình ngẫu nhiên Xt = X0 + t b(s)dBs (X0 là F0 -đo được) được a(s)ds + 0 0 gọi là quá trình Itô Ta vi t (1.3) dXt = a(t)dt + b(t)dBt Định lý 1.13 Cho F : [0, T ] × R → R thuộc không gian C 1,2 Giả sử (Xt )t∈[0,T ] là quá trình Itô cho bởi công thức (1.3) Đặt Yt =... 1.25 Quá trình ngẫu nhiên {x(t)}t0 ≤t≤T nhận giá trị trên Rd được gọi là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.4) nếu thỏa mãn 1 x(t) liên tục và là Ft -đo được; 2 f (x(t), t) ∈ L1 [t0 , T ], Rd và g(x(t), t) ∈ L2 [t0 , T ], Rd×m tức là t t |f (x(s), s)|ds < ∞ |g(x(s), s)|2 ds < ∞ hầu chắc chắn; v` a t0 t0 3 x(t) thỏa mãn phương trình (1.5) Chú ý 1.1 Nếu ta kí hiệu nghiệm của phương trình (1.4)... 15 • Giả sử 0 ≤ t0 ≤ T < ∞ và ξ là véc tơ ngẫu nhiên, Ft0 -đo được, nhận giá trị trong Rd và E[|ξ|2 ] < ∞ • Giả sử f : Rd × [0, T ] → Rd , g : Rd × [0, T ] → Rd×m , là các hàm Borel đo được Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên d chiều   dx(t) = f (x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t), 0 ≤ t0 ≤ t ≤ T (1.4)  x(t ) = ξ, 0 Phương trình trên có thể vi t dưới dạng tích phân t x(t) = ξ + t f (x(s), s)ds + t0 g(x(s),... tất cả các không gian xác suất với lọc được đề cập đến trong luận văn này đều thỏa mãn điều kiện thông thường Định nghĩa 1.15 Họ (Xt )t∈I các bnn nhận giá trị trên Rd được gọi là một quá trình ngẫu nhiên (vi t tắt là qtnn) với tập chỉ số I và không gian trạng thái Rd Tập chỉ số I thường là nửa đường thẳng thực R+ = [0, ∞), đoạn [a, b] hay tập các số nguyên dương Khi I là tập (con của) các số nguyên... t)|2 ≤ K(1 + |x|2 ) (1.9) Khi đó phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất thỏa mãn T x(s)2 ds < ∞, E (1.10) t0 trong đó tính “duy nhất” hiểu theo nghĩa: Nếu x¯(t) cũng là nghiệm của phương trình (1.4) thì P x(t) = x¯(t), ∀t ∈ [t0 , T ] = 1 Để chứng minh định lý ta xét bổ đề sau Bổ đề 1.1 Giả sử điều kiện tăng tuyến tính (1.9) được thỏa mãn và x(t) là nghiệm của phương trình (1.4) thì sup |x(t)|2 ≤... Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Đại cương về quá trình ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất Định nghĩa 1.14 • Họ (Ft )t≥0 các σ -đại số con của F được gọi là một lọc nếu Ft ⊂ Fs với mọi s ≥ t ≥ 0 Fs với mọi t ≥ 0 • Lọc (Ft )t≥0 được gọi là liên tục phải nếu Ft = s>t • Lọc (Ft )t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó là liên tục phải và F0 chứa tất cả các tập A ⊂ Ω sao cho