ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM THỊ THU PHƯƠNG LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MARTINGALE TRÊN TRƯỜNG NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kì vọng có điều kiện 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất 1.2 Dãy martingale 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất điều kiện 9 9 12 12 14 24 24 24 27 31 33 40 40 41 Luật số lớn 3.1 Luật yếu số lớn 46 46 kì vọng có Trường martingale 2.1 Trường martingale trực giao 2.1.1 Định nghĩa ví dụ 2.1.2 Các bất đẳng thức 2.1.3 σ-trường tự nhiên trực giao 2.1.4 Khái niệm hội tụ 2.2 Trường martingale 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Một số tính chất 3.2 Luật mạnh số lớn Tài liệu tham khảo 55 64 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, Ngày 17 tháng 12 năm 2015 Học viên Phạm Thị Thu Phương Mở đầu Xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nhằm tìm quy luật tượng "tưởng chừng" quy luật Một tượng ngẫu nhiên nghiên cứu ngày trở thành công cụ toán học quan trọng lĩnh vực xác suất giải tích lý thuyết martingale Martingale trò chơi Ở trò chơi hiểu theo nghĩa rộng: chơi bài, mua sổ số, đánh số đề, cổ phiếu hay bỏ vốn đầu tư Khi bắt đầu chơi, người chơi có vốn M0 , thông tin ban đầu mà người chơi biết F0 Sau ván chơi thứ nhất, vốn người chơi biến ngẫu nhiên M1 , thông tin sau ván chơi thứ tăng lên:F0 ⊂ F1 Tiếp tục chơi ván thứ hai, vốn sau chơi ván hai biến ngẫu nhiên M2 thông tin tăng lên:F0 ⊂ F1 ⊂ F2 Bằng cách đó, tiền vốn có sau ván thứ n biến ngẫu nhiên Mn , thông tin sau chơi ván thứ n Fn Như vậy, vốn người chơi thông tin thu thập lập thành dãy {Mn , Fn } Về phương diện toán học, ta xem Fn dãy σ − trường không giảm, dãy Mn biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào Fn − đo -Trò chơi xem không thiệt hại công bằng: Vốn ván sau = vốn ván trước E (Mn+1 |Fn ) = Mn gọi martingale -Trò chơi xem thiệt hại: Vốn ván sau ≤ vốn ván trước E (Mn+1 |Fn ) ≤ Mn gọi martingale -Trò chơi xem có lợi: Vốn ván sau ≥ vốn ván trước E (Mn+1 |Fn ) ≥ Mn gọi martingale Thời gian người chơi đạt mục đích đặt gọi thời điểm dừng Lý thuyết martingale mô hình toán học quan trọng có nhiều ứng dụng thống kê, phương trình vi phân, toán kinh tế Đặc biệt, gần có nhiều ứng dụng thú vị chứng khoán, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm Về phương diện xác suất, martingale mở rộng tổng biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng không Các định lý giới hạn đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất, chúng ví viên ngọc xác suất, Kolmogorov nói "Giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lí giới hạn, kết chủ yếu quan trọng lý thuyết xác suất luật số lớn" Luận văn trình bày luật số lớn cho Martingale với số nhiều chiều Luận văn đề cập tới khái niệm trường Martingale, trường hiệu Martingale, chứng minh bất đẳng thức Doob trường hiệu Martingale, chứng minh định định lí luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho trường hiệu Martingale Bố cục luận văn bao gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Gồm khái niệm xác suất giới thiệu khái quát kì vọng có điều kiện, martingale số với thời gian rời rạc gồm có bất đẳng thức bản, bất đẳng thức Doob định lý Doob hội tụ martingale Chương Trường martingale Gồm phần: Phần 1:Giới thiệu martingale gồm: khái niệm martingale trực giao, bất đẳng thức bản, định lý hội tụ Cairoli hội tụ martingale trực giao Phần 2: Dựa lý thuyết martingale số martingale trực giao đưa khái niệm trường martingale, mối liên hệ martingale trực giao martingale Qua thừa nhận kết bất đẳng thức tính hội tụ martingale xây dựng với martingale trực giao, trường hệu martingale Chương Luật số lớn Gồm phần: Phần 1: Luật yếu số lớn Một số định lý quan Phần 2: Luật mạnh số lớn Một số định lý quan trọng Một số kí hiệu (Ω, F, P) : không gian xác suất R : trường số thực N : trường số tự nhiên I : hàm tiêu B : tập Borel F : σ − đại số tương thích G : σ − đại số E : kì vọng L1 : tập biến ngẫu nhiên khả tích trên(Ω, F, P) L1 : tập tất hàm khả tích cấp đoạn [0, 1] L2 : tập tất hàm khả tích cấp đoạn [0, 1] Kí hiệu viết tắt h.c.c : hầu chắn LM SL : luật mạnh số lớn α = (α1 , , αd ) = (1, 1, , 1) ∈ Nd n = (n1 , , nd ) m = (m1 , , md ) m n : m1 ≥ n1 , m2 ≥ n2 , , md ≥ nd m n:m n, m = n d |n| = ni i=1 d nαi i |nα | = i=1 d N := {n = (n1 , , nd )|ni ∈ N} Zd := {n = (n1 , , nd )|ni ∈ Z} Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Kì vọng có điều kiện Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất; X : Ω −→ R, E|X| < ∞ biến ngẫu nhiên G σ-đại số F Khi đó, biến ngẫu nhiên Y gọi kì vọng có điều kiện X σ-đại số G nếu: • Y biến ngẫu nhiên G-đo • Với A ∈ G ta có: Y dP = A XdP A Ta kí hiệu Y = E(X|G) hay Y = EG X 1.1.2 Một số tính chất kì vọng có điều kiện Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, biến ngẫu nhiên có kì vọng, G σ-đại số F Định lý 1.1.1 Nếu X = c (hằng số) thì: E(X, G) = E(c|G) = c (h.c.c.) ≤P un an ∗ ani Xi − E(Yni |Fi−α(i) ) > max k i k d |n|→∞ P {τi (n) ≥ ui (n)} −−−−→ + i=1 Ví dụ 3.1.1 Cho {Xn , Fn : n 1} trường tương thích mạnh, có {Xn , Fn : n 1} trường tương thích mạnh* không gian thực Cho {τn = (τ1 (n), , τd (n)); n 1} trường biến ngẫu nhiêngiá trị nguyên dương cho P(τ1 (n) > n1 ) = P(τ1 (n)/n1 > 1) |n| → ∞ nên (3.4) sai Tập hợp n1 = (n1 , 0, , 0) n1 → ∞ tức |n1 | → ∞ max k τn1 |n| Xi ∗ (Xi − E(Yn1 i |Fi−α(i) ) = i τn1 i k |n1 | = τ1 n1 P |n1 | → ∞ Định lý 3.1.3 Cho p > 1, {kn ; n cho kn → ∞ |n| → ∞ 1} trường số nguyên dương kn p |n|→∞ −−−→ p max |ani | − an i un (3.6) Giả sử tồn hàm số g dương không giảm [0, ∞) thỏa mãn ∞ g p (1/j) < ∞ lim g(a) = 0, a→0 j=1 kn max |ani |p kn −1 i un apn sup n (3.7) j=1 g p (j + 1) − g p (j) g(a)} < ∞, sup sup a>0 n i un 50 (3.9) |α(un )|p−1 lim sup a→∞ n kn Với trường {τn ; n mãn (3.4), ta có τn an (3.10) i un 1} biến ngẫu nhiên-giá trị số nguyên dương thỏa ∗ cni ani (Xi − E(Yni |Fi−α(i) )) → − |n| → ∞) (3.11) P max k aP{|cni ||Xi | > g(a)} = i k Yni = Xi I{|cni |.|Xi | ≤ g(kn )} Chứng minh Từ (3.10), lấy a = kn bni = g(kn ) , ∀1 |cni | i n, ta có (3.1) Bây cần thử lại điều kiện (3.2) với bni = g(kn ) với |cni | i n Khi g hàm không giảm, ta có |α(un )|p−1 apn ≤ ∗ |ani cni |p E|Yi − E(Yni |Fi−α(i) )|p i un p−1 C|α(un )| apn |ani cni |p E|Yni |p i un p−1 = C|α(un )| apn E|Xi |I(|cni |.|Xi |) i un C|α(un )|p−1 ≤ |g(1)| + apn kn p |ani cni |p E|Xi I(g(l − 1)| i un l=2 p < |cni |.|Xi | ≤ |g(l)| = C.An + C.Bn Do (3.6), (3.7) (3.9), ta có |α(un )|p−1 An = apn ≤ kn |ani cni |p E Xi I g i un l=1 kn max |ank |p k un g p (1) p an ∞ g p (1/l) + l=1 51 l+1 < |cni |.|Xi | ≤ g l p   |α(u )|p−1 n sup sup apn a>0 n  C|α(un )|p−1 Bn ≤ apn p−1 |α(un )| i un kn g p (l)|ani |p P{(g(l − 1) < |cni |.|Xi | ≤ g(l))} i un l=2 max |ank |p k un apn ≤ g p (2)   |n|→∞ aP {|cni |.|Xi | > g(a)} −−−−→     P{|cni |.|Xi | > g(1)} i un |α(un )|p−1 max |ank |p k un apn + |α(un )| p−1 + kn −1 (g p (l + 1) − g p (l)) P{|cni |.|Xi | > g(l)} l=2 i un p max |ank | k un apn kn −1 l=2 p (g (l + 1) − g (l))  l  kn max |ank |p |α(un )|p−1 k un p  sup sup ≤ g (2) apn kn a>0 n p kn max |ank | + k un apn  kn −1 l=1 p−1  |α(un )| kn  p  lP{|cni |.|Xi | > g(l)} i un  aP{|cni ||Xi | > g(a)} i un (g p (l + 1) − g p (l)) l  lP{|cni |.|Xi | > g(l)} i un Do (3.6) (3.9) ta có  kn max |ank |p |α(un )|p−1 k un  sup sup apn kn a>0 n 1  |n|→∞ aP{|cni |.|Xi | > g(a)} −−−−→ i un Mặt khác, (3.8) (3.10) kn max |ank |p kn −1 k un apn l=1 p  p (g (l + 1) − g (l))  |α(un )| l kn → |n| → ∞ Do đó, biểu thức Bn → |n| → ∞ Áp dụng định lý (3.1.2) ta (3.11) 52  p−1 lP{|cni |.|Xi | > g(l)} i un Hệ 3.1.3 Cho < r < p {kn ; n 1} trường số nguyên dương cho kn → ∞ |n| → ∞ Với trường ngẫu nhiên {Xn , Fn : n 1} α-tương thích mạnh* , |α(un )|p−1 sup sup kn a>0 n 1 |α(un )|p−1 kn 1 aP{|cni |r |Xi |r > a} < ∞, (3.12) aP {|cni |r |Xi |r > a} = (3.13) i un lim sup a→∞ n i un Cho {τn ; n 1} trường biến ngẫu nhiên-giá trị nguyên dương thỏa mãn (3.4) Khi đó, max 1 k τn ∗ cni Xi − E(Yni |Fi−α(i) ) 1/r kni |n|→∞ −−−−→ (3.14) i k Yni = Xi I{|cni |r |Xi |r ≤ kn } 1/r Chứng minh Cho g(t) = t1/r , an = kn ani = với ∀1 Khi đó, điều kiện (3.6), (3.7) thỏa mãn kn kn −1 p/r kn j=1 (j + 1)p/r − j p/r kn ≤ C p/r j kn kn −1 j p/r−2 ≤ C j=1 kn p/r kn i un , .knp/r−1 = C theo (3.8) (3.12), (3.13) ta (3.9) (3.10) Định lý 3.1.4 Cho < r < p với trường ngẫu nhiên α-tương thích mạnh* {Xn , Fn : n 1}, giả sử {Xn , n 1} bị chặn theo xác suất biến ngẫu nhiên X theo nghĩa sup P(|Xn | > x) ≤ P(|X| > x), ∀x ∈ R n cho aP(|X|r > a) → a → ∞ Cho {τn ; n 1} trường biến ngẫu nhiên-giá trị nguyên dương thỏa mãn (3.4) {ani ; i un }(n trường số thực thỏa mãn |α(un )|p−1 sup n |ani |r < C với số C > i un 53 (3.15) 1) sup |ani | → |n| → ∞ (3.16) i un ∗ ani (Xi − E(Yni |Fi−α(i) )) → − |n| → ∞ P sup kτn i k Yni = Xi I{arni |Xi |r ≤ 1} Chứng minh Từ aP(|X|r > a) → a → ∞ Khi đó, tồn a0 M cho aP(|X|r > a) < a > a0 , sup aP(|X|r > a) ≤ M a>0    Lấy kn =   1/r  cni = kn ani sup ani i un Khi có (3.15) (3.16) |α(un )|p−1 sup kn n 1 aP{|cni |r |Xi |r > a} i un ≤ sup |α(un )|p−1 n 1 i un a a r P |X | > i kn |ani |r kn |ani |r |ani |r ≤ M.C ≤ M sup n |ani |r i un nên (3.12) thỏa mãn a Nếu a > a0 ≥ a ≥ a0 , ∀n, i kn |ani |r Cho a > a0 , ta nhận |α(un )|p−1 sup kn n 1 aP{|cni |r |Xi |r > a} ≤ sup n i un |ani |r ≤ C i un nên (3.13) thỏa mãn Hệ 3.1.4 Cho p > 1, với trường ngẫu nhiên {Xn , Fn : n 1} M-tương thích mạnh*, {Xn : n 1} bị chặn theo xác suất biến ngẫu nhiên X Giả sử {τn , n 1} trường biến ngẫu nhiên-giá trị nguyên dương cho lim P{τi (n) > ni } = 0, ∀1 ≤ i ≤ d |n|→∞ 54 Lấy số thực α1 , , αd ∈ (1/p, ∞) Đặt α = (α1 , , αd ); αk = min{α1 , , αd } Yni = Xi I{|Xi | ≤ |nα |}, lim aP {|X| > aαk } = a→∞ τn nα k |n|→∞ ∗ Xi − E(Yni |Fi−α(i) ) max −−−−→ i k Chứng minh Cho α(n) = M ; un = |n|; r = 1/αk ani = 1/|nα | với ∀1 i un Khi đó, điều kiện (3.15), (3.16) thỏa mãn 3.2 Luật mạnh số lớn Cho Zd dàn điểm nguyên d-chiều, d nguyên dương Xét trường hiệu martingale ngẫu nhiên {Xn , Fn ; n ∈ Zd } định nghĩa không gian xác suất (Ω, F, P) Trong phần này, nghiên cứu tốc độ hội tụ đầy đủ lớn cho trung bình cộng trường hiệu martingale lấy giá trị không gian thực Nghĩa là, lấy {an ; n ∈ Zd } n trường số thực khả tổng tuyệt đối tập Tk = Tk với n k=1 cố gắng tìm điều kiện đảm bảo |n|−1 P n max |Sk | > bn k n (∀ > 0) {bn , n 1} trường số dương Kết là, xây dựng luật mạnh số lớn (LMSL) |n|→∞ max |Sk | −−−−→ bn k n Hằng số < C < ∞ không thiết giá trị lần xuất Bổ đề 3.2.1 Cho p > 1, α1 , , αd số dương, q số nguyên dương cho αs = min{α1 , , αd } X biến ngẫu nhiên, tập hợp r = min{α1 , , αd } (i) Nếu r < p E|X|r (log+ |X|q−1 ) < ∞, 55 n n P(|X| ≥ |nα |) < ∞, α p |n | |nα |p P{|X|p ≥ t}dt < ∞ (ii) Nếu r > E(|X|r (log+ |X|)q−1 ), ∞ n |nα | P{|X| ≥ t}dt < ∞ |nα | (iii) Nếu r = E(|X|(log+ |X|)q ) < ∞, ∞ n |nα | P{|X| ≥ t}dt < ∞ |nα | Bổ đề 3.2.2 Cho {bn , n 1} trường số dương cho n2n+1 < ∞ {Xn , n 1} trường bn ≤ bm với n m sup n b2n biến ngẫu nhiên, tập Sn = Xk Khi đó, k n n P |n| max |Sk | > bn k n < ∞, ∀ > (3.17) P n max |Sk | > b2n k 2n < ∞, ∀ > (3.18) Hơn nữa, (3.17) suy LMSL |n|→∞ max |Sk | −−−−→ bn k n Cho {bn ; n 1} mảng số dương Ta định nghĩa N (x) = Card{n : bn ≤ x} giả sử N (x) < ∞, ∀x > Hai hàm L(x) Rp (x) định nghĩa sau: ∞ L(x) = ∞ N (t) logd−1 + N (t) dt; t2 Rp (x) = x với x > p > Ta có bổ đề: 56 N (t) logd−1 + N (t) dt tp+1 Bổ đề 3.2.3 Cho {bn ; n 1} trường số dương thỏa mãn với n 1, bn ≤ bm với ∀n m bn → ∞ |n| → ∞, X biến ngẫu nhiên (i) Nếu E|X|L(|X|) < ∞, ∞ b n n P(|X| > s)ds < ∞ (3.19) bn (ii) Nếu E|X|p Rp (|X|) < ∞ với p > 0, P(|X| > bn ) < ∞ (3.20) sp−1 P(|X| > s)ds < ∞ (3.21) n n bn p b n Chứng minh (i) Giả sử E|X|L(|X|) < ∞, có g(j) = 1≤n1 , ,nd j(log j)d−1 1∼C (d − 1)! ≤j j → ∞ Đặt ∆g(k) = g(k) − g(k − 1) ý N (x) không giảm Lấy s = bn t, ta có ∞ k b n n P(|X| > s)ds bn ∞ = P |X| > bn dt t P |X| > bn dt t k n1 ∞ = 1 k n ∞ ≤ P N 1 k n |X| > bn t 57 ≥ N (bn ) dt ∞ ≤ P N 1 k n ∞ ∞ ≤ |X| t |X| t ∆(k)P N k=1  ∞ ∞ = P j≤N  j=1  ∞ ≤C ≥ k dt |X| t k=1 j logd−1 (j)P j ≤ N ∞ ∞ =C  ∞ =C < j +  dt  N  x x |X| t  |X| t |X| logd−1 + N t EN ∆g(k) dt bn ) ≤ n P(N (|X|) ≥ |n|) n ∞ ∆g(k)P(N (|X|) ≥ k) = k=1 ∞ k logd−1 (k)P(k ≤ N |X|) < k + 1) ≤ k=1 ≤ C E(N (|X|) logd−1 N (|X|))  +∞  = CpE |X|p N (|X|) logd−1 + N (|X|)  dt tp+1 |X| p ≤ C E|X| Rp (|X|) < ∞ 58  Chúng ta dễ dàng chứng minh (3.21) cách sử dụng cách chứng minh tương tự (3.19) Cho {Xn , Fn ; n ∈ Zd } trường hiệu martingale Trong phần này, {an ; n ∈ Zd } trường số thực khả tổng tuyệt đối cho Tk = Xi+k hội tụ đặt Sn = Tk i∈Zd k n Định lý 3.2.1 Với trường hiệu martingale {Xn , Fn ; n ∈ Zd }, trường số thực khả tổng tuyệt đối {an ; n ∈ Zd } cho Tk = Xi+k hội tụ với ∀n m i∈Zd b2n+1 b2m ≤ sup bn k n |n| b2n } < ∞, ∀ > n 1 k Áp dụng bất đẳng thức Markov, bất đẳng thức Holder ta có P n max n |Sk | > b2n k ≤ n 1 p bp n p  ≤ n 1 E p bp n i∈Zd |ai | max n k 59 Xj  i+1 j i+k ≤ p−1 p bp n n |ai |  p |ai |E max n  k i∈Zd i∈Zd n =C n 1  |ai | p bp n i+1 i∈Zd   |ai | p bp n d i+1 i∈Z |ai |E|Xi+k |p =C k i∈Zd n:k p |ai | ≤C i∈Zd k E|Xj |p =C j∈Zd i Xj  i+1 j i+k   ≤C  E|Xi+k | bpk E|Xj |p  j i+2n  E|Xj |p  j i+2n bp n 2n theo((3.22)) |ai | bp j−1 j−i E|X|p ϕ(j) < ∞ =C j∈Zd Ta có (3.23), (3.24) dễ dàng suy (3.23) bổ đề (3.2.2) Định lý chứng minh điều kiện đầy đủ khác cho (3.23) để giữ điều kiện hàm L(x) Rp (x) Định lý 3.2.2 Cho {Xn , Fn ; n ∈ Zd } trường hiệu martingale lấy giá trị không gian thực Lấy {bn , n 1} trường số dương cho bn ≤ bm với ∀n m bn → +∞ |n| → +∞ Tập N (x) = card{n; bn ≤ x} với x > Nếu {Xn ; n ∈ Zd } bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X cho E|X|p Rp (|X|) < ∞, E|X|L(|X|) < ∞ Khi n P max |Sk | > bn k n |n| 60 bn } − E(Xi I{|Xi |>bn } |Fi∗ ) Zni = Xi I{|Xi |≤bn } − E(Xi I{|Xi |≤bn } |Fi∗ ) Rõ ràng: Xn = Yni + Zni với i n Cho > tùy ý, sử dụng bất đẳng thức Chebyshew bổ đề 3.2.3 ta    A= P max Yni ≥ bn  k n |n| d n i+1 j i+k i∈Z ≤ n |n|bn ≤ n 1 bn |ai |E max k n i∈Zd Xj i+1 j i+k |ai |E|X|I{|X|≥bn } i∈Zd ∞ ≤C n b n n b n   n  P max k n |n| n |n|bpn B= ≤ i∈Zd i+1 j i+k p p−1 |ai | p i∈Zd |ai |E max k n i∈Zd p−1 n n p p E|X| I{|X|≤bn } b n n p b n ≤C Zni ≥ bn  |n|bpn ≤C P(|X| > bn ) < ∞ P(|X| > s)ds + C ∈ Zd |ai | p i∈Zd i ∞ ≤C sp−1 P(|X| > s)ds < ∞ bn 61 Zni i+1 j i+k   |ai |  E|Xn |p I{|Xi |≤bn }  i+1 j i+n Do đó,   P( max |Si | ≥ bn ) ≤  max i n k n Yni ≥ bn  i∈Zd i+1 j i+k   + P  max k n Zni ≥ bn  < ∞ i∈Zd i+1 j i+k Điều phải chứng minh Tóm lại, trường hợp bn = |nα | thu số điều kiện đầy đủ cho định lý 3.2.2 Định lý 3.2.3 Cho Xn , Fn ; n ∈ Zd trường hiệu martingale lấy giá trị không gian thực với p > Lấy α1 , , αd số dương thỏa mãn < {α1 , , αd } < q, s số nguyên dương cho p αs = {α1 , , αd } Nếu Xn ; n ∈ Zd bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X cho E(|X|r logq−1 |X|) < ∞ với r = Khi đó, {α1 , , αd } n LMSL P |n| max |Sk | > |nα | < ∞ k n max |Sk | → |n| → ∞ |nα | k n Chứng minh Cho k (3.27) (3.28) n, tập Yni = Xi I{|Xi |>|nα |} − E(Xi I{|Xi |>|nα |} |Fi∗ ), Zni = Xi I{|Xi |≥|nα |} − E(Xi I{|Xi |≤|nα |} |Fi∗ ) Rõ ràng ta thấy Xn = Yni + Zni với  P(max |Si | ≥ |nα |) ≤ P max i n k n 62 i n Chúng ta có  Yni ≥ |nα | i∈Zd i+1 j i+k   +P max k n Zni ≥ |nα | i∈Zd i+1 j i+k Khi đó, để chứng minh (3.25) điều kiện đủ chứng minh    P max Yni ≥ |nα | < ∞ A= k n |n| d n i+1 j i+k i∈Z  B= n   P max k n |n| Zni ≥ |nα | < ∞ i∈Zd i+1 j i+k Cho A B biến giống chứng minh định lý 3.2.2 bổ đề 3.2.1, ta có ∞ P{|X| ≥ |nα |} + C A≤C n n |nα | P{|X| ≥ t}dt < ∞ |nα | |nα |p B≤C n |nα |p P{|X|p ≤ t}dt < ∞ Định lý chứng minh Định lý 3.2.4 Cho {Xn , Fn ; n ∈ Zd } trường hiệu martingale lấy giá trị không gian thực với p > Lấy α1 , , αd số dương thỏa mãn {α1 , , αd } = lấy q, s số nguyên cho αs = = {α1 , , αd } Nếu Xn ; n ∈ Zd bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X cho E(|X| logq |X|) < ∞ Khi đó, (3.27) (3.28) LMSL Chứng minh Chứng minh tương tự định lý 3.2.3 sử dụng (i) (iii) bổ đề 3.2.1 63 Tài liệu tham khảo [1] Davar Khoshinevisan, Multiparameter Resources: An Introduction to Random Fields, Springer, 2002 [2] Oleg Klesov, Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables, Springer, 2010 [3] Ta Cong Son, Dang Hung Thang, Phan Viet Thu, Weak Laws of Large Numbers for Fields of Random Variables in Banach Spaces, Journal of Probability and Statistical Science , Aug-2015 [4] Ta Cong Son, Dang Hung Thang, Le Van Dung, Rate of complete convergence for maximums of moving average sums of martingale difference fields in Banach spaces, Statistics and Probability Letters, 2012 [5] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất ứng dụng, Phần III Giải tích ngẫu nhiên, NXB ĐHQGHN, in lần thứ II, 2005 [6] Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB ĐHQGHN, 10-2012 [7] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Việt Nam, tái lần thứ 6, 5-2013 64 [...]... một chỉ số i → Mi,j tương thích với σ-đại số F 1; ∀i ≥ 0, quá trình một chỉ số j → Mi,j tương thích với σ-đại số F 2 (iii) ∀i, j ≥ 0, E Mi+1,j |F 1 ≥ Mi,j và E Mi,j+1 |F 2 ≥ Mi,j (P − h.c.c.) • Martingale trực giao trên, nếu: Với mỗi 1 ≤ i ≤ d, và ∀(nj : 1 ≤ j ≤ i, j = i), nj → Mn là martingale trên đối với σ-đại số tương thích F i 24 • Martingale trực giao, nếu: M là một martingale trực giao trên và... Xk+1,j  j=1 = Ak,n Nên m → Sm,n là martingale dưới đối với σ-đại số tương thích Fk1 Chứng minh tương tự với phương trình (2.4), ta được: n → Am,n là martingale dưới đối với σ-đại số tương thích Fk2 Từ đó, suy ra Am,n là martingale trực giao đối với σ-đại số tương thích Fk1 , Fk2 Nhận xét: Giả sử M = Mn , n ∈ Nd0 là martingale trực giao dưới không âm đối với dãy σ-đại số tương thích F 1 , , F d , Ψ :... Sm,n là martingale dưới đối với σ-đại số tương thích Fk1 Chứng minh tương tự với phương trình (2.2), ta được: n → Sm,n là martingale dưới đối với σ-đại số tương thích Fk2 Từ đó, suy ra Sm,n là martingale trực giao đối với σ-đại số tương thích Fk1 , Fk2 Ví dụ 3: Cho {Xm,n : m, n ≥ 1} là dãy các biến cố ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố, E (Xm,n ) = 1 m n Xét tổng Am,n = i=1 j=1 Xi,j , các σ-đại số tương... với i=1 Hi2 , , ∞ i=1 Hid Ta được điều phải chứng minh Mệnh đề 2.1.2 Giả sử M là một trường martingale trực giao dưới đối với dãy σ-đại số tương thích F 1 , , F d , và cho H1 , , Hd là kí hiệu của σ -trường tự nhiên trực giao của M Khi đó, M là trường martingale trực giao dưới đối với H1 , , Hd Chứng minh Nhắc lại rằng, với mọi 1 ≤ i ≤ d và mọi n ∈ Nd0 , ni → Mn là tương thích với σ-đại số. .. M là một martingale trực giao dưới Hay với mỗi 1 ≤ i ≤ d, và ∀(nj : 1 ≤ j ≤ i, j = i), nj → Mn là martingale một chỉ số đối với σ-đại số tương thích F i , 1 ≤ i ≤ d b)Ví dụ Ví dụ 1: Quá trình độc lập Giả sử M = Mi ; i ≥ 0, 1 ≤ ≤ d là d-quá trình ngẫu nhiên tương thích đối với σ-đại số tương thích độc lập M = Mi ≥ 0 (1 ≤ ≤ d) Khi đó, M 1 , , M d là quá trình độc lập Cho M là martingale (hoặc martingale. .. lồi không giảm, và với ∀n ∈ Nd0 , E [Ψ(Mn )] < ∞ thì n → Ψ(Mn ) là một martingale trực giao dưới 2.1.2 Các bất đẳng thức cơ bản Mệnh đề 2.1.1 Giả sử M = Mn , n ∈ Nd0 là một trường martingale trực giao dưới đối với dãy σ-đại số tương thích F 1 , , F d Nếu n, s ∈ Nd0 27 với s n thì E [Ms ] ≤ E [Mn ] Ms1 = max max Ms,s1 ≥ 0 0≤s2 ≤n2 ∀n2 , , nd 0≤sd ≤nd là martingale dưới đối với σ-đại số tương thích F... 1.2 1.2.1 Dãy martingale Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, (Xn , n ∈ N) là dãy biến ngẫu nhiên, (Fn , n ∈ N) là dãy tăng các σ-đại số Khi đó dãy (Xn , Fn , n ∈ N) được gọi là: 1) martingale nếu: (i) Xn là đo được đối với Fn , n ∈ N (ii) E|Xn | < ∞, ∀n ∈ N (iii) Với m, n ∈ N; m ≤ n: E(Xn |Fm ) = Xm (h.c.c.) 2) martingale trên nếu: (i) Xn là đo được đối với Fn , n ∈... N (iii) Với n = 1, 2, E(Xn |Fn−1 ) = Xn−1 (h.c.c.) 2) martingale trên nếu: có các điều kiện (i), (ii) và (iii’) và với n = 1, 2, E(Xn |Fn−1 ) ≤ Xn−1 (h.c.c.) 3) martingale dưới nếu: có các điều kiện (i), (ii) và (iii”) và với n = 1, 2, E(Xn |Fn−1 ) ≥ Xn−1 (h.c.c.) 13 Định nghĩa 1.2.3 Martingale chính quy Ta nói rằng {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale chính quy, nếu tồn tại biến ngẫu nhiên X với E|X|... martingale dưới-hoặc martingale trên) , chúng ta định nghĩa: Tổng martingale A là: d An = Mn , n ∈ Nd0 Mn , n ∈ Nd0 =1 Tích martingale M là: d Mn = =1 Ta thấy A và M là martingale trực giao nếu M là martingale đối với F : d F k = Mk ∨ Mn , k ≥ 0 i=1,i= Ví dụ 2: Cho {Xm,n : m, n ≥ 1} là dãy các biến cố ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố, E (Xm,n ) = 0 m n Xét tổng Sm,n = i=1 j=1 Xi,j , các σ-đại số tương thích... mệnh đề trên phát biểu rằng một quá trình trong i, max Mi,j là martingale dưới đối với F 1 Tương 0≤j≤m tự một quá trình trong j, max Mi,j là martingale dưới đối với F 2 0≤i≤n Chứng minh (*)Chứng minh phần thứ nhất của mệnh đề Trường hợp d = 2, viết M = (Mi,j : i, j ≥ 0), (i, j) (n, m) nếu và chỉ nếu i ≤ n và j ≤ m Cố định cặp (i, j) và (n, m) bất kì, i → Mi,j là một martingale dưới một chỉ số Theo ... Chương Luật số lớn 3.1 Luật yếu số lớn Ở mục ta chứng minh định lý luật yếu số lớn cho trường ngẫu nhiên tương thích mạnh (là mở rộng trường hiệu martingale) Cho trường tương thích biến ngẫu nhiên. .. suất luật số lớn" Luận văn trình bày luật số lớn cho Martingale với số nhiều chiều Luận văn đề cập tới khái niệm trường Martingale, trường hiệu Martingale, chứng minh bất đẳng thức Doob trường. .. Phần 1: Luật yếu số lớn Một số định lý quan Phần 2: Luật mạnh số lớn Một số định lý quan trọng Một số kí hiệu (Ω, F, P) : không gian xác suất R : trường số thực N : trường số tự nhiên I : hàm tiêu