BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THẾ NGA TỐC ĐỘ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - TRẦN THẾ NGA TỐC ĐỘ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUÂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Văn Quảng Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Biến cố xác suất 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Xác xuất có điều kiện 1.1.3 Tính độc lập biến cố 1.2 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên 1.2.1 Ánh xạ đo 1.2.2 Biến ngẫu nhiên 1.2.3 Kỳ vọng 11 1.2.4 Các dạng hội tụ 12 1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 14 1.3.1 Định nghĩa ví dụ 14 1.3.2 Tính chất 15 1.3.3 Các phần tử ngẫu nhiên độc lập 16 1.3.4 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên 17 1.3.5 Một số định lý giới hạn 18 1.3.6 Không gian Rademacher dạng p 19 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên 20 2.1 Sự hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên 20 2.2 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên 21 2.3 Tốc độ hội tụ trình trung bình trượt Kết luận chung kiến nghị 35 41 MỞ ĐẦU Lý thuyết xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên nhằm tìm quy luật tượng tưởng chừng quy luật Lý thuyết xác suất đời vào nửa cuối kỉ 17 Pháp Ngày nay, lý thuyết xác suất phát triển mạnh mẽ, có sở lý thuyết chặt chẽ có nhiều ứng dụng đời sống người, từ âm nhạc đến vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ học đến thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết đến kinh tế, từ nông học đến y học Mảng phần tử ngẫu nhiên hướng nghiên cứu Lý thuyết xác suất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, kinh tế, Chính việc nghiên cứu mảng biến ngẫu nhiên ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn to lớn Khái niệm hội tụ đầy đủ biến ngẫu nhiên Hsu Robbins đưa năm 1947 [7] Trong [7] Hsu Robbins chứng minh trung bình cộng số học dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối hội tụ đầy đủ đến kỳ vọng chung chúng biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn Kết tổng quát hóa mở rộng theo nhiều hướng khác Một hướng xét hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng Đi theo hướng có kết Hsu cộng [4], [7],[12], Gut [11], Kuczmaszewska and Szynal [13], Sung[14], Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu, nghiên cứu đề tài là: “Tốc độ hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach” Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức sở Trong chương này, trình bày số kiến thức sở lý thuyết xác suất, cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau Chương Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên Trong chương này, trước hết trình bày hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên Tiếp theo, nghiên cứu hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên Cuối cùng, nghiên cứu tốc độ hội tụ trình trung bình trượt Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp GS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, Người tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy khóa học CH 21 XSTK Đồng thời, tác giả cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Sau đại học, tập thể lớp CH 21 XSTK gia đình tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo, ý kiến đóng góp quý Thầy Cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Biến cố xác suất Không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng, F σ -đại số Ω Khi đó, cặp (Ω, F) gọi không gian đo Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F (i) P(A) ≥ với ∀A ∈ F (tính không âm); (ii) P(Ω) = 1(tính chuẩn hóa); (iii) Nếu An ∈ F(n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅(i = j) ∞ P( ∞ n=1 An ) = n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được) Các điều kiện (i)-(iii) gọi hệ tiên đề Kolmogorov xác suất Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp (không gian BCSC) σ -đại số F gọi σ -đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố có Biến cố A = Ω\A gọi biến cố đối lập biến cố A Nếu A ∩ B = AB = ∅ A,B gọi biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không biến cố Để đơn giản, từ sau, nói đến không gian xác suất (Ω, F, P), ta xem không gian xác suất đầy đủ Chú ý Điều kiện (ii) định nghĩa đảm bảo biến cố chắn có xác suất Tuy nhiên, có biến cố có xác suất chưa biến cố chắn Những biến cố gọi biến cố hầu chắn Tính chất 1.1.2 Giả sử A,B,C biến cố Khi đó, xác suất chúng có tính chất sau: (1.) P(∅) = (2.) Nếu AB = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (3.) P(A) = − P(A) (4.) Nếu A ⊂ B P(B \ A) = P(B) − P(A) P(A) ≤ P(B) (5.) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) n (6.) P( ∞ k=1 Ak ) = k=1 P(Ak )− − + (−1)n−1 P(A1 A2 An ) (7.) P( ∞ n=1 An ) ≤ 1≤k Khi P(A1 A2 An ) = P(A1 )P(A2 /A1 ) P(An /A1 An−1 ) 1.1.3 Tính độc lập biến cố Giả sử (Ω, F, P)là không gian xác suất Định nghĩa 1.1.5 Hai biến cố A B gọi độc lập P(AB) = P(A)P(B) Tính chất 1.1.6 Giả sử A B hai biến cố (1.) Nếu P(A) > 0, P(B) > Khi A, B độc lập P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) (2.) Hai biến cố A B độc lập điều kiện sau thỏa mãn (i.) A, B độc lập; (ii.) A, B độc lập; (iii.) A, B độc lập Dưới trình bày khái niệm độc lập họ biến cố Định nghĩa 1.1.7 Họ biến cố (Ai )i∈I gọi độc lập đôi hai biến cố họ độc lập Họ biến cố (Ai )i∈I gọi độc lập toàn cục ( gọi vắn tắt độc lập), họ hữu hạn biến cố Ai1 , Ai2 , Ain họ đó, ta có P(Ai1 Ai2 Ain ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) P(Ain ) Một họ độc lập độc lập đôi Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không Đối với dãy biến cố, ta có tính chất quan trọng sau đây, gọi Bổ đề Borel-Cantelli Định lý 1.1.8 (Bổ đề Borel-Cantelli) Giả sử (An , n ≥ 1) dãy biến cố Khi (i.) Nếu ∞ n=1 P(An ) < ∞ P(lim sup An ) = 29 Khi đó, (2.21) trở thành ∞ α j γ G(j γ ) − G((j + 1)γ ) An ≤ C7 n (2.22) j=n Hơn nữa, ∞ n n=1 ∞ ∞ β nβ An P { ank Vnk > 1} = n=1 k=1 ∞ ∞ α β ≤ C7 j γ G(j γ ) − G((j + 1)γ ) n n n=1 ∞ = C7 j=n ∞ j γ γ γ nα+β G(j ) − G((j + 1) ) n=1 j=1 ∞ j γ j α+β+1 G(j γ ) − G((j + 1)γ ) ≤ C7 j=1 −1) (2.23) Vậy điều kiện (2.7) thỏa mãn Định lý 2.2.7 Giả sử {Vnk , k 1, n 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng không gian Banach thực khả ly E Giả sử {Vnk , k 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Cho {ank , k 1, n 1} mảng số thỏa mãn sup |ank | = O(n−γ ) vớiγ > 0; (2.24) k≥1 ∞ |ank | = O(nα ) với k ≥ 1; α < γ (2.25) α γ + < δ ≤ Nếu k=1 Giả sử cho β thỏa mãn α + β = −1 δ > cho E|X|v < ∞; với v = max(1 + 1+α+β , δ); γ (2.26) 30 ∞ P Sn ≡ ank Vnk −→ 0, k=1 ∞ nβ P{ Sn > ε} < ∞ n=1 Chứng minh Đầu tiên kiểm tra Sn ≡ Áp dụng Định lí Beppo-Levi, giả thiết {Vnk , k nhiên giả thiết (2.25) ta có ∞ E( ∞ k=1 ank Vnk 1, n hội tụ h.c.c 1} bị chặn ngẫu ∞ E ank Vnk (áp dụng Định lý Beppo-Levi) ank Vnk ) = k=1 k=1 ∞ ≤ C1 |ank |E|X| (vì điều kiện bị chặn ngẫu nhiên) k=1 ∞ = C1 E|X| |ank | k=1 ≤ C2 nα (áp dụng (2.25)) < ∞ ∞ Như ∀ n ≥ , ∞ k=1 ank Vnk < ∞ h.c.c , suy k=1 ank Vnk hội tụ h.c.c Với cn = nβ , n ≥ Ta kiểm tra điều kiện (2.7) (2.8) (2.9) Định lý 2.2.4 Từ (2.24) (2.25) ta suy sup ank ≤ C3 n−γ , (2.27) k≥1 ∞ |ank | ≤ C4 nα k=1 (2.28) 31 Ta chứng minh {Vnk , k ∞ 1} thỏa mãn điều kiện (2.7), tức 1, n ∞ β P{ ank Vnk ≥ 1} < ∞ n n=1 ∀ε > k=1 Thật vậy, đặt bnj = ; Inj = {k : (nj)γ ≤ bnk < (n(j + 1))γ } |anj | j Ink = {k : bnk < (n(j + 1))γ } Inj = j ≥ 1, n ≥ k=1 Lưu ý với n ≥ 1, N tập nguyên dương Inj = N j≥1 Với m ≥ 1, n ≥ C4 n α ≥ |ank | = k∈Jmn k∈Jmn |bnk | ≥ Jmn (n(m + 1))γ Jnm ≤ C4 nα+γ (m + 1)γ Từ tập Inj ; j ≥ 1, cố định n ≥ 1, m Inj = Jnm ≤ C4 nα+γ (m + 1)γ j=1 Vì ∞ ∞ β P{ ank Vnk ≥ 1} n n=1 k=1 ∞ ∞ nβ = n=1 P{ Vnk ≥ bnk } k=1 32 ∞ ∞ β ≤ C5 P{|X| ≥ bnk } n n=1 ∞ k=1 ∞ nβ ≤ C6 n=1 ∞ ( Inj )P{|X| ≥ (nj)γ } j=1 ∞ nβ = C6 n=1 ∞ ( Inj )P{|X| γ ≥ nj} j=1 ∞ β ≤ C7 n j=1 ∞ ∞ [k/n] P{k ≤ |X| < k + 1} n=1 ∞ P{k ≤ |X| γ < k + 1}nα+γ ([k/n] + 1)γ k=n ∞ nβ nα+γ n−γ ≤ C8 n=1 ∞ k γ P{k ≤ |X| γ < k + 1} k=n k γ γ ≤ C9 ( Inj ) j=1 k=n ∞ nβ ≤ C7 k=nj γ nβ n=1 ∞ P{k ≤ |X| γ < k + 1} ( Inj ) n=1 = C7 ∞ nα+β k P{k ≤ |X| < k + 1} n=1 k=1 ∞ k α+β+γ+1 P{k ≤ |X| γ < k + 1} ≤ C9 k=1 ≤ C9 E|X|1+((1+α+β)/γ) < ∞ Để chứng minh {Vnk , k 1, n 1} thỏa mãn điều kiện (2.8) với J > (β + 1)/(γ(δ − 1) − α) , ta cần chứng minh ∞ ∞ β E ank Vnk δ )J < ∞ n ( n=1 k=1 33 Thật vậy, ∞ ∞ ∞ δ J β E ank Vnk ) = n ( n=1 ∞ n ( n=1 ∞ k=1 |ank |δ E Vnk δ )J β k=1 ∞ β ≤ δ−1 |ank |E Vnk δ )J n (sup |ank | k≥1 n=1 k=1 ∞ nβ (n−γ(δ−1) nα E|X|δ )J ≤ C10 n=1 ∞ nβ+J(α−γ(δ−1)) < ∞ = C10 n=1 Cuối ta chứng minh {Vnk , k 1, n 1} thỏa mãn điều kiện (2.9) β < 0, λ > 0, tức ta cần chứng minh ∞ P{ ank Vnk > λ} = o(1) k=1 Thật vậy, ∞ ∞ λ−δ E ank Vnk P{ ank Vnk > λ} ≤ k=1 δ k=1 ∞ δ−1 ≤ C1 sup |ank | k≥1 |ank |E Vnk δ k=1 ≤ C1 1n−γ(δ−1)+α E|X|δ = o(1) Vậy ∞ nβ P{ Sn > ε} < ∞ n=1 Định lý 2.2.8 Giả sử {Vnk , k 1, n 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng, kì vọng 0, nhận giá trị không gian Rademacher dạng p Giả sử {Vnk , k 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên biến 34 ngẫu nhiên X Cho {ank , k 1} mảng số thỏa mãn 1, n sup |ank | = O(n−γ ) ∀γ > 0, k≥1 ∞ |ank | = O(nα ) ∀0 < α < γ k=1 Cho β thỏa mãn α + β = −1 δ > thỏa mãn (α/γ) + < δ Nếu p (α/γ) + E|X|v < ∞ v = max(1 + (1 + α + β)/γ, δ, p), ∞ nβ P{ Sn > ε} < ∞ ∀ε > n=1 Chứng minh Để chứng minh Định lý này, cần chứng minh ∞ P Sn ≡ ank Vnk −→ k=1 Áp dụng Định lý 2.2.5 với p (α/γ) + 1, ta có ∞ ∞ p n |ank |p−1 |ank | |ank | = sup sup n k=1 k=1 ∞ = sup(sup |ank |)p−1 n k |ank | k=1 c sup n−γ(p−1) nα = c sup nα−γ(p−1) < ∞ n n Ta thấy điều kiện Định lý 2.2.7 thỏa mãn Vậy ∞ nβ P{ Sn > ε} < ∞ n=1 ∀ε > 35 2.3 Tốc độ hội tụ trình trung bình trượt Định nghĩa 2.3.1 Cho {Yi , i = 0, ±1, ±2, } dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với E|Yi | < ∞ Giả sử {ai , i = 0, ±1, ±2, } dãy số thực khả tổng tuyệt đối Đặt +∞ Xn = Yn+i n ≥ (2.29) i=−∞ Khi {Xn , n ≥ 1} gọi trình trung bình trượt dựa tựa {Yi , i = 0, ±1, ±2, } Định lý 2.3.2 Giả sử {Yi , −∞ < i < ∞} dãy vô hạn phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach thực khả ly bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Giả sử {ai , −∞ < i < ∞} dãy số thực khả tổng tuyệt đối đặt ∞ Vi = ai+k Yk i ≥ k=−∞ Nếu n µ n P Vi −→ 0, i=1 E|X|(β+2)µ < ∞, < µ < 2, (β + 2)µ = β > −1, ∞ n β Vi > n1/µ ε < ∞ n P n=1 ∀ε > i=1 Chứng minh Đặt ank = n1/µ n ak+i Vnk = Yk với ∀n ≥ 1; k ≥ i=1 36 Từ Vi = n1/µ i=1 ∞ i=−∞ Nếu ta kí hiệu a = ∞ n ank Vnk k=−∞ b = ∞ i=−∞ |ai | sup |ank | ≤ bn−1/µ k≥1 theo bổ đề Burton Dehling [8] ∞ |ank | ≤ c|a|n1−1/µ k=−∞ Áp dụng Định lí 2.2.7 với α = − 1/µ; γ = 1/µ; µ < γ ≤ ta thấy điều kiện định lý thỏa mãn Thật vậy, sup |ank | = O(n−γ ) vớiγ > 0, k≥1 ∞ |ank | = O(nα ) với k ≥ 1; α < γ k=1 E|X|(β+2)µ < ∞ < µ < 2, (β + 2)µ = β > −1, n nên ta có ∞ P Vi −→ 0, i=1 n nβ P n=1 µ n Vi > n1/µ ε < ∞ ∀ε > i=1 Định lý 2.3.3 Giả sử {Yi , −∞ < i < ∞} dãy vô hạn phần tử ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0, nhận giá trị không gian Rademacher dạng µ(1 < µ < 2) bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Cho {ai , −∞ < i < ∞} dãy số thực khả tổng tuyệt đối đặt ∞ Vi = ai+k Yk k=−∞ i ≥ 37 Nếu E|X|(β+2)µ < ∞ β > −1 ∞ n β Vi > εn1/µ n P n=1 < ∞ ∀ε > i=1 Chứng minh Ta lập luận chứng minh Định lý 2.3.2 ∞ −1/µ Áp Nếu ta kí hiệu a = ∞ i=−∞ b = i=−∞ |ai | sup |ank | ≤ bn k≥1 dụng bổ đề Burton Dehling [8] ∞ |ank | ≤ c|a|n1−1/µ k=−∞ Áp dụng Định lí 2.2.8 với α = − 1/µ; γ = 1/µ; µ < γ ≤ ta thấy điều kiện định lý thỏa mãn sup |ank | = O(n−γ ) vớiγ > 0, k≥1 ∞ |ank | = O(nα ) với k ≥ 1; α < γ, k=1 E|X|(β+2)µ < ∞ nên ta có ∞ β n P n=1 hay < µ < 2, (β + 2)µ = β > −1, n Vi > ε < ∞ ∀ε > 0; nµ ∞ i=1 n nβ P Vi > εn1/µ n=1 < ∞ ∀ε > i=1 Định lý 2.3.4 ([7]) Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối ≤ t < Nếu EX1 = E|X1 |2t < ∞ ∞ n Xk ≥ n1/t ε < ∞ P n=1 k=1 ∀ε > 38 Bổ đề 2.3.5 ([8]) Giả sử +∞ i=−∞ chuỗi hội tụ tuyệt đối số thực với a = +∞ i=−∞ k ≥ Từ i+n +∞ lim n→∞ n k aj = |a|k i=−∞ j=i+1 Bổ đề 2.3.6 ([8]) Giả sử {Yk , n ≥ 1, k ≥ 1} biến ngẫu nhiên độc lập đối xứng Sn = Y1 + + Yn Khi với số nguyên j ≥ 1, tồn số Cj Dj không đổi theo j , t ≥ 0, P{|Sn | ≥ 3j t} ≤ Cj P{ max |Yk | ≥ t} + Dj (P{|Sn | ≥ t})2j 1≤k≤n Định lý 2.3.7 Giả sử {Xk , k ≥ 1} định nghĩa ≤ t < Nếu {Yk , n ≥ 1, k ≥ 1} biến ngẫu nhiên độc lập đối xứng E|Y1 |2t < ∞ ∞ n Xk > n1/t ε < ∞ P n=1 ∀ε > k=1 Chứng minh Nhận xét ∞ n n Xk = aj+i Yi , i=−∞ j=1 k=1 n ani = aj+i j=1 Từ n +∞ Xk = ani Yi i=−∞ k=1 Nhớ lại n n ∞ Xk = ai+k Yi k=1 i=−∞ ∞ k=1 = ani Yi i=−∞ n ≥ 39 Áp dụng Bổ đề 2.3.5, không tính tổng quát ta giả sử ∞ |ani | ≤ n n ≥ i=−∞ Từ ∞ 1/t ani Yi /n E i=−∞ ∞ a2ni EY12 /n2/t = O(1/n(2/t)−1 ) = i=−∞ Với ε > 0, ∞ ani Yi /n1/t ≥ ε = O(1/n(2/t)−1 ) P (2.30) i=−∞ Chọn j0 cho α = 2j0 ((2/t) − 1) > chứng tỏ ε1 = ε/3j0 Áp dụng Bổ đề 2.3.6, ∞ ani Yi /n1/t ≥ ε ≤ Cj0 P{sup |ani Yi |/n1/t ≥ ε1 } P i i=−∞ ∞ 1/t + Dj0 P ani Yi /n ≥ ε1 2j0 i=−∞ ≤ Cj0 P{sup |ani Yi |/n1/t ≥ ε1 } + O(1/nα ) i (2.31) Vì vậy, cần chứng minh ∞ ∞ P{|ani Y | ≥ n1/t } < ∞ với Y = Y1 /ε1 n=1 i=−∞ Đặt Ink = {i ∈ Z, (j + 1)−1/t < |ani | ≤ j −1/t } Từ Inj = Z, với Z tập số nguyên j≥1 Chú ý k Inj = {i ∈ Z, |ani | > (k + 1)−1/t } = Ank , j=1 40 |ani | ≥ Ank /(k + 1)1/t n≥ i∈Ank Ta có Inj ≤ n(k + 1)1/t (2.32) 1≤j≤k Do ∞ P{|ani Y | ≥ n1/t n≥1 i=−∞ ( Inj )P{|Y | ≥ j 1/t n1/t } ≤ n≥1 j≥1 = P{k ≤ |Y |t < k + 1} ( Inj ) n≥1 j≥1 k≥jn [k/n] Inj P{k ≤ |Y |t < k + 1} ≤ n≥1 k≥n ≤ n≥1 k≥n j≥1 k +1 n 1/t n P{k ≤ |Y |t < k + 1} k n−(1/t)+1 k 1/t P{k ≤ |Y |t < k + 1} ≤C k≥1 n=1 k P{k ≤ |Y |t < k + 1} ≤C k≥1 ≤ C E|Y |2t < ∞ Từ (2.32) bất đẳng thức từ E|Y |2t < ∞ suy điều phải chứng minh 41 KẾT LUẬN CHUNG I Kết đạt Trình bày kiến thức lý thuyết xác suất cần cho hướng nghiên cứu luận văn Trình bày định nghĩa tính chất hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên Trình bày hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên Trình bày tốc độ hội tụ trình trung bình trượt II Hướng phát triển luận văn Có thể nghiên cứu vấn đề cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, (2008) [2] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất không gian Banach , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, (2012) [3] Ahmed, S E., Antonini, R G., Volodin, A., On the rate of complete convergence for weighted sums of arrays of Banach space valued random elements with application to moving average processes, Statist Probab Lett 58 (2002), no 2, 185-194 [4] T.-C Hsu., D Li., A Rosalsky., A I Volodin., On the rate of complete convergence for weighted sums of arrays of Banach space valued random elements, Theory Probab Appl (2001), 456-468 [5] Deli Li, X.Wang, Complete convergence of moving average processes Statist Probab Lett 14(1992), 111-114 [6] Hsu, T.-C., Rosalsky, A., Szynal, D., Volodin, A., On complete convergence for arrays of rowwise independent random elements in Banach spaces Stochastic Anal Appl 17(1999), 963–992 [7] Hsu, P.L., Robbins, H., Complete convergence and the law of large numbers Proc Natl Acad Sci USA 33(1947), 25–31 [8] Burton, R.M and H Dehling , Large deviations for some weakly dependent random processes, Statist Probab Lett 9(1990), 397-401 [9] Y.S Chow and H Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, Springer-Verlag, New York, (1997) [10] Deli Li, X.Wang , Complete convergence of movingaverage processes Institute of Mathematics, Jilin University, Changchun, China, (1990) [11]Gut, A., Complete convergence for arrays, Period Math Hungar 43 25(1992), 51–75 [12] Hsu, T.-C., Moricz, F., Taylor, R.L., Strong laws of large numbers for arrays of rowwise independent random variables Acta Math Acad Sci Hungar 54(1989), 153–162 [13] Kuczmaszewska, A., Szynal, D., On complete convergence in a Banach space Internat J Math Math Sci 17(1994.), 1–14 [14] Sung, S.H., Complete convergence for weighted sums of arrays of rowwise independent B-valued random variables, Stochastic Anal Appl 15(1997), 255–267 [15] Adler, A., M., Rosalsky, A., Volodin, A, Degenerate weak convergence of row sums for arrays of random elements in stable type p Banach spaces Bull Inst Math Acad Sinica 27(1990), 187–212 [...]... SỐ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 2.1 Sự hội tụ đầy đủ của dãy phần tử ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1.1 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian Banach thực khả ly, G là đại số con của F và B(E) là đại số các tập Borel của E Giả sử {X,Xn ,n ≥ 1} là họ phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên Ω và nhận giá trị trong E Ta nói dãy {Xn ,n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến phần tử ngẫu nhiên X nếu mọi... n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng nhận giá trị trên không gian Banach E Mảng phần tử ngẫu nhiên {Vnk , k ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < ∞ thỏa mãn P{ Vnk > x} ≤ DP{|DX| > x} với mọi x > 0, và ∀n ≥ 1, ∀k ≥ 1 Định lý 2.2.4 ([6]) Giả sử {Vnk , k 1, n 1} là mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng trên không gian Banach thực... nhiên độc lập nhận giá trị trong E2 Định lý 1.3.14 Giả sử X1 , X2 , , Xn là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P), nhận giá trị trên (E, B(E)) Khi đó, điều kiện cần và đủ để X1 , X2 , , Xn độc lập là với mọi f1 , f2 , , fn ∈ E∗ , các biến ngẫu nhiên f (X1 ), f (X2 ), , f (Xn ) độc lập 1.3.4 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên Định nghĩa 1.3.15 Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Phần tử. .. đo được gọi một cách đơn giản là phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được thì X là phần 15 tử ngẫu nhiên Mặt khác, dễ dàng thấy rằng nếu X là phần tử ngẫu nhiên thì họ σ(X) = {X −1 (B) ∈ B(E)} lập thành một σ -đại số con của σ -đại số F σ -đại số này được gọi là σ -đại số sinh bởi X Đây là σ(X)- là σ -đại số bé nhất mà X đo được Do đó, X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được... nhiên nhận giá trị trên không gian Banach Chúng ta giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian Banach thực khả ly, G là σ -đại số con của σ -đại số F , B(E) là σ -đại số các tập Borel của E 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.3.1 Ta nói ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G đo được nếu nó là ánh xạ G/B(E) đo được (tức là với mọi B ∈ B(E) thì X −1 (B) ∈ G) Phần tử ngẫu nhiên F... nhận giá trị trên (E, B(E)) Khi đó, họ {Xt , t ∈ ∆} được gọi là độc lập đôi một (độc lập) nếu họ σ -đại số {σ(Xt ), t ∈ ∆} độc lập đôi một (độc lập) Định lý 1.3.13 Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach thực khả ly, {Xt , t ∈ ∆} là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong E1 Khi 17 đó, nếu với mỗi t ∈ ∆, Tt : E1 → E2 là ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được thì họ {Tt (Xt ), t ∈ ∆} là họ phần tử ngẫu. .. dãy phần tử ngẫu nhiên xác định bởi P(Xn = 0) = 1 − P(Xn = β) = 1 n β 1 n β , 21 Khi đó ∀ε > 0 ta có ∞ ∞ P{ Xn − 0 > ε} = n=1 P{ Xn > ε} n=1 ∞ ≤ P( Xn = β ) n=1 ∞ = n n=1 1 β < ∞ c Suy ra Xn → 0 (khi n → ∞) 2.2 Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số của mảng các phần tử ngẫu nhiên Định nghĩa 2.2.1 Giả sử trên đoạn [a, b] xác định một hàm số f (x) hữu hạn Ta chia đoạn [a, b] ra từng phần bởi các. .. phần tử ngẫu nhiên G -đo được và Xn → X khi n → ∞ thì X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được Định lý 1.3.10 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo được Nghĩa là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo được {Xn , n ≥ 1}, sao cho lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0 n→∞ ω∈Ω Định lý 1.3.11 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. .. Không gian Rademacher dạng p Định nghĩa 1.3.21 Giả sử {rn , n 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = 1/2 Không gian Banach E được gọi là không gian Rademacher dạng p (1 p 2) nếu tồn tại một hằng số C = Cp sao cho, với mọi n 1 và mọi vi ∈ E (1 i n), n ri vi E i=1 n p 1/p C vi i=1 p 1/p 20 CHƯƠNG 2 SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA MẢNG CÁC... chuẩn) của một dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản G -đo được {Xn , n ≥ 1}, sao cho Xn (ω) ≤ 2 X(ω) với mọi n ≥ 1 và mọi ω ∈ Ω Nghĩa là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản G - đo được {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn lim Xn (ω) − X(ω) = 0 và n→∞ Xn (ω) 1.3.3 2 X(ω) với mọi n ≥ 1 và mọi ω ∈ Ω Các phần tử ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 1.3.12 Giả sử {Xt , t ∈ ∆} là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên ... 19 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên 20 2.1 Sự hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên 20 2.2 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên ... Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên Trong chương này, trước hết trình bày hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên Tiếp theo, nghiên cứu hội tụ đầy đủ tổng có trọng số mảng phần. ..1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - TRẦN THẾ NGA TỐC ĐỘ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên