B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH HUYN TRANG MT S TNH CHT CA PHNG TRèNH VI PHN I S VI H S BIN THIấN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Vn Hựng H Ni, 2015 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Nguyn Vn Hựng, thy ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn, ging gii tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó trang b kin thc, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, giỳp tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Huyn Trang Li cam oan Tụi xin cam oan di s hng dn ca TS Nguyn Vn Hựng lun vn: Mt s tớnh cht ca phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn l cụng trỡnh nghiờn cu ca tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu vit lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n, cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Huyn Trang Mc lc M u Chng Kin thc chun b 1.1 Ma trn v phộp chiu 1.2 Mt s khụng gian hm Chng Phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng 11 2.1 Phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng 11 2.2 c trng ca phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng 18 Chng Phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn 50 3.1 Phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn 50 3.2 c trng phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy bi dóy phộp chiu chp nhn c 53 3.3 Tỏch cỏc phng trỡnh ch s 66 Kt lun 70 Ti liu tham kho 70 M u Lớ chn ti Lý thuyt phng trỡnh vi phõn i s (DAEs) cú lch s nghiờn cu t lõu nhng phi ti nhng nm 1960, cỏc nh toỏn hc v k s mi bt u nghiờn cu cỏc khớa cnh khỏc ca DAEs, chng hn nh cỏc v lý thuyt v cỏc ng dng ca nú Cho ti lý thuyt DAEs ó phỏt trin v cú nhiu mi liờn h cht ch vi cỏc lnh vc toỏn hc khỏc nh i s, gii tớch hm, gii tớch s, v t cú nhiu ng dng rng rói thc tin Phng trỡnh vi phõn i s bt u thu hỳt c cỏc nghiờn cu thỳ v v tinh t cỏc ng dng v gii tớch s t nhng nm u thp niờn 80 ca th k trc Trong mt thi gian tng i ngn, phng trỡnh vi phõn i s ó tr thnh mt cụng c c tha nhn rng rói cỏc mụ hỡnh cú i tng rng buc mụ hỡnh húa v iu khin cỏc quỏ trỡnh ú theo cỏc lnh vc ng dng khỏc Vi mong mun tỡm hiu lớ thuyt phng trỡnh vi phõn i s núi chung v nhm b sung v nõng cao kin thc ó hc chng trỡnh i hc v cao hc, tụi chn ti Mt s tớnh cht ca phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn lm lun cao hc ca mỡnh Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu lớ thuyt phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Nghiờn cu cỏc c trng ca phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn Phm vi nghiờn cu: Cỏc cun sỏch, cỏc bi bỏo v cỏc ti liu liờn quan n lớ thuyt phng trỡnh vi phõn i s, ch yu l cun sỏch [5] Phng phỏp nghiờn cu S dng cụng c ca i s tuyn tớnh, gii tớch s v gii tớch hm tip cn v gii quyt Thu thp, nghiờn cu v tng hp cỏc ti liu liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo v cỏc sỏch mi v m lun cp ti úng gúp ca lun Xõy dng lun thnh mt ti liu tng quan v tham kho tt cho sinh viờn v hc viờn cao hc v phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn Chng Kin thc chun b 1.1 Ma trn v phộp chiu nh ngha 1.1 Mt ỏnh x tuyn tớnh Q L(Rm ) c gi l mt phộp chiu (toỏn t chiu) nu Q2 = Q; Phộp chiu Q L(Rm ) c gi l phộp chiu lờn S Rm nu Im Q = S; Phộp chiu Q L(Rm ) c gi l phộp chiu dc theo S Rm nu Ker Q = S; Phộp chiu Q L(Rm ) c gi l phộp chiu trc giao nu Q = Q ú Q l liờn hp ca Q Vớ d 1.1 Ma trn Q khụng gian m chiu ããã ããã Q= . ããã vi cỏc phn t v trớ l tựy ý, ú ma trn Q l mt phộp chiu lờn khụng gian mt chiu span bi vector ct u tiờn ca Q dc theo khụng gian (m 1) chiu {v : v = [v1 v2 vm ]T , v1 = 0} = I P l B 1.1 Cho P v P l hai phộp chiu v Q := I P, Q phộp chiu bự Khi ú, cỏc tớnh cht sau l ỳng: (1) z im Q z = Qz; chiu lờn cựng mt khụng gian S thỡ Q = QQ (2) Nu Q v Q v Q = QQ; (3) Nu P v P chiu lờn cựng mt khụng gian S thỡ P = P P v P = P P ; (4) Q chiu lờn S v ch P = I Q chiu dc theo S; (5) Vi Z l ma trn bt kỡ thỡ mi ma trn cú dng I + P ZQ l khụng suy bin v ma trn nghch o l I P ZQ; (6) Mi phộp chiu P l chộo húa c Cỏc giỏ tr riờng l v Bi ca giỏ tr riờng l r = rankP B 1.2 (Lemma A.9, [5]) Cho A, B L(Rm ), v rankA = r < m, N = Ker A, v S = {z Rm : Bz Im A} Khi ú, cỏc iu sau l tng ng: (1) Nhõn vi mt ma trn khụng suy bin E L(Rm ) cho A1 B , rank A1 = r EA = , EB = B2 thỡ thu c mt ma trn khụng suy bin A1 B ; (2) N S = {0}; (3) A + BQ l suy bin vi mi phộp chiu Q lờn N ; (4) N S = Rm ; (5) Cp {A, B} l chớnh quy vi ch s Kronecker 1; (6) Cp {A, B + AW } l chớnh quy vi ch s Kronecker vi mi W L(Rm ) B 1.3 (Lemma A.10, [5]) Cho A, B L(Rm ), v A l suy bin, N = Ker A, v S = {z Rm : Bz Im A} v N S = Rm Khi ú, phộp chiu Q lờn N dc theo S tha Q = Q(A + BQ)1 B B 1.4 (Lemma A.11, [5]) Cho trc ma trn A L(Rm ), k = indA, r = rankAk v cho s1 , , sr Rm v sr+1 , , sm Rm tng ng l cỏc c s ca Im Ak v Ker Ak Khi ú, vi S = [s1 sm ] tớch S AS cú cu trỳc c bit M S AS = N ú M L(Rr ) l khụng suy bin v N L(Rmr ) l ly linh, N k = 0, N k1 = Vi hai hm ma trn kh vi liờn tc F : I L(Rm , Rk ) v G : I L(Rl , Rm ), I R Tớch F G : I L(Rl , Rk ) c xỏc nh bi (F G)(t) := F (t)G(t), t I Ta cú quy tc tớnh o hm (F G) (t) := F (t)G(t) + F (t)G (t), t I Cho P C (I, L(Rm )) l phộp chiu giỏ tr hm s v Q = I P l phộp chiu bự Khi ú, ta cú (1) P + Q = I v ú Q = P ; (2) QP = P Q = 0, v Q P = QP , P Q = P Q ; (3) P P P = P Q P = P QP = v QQ Q = B 1.5 (Lemma A.14, [5]) (1) Nu hm ma trn P C (I, L(Rm )) l phộp chiu giỏ tr hm, tc l P (t) = P (t), t I thỡ P cú hng r v tn ti r hm c lp tuyn tớnh , , r C (I, Rm ) cho Im P (t) = span{1 (t), , r (t)} t I; (2) Nu mt khụng gian L(t) Rm , t I, vi s chiu r span bi cỏc hm , , r C (I, Rm ), tc l L(t) = span{1 (t), , r (t)} thỡ khụng gian ny tr thnh khụng gian ca khụng gian cỏc hm kh vi liờn tc; (3) Cho hm ma trn A C k (I, L(Rm )) cú hng k, ú, tn ti mt hm ma trn M C k (I, L(Rm )) khụng suy bin cho =r A(t)M (t) = [A(t) 0], rank A(t) t I , , N k cỏc khụng gian khụng N0 , , Nk v cỏc khụng gian giao N cng nh cỏc khụng gian tng N0 + ã ã ã + Ni , i = 1, , k, v cỏc phn bự X1 , , Xk cú s chiu hu hn C th l, i , N0 + ã ã ã + Ni1 = Xi N N0 + ã ã ã + Ni = Xi Ni , i = 1, , k, ú dimN0 = m r0 , dim(N0 + ã ã ã + Ni1 ) = dimXi + ui , dim(N0 + ã ã ã + Ni ) = dimXi + m ri , i = 1, , k Do ú, dim(N0 + ã ã ã + Ni ) = dim(N0 + ã ã ã + Ni1 ) ui + m ri , dimXi dimNi (m rj uj+1 ) + m ri = = i1 i i1 (m rj ) j=0 j=0 uj+1 j=0 i tm thng, thỡ Xi = N0 + ã ã ã + Ni1 , v ui = Nu cỏc giao N i = {0}, khụng gian N0 + ã ã ã + Ni cú s chiu l c bit, giao N dim(N0 + ã ã ã + Ni1 ) + dimNi Tip theo ta cú kt qu sau Mnh 3.1 Cho phng trỡnh (3.1) vi s hng ng u thc s, v k N cho trc Nu Q0 , , Qk l cỏc hm chiu chp nhn c, thỡ vi i = 1, , k ta cú: (1) Ker i = N0 + ã ã ã + Ni ; (2) Cỏc tớch i = P0 ã ã ã Pi v i1 Qi = P0 ã ã ã Pi1 Qi cng nh Di D1 v Di1 Qi D1 l cỏc phộp chiu giỏ tr hm; 57 (3) N0 + ã ã ã + Ni1 Ker i1 Qi ; (4) Bi = Bi i1 ; i Ni Ni+1 v ú N i N i+1 ; (5) N (6) Gi+1 Qj = Bj Qj , j i; (7) D(N0 + ã ã ã + Ni ) = Im DP0 ã ã ã Pi1 Qi Im Di2 Qi1 + ã ã ã Im DP0 Q1 ; (8) Cỏc tớch Qi (I i1 ) v Pi (I i1 ) tng ng l cỏc hm i v Xi ; chiu lờn N Hn na, cỏc hm ma trn G1 , , Gk v Gk+1 l liờn tc Nu Q0 , , Qk l chp nhn c chớnh quy thỡ vi i = 1, , k ta cú Ker i1 Qi = Ker Qi , Qi Qj = 0, j = 0, , i nh lý 3.1 Cho phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn (3.1) Khi ú, vi k N cho trc, nu cỏc hm phộp chiu chp nhn c ti mc k tn ti, thỡ cỏc khụng gian Im Gj , N0 + ã ã ã + Nj , Sj = Ker Wk B, j = 0, , k + 1, v cỏc s rj = rankGj , j , uj = dimN j = 0, , k, v cỏc hm rk+1 : I N {0}, j = 0, , k, uk+1 : I N {0} khụng ph thuc vo cỏch chn c bit ca dóy cỏc hm phộp chiu chp nhn c Q0 , , Q k 58 nh ngha 3.4 Nu phng trỡnh vi phõn i s (3.1) cú dóy cỏc hm ma trn chp nhn c ti mc k, thỡ cỏc s nguyờn rj = rankGj , j , uj = dimN j = 0, , k, j = 0, , k, c gi l cỏc giỏ tr c trng ca phng trỡnh vi phõn i s (3.1) Khụng gian liờn kt S0 = Ker W0 B, ti thi im t I S0 (t) = Ker W0 (t)B(t) = {z Rm : B(t)z Im G0 (t) = Im A(t)} cha tt c cỏc giỏ tr nghim x(t) ca cỏc nghim ca phng trỡnh thun nht A(Dx) + Bx = Ta s ch di õy, vi phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy ch s 1, khụng gian S0 (t) bao gm tt c cỏc giỏ nghim nh th, cú ngha l, vi mi phn t ca S0 (t) tn ti mt nghim i qua im ú Vi cỏc phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy ch s cao, cỏc hp ca cỏc giỏ tr nghim tng ng to thnh mt khụng gian thc s ca S0 (t) Trong trng hp tng quỏt, cỏc khụng gian liờn kt tha iu kin Si+1 = Si + Ni = Si + N0 + ã ã ã + Ni = S0 + N0 + ã ã ã + Ni , i = 0, , k C th, vỡ Im Gi Im Gi+1 , nờn ta cú Wi+1 = Wi+1 Wi , ú, Si+1 = Ker Wi+1 B = Ker Wi+1 Wi B Ker Wi B = Si , v ta cú Si+1 = Ker Wi+1 Bi+1 Ker Bi+1 N0 + ã ã ã + Ni 59 Nh vy, ba dóy cỏc khụng gian liờn kt vi mi dóy hm ma trn chp nhn c l: Im G0 Im G1 ã ã ã Im Gi ã ã ã Im [AD B] Rk , (3.9) N0 N0 + N1 ã ã ã N0 + ã ã ã + Ni ã ã ã Rm , (3.10) v S0 S1 ã ã ã Si ã ã ã Rm (3.11) Tt c cỏc khụng gian l khụng ph thuc vo cỏch chn c bit ca cỏc hm phộp chiu chp nhn c Trong tt c ba trng hp ú, s chiu khụng gim nu ch s tng Ta i tỡm tiờu chun ch vi mt Gà ó bit cú hng cc i cú th Chng hn, nu ta gp mt n ỏnh ma trn nh vớ d 3.2 thỡ dóy tr thnh dóy dng vi Qà = 0, Gà+1 = Gà Do ú, ch s nh nht cho ma trn Gà l n ỏnh l, ch ti cựng thi im m Im Gà l cc i, nhng Im Gà1 l mt khụng gian thc s, nu Trong trng hp tng quỏt, cú th xy trng hp n ỏnh Gà khụng tn ti Cui cựng, ta thu c Im Gà = Im [AD B]; (3.12) nhiờn, iu kin ny khụng cn thit cỏc trng hp nh ta s chng t qua vớ d di õy Vớ d 3.3 (Dóy ma trn chp nhn c ca phng trỡnh vi phõn i s khụng chớnh quy) Vi m = k = 3, n = 2, xột phng trỡnh vi phõn i s 1 0 x + x = q 0 0 0 60 (3.13) Phng trỡnh (3.13) khụng chớnh quy vỡ chựm ma trn l suy bin õy, ta cú Im [AD B] = R3 v 0 G0 = , Q0 0 1 G1 = , Q1 = 0 G2 = 0 0 0 = 0 , W0 = 0 0 0 0 0 0 , W1 = 0 , 0 0 0 , = 0 0 , 0 B1 = , Ta suy N0 = {x R3 : z1 = z2 = 0}, N1 = {x R3 : z2 = 0, z1 + z3 = 0}, v N2 = {x R3 : z2 = 0, 2z1 + z3 = 0} Phn giao N0 N1 = {0} v iu kin Q1 Q0 = c tha món, nờn ta cú = N2 N0 + N1 N0 + N1 = {x R3 : z2 = 0}, (N0 + N1 ) N2 = N Do ú, N0 + N1 = N0 + N1 + N2 v N0 + N1 = N2 N0 Ta t X2 = N0 , v thu c 0 Q2 = 0 vi X2 Ker Q2 , 0 61 0 B2 = Cỏc phộp chiu Q0 , Q1 , Q2 l chp nhn c, nờn B2 Q2 = 0, G3 = G2 , N3 = N2 v = v S0 = {z R3 : z2 = 0}, S0 = S1 = S2 = S3 Vi dóy hm ma trn Q3 = Q2 , B3 = B2 , B3 Q3 = 0, G4 = G3 , ú Gi khụng l n ỏnh v Im G0 = ã ã ã = Im Gi = ã ã ã = R2 ì {0} Im [AD B] = R3 , S0 = ã ã ã = Si = ã ã ã = R ì {0} ì R, N0 N0 + N1 = N0 + N1 + N2 = ã ã ã = R ì {0} ì R, v nh ma trn ó bit l Im G0 Vớ d tip theo rt quan trng cỏc ng dng v c gi l dng phng trỡnh vi phõn i s Hessenberg c v nú mụ t chuyn ng c hc ca cỏc vt th Vớ d 3.4 Dóy chp nhn c ca phng trỡnh vi phõn i s Hessenberg c Xột h x B B B x q 11 12 13 x2 + B21 B22 x2 = q2 0 B32 x3 q3 (3.14) vi m = m1 + m2 + m3 phng trỡnh, m1 m2 m3 1, k = m thnh phn, v I A = tớch B32 B21 B13 khụng suy bin t n = m1 + m2 , I B11 B12 B13 I 0 , D = I , B = B21 B22 , I , D = I 0 0 B32 v ta vit phng trỡnh ny di dng (3.1) 62 Do tớnh suy bin ca m3 ì m3 tớch hm ma trn B32 ì B21 ì B13 , cỏc hm ma trn B13 v B21 B13 cú cỏc ct y hng m3 , v B32 cú s hng y hng m3 Do ú, Im [AD B] = Rm Hn na, vỡ B13 v B21 B13 cú hng hng s nờn tn ti cỏc nghch o suy rng phn x B13 v (B21 B13 )1 cho 1 B13 B13 = I, = B13 B13 l mt phộp chiu lờn Im B13 , (B21 B13 )1 (B21 B13 ) = I, = (B21 B13 )(B21 B13 )1 l mt phộp chiu lờn Im B21 B13 Gi s cỏc h s ca B l trn cho cỏc o hm c s dng di õy l tn ti c bit, v c gi thit l kh vi liờn tc Ta bt u xõy dng dóy hm cỏc ma trn I 0 0 B B B I B13 11 12 13 G0 = I , Q0 = 0 , B0 = B21 B22 , G1 = I 0 I B32 0 0 0 Do ú, N0 = {z Rm : z1 = 0, z2 = 0}, = N0 N1 = {0}, N N1 = {z Rm : z1 + B13 z3 = 0, z2 = 0}, X1 = N0 , N0 + N1 = N0 N1 = {z Rm : z2 = 0, z1 Im B13 } Cỏc hm ma trn G0 v G1 cú hng l hng s, r = r1 = n Tớnh cỏc phộp chiu 0 I , Q1 = 0 , D1 D = I B13 0 63 cho Im Q1 = N1 v Q1 Q0 = 0, tc l Ker Q1 X1 Do Q1 liờn tc v D1 D1 l kh vi liờn tc Do ú, Q0 , Q1 l chp nhn c Tip theo, ta cú I + (B11 + )1 B13 B + B12 11 G2 = B1 = B21 B21 I B22 0 0 B32 z + B13 z3 m1 +m2 +m3 Vi z R ú z1 ker1 nờn Im G2 = vỡ z2 Im B13 = Im Do ú ta cú , Im G2 Rn ì {0} = {G2 z : z Rm1 +m2 +m3 , z1 Ker } Im G2 , v ta thu c Im G2 = Rn ì {0}, v r2 = rankG2 = m1 + m2 = n Bõy gi ta tỡm khụng gian khụng ca G2 Nu z Rm tha G2 z = 0, thỡ z1 + (B11 + )1 z1 + B13 z3 = 0, (3.15) B21 z1 + z2 = (3.16) Phng trỡnh (3.15) ta phõn tớch thnh (I Q1 )z1 + (I )(B11 + )1 z1 = 0, 1 B13 (I + B13 (B11 + ))1 z1 + z3 = Tng t, Im B21 B13 = Im B21 B13 B13 nờn t (3.16) ta suy z2 = z2 , B13 z1 = (B21 B13 )1 z2 T ú, N2 = {z Rm : z2 = z2 , z1 = z2 , 64 z3 = z2 }, = {0}, X2 = N0 +N1 , N vi = (I (I )(B11 + )1 )B13 (B21 B13 )1 = (I (I )(B11 + ))B13 (B21 B13 )1 = B13 (I + (B11 + ))B13 (B21 B13 )1 = , = Cỏc phộp chiu I (I ) , Q2 = , D2 D1 = I Lu ý rng tha cỏc iu kin v tớnh chp nhn c, c bit Q2 Q0 = 0, Q2 Q1 = 0, v ú Q0 , Q1 , Q2 l chp nhn c Do ú, B2 , G3 cú dng B B 11 12 B2 = B21 B22 , B32 B11 + B12 B13 I + (B11 + )1 G3 = B21 I + B21 + B22 B32 Ta chng t G3 l khụng suy bin Tht vy, G3 z = nờn B32 z2 = 0, hay z2 = 0, v hn na B21 z1 + z2 = Do ú (I )z2 = v B21 z1 = 0, v iu ny cho ta z1 = 0, z2 = Bõy gi, dũng th nht ca h G3 z = tr thnh z1 + B13 z3 = Hay (I )z1 = v ú z1 = 0, z3 = Ma trn G3 ú l khụng suy bin Túm li, cỏc khụng gian c s ca ta l Im G0 = Im G1 = Im G2 Im G3 = Im [AD B] = Rm , N0 N0 + N1 N0 + N1 + N2 = N0 + N1 + N2 + N3 Rm Thờm cỏc hm phộp chiu liờn kt Wi lờn Im Gi v cỏc khụng gian 65 Si = Ker Wi B l 0 W0 = 0 , 0 I W0 = W1 = W2 , W3 = 0, v S0 = {z Rm : B32 z2 = 0}, , S0 = S1 = S2 S3 = Rm Cỏc khụng gian Im G3 v S3 cú s chiu cc i l m, s chiu ca khụng gian cc i N0 + N1 + N2 l nh hn m 3.3 Tỏch cỏc phng trỡnh ch s Trong mc ny ta xột phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy (3.1) vi ch s Phng trỡnh (3.1) c vit li dng A(t)(D(t)x(t)) + B(t)x(t) = q(t), t I (3.17) nh ngha 3.5 Phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn (3.17) c gi l: (1) chớnh quy vi ch s 0, nu r0 = m; (2) chớnh quy vi ch s N nu tn ti dóy hm ma trn chp nhn c vi cỏc giỏ tr c trng rà1 < rà = m; (3) chớnh quy nu tha (1) hoc (2) õy ri = rankGi c xỏc nh cỏc nh ngha 3.3, 3.4 v nh lớ 3.1 66 nh ngha 3.6 Cho phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn (3.17) vi ch s kim soỏt à, v dóy hm phộp chiu chp nhn c Q0 , , Qà1 Khi ú, phng trỡnh 1 u (Dà1 D1 ) u + Dà1 G1 Bà D u = Dà1 Gà q (3.18) c gi l phng trỡnh vi phõn thng chớnh quy dng hin cha phng trỡnh vi phõn i s (3.17) ó cho Xột phng trỡnh (3.17) vi ch s Khi ú, hm ma trn G0 = AD l suy bin v cú hng hng s Ta ly mt hm phộp chiu liờn tc Q0 Khi ú hm ma trn G1 = G0 + BQ0 l khụng suy bin Do ú, ta cú Q1 = 0, = v V0 = 0, hn na B1 = BP0 G1 D1 (D0 D1 ) D0 = BP0 Ta nhõn (3.17) vi G1 , lỳc ny (3.17) tr thnh D1 (DP0 x) + G1 BP0 x + Q0 x = G1 q Nhõn hai v phng trỡnh ny ln lt vi D0 = D v I = Q0 ta thu c h 1 (Dx) R Dx + DG1 BD Dx = DG1 q, 1 Q0 x + Q0 G1 BD Dx = Q0 G1 q, (3.19) (3.20) v nghim c biu din dng x = D1 Dx+Q0 x Phng trỡnh (3.20) tr thnh Q0 x + H0 D1 Dx = L0 q, 1 vi H0 = Q0 K0 = Q0 G1 B0 = Q0 G1 BP0 , L0 = Q0 G1 Vỡ G1 khụng suy bin nờn theo b 1.2 ta cú th phõn tớch S0 N0 = Rm , v hm ma trn Q0 G1 B c biu din nh l mt hm phộp chiu lờn N0 dc theo S0 Ta cú th chn Q0 l hm phộp chiu c bit lờn 67 N0 dc theo S0 bc u tiờn Khi ú, H0 = Q0 G1 BP0 = 0, tc l phng trỡnh (3.20) tỏch t (3.19) Vớ d 3.5 Xột phng trỡnh vi phõn i s na hin ch s vớ d 3.2 I ([I B11 B12 x = q 0]x) + B21 B22 vi B22 khụng suy bin Ta s tỏch phng trỡnh ny thnh phng trỡnh vi phõn thng dng hin Tht vy, õy ta cú cỏc khụng gian N0 = {z Rm1 +m2 : z1 = 0} v S0 = {z Rm1 +m2 : B21 z1 + B22 z2 = 0}, v hm phộp chiu lờn N0 dc theo S0 l 0 Q0 = B22 B21 I Do ú, H0 = 0, v D1 I I + B12 B22 B21 B12 , G1 = , = B22 B21 B21 B22 I B12 B22 G1 = 1 B22 B21 (I + B22 B21 B12 ) v thu c phng trỡnh vi phõn thng dng hin 1 x1 + (B11 B12 B22 B21 )x1 = q1 B12 B22 q2 (3.21) T vớ d 3.2, Q0 c chn l phộp chiu trc giao, nhng cng thu c phng trỡnh vi phõn thng dng hin (3.21) T vớ d trờn, ta cú kt qu tng quỏt i vi phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy ch s nh sau 68 Mnh 3.2 Cho phng trỡnh vi phõn i s chớnh quy (3.17) ch s Khi ú, phng trỡnh vi phõn thng dng hin cha phng trỡnh l 1 u R u + DG1 BD u = DG1 q v khụng ph thuc vo cỏch chn ca hm phộp chiu liờn tc Q0 Chng minh Ta ch cn so sỏnh phng trỡnh vi phõn thng dng hin cha phng trỡnh thu c vi hai cỏch chn khỏc ca hai hm phộp chiu liờn tc Q0 v Q0 Ta cú G1 = G0 + BQ0 = G0 + BQ0 Q0 = G1 (P0 + Q0 ) = G1 (I + Q0 Q0 P0 ) v D 1 = D DD 1 = D R = D DD1 = P D1 Do ú, DG1 = DG1 v DG1 BD 1 1 = DG1 B(IQ0 )D1 = DG1 = DG1 B(IQ0 Q0 )D BD Do ú, phng trỡnh vi phõn thng dng hin cha phng trỡnh l 1 u R u + DG1 BD u = DG1 q Mnh c chng minh 69 KT LUN Lun nghiờn cu lớ thuyt phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng v h s bin thiờn C th, lun trỡnh by c cỏc sau õy: Trỡnh by mt s kin thc c bn v cỏc phộp chiu, v ma trn v cỏc phộp chiu ph thuc tham s v khụng gian cỏc hm s giỏ tr thc liờn tc; Trỡnh by khỏi nim v phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng v h s bin thiờn, s dng dóy ma trn chp nhn c v cỏc phộp chiu chp nhn c tip cn cỏc lp phng trỡnh ú T ú trỡnh by c trng phng trỡnh vi phõn i s vi h s hng v h s bin thiờn bi dóy phộp chiu chp nhn c; Trong mi phn lun cng trỡnh by c cỏc vớ d minh c th cỏc m lun cp ti Do nng lc nghiờn cu v trỡnh ca bn thõn cũn hn ch, lun chc chn khú trỏnh nhng thiu sút, tỏc gi rt mong c s gúp ý ca thy cụ v bn c lun c hon thin hn 70 Ti liu tham kho [A] Ti liu Ting Vit [1] Nguyn Th Hon, Phm Phu (2007), Phng trỡnh vi phõn v lý thuyt n nh, NXB i hc Quc gia H Ni [2] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni [B] Ti liu Ting Anh [3] K.E Brenan, S.L Campbell, L.R Petzold (1989), The Numerical Solution of Initial Value Problems in Ordinary Differential-Algebraic Equations North Holland Publishing Co., New York [4] E Griepentrog, R Măarz (1986), Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment Teubner-Texte zur Mathematik No 88 BSB B.G Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig [5] Renộ Lamour, Roswitha Măarz, Caren Tischendorf (2012), Differential-Algebraic Equations: A Projector Based Analysis, Springer [6] R Măarz, Canonical projectors for linear differential-algebraic equations Comput Math Appl 31(45), 121135 (1996) 71 [...]... các hàm liên tục f : [0, T ] → X với f C([0,T ];X) = max f (t) 0≤t≤T X 0 vì khi l = 0 thì N không xuất hiện Vì từ (2.5) ta có z = r−N z = r−N (r−N ) = r−N r +N 2 z = R−N r +N 2 (r−N z ) = · · · nên phương trình. .. và hàm này thỏa mãn i=1 phương trình (2.2) và điều kiện ban đầu x(0) = 0 Với các tập (m + 1) phần tử phân biệt {η1 , , ηm+1 } luôn có các nghiệm khác nhau, và do đó không gian nghiệm của bài toán giá trị biên thuần nhất đối với (2.2) là vô hạn Ví dụ 2.2 (Nghiệm của phương trình vi phân đại số không chính quy) Xét cặp ma trận {E, F }  1 1 0   0 0 0 E=  0 0 0  0 0 1 với  0   1 ,  0 