BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI VĂN ĐỨC MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI VĂN ĐỨC MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.2 Nửa nhóm giải tích 10 Chương Một số kết đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach 20 2.1 Tổng quan kết đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach 20 2.2 Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Banach 24 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất lý thuyết truyền nhiệt, ta cần xác định nhiệt độ thời điểm khứ qua nhiệt độ đo đạc thời điểm Bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard Một toán gọi đặt chỉnh thỏa mãn ba điều kiện a) có nghiệm, b) nghiệm nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo tôpô đó) theo kiện toán Nếu ba điều kiện không thỏa mãn, ta nói Bài toán đặt không chỉnh Lĩnh vực toán đặt không chỉnh thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước mô hình nhiều toán thực tiễn Một hướng nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian việc tìm đánh giá ổn định Các đánh giá cho ta biết toán "xấu" đến mức nào, để từ đưa phương pháp số hữu hiệu Ngoài ra, đánh giá ổn định quan trọng việc chứng minh hội tụ đánh giá sai số phương pháp chỉnh giải toán đặt không chỉnh Cho đến nay, đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận chủ yếu không gian Hilbert, kết nhận không gian Banach Để tập dượt nghiên cứu để làm phong phú thêm tài liệu việc đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach, sở báo [4], [6] [7], lựa chọn đề tài cho Luận văn : "Một số kết đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach" Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu kết qủa đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach, từ đề xuất chứng minh số kết Với mục đích luận văn chia thành chương: Chương 1: Trình bày khái niệm toán đặt không chỉnh số ví dụ minh họa Sau trình bày nửa nhóm giải tích, ví dụ minh họa tính chất để làm sở cho việc trình bày chương Chương 2: Trong chương này, trình bày tổng quan kết qủa đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach Sau đề xuất chứng minh kết đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Banach Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán học cảm ơn thầy, cô giáo môn Giải tích, khoa Sư Phạm Toán học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An,tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày Chương Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1] [8] 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Xét ánh xạ d : X ×X → R thỏa mãn tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , d(x, y) = ⇔ x = y ; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi mêtric X cặp (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y A ánh xạ đơn ánh từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x0 ∈ X gọi nghiệm phương trình A(x) = f A(x0 ) = f Đặt R(A) = {y ∈ Y : tồn x ∈ X thỏa mãn A(x) = y} Khi tồn ánh xạ R : R(A) −→ X xác định công thức R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi việc tìm nghiệm x ∈ X phương trình A(x) = f dựa vào kiện ban đầu f ∈ Y thường xem xét dạng phương trình x = R(f ) 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX ), (Y, dY ) hai không gian mêtric Bài toán tìm nghiệm x = R(f ) phương trình A(x) = f gọi ổn định cặp không gian (X, Y ) (hay gọi liên tục theo kiện toán) ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε 1.1.4 Định nghĩa Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi toán đặt chỉnh cặp không gian metric (X, Y ) i) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X ; ii) nghiệm x nhất; iii) Bài toán ổn định cặp không gian (X, Y ) Nếu ba điều kiện không thỏa mãn toán tìm nghiệm gọi toán đặt không chỉnh Đôi người ta gọi toán đặt không quy toán thiết lập không đắn 1.1.5 Ví dụ 1) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I b K(t, s)ϕ(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], a nghiệm hàm ϕ(s), vế phải f0 (t) hàm số cho trước hạch K(t, s) tích phân với ∂K ∂t giả thiết hàm liên tục Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp hàm liên tục [a, b] với metric ( gọi độ lệch ) hai hàm ϕ1 , ϕ2 dC[a,b] (ϕ1 , ϕ2 ) = max |ϕ1 (s) − ϕ2 (s)| s∈[a,b] Mặt khác thay đổi vế phải đo độ lệch không gian L2 [c, d], tức khoảng cách hai hàm f1 (t), f2 (t) L2 [c, d] biểu thị dL2 [c,d] (f1 , f2 ) =    d c  12  |f1 (t) − f2 (t)| dt  Giả sử phương trình có nghiệm ϕ0 (s) Khi với vế phải b f1 (t) = f0 (t) + N K(t, s) sin(ωs)ds, a Phương trình có nghiệm ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + N sin(ωs) Với N ω đủ lớn khoảng cách hai hàm f0 , f1 L2 [c, d] dL2 [c,d] (f0 , f1 ) = |N |    b d [ a c  12  K(t, s) sin(ωs)ds] dt  làm nhỏ tùy ý Thật vậy, đặt Kmax = max |K(t, s)|, s∈[a,b],t∈[c,d] ta tính  21  b dL2 [c,d] (f0 , f1 ) ≤ |N | [Kmax cos(ωs)|a ] dt ω     d c ≤ |N |Kmax c0 , ω c0 số dương Ta chọn N ω lớn tùy ý nhỏ Khi đó, dC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)| = |N | s∈[a,b] N ω lại lớn Khoảng cách hai nghiệm ϕ0 , ϕ1 L2 [c, d] lớn Thật vậy, dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) =    b |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)|2 ds  a = |N |    = |N |  12  b sin2 (ωs)ds  21   a b−a − sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)) 2ω Dễ dàng nhận thấy hai số N ω chọn cho dL2 [c,d] (f0 , f1 ) nhỏ cho kết dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) lớn Đây toán không ổn định 2) Xét chuỗi Fourier ∞ f1 (t) = an cos(nt), n=0 với hệ số (a0 , a1 , , an , ) ∈ l2 cho xấp xỉ cn = an + nε , n ≥ c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng ∞ f2 (t) = cn cos(nt), n=0 có hệ số (c0 , c1 , , cn , ) ∈ l2 Và khoảng cách chúng ∞ (cn − an ) ε1 = ∞ =ε n=1 n=0 n2 =ε π2 Do khoảng cách hai hệ số làm nhỏ ε lấy nhỏ tùy ý Trong đó, ∞ f2 (t) − f1 (t) = ε n=1 cos(nt) n 17 1.2.18 Định lý Nếu p ∈ [2, +∞) −Ap toán tử sinh nửa nhóm giải tích co Lp (Ω) p < ∞ nên < q = p/(p − 1) < ∞ Ký hiệu Chứng minh Vì tích phân Ω tích hai hàm thuộc Lp (Ω) Lq (Ω) u ∈ D(Ap ) hàm u∗ = |u|p−2 u¯ ∈ Lq (Ω) u, u∗ = u , Nếu p 0,p Sử dụng công thức tích phân phần ta n ∗ Ap u, u =− Ω k,l=1 ∂ ∂xk n ak,l = Ω k,l=1 ak,l u¯|u|p−2 dx ∂u ∂ u¯|u|p−2 dx ∂xl ∂xk n p−2 ak,l |u| = ∂u ∂xl Ω k,l=1 ∂u ∂|u|p−2 ∂u ∂ u¯ + u¯ ∂xl ∂xk ∂xl ∂xk dx Mặt khác, ta có ∂ u¯ ∂ ∂u |u|p−2 = (p − 2)|u|p−4 u¯ +u ∂xk ∂xk ∂xk (1.9) Ký hiệu |u|(p−4)/2 u¯(∂u/∂xk ) = αk + iβk , ta có n ∗ Ap u, u ak,l ((p − 1)αk αl + βk βl + i(p − 2)αk βl )dx (1.10) = Ω k,l=1 Giả sử |ak,l (x)| ¯ M với x ∈ Ω k, l n n |α|2 = k=1 n Ta đặt Ω αk2 dx, |β|2 = k=1 Ω βk2 dx Khi đó, từ (1.8) (1.10,) ta có Ap u, u∗ C0 ((p − 1)|α|2 + |β|2 ) (1.11) | | Ap u, u∗ | Ap u, u∗ | ρ |α| + |β|2 2ρ C0 ((p − 1)|α|2 + |β|2 ) |p − 2|M (1.12) 18 với ρ > ( , ký hiệu phần thực phần ảo số √ phức) Chọn ρ = p − thay vào (2.17) ta | | Ap u, u∗ | Ap u, u∗ | M |p − 2| √ 2C0 p − (1.13) Từ (1.11) suy với λ > u ∈ D(Ap ), ta có λ u 0,p (λI + Ap )u 0,p (1.14) Do đó, λI + Ap đơn ánh miền giá trị tập đóng với λ > Vì (1.14) với p < ∞ nên λI + Ap , λ > toàn ánh Thật vậy, v ∈ Lq (Ω) thỏa mãn (λI + Ap )u, v = với u ∈ D(Ap ) theo Bổ đề 1.2.17, ta có v ∈ D(Aq ), q = p/(p − 1) u, (λI + Aq )v = với u ∈ D(Ap ) Vì D(Ap ) trù mật Lp (Ω) nên ta suy (λI + Aq )v = Sử dụng (1.14) với p thay q ta suy v = Điều chứng tỏ λI + Ap toàn ánh Do λI + Ap song ánh Vì vậy, từ (1.14) ta có (λI + Ap )−1 0,p với λ > λ (1.15) Định lý 1.2.10 khẳng định −Ap toán tử sinh nửa nhóm co Lp (Ω) với p < ∞ Cuối cùng, để chứng minh nửa nhóm sinh −Ap giải tích để ý từ (1.11) (2.18), miền giá trị số S(−Ap ) −Ap chứa tập Sv1 = {λ : |argλ| > π − v1 }, √ π π v1 = arctan(M |p − 2|/2C0 p − 1), < v1 < Chọn v1 < v < 2 kí hiệu Sv = {λ : |argλ| < π − v} Khi đó, tồn số Cv > cho d(λ : S(−Ap )) Cv |λ| với λ ∈ Sv (1.16) 19 Vì λ > nằm tập giá trị qui ρ(−Ap ) −Ap nên từ Định lý 1.2.11 suy ρ(−Ap ) ⊃ Sv (λI + Ap )−1 0,p với λ ∈ Sv Cv |λ| Sử dụng Định lý 1.2.14 (c) ta khẳng định −Ap toán tử sinh nửa nhóm giải tích Lp (Ω) với p thỏa mãn p < ∞ 1.2.19 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A toán tử sinh nửa nhóm giải tích T (t), t Khi đó, ta có etσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t 20 CHƯƠNG MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, trình bày số kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach dựa vào tài liệu tham khảo [4], [6] [7] Sau đề xuất chứng minh số kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Banach 2.1 Tổng quan kết đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach Mặc dù phương trình parabolic ngược thời gian xuất từ năm đầu thập niên 50 kỉ trước kết ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian không gian Hilbert đời gần sau Theo chúng tôi, đến năm 1975, kết qủa đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach đề xuất Keith Miller Cụ thể, kết Keith Miller sau 2.1.1 Định lý ([7]) Cho −A toán tử sinh nửa nhóm giải tích góc ψ (0 < ψ π/2) không gian Banach X Nếu u(t) 21 nghiệm phương trình ut + Au = 0, < t < T thoả mãn u(T ) ε, u(0) E Cek(t−T w(t)) εw(t) E 1−w(t) , ∀t ∈ [0, T ], u(t) với C, k số xác định w(τ ) hàm điều hoà S = {τ = t + is : |argτ | < ψ, |arg(τ − T )| > ψ} bị chặn liên tục S¯, tương ứng biên trái biên phải S Keith Miller rằng, trường hợp A toán tử tự liên hợp, X không gian Hilbert w(t) = t/T ta có đánh giá u(t) 2εt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ] Đây đánh giá ổn định có bậc tối ưu không gian Hilbert (xem [9], [10]) Năm 1999, A S Carasso ([4]) đề xuất kết khác đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach Giả sử X không gian Banach A toán tử tuyến tính với miền D(A) trù mật X Giả sử −A sinh nửa nhóm e−tA tập mở φ = {Re t > 0, |Arg t| < φ}, < φ ≤ π2 Hơn nữa, với < σ < φ, e−tA liên tục mạnh t = hình quạt φ−σ , toán tử đồng t = thỏa mãn bất đẳng thức e−tA ≤ Bσ < ∞ với t∈ φ−σ Với a ≥ < ξ ≤ 1, đặt S(a, ξ) = {τ = t + is; t ≥ a; |s| ≤ (t − a) tan(ξπ/2)} Với T > S(T, ξ) ⊂ S(0, ξ) Đặt G(T, ξ) = S(0, ξ) − S(T, ξ) wξ (t, s) hàm liên tục bị chặn G(T, ξ) điều hòa phần G(T, ξ), biên trái biên phải G(T, ξ) 22 Giả sử · chuẩn không gian Banach X Với < α ≤ e−τ A ≤ Bα < ∞, τ ∈ S(0, α) Xác định chuẩn x α · α sau = sup{ e−τ A : τ ∈ S(0, α)} 2.1.2 Định lý ([4]) Giả sử u(t) nghiệm phương trình ut + Au = 0, < t < T, u(t) α 1−ν(t) α ≤ u(0) u(T ) ν(t) α ,0 ≤ t ≤ T, (2.1) , ≤ t ≤ T, (2.2) u(t) ≤ Bα u(0) 1−ν(t) u(T ) ν(t) ν(t) := wα (t, 0) 2.1.3 Định lý ([4]) Với u(t) α Định lí 2.1.2, < σ < α < 1, đặt λ = inf{cos σθ (1 − tan σθ/ tan απ/2) /(cos θ)σ : ≤ θ ≤ π/2}, ρσ (t) = (λt/T )1/σ , ≤ t ≤ T, u(t) α ≤ u(0) 1−ρσ (t) α u(T ) ρσ (t) ,0 α ≤ t ≤ T, (2.3) , ≤ t ≤ T (2.4) u(t) ≤ Bα u(0) 1−ρσ (t) u(T ) ρσ (t) Từ Định lý 2.1.2 Định lý 2.1.3, Carasso đưa đánh giá ổn định cho phương trình dạng ut + Au = g(t), < t ≤ T sau, 23 2.1.4 Định lý ([4]) Với σ , λ ρσ (t) Định lý 2.1.3 Giả sử ε, M số dương thỏa mãn ε < M f ∈ X Nếu ui (t), i = 1, hai nghiệm phương trình ut + Au = g(t), < t ≤ T, với ui (T ) − f ≤ /Bα ui (0) ≤ M/Bα w(t) ≤ 2M 1−ρσ (t) ρσ (t) , 0≤t≤T với w(t) = u1 (t) − u2 (t) Cho p ∈ (1, ∞), ϕ ∈ Lp (R) ε, E số thỏa mãn < ε < E < ∞ Vào năm 1994, Đinh Nho Hào ([5]) xem xét phương trình truyền nhiệt ngược thời gian không gian Banach Lp (R) ut = uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ), u(·, T ) − ϕ(·) Lp (R) ε, (2.5) với ràng buộc u(·, 0) Lp (R) (2.6) E Đinh Nho Hào đưa đánh giá ổn định kiểu H¨older với p ∈ (1, ∞]: Nếu u1 u2 hai nghiệm toán (2.5)–(2.6) tồn số c∗ cho u1 (·, t) − u2 (·, t) Lp (R) √ ≤ 3((c∗ E)1−t/T εt/T + (c∗ E)1−t/(4T ) εt/(4T ) ), ∀t ∈ [0, T ] Đến năm 2009, Đinh Nho Hào Nguyễn Văn Đức ([6]) đưa số cải tiến cho kết vừa đề cập Cụ thể hai tác giả chứng minh u1 (x, t), u2 (x, t) hai nghiệm toán (2.5)–(2.6) với p ∈ (1, ∞) tồn số cp , cp cho u1 (·, t) − u2 (·, t) Lp (R) cp + cp εt/T E 1−t/T π 24 Nhìn chung, có kết đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach Hơn kết đánh giá ổn định dành cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian Theo chúng tôi, chưa có kết đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Banach 2.2 Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Banach Trong phần này, xét phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Banach X ut + A(t)u = 0, < t < T, u(T ) − f ε (2.7) Giả sử (xem [8, trang 150]): (P1 ) Miền D(A(t)) = D A(t), T , trù mật X độc t lập với t (P2 ) Với t ∈ [0, T ], giải thức R(λ : A(t)) A(t) tồn với λ thỏa mãn Reλ tồn số M cho R(λ : A(t)) M với Reλ |λ| + 0, t ∈ [0, T ] (2.8) (P3 ) Tồn số L α ∈ (0, 1] cho (A(t) − A(s))A(τ )−1 L|t − s|α với s, t, τ ∈ [0, T ] (2.9) Với giả thiết (P1 ) − (P3 ), theo Định lý 6.1 [8, trang 150-151], ta khẳng định tồn hệ tiến hóa (evolution system) U (t, s), 1) s t T thỏa mãn tính chất sau: U (t, s) C, với s t T (2.10) 25 2) Với s[...]... tôi trình bày một số kết quả đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian Banach dựa vào các tài liệu tham khảo [4], [6] và [7] Sau đó chúng tôi đề xuất và chứng minh một số kết quả mới về đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Banach 2.1 Tổng quan các kết quả đánh giá ổn định nghiệm phương trình. .. gian Banach Hơn nữa các kết quả đánh giá ổn định đều dành cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian Theo chúng tôi, cho đến nay vẫn chưa có kết quả nào về đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Banach 2.2 Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian. .. trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian Banach Mặc dù phương trình parabolic ngược thời gian xuất hiện từ những năm đầu thập niên 50 của thế kỉ trước và các kết quả ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert ra đời gần như ngay sau đó Theo chúng tôi, đến năm 1975, kết qủa đầu tiên về đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian. .. ra rằng, trong trường hợp A là toán tử tự liên hợp, X là không gian Hilbert thì w(t) = t/T và ta có đánh giá u(t) 2εt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ] Đây là đánh giá ổn định có bậc tối ưu trong không gian Hilbert (xem [9], [10]) Năm 1999, A S Carasso ([4]) đã đề xuất kết quả khác về đánh giá ổn định nghiệm của phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Banach Giả sử X là không gian Banach và... T 29 KẾT LUẬN Kết quả đạt được trong Luận văn này là 1 Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minh họa 2 Trình bày về nửa nhóm giải tích, ví dụ minh họa và các tính chất cơ bản của chúng 3 Trình bày tổng quan các kết qủa đánh giá ổn định của phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian Banach 4 Đề xuất và chứng minh Định lý 2.2.1 5 Đề xuất và chứng minh Định. .. Sử dụng Định lý 1.2.14 (c) ta khẳng định được −Ap là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích trên Lp (Ω) với mọi p thỏa mãn 2 p < ∞ 1.2.19 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích T (t), t 0 Khi đó, ta có etσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t 0 20 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương... phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Banach Trong phần này, chúng tôi xét phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Banach X ut + A(t)u = 0, 0 < t < T, u(T ) − f ε (2.7) Giả sử rằng (xem [8, trang 150]): (P1 ) Miền D(A(t)) = D của A(t), 0 T , trù mật trong X và độc t lập với t (P2 ) Với t ∈ [0, T ], giải... ra một số cải tiến cho kết quả vừa đề cập ở trên Cụ thể hai tác giả này đã chứng minh được rằng nếu u1 (x, t), u2 (x, t) là hai nghiệm của bài toán (2.5)–(2.6) với p ∈ (1, ∞) thì tồn tại các hằng số cp , cp sao cho u1 (·, t) − u2 (·, t) Lp (R) 2 cp + cp εt/T E 1−t/T π 24 Nhìn chung, cho đến nay vẫn chỉ có ít kết quả về đánh giá ổn định nghiệm của phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian. .. gian trong không gian Banach mới được đề xuất bởi Keith Miller Cụ thể, kết quả của Keith Miller như sau 2.1.1 Định lý ([7]) Cho −A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích góc ψ (0 < ψ π/2) trên một không gian Banach X Nếu u(t) 21 là một nghiệm của phương trình ut + Au = 0, 0 < t < T thoả mãn u(T ) ε, u(0) E thì Cek(t−T w(t)) εw(t) E 1−w(t) , ∀t ∈ [0, T ], u(t) với C, k là các hằng số xác định và... đây cũng là bài toán không ổn định 1.2 Nửa nhóm giải tích 1.2.1 Định nghĩa Cho X là một không gian Banach Họ một tham số các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X , T (t), 0 t < ∞ được gọi là một nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu i) T (0) = I, (I là toán tử đồng nhất trên X), ii) T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s 0 1.2.2 Định nghĩa Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính liên tục T (t) ... CHƯƠNG MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, trình bày số kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic. .. chung, có kết đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach Hơn kết đánh giá ổn định dành cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số không. .. ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Banach 20 2.2 Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời