B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN TH KHUYấN ă V C S GROBNER CA IấAN TRONG I S NGOI LUN VN THC S TON HC Ngh An - 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN TH KHUYấN ă V C S GROBNER CA IấAN TRONG I S NGOI Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60 46 01 04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc TS THIU èNH PHONG Ngh An - 2015 MC LC Mc lc M u I S NGOI 1.1 Tớch ngoi ca cỏc vect 1.2 i s tenx 1.3 i s ngoi 10 1.3.1 Xõy dng i s ngoi 10 1.3.2 Tớnh cht c bn 10 1.3.3 C s v s chiu 12 ă C S GROBNER CA IấAN TRONG I S NGOI 15 2.1 Iờan i s ngoi 15 2.2 Th t n thc v iờan u 16 2.3 C s Grăobner ca iờan i s ngoi 20 2.4 Tiờu chun Buchberger 23 Kt lun 33 Ti liu tham kho 34 M U Ngy nay, nhng t tng, phng phỏp v kt qu ca i s ó thõm nhp vo hu ht cỏc lnh vc ca toỏn hc, t tụpụ, hỡnh hc, ti gii tớch v xỏc sut Trong ú i s ngoi v iờan i s ngoi úng vai trũ khỏ quan trng i s ngoi l mt i s c trang b phộp nhõn l tớch ngoi c gii thiu ln u tiờn bi Hermann Grassmann nm 1844 Khỏi nim ny cung cp mt cụng c i s tr li cỏc cõu hi v hỡnh hc v cú liờn h mt cỏch tng quỏt ti lý thuyt i s ca cỏc m rng lng t Ngoi nú l mt nhng ngun ca khỏi nim khụng gian vect hin i v vic tỡm hiu ti ny cũn giỳp ngi hc phỏt trin t duy, cú kin thc sõu rng hn v toỏn hc Trờn c s ú, chỳng tụi chn ti "V c s Gră obner ca iờan i s ngoi" nhm tỡm hiu cỏc khỏi nim v tớnh cht mt cỏch cú h thng v c bn v i s ngoi v iờan i s ngoi c bit l trỡnh by chi tit lý thuyt v c s Grăoebner ca iờan i s ngoi t ú xõy dng mt ti liu tham kho ni b cho sinh viờn v hc viờn ngnh i s - Lý thuyt s v i s ngoi v c s Grăobner ca iờan i s ngoi Ngoi phn m u, kt lun v ti liu tham kho, ni dung chớnh ca lun c chia thnh chng Chng i s ngoi Chng ny trỡnh by cỏc khỏi nim,cỏch xõy dng v tớnh cht c bn ca i s tenx v i s ngoi nhm lm c s cho ni dung ca chng sau Chng C s Gră obner ca iờan i s ngoi õy l n dung chớnh ca lun trỡnh by v c s Grăobner ca iờan i s ngoi V c bn i s ngoi v vnh a thc, lý thuyt c s Grăobner l gn tng t nhau, nhiờn cú mt s yu t, tớnh cht khỏc ó c chnh sa li mt cỏch phự hp Lun c hon thnh di s hng dn ca thy giỏo TS Thiu ỡnh Phong Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti thy giỏo TS Thiu ỡnh Phong ó hng dn tn tỡnh giỳp tỏc gi hon thnh lun ny Tỏc gi cng xin chõn thnh cm n cỏc Thy Cụ giỏo khoa S phm Toỏn hc trng i hc Vinh v nhng bi ging v nhng hng dn ch bo sut quỏ trỡnh hc Tỏc gi xin gi li cm n ti ton th bn bố v ngi thõn ó giỳp , to iu kin v ng viờn tụi sut quỏ trỡnh hc v lm lun ny Ngh An, thỏng 09 nm 2015 Tỏc gi CHNG I S NGOI Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim, cỏch xõy dng v tớnh cht c bn ca i s tenx v i s ngoi nhm lm c s cho ni dung chng sau u tiờn chỳng tụi nhc li mt s kin thc ph thụng v tớch ngoi ca cỏc vect nh l mt vớ d ca phộp toỏn tớch ngoi i s ngoi 1.1 Tớch ngoi ca cỏc vect Trong toỏn hc, tớch ngoi ca cỏc vect l mt cụng c i s c s dng hỡnh hc Euclide nghiờn cu din tớch, th tớch, v cỏc tng t cao chiu hn Tớch ngoi ca hai vect u v v , ký hiu l u v , c gi l mt song vect ln ca u v cú th c hiu nh l din tớch hỡnh bỡnh hnh cú cnh u v v , m khụng gian ba chiu cng cú th c tớnh bng cỏch s dng cỏc tớch chộo ca hai vect Cng ging nh cỏc tớch chộo, tớch ngoi l phn giao hoỏn, cú ngha l u v = (v u) cho tt c cỏc vect u v v C th hn mt song vect nh l mt h tt c cỏc hỡnh bỡnh hnh nm cựng mt mt phng, cú din tớch nh nhau, v vi cựng mt nh hng ca biờn la chn chiu kim ng h hoc ngc chiu kim ng Din tớch ca mt hỡnh bỡnh hnh l nh thc ca ma trn ta ca hai s cỏc cnh ca nú Chỳ ý rng mt phng Descartes R2 l mt khụng gian vector c trang b mt c s bao gm mt cp vect n v a c e1 = , e2 = Gi s rng v = b = ae1 + be2 ; w = d = ce1 + de2 l mt cp vect R2 Xột hỡnh bỡnh hnh cú v v w l hai cnh Din tớch hỡnh bỡnh hnh ny c tớnh bi cụng thc: a c S = | det[v, w]| = | det b d | = |ad bc| Hỡnh Din tớch hỡnh bỡnh hnh Bõy gi xột tớch ngoi ca v v w v w = (ae1 + be2 ) (ce1 + de2 ) = (ace1 e1 + ade1 e2 + bce2 e1 + bde2 e2 = (ad bc)e1 e2 , ú cỏc ng thc u tiờn s dng lut phõn phi cho cỏc tớch ngoi, v ng thc cui cựng s dng tớnh cht cỏc tớch ngoi l thay phiờn, v c bit e2 e1 = e1 e2 Trong R3 , tớch ngoi liờn quan cht ch n tớch chộo ca cỏc vect S dng c s chun {e1 , e2 , e3 }, tớch ngoi ca mt cp vect u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 v v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 l u v = (u1 v2 u2 v1 )(e1 e2 ) + (u3 v1 u1 v3 )(e3 e1 ) + (u2 v3 u3 v2 )(e2 e3 ), ú {e1 e2 , e3 e1 , e2 e3 } l c s cho ba chiu khụng gian (R3 ) Vi w l mt vector th ba w = w1 e1 + w2 e2 + w3 e3 tớch ngoi ca ba vect l uvw = (u1 v2 w3 +u2 v3 w1 +u3 v1 w2 u2 v1 w3 u3 v2 w1 u1 v3 w2 )(e1 e2 e3 ), ú {e1 e2 e3 } l c s cho khụng gian (R3 ) 1.2 i s tenx xõy dng i s ngoi vi phộp toỏn tớch ngoi mt cỏch tng quỏt theo lý thuyt i s, u tiờn chỳng tụi trỡnh by mc ny cỏc khỏi nim, tớnh cht c bn v i s tenx Cho V l mt K -khụng gian vect Vi mt s nguyờn khụng õm k , ta nh ngha ly tha tenx th k ca V l T k (V ) = V V V, l tớch tenx ca k ln V Vi k = 0, ta quy c T (V ) = K Tng trc tip ca cỏc ly tha tenx ny c ký hiu l T k (V ) T (V ) = k=0 Trờn T (V ) trang b phộp toỏn nhõn "." c xỏc nh trc ht bi cỏc ng cu chớnh tc T p (V ) ì T q (V ) T p+q (V ) () Tc l vi u = u1 u2 up T p (V ) v v = v1 v2 vq T q (V ), ú u.v = u1 u2 up v1 v2 vq T p+q (V ) Sau ú ta m rng bng phộp t hp tuyn tớnh ti phộp nhõn tt c cỏc phn t trờn T (V ) Bng cỏch kim tra cỏc iu kin nh ngha ca mt i s, chỳng ta chng minh c nh lý sau nh lớ 1.2.1 T (V ) cựng vi phộp toỏn "." l mt i s trờn K nh ngha 1.2.2 i s T (V ) c gi l i s tenx ca khụng gian vect V trờn trng K Nhn xột 1.2.3 i) Bi nh ngha phộp toỏn nhõn trờn, ta suy rng i s tenx l mt i s phõn bc Tc l T (V ) = T k (V ) v phộp toỏn nhõn tha tớnh cht ca i s phõn bc (ng cu chớnh tc (*) trờn), tt c cỏc thnh phn bc d ca T (V ) l T d (V ), d = 0, 1, ii) Phộp toỏn nhõn T (V ) l khụng giao hoỏn v n v ca T (V ) l khỏc vi n v 1K ca trng K i s Tenx tha tớnh cht ph dng, t ú ta cú i s Tenx l xỏc nh nht sai khỏc ng cu n gin ký hiu, t : V T (V ) l phộp nhỳng t nhiờn chớnh tc t V vo T (V ) xỏc nh bi (v) = v T (V ) Tớnh cht ph dng ca T (V ) c phỏt biu nh sau nh lớ 1.2.4 Cho A l mt K -i s kt hp vi n v e v mt ỏnh x tuyn tớnh : V A Khi ú tn ti nht mt ng cu i s h : T (V ) A cho h(1) = e v h = , tc l cho ta cú biu giao hoỏn: V h T (V ) A Chng minh ng cu h c xỏc nh mt cỏch t nhiờn nh sau: u tiờn, vi v = v1 v2 vm T m (V ), ta nh ngha h(v) = f (v1 ) f (v2 ) f (vm ) Bng phộp ly t hp tuyn tớnh, ta nh ngha c nh qua h ca mi phn t u T (V ) Khi ú ta cú th kim tra trc tip c rng h l tn ti v nht tha tớnh cht ph dng, hay h(1) = e v h = 1.3 1.3.1 i s ngoi Xõy dng i s ngoi nh ngha 1.3.1 Vi p N, ta kớ hiu B p (V ) l khụng gian ca T p (V ) sinh bi cỏc tenx cú dng v1 ã ã ã vp , ú vi = vj i vi ớt nht mt cp ch s i = j no ú t B(V ) = p p=0 B (V ) Khụng gian thng p (V ) = T p (V )/B p (V ) c gi l ly tha ngoi bc p ca V Cỏc phn t ca p (V ) c gi l p-vộct nh ca v1 ã ã ã vp p (V ) c kớ hiu l v1 ã ã ã vp i s thng (V ) = T (V )/B(V ) = p (V ) p=0 c gi l i s ngoi ca V Tớch ca v (V ) c kớ hiu l v c gi l tớch ngoi 1.3.2 Tớnh cht c bn nh ngha 1.3.2 Ta gi ỏnh x a tuyn tớnh : V p U l thay phiờn, nu (v1 , , ) = vi = vj i vi ớt nht mt cp ch s i = j no ú Vớ d 1.3.3 a) Cho v1 , vp K p l cỏc vect ct Khi ú ỏnh x nh thc (v1 , , vp ) | v1 , , vp | l ỏnh x a tuyn tớnh thay phiờn 10 Do ú in< I = in< J p dng Mnh 2.2.8 ii) ta suy I = J Vy ta cú f1 , f2 , , fr l mt h sinh ca J trờn K chng minh f1 , f2 , , fr l mt c s trờn K ca J , ta ch cn chng minh h {f1 , f2 , , fr } l c lp tuyn tớnh Tht vy gi s cú f1 + + r fr = 0, ú i K v khụng ng thi bng Khi ú in< (1 f1 + + r fr ) = Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s in< (f1 ) > in< (f2 ) > > in< (fr ) v fi khụng cha n thc in< (fj ) biu din tc l: in< (fj ) / supp (fi ) , i = j Khi ú ta cú in< (1 f1 + + r fr ) = in< (f1 ) + + r in< (fr ) = 0, vụ lý vỡ in< (f1 ) , , in< (fr ) c lp tuyn tớnh Vy f1 , f2 , , fr l mt K c s ca khụng gian vect J Khi ú ta cng cú dimk Ji = # {f : deg (f ) = i} = # {in< (f ) : deg (f ) = i} = dimk in< (J)i 2.3 C s Gră obner ca iờan i s ngoi Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by chi tit vic xõy dng c s Grăobner cho iờan i s ngoi bao gm: thut toỏn chia, tiờu chun Buchberger, thut toỏn Buchberger tỡm c s Grăobner ca mt iờan nh ngha 2.3.1 Cho iờan = J E l mt iờan Mt hu hn cỏc phn t g1 , g2 , , gs J c gi l mt c s Gră obner ca J ng vi th t n thc < nu iờan u in< (J) ca J sinh bi in< (g1 ) , , in< (gs ), tc l in< (J) = in< (g1 ) , in< (g2 ) , , in< (gs ) 20 Vớ d 2.3.2 Cho i s ngoi E = K e1 , e2 , , e4 v iờan J = e1 e2 + e3 e4 Ký hiu u = e1 e2 + e3 e4 Khi ú e1 u = e1 e3 e4 e2 u = e2 e3 e4 e3 u = e3 e1 e2 e u = e e e e1 e2 u = e1 e2 e3 e4 J3 = E3 J4 = E4 Ký hiu < l th t t in trờn E ta cú in< (J) = (e1 e2 , e1 e3 e4 , e2 e3 e4 ) Do ú {e1 e2 + e3 e4 , e1 e3 e4 , e2 e3 e4 } l mt c s Grăobner ca J Nhn xột 2.3.3 T vớ d trờn ta thy khỏc vi trng hp vnh a thc iờan u ca mt iờan chớnh i s ngoi khụng nht thit l iờan chớnh Mnh 2.3.4 Cho = J E l mt iờan v g1 , g2 , , gs l mt c s Grăobner ca J Khi ú g1 , g2 , , gs cng l h sinh ca J Chng minh t I = g1 , , gs ú ta cú IJ in< (g1 ) , , in< (gs ) in< (I) in< I in< J in< J in< I in< I = in< J Mt khỏc I J , ỏp dng Mnh 2.2.8 ii) ta suy I = J Chỳ ý 2.3.5 Theo Mnh 2.2.10, nu chn cỏc phn t thun nht f1 , f2 , , fr J cho in< (f1 ) , , in< (fr ) l mt c s trờn K ca khụng gian vect in< (J) thỡ f1 , f2 , , fr l mt c s Grăobner ca J Tuy nhiờn c s Grăobner ny thng l rt ln Tng t trờn vnh a thc, chỳng ta cú nh ngha sau nh ngha 2.3.6 Mt c s Grăobner G = {g1 , , gs } ca iờan J c gi l thu gn nu vi mi i, h s ca in< (gi ) G l v nu vi mi i = j , in< (gi ) khụng chia ht bt k n thc no ca supp(gj ) 21 Tng t iờan trờn vnh a thc ta cú: nh lớ 2.3.7 Vi mi iờan thun nht J E v mi th t n thc < trờn E , c s Grăobner thu gn ca J luụn tn ti v nht Chng minh Gi s {u1 , , us } l ti tiu nht cỏc n thc sinh bi iờan u in< (J) v chn cỏc phn t fi J cho in< (fi ) = ui Gi s rng tn ti phn t v supp(f1 ) chia ht cho ui vi i = 1, vit v = w ui Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s thờm rng v l ln nht supp(f1 ) chia ht cho ui Lu ý l v = u1 u1 , , us l h sinh ti tiu ca in< (J) Khi ú tn ti a K cho v / supp f1 , ú f1 = f1 aw fi Ta cú in< f1 = in< (f1 ) Chỳng ta cú th thay f1 bi f1 Nu tn ti v supp f1 cho v chia ht cho ui vi i = no ú, ú v < v v chỳng ta cú th lp li bc trờn Do ch cú hu hn n thc E nờn quỏ trỡnh ny s kt thỳc (dng) sau mt s hu hn bc v chỳng ta thu c mt phn t thun nht g1 J vi in< (gi ) = u1 v tha l khụng cú ui no, vi i = 1, chia ht bt k v supp (g1 ) , v = u1 Tng t nh vy vi f2 ta thu c g2 Bng quy np trờn |G J| (s phn t sinh bi J ), chỳng ta suy rng tn ti mt c s Grăobner {g1 , g2 , , gs } cho in< (gi ) khụng chia ht n thc no thuc supp(gj ) vi i = j Chia gi cho h s in< (gi ) vi i = 1, s, chỳng ta thu c mt c s Grăobner thu gn ca J chng minh tớnh nht, u tiờn ta chỳ ý rng nu G = {g1 , g2 , , gs } l mt c s Grăobner thu gn ca J thỡ cỏc h s bc cao nht ca gi l v cỏc n thc ui = in< (gi ) to thnh mt h cỏc n thc sinh ti tiu nht ca in< (J) Do ú G = g1 , g2 , , gt l mt c s Grăobner thu gn khỏc ca J thỡ ta cú th gi s ui = in< gi vi mi i c bit l s = t Gi s gi = gi Do h s cao nht ca gi , gi l 1, suy gi gi = hoc in< gi gi = ui Gi s trng hp in< gi gi = ui xy ú 22 u1 , , us sinh in< (J) Suy j = i cho uj l c ca in gi gi , iu ny l mõu thun vi gi thit G l c s Grăobner thu gn bi vỡ in< gi gi supp (gi ) supp gi 2.4 Tiờu chun Buchberger Tng t nh trờn vnh a thc, cú mt thut toỏn chia cho cỏc phn t i s ngoi Trong mc ny chỳng tụi s trỡnh by phiờn bn i s ngoi cho thut toỏn chia, tiờu chun Buchberger v thut toỏn Buchberger Trc ht lu ý rng Vớ d 2.3.2 vi iờan J = (g), ú g = e1 e2 + e3 e4 , mc dự tt c cỏc phn t ca J chia cho g cú phn d l nhng mt mỡnh g khụng l c s Grăobner ca J nh trng hp vnh a thc im mu cht ca s khỏc bit õy l in< (h g) = in< (h) in< (g) ch in< (h) in< (g) = Vỡ vy chỳng ta cn cú mt s chnh sa thớch hp cú phiờn bn ca thut toỏn chia i s ngoi cng nh tiờu chun, thut toỏn Buchberger Trong cỏc phn trc chỳng ta thy rng mi th t n thc < trờn E u cm sinh t mt th t n thc < trờn S Vi cỏc khỏi nim c gii thiu Mc 2.2, chỳng ta cú in< (f g) in< (f ) in< (g) vi mi f, g E; f g = 0, du = xy in< (f ) in< (g) = nh lớ 2.4.1 (Thut toỏn chia) Cho trc mt th t n thc < trờn E v cho g1 , , gs , f l cỏc phn t thun nht thuc E Khi ú tn ti mt biu din chun tc ca f , tc l tn ti cỏc phn t thun nht h1 , , hs , r E cho f = s i=1 hi gi + r tha tớnh cht l khụng cú n thc v supp (r) no nm (in< (g1 ) , , in< (gs )) v vi hi gi = thỡ ta cú in< (hi ) in< (g) in< (f ) 23 Chng minh t J = (in< (g1 ) , , in< (gs )) v ký hiu Mon(J) l tt au u vi au K thnh c cỏc n thc thuc vo J Ta vit f = uMon(E) f = h + r1 vi h = au u v r1 = au u uMon(J) / uMon(J) Ta cú th gi s h = 0, bi vỡ nu ngc li f = r1 l biu din chun tc ca f tha iu kin nh lý Bi h J nờn tn ti i v n thc w cho in< (h) = win< (gi ) Suy a K, a = cho h v awgi cú cựng h s u t f = hawgi ú in< f < in< (h) in< (f ) Bng quy np trờn in< (f ) , ta cú th gi s rng tn ti mt biu din chun tc f = s i=1 hj gj + r2 Khi ú s hj gj + r vi hi = hi + aw, hj = hj , i = j v r = r1 + r2 f= j=1 Ta chng minh õy l mt biu din chun tc ca f Bng xõy dng trờn ta suy v supp (r) v / (in< (g1 ) , , in< (gs )) , i = j cho hj gj = Ta cú in< (f ) in< f in< (hj ) in< (gj ) Ta cn chng minh iu ny cng ỳng vi j = i Tht vy, ta cú w in< (gi ) = in< (h) < in< (f ) v in< hi in< (g) in< f in< (f ) Do ú in< hi in< (h) max w , in< h Suy in< (hi ) in< (g) in< (f ) Cho J E l mt iờan n thc vi cỏc n thc sinh ti tiu G (J) = {eF1 , , eFs } t = deg eFi , i = 1, , s Xột ton cu cỏc E -mụun phõn bc s E (ai ) J; : i=1 24 b i e Fi , s E (ai ) Mụun ú b1 , , bs l c s thun nht chun tc ca i=1 s phõn bc U = Ker E (ai ) c gi l mụun liờn i ca J i=1 Cho hai ch s F, G [n] Ta ký hiu (F, G) = |{(i, j) : i F, j G, i > j}| Khi ú ta d dng kim tra c biu thc sau eF eG = (1)(F,G) eF G , nu F G = , 0, cỏc trng hp cũn li B 2.4.2 Mụun liờn i U ca J vi G (J) = {eF1 , , eFs } c sinh bi hai loi quan h sau: (i) Cỏc S -quan h dng (1)(Fj \Fi ,Fi ) eFj \Fi bi (1)(Fi \Fj ,Fj ) eFi \Fj bj , vi i < j ; (ii) Cỏc T -quan h dng ei bi , i, j Fj Chng minh Vi c U, t bi eFi chỳng ta cú th vit c = F [n] cF vi cF cú dng eGi bi , Gi Fi = F, vi mi i, cF = i ú tng ly trờn cỏc i vi Fi Fj , K T (cF ) = aeF , a K no ú ta suy (c) = (cF ) = 0, F [n] Do ú ta cú th gi s rng c cú dng c = i eGi bi , Gi Fi = F Nu vi i no ú ta cú Gi Fi = , ú eGi bi s l mt bi ca mt T -quan h Do ú modulo cỏc T -quan h ta cú th gi s Gi Fi = , ú Gi = F \Fi vi mi i m = Sau ỏnh s li cỏc phn t c s bi , chỳng ta cú th gi s rng = 0, i = 1, , r v = vi i > r 25 Vi F, Fi , Fj [n], i, j = 1, 2, , thu gn cỏc ký hiu, ta t i = (F \Fi , Fi ) ; ij = (F \(Fi Fj ), (Fi Fj )) ; ij = (Fi \Fj , Fj ) ; ij = (F \(Fi Fj ), (Fi \Fj )) Khi ú c = r i=1 eF \Fi bi , (c) = 0, ta cú r r 0= (1)i eF eF \Fi eFi = i=1 Do ú nu ta t ci = (1)i , i=1 r i=1 ci = Vỡ vy r c (1)i eF \Fi bi c= i=1 r ci (1)i eF \Fi bi (1)1 eF \F1 bi = i=2 Bõy gi vi mi hng t ca c ta cú: (1)i eF \Fi bi (1)1 eF \F1 b1 = eF \(F1 Fi ) ((1)1i +i eF1 \Fi bi (1)i1 +1 eFi \F1 b1 ) = (1)1i eF \(F1 Fi ) ((1)1i eF1 \Fi (1)i1 eFi \F1 b1 ) Phng trỡnh trờn suy t tớnh cht: (1)1i +i = (1)1i +1i v cỏc ng nht tng ng vi vai trũ ca F1 v Fi hoỏn i cho ng thc trờn l mt h qu ca tớnh cht eF \(F1 Fi ) eF1 \Fi eFi = eF \(F1 Fi ) eF1 \Fi eFi Tớnh toỏn trờn ch rng c l mt t hp tuyn tớnh ca cỏc S -quan h, iu phi chng minh 26 Cho dóy cỏc phn t thun nht khỏc E l g1 , g2 , , gs tha in< (gi ) = eGi v h s u ca gi l ci Da vo hai loi quan h c mụ t B 2.2.5, chỳng ta nh ngha S -a thc v T -a thc ca g1 , g2 , , gs nh sau: i) Vi mi i < j , t S (gi , gj ) = 1 (1)(Gj \Gi ,Gi ) eGj \Gi gi (1)(Gi \Gj ,Gj ) eGi \Gj gj ; ci cj ii) Vi mi i v j vi i Gj , ta t T (ei , gj ) = ci e i gj Cho = f E l mt phn t thun nht Ta núi rng f thu gn ti tng ng vi g1 , g2 , , gs , nu tn ti mt biu din chun tc cú dng s hi gi Vi cỏc ký hiu thut ng ó gii thiu ta cú f= i=1 nh lớ 2.4.3 (Tiờu chun Buchberger) Cho J l mt iờan phõn bc khỏc ca E v G = {g1 , g2 , , gs } l mt h cỏc phn t sinh thun nht ca J Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng (a) G l mt c s Grăobner ca J (b) Tt c S -a thc v T -a thc ca G thu gn ti tng ng vi g1 , g2 , , gs Chng minh (a) (b) : Ta cú th gi thit rng tt c cỏc h s ca in< (gi ) gi l Cỏc S -a thc v T -a thc thuc vo J s Ly f J l mt phn t thun nht khỏc tựy ý v gi s f = hi gi + r l biu din chun tc ca f tng ng vi g1 , g2 , , gs i=1 Nu r = thỡ ta cú r J v ú in< (r) in< (J) Do G l mt c s Grăobner ca J , nờn tn ti mt s nguyờn i cho in< (r) l bi ca in< (gi ) iu ny l mõu thun vi tớnh cht ca phn d biu din chun tc (b) (a) : Vi f J l mt phn t thun nht khỏc 0, ta cú: s hi gi ; in< (f ) maxi {in< (hi gi ) } maxi {in< (hi ) in< (gi ) } , f= i=1 27 ú giỏ tr max c ly trờn cỏc ch s i vi hi gi = Nu du = xy thỡ in< (f ) = in< (hi ) in< (gi ) vi i no ú iu ny suy in< (f ) = in< (hi ) in< (gi ) v ta cú iu cn chng minh t = maxi {in< (hi ) in< (gi ) } v gi s rng in< (f ) < Ta cú th ch rng f cú th c vit li di dng hi gi vi in< hi in< (gi ) < , i m hi gi = f= i Bng quy np theo v quỏ trỡnh ny s kt thỳc ú ta cú iu phi chng minh Tht vy ta biu din f nh sau: hi gi + f= hi gi in< (hi ) in< (gi ) = in< (hi ) in< (gi ) < in< (hi ) gi + = (hi in< (hi )) gi in< (hi ) in< (gi ) = in< (hi ) in< (gi ) = hi g i + in< (hi ) in< (gi ) < Trong ú l h s u ca hi T in< (hi in< (hi )) in< (gi ) < , ta ch cn xột tng in< (hi ) gi s= in< (hi ) in< (gi ) = Do in< (f ) , ta cng cú in< (s) < iu ny suy in< (hi ) in< (gi ) = in< (hi ) in< (gi ) = Núi cỏch khỏc ta cú: u = in< (hi ) bi U, ú U l in< (hi ) in< (gi ) = mụun quan h ca (in< (g1 ) , , in< (gs )) Bi B 2.4.2, cỏc S -quan h v T -quan h sinh U Do ú ta cú th t vit u = cj uj , ú mi uj hoc l S -quan h hoc l T -quan h T u i=1 28 l thun nht bc deg , chỳng ta cú th gi s rng vi mi j ta cú phng trỡnh sau ca cỏc Zn -bc deg (cj uj ) = deg (cj ) + deg (uj ) = deg () () s Ký hiu : E (ai ) J vi bi gi Khi ú (uk ) hoc l S -a thc hoc i=1 s aki gi vi l T -a thc Do ú gi thit ca chỳng ta suy (uk ) = i=1 in< ( (uk )) > in< (aki ) in< (gi ) , () nu m aki gi = Do ú t s ck (uk ) = s = (u) = k=1 l hi gi , hi = i=1 ck aki gi i=1 k=1 s = l ck aki k=1 T in< (hi ) max {in< (ck aki ) } = in< (cj aji ) in< (cj ) in< (aji ) k vi j no ú m cj = 0, kt hp vi (**) ta cú: in< hi in< (gj ) in< (cj ) (in< (aji ) in< (gi ) ) in< (cj ) in< ( (uj )) < i , ú bt ng thc cui c suy t (*) v t deg uj > deg in< ( (uj )) Nhn xột 2.4.4 Nh ta ó bit t B 2.4.2, mụun quan h U ca (in< (g1 ) , , in< (gs )) c sinh bi cỏc S - v T -quan h Tt nhiờn l cỏc S - v T -quan h cú th khụng l sinh ti tiờu ca U Tuy nhiờn chng minh ca tiờu chun Buchberger ta thy rng ch G l mt c s Grăobner ca J , ta ch cn ch rng cỏc S -a thc v T -a thc tng ng vi mt ti tiu cỏc phn t sinh ca U thu gn ti tng ng vi g1 , , gs 29 nh lý 2.4.3 cho ta thut toỏn Buchberger tớnh mt c s Grăobner ca iờan i s ngoi nh sau: Bc 1: Bt u vi G = {g1 , , gs } cỏc phn t thun nht ca J Nu tt c cỏc S -a thc v T -a thc thu gn ti tng ng vi g1 , , gs , ú G l c s Grăobner ca J v thut toỏn kt thỳc Bc 2: Nu ngc li thỡ mt S -a thc v T -a thc cú phn d khỏc Khi ú ta thay G bi G = G {r} v tiờp tc quỏ trỡnh vi Bc Thut toỏn dng sau mt s hu hn bc v thu c mt c s Grăobner ca J bi vỡ ch cú hu hn cỏc n thc E Vớ d 2.4.5 Xột iờan J = e1 e2 + e3 e4 E = K e1 , , e4 t g1 = e1 e2 + e3 e4 J = g1 Ly G = {g1 } ta tớnh tt c S -a thc v T -a thc ca G Ta cú: Khụng cú S -a thc vỡ ch cú mt phn t sinh (s = 1) in< (g1 ) = e1 e2 = eG1 ; G1 = {1; 2} T (e1 , g1 ) = e1 g1 = e1 e3 e4 T (e2 , g1 ) = e2 g1 = e2 e3 e4 Khi ú T (e1 , g1 ) = e1 g1 , T (e2 , g1 ) = e2 g1 u khụng thu gn ti bi vỡ e1 g1 = nhng in< (e1 ) in< (g1 ) = x1 x1 x2 = x21 x2 v in< (e1 g1 ) = x1 x3 x4 < x21 x2 Tng t vi T (e2 , g1 ) Do ú ta thay G bi G = {g1 , T (e1 , g1 ) , T (e2 , g1 )} = {g1 , e1 e3 e4 , e2 e3 e4 } = {g1 , g2 , g3 } Ta tớnh cỏc S -a thc, T -a thc , Ta cú: in< (g1 ) = e1 e2 = eG1 ; in< (g2 ) = e1 e3 e4 = eG2 ; in< (g3 ) = e2 e3 e4 = eG3 vi G1 = {1, 2} , G2 = {1, 3, 4} , G3 = {2, 3, 4} 30 Khi ú S (g1 , g2 ) = (1)(G2 \G1 ,G1 ) eG2 \G1 g1 (1)(G1 \G2 ,G2 ) eG1 \G2 g2 = (1)({3,4},G1 ) e3 e4 g1 (1)({2},G2 ) e1 g2 = (1)2 e3 e4 e1 e2 (1)1 e2 e1 e3 e4 = e1 e2 e3 e4 e1 e2 e3 e4 = Tng t ta cú S (g1 , g3 ) ; T (e1 , g1 ) = g2 ; T (e1 , g2 ) = 0; S (g2 , g3 ) = T (e2 , g1 ) = g3 T (e4 , g2 ) = T (e3 , g2 ) = e3 e1 e3 e4 = T (e2 , g3 ) = T (e3 , g3 ) = T (e4 , g3 ) = Suy G = {g1 , g2 , g3 } l c s Grăobner ca J nh Vớ d 2.3.2 Vớ d 2.4.6 Xột iờan J = g1 , g2 E = K e1 , , e5 vi g1 = e1 e2 + e1 e3 , g2 = e1 e4 + e2 e3 Khi ú in< (g1 ) = e1 e2 = eG1 ; vi G1 = {1, 2} in< (g2 ) = e1 e4 = eG2 ; vi G2 = {1, 4} Ta dựng thut toỏn Buchberger tỡm c s Grăobner ca J nh sau: Ta cú T (e1 , g1 ) = e1 g1 = e1 (e1 e2 + e1 e3 ) = T (e2 , g1 ) = e2 (e1 e2 + e1 e3 ) = e1 e2 e3 T (e1 , g2 ) = e1 (e1 e4 + e2 e3 ) = e1 e2 e3 = g4 T (e4 , g2 ) = e4 (e1 e4 + e2 e3 ) = e2 e3 e4 = g3 31 S (g1 , g2 ) = (1)(G2 \G1 ;G1 ) eG2 \G1 g1 (1)(G1 \G2 ;G2 ) eG1 \G2 g2 = (1)2 e4 (e1 e2 + e1 e3 ) (1)1 e2 (e1 e4 + e2 e3 ) = e1 e3 e4 = g5 Ta cú g5 thu gn ti i vi g1 , g2 bi vỡ g5 = e3 g2 v in< (e3 ) in< (g2 ) = x3 x1 x4 = in< (e3 e1 e4 ) = in< (e3 g2 ) Tng t ta kim tra c g4 = e3 g1 thu gn ti i vi g1 , g2 , nhiờn g3 khụng thu gn ti i vi g1 , g2 Do ú ta thay G bi G = {g1 , g2 , g3 } Tip tc thut toỏn Buchberger ta cú in< (g3 ) = g3 = eG3 ; vi G3 = {2, 3, 4}; T (ei , g3 ) = vi mi i G3 ; S(g1 , g3 ) = (1)4 e34 g1 (1)0 e1 g3 = e34 e12 e1 e234 = 0; S(g2 , g3 ) = (1)2 e23 g2 (1)0 e1 g3 = e23 e14 e1 e234 = T ú ta kt lun c G = {g1 , g2 , g3 } l mt c s Grăobner ca iờan J 32 KT LUN Ni dung chớnh ca lun l tỡm hiu v c s Grăobner ca iờan i s ngoi C th lun ó hon thnh c nhng ni dung sau: Trỡnh by khỏi nim, tớnh cht c bn ca i s ngoi Mụ t cỏc iờan n thc, th t n thc, iờan u i s ngoi Trỡnh by mt cỏch h thng v chi tit v lý thuyt c s Grăobner ca iờan i s ngoi Ch s khỏc v nhng yu t cn b sung v ci tin so sỏnh c s Grăobner trờn i s ngoi v trờn vnh a thc 33 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn T Cng (2003), Giỏo trỡnh i s hin i, NXB i hc Quc gia H Ni [2] Lờ Tun Hoa (2005), i s tuyn tớnh qua cỏc vớ d v bi tp, NXB i hc Quc gia H Ni [3] Lờ Tun Hoa (2003), i s mỏy tớnh v c s Gră obner, NXB i hc Quc gia H Ni Ting Anh [4] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative Algebra, Reading, Mass [5] E Miller and B Sturmfels, Combinatorial Commutative Algebra GTM 227, Springer-Verlag, 2004 [6] Jă urgen Herzog - Takayuki Hibi (2010), Monomial Ideals, Graduate Texts in Mathematics 260, Springer (2010) ISBN 978-0-85729-105-9 34 [...]... ¨ CƠ SỞ GROBNER CỦA IĐÊAN TRONG ĐẠI SỐ NGOÀI Trong chương này, chúng tôi trình bày lý thuyết về cơ sở Gr¨obner của iđêan trong đại số ngoài Về cơ bản trong đại số ngoài và trong vành đa thức, lý thuyết cơ sở Gr¨obner là giống nhau, tuy nhiên có một số yếu tố, tính chất khác nhau cần được chỉnh sửa phù hợp Nội dung này chúng tôi tham khảo chủ yếu ở tài liệu [6, Section 5.2] 2.1 Iđêan trong đại số ngoài. .. một cơ sở Gr¨obner của iđêan J 32 KẾT LUẬN Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu về cơ sở Gr¨obner của iđêan trong đại số ngoài Cụ thể luận văn đã hoàn thành được những nội dung sau: 1 Trình bày khái niệm, tính chất cơ bản của đại số ngoài 2 Mô tả các iđêan đơn thức, thứ tự đơn thức, iđêan khởi đầu trong đại số ngoài 3 Trình bày một cách hệ thống và chi tiết về lý thuyết cơ sở Gr¨obner của iđêan trong. .. , fr là một K cơ sở của không gian vectơ J Khi đó ta cũng có dimk Ji = # {f : deg (f ) = i} = # {in< (f ) : deg (f ) = i} = dimk in< (J)i 2.3 Cơ sở Gr¨ obner của iđêan trong đại số ngoài Trong mục này chúng tôi trình bày chi tiết việc xây dựng cơ sở Gr¨obner cho iđêan trong đại số ngoài bao gồm: thuật toán chia, tiêu chuẩn Buchberger, thuật toán Buchberger tìm cơ sở Gr¨obner của một iđêan Định nghĩa... đại số ngoài 4 Chỉ ra sự khác nhau và những yếu tố cần bổ sung và cải tiến khi so sánh cơ sở Gr¨obner trên đại số ngoài và trên vành đa thức 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính và cơ sở. .. tử trong đại số ngoài Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày phiên bản đại số ngoài cho thuật toán chia, tiêu chuẩn Buchberger và thuật toán Buchberger Trước hết lưu ý rằng trong Ví dụ 2.3.2 với iđêan J = (g), trong đó g = e1 ∧e2 + e3 ∧ e4 , mặc dù tất cả các phần tử của J khi chia cho g có phần dư là 0 nhưng một mình g không là cơ sở Gr¨obner của J như trong trường hợp vành đa thức Điểm mấu chốt của. .. một cơ sở trên K của không gian vectơ in< (J) thì f1 , f2 , , fr là một cơ sở Gr¨obner của J Tuy nhiên cơ sở Gr¨obner này thường là rất lớn Tương tự trên vành đa thức, chúng ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.3.6 Một cơ sở Gr¨obner G = {g1 , , gs } của iđêan J được gọi là thu gọn nếu với mọi i, hệ số của in< (gi ) trong G là 1 và nếu với mọi i = j , in< (gi ) không chia hết bất kỳ đơn thức nào của. .. e3 ∧ e4 , e1 ∧ e3 ∧ e4 , e2 ∧ e3 ∧ e4 } là một cơ sở Gr¨obner của J Nhận xét 2.3.3 Từ ví dụ trên ta thấy khác với trường hợp vành đa thức iđêan khởi đầu của một iđêan chính trong đại số ngoài không nhất thiết là iđêan chính Mệnh đề 2.3.4 Cho 0 = J ⊆ E là một iđêan và g1 , g2 , , gs là một cơ sở Gr¨obner của J Khi đó g1 , g2 , , gs cũng là hệ sinh của J Chứng minh Đặt I = g1 , , gs khi đó... sinh của U thu gọn tới 0 tương ứng với g1 , , gs 29 Định lý 2.4.3 cho ta thuật toán Buchberger để tính một cơ sở Gr¨obner của iđêan trong đại số ngoài như sau: Bước 1: Bất đầu với tập G = {g1 , , gs } các phần tử thuần nhất của J Nếu tất cả các S -đa thức và T -đa thức thu gọn tơi 0 tương ứng với g1 , , gs , khi đó G là cơ sở Gr¨obner của J và thuật toán kết thúc Bước 2: Nếu ngược lại thì một trong. .. i) Cho V là K -không gian vectơ với cơ sở {e1 , , en } Đại số ngoài T (V ) trên V còn được ký hiệu là K e1 , e2 , , en ii) Đại số ngoài T (V ) là đại số phân bậc tự nhiên với tập tất cả các thành phần bậc d ∈ N là T d (V ) Đặc biệt deg ei = 1, i = 1, , n Mỗi ánh xạ tuyến tính f : V → M cảm sinh một đồng cấu đại số ∧(f ) : ∧(V ) → ∧(M ) Đó là tổng trực tiếp của các đồng cấu thành phần ∧q (f... hệ số in< (gi ) với i = 1, s, chúng ta thu được một cơ sở Gr¨obner thu gọn của J Để chứng minh tính duy nhất, đầu tiên ta chú ý rằng nếu G = {g1 , g2 , , gs } là một cơ sở Gr¨obner thu gọn của J thì các hệ số bậc cao nhất của gi là 1 và các đơn thức ui = in< (gi ) tạo thành một hệ các đơn thức sinh tối tiểu duy nhất của in< (J) Do đó G = g1 , g2 , , gt là một cơ sở Gr¨obner thu gọn khác của ... vi mi cp ỏnh x tuyn tớnh f : V M, g : M N Hn na (idV ) = id(V ) 14 CHNG ă C S GROBNER CA IấAN TRONG I S NGOI Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by lý thuyt v c s Grăobner ca iờan i s ngoi V c bn... 1.3.2 Tớnh cht c bn 10 1.3.3 C s v s chiu 12 ă C S GROBNER CA IấAN TRONG I S NGOI 15 2.1 Iờan i s ngoi 15 2.2 Th t n thc v iờan u ...B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN TH KHUYấN ă V C S GROBNER CA IấAN TRONG I S NGOI Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60 46 01 04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng