Trong mục này chúng tôi trình bày chi tiết việc xây dựng cơ sở Gr¨obner cho iđêan trong đại số ngoài bao gồm: thuật toán chia, tiêu chuẩn Buchberger, thuật toán Buchberger tìm cơ sở Gr¨obner của một iđêan.
Định nghĩa 2.3.1. Cho iđêan 06= J ⊂ E là một iđêan. Một tập hữu hạn các phần tửg1, g2, . . . , gs ∈ J được gọi là mộtcơ sở Gr¨obner của J ứng với thứ tự đơn thức < nếu iđêan khởi đầu in<(J) của J sinh bởi in<(g1), . . . .,in<(gs), tức là in<(J) = hin<(g1),in<(g2), . . . ,in<(gs)i.
Ví dụ 2.3.2. Cho đại số ngoài E = Khe1, e2, . . . , e4i và iđêan J = he1∧e2+ e3 ∧e4i. Ký hiệu u = e1 ∧e2 +e3 ∧e4. Khi đó
e1 ∧u = e1 ∧ e3 ∧e4
e2 ∧u = e2 ∧ e3 ∧e4
e3 ∧u = e3 ∧ e1 ∧e2
e4 ∧u = e4 ∧ e1 ∧e2
e1 ∧e2 ∧u = e1 ∧e2 ∧e3 ∧e4
⇒
J3 = E3 J4 = E4
Ký hiệu < là thứ tự từ điển trên E ta có
in<(J) = (e1 ∧e2, e1 ∧e3 ∧e4, e2 ∧e3 ∧e4).
Do đó {e1∧e2+e3∧e4, e1∧e3∧e4, e2∧e3∧e4} là một cơ sở Gr¨obner của J. Nhận xét 2.3.3. Từ ví dụ trên ta thấy khác với trường hợp vành đa thức iđêan khởi đầu của một iđêan chính trong đại số ngoài không nhất thiết là iđêan chính.
Mệnh đề 2.3.4. Cho 0 6= J ⊆ E là một iđêan và g1, g2, . . . , gs là một cơ sở Gr¨obner của J. Khi đó g1, g2, . . . , gs cũng là hệ sinh của J.
Chứng minh. Đặt I = hg1, . . . ., gsi khi đó ta có I ⊆ J
hin<(g1), . . . ,in<(gs)i ⊆ in<(I) ⇒
in<I ⊆in<J
in<J ⊆ in<I ⇒ in<I = in<J.
Mặt khác I ⊆ J, áp dụng Mệnh đề 2.2.8 ii) ta suy ra I = J.
Chú ý 2.3.5. Theo Mệnh đề 2.2.10, nếu chọn các phần tử thuần nhất f1, f2, . . . , fr ∈ J sao cho in<(f1), . . . ,in<(fr) là một cơ sở trên K của không gian vectơ in<(J) thì f1, f2, . . . , fr là một cơ sở Gr¨obner của J. Tuy nhiên cơ sở Gr¨obner này thường là rất lớn. Tương tự trên vành đa thức, chúng ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.3.6. Một cơ sở Gr¨obner G = {g1, . . . , gs} của iđêan J được gọi là thu gọn nếu với mọi i, hệ số của in<(gi) trong G là 1 và nếu với mọi i 6= j, in<(gi) không chia hết bất kỳ đơn thức nào của supp(gj).
Tương tự iđêan trên vành đa thức ta có:
Định lí 2.3.7. Với mọi iđêan thuần nhất J ⊆ E và mọi thứ tự đơn thức <
trên E, cơ sở Gr¨obner thu gọn của J luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh. Giả sử {u1, . . . , us} là tập tối tiểu duy nhất các đơn thức sinh bởi iđêan khởi đầu in<(J) và chọn các phần tử fi ∈ J sao cho in<(fi) =ui. Giả sử rằng tồn tại phần tử v ∈ supp(f1) chia hết cho ui với i 6= 1, viết v = w ∧ ui. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử thêm rằng v là lớn nhất trong supp(f1) chia hết cho ui. Lưu ý là v 6= u1 do u1, . . . , us là hệ sinh tối tiểu của in<(J). Khi đó tồn tại a ∈ K sao cho v /∈ supp f10, trong đó f10 = f1−aw∧fi. Ta có in< f10 = in<(f1). Chúng ta có thể thay f1 bởi f10. Nếu vẫn tồn tạiv0 ∈ supp f10 sao cho v0 chia hết cho ui với i 6= 1 nào đó, khi đó v0 < v và chúng ta có thể lặp lại bước trên. Do chỉ có hữu hạn đơn thức trong E nên quá trình này sẽ kết thúc (dừng) sau một số hữu hạn bước và chúng ta thu được một phần tử thuần nhất g1 ∈ J với in<(gi) = u1 và thỏa mãn là không có ui nào, với i 6= 1, chia hết bất kỳ v ∈ supp (g1), v 6= u1.
Tương tự như vậy với f2 ta thu được g2. Bằng quy nạp trên |G ⊂J| (số phần tử sinh bởi J), chúng ta suy ra rằng tồn tại một cơ sở Gr¨obner {g1, g2, . . . , gs} sao cho in<(gi) không chia hết đơn thức nào thuộc supp(gj) với i 6= j.
Chiagi cho hệ sốin<(gi)vớii = 1, s, chúng ta thu được một cơ sở Gr¨obner thu gọn của J. Để chứng minh tính duy nhất, đầu tiên ta chú ý rằng nếu G = {g1, g2, . . . , gs} là một cơ sở Gr¨obner thu gọn của J thì các hệ số bậc cao nhất của gi là 1 và các đơn thức ui = in<(gi) tạo thành một hệ các đơn thức sinh tối tiểu duy nhất của in<(J).
Do đó G0 = g10, g20, . . . , g0t là một cơ sở Gr¨obner thu gọn khác của J thì ta có thể giả sử ui = in< gi0 với mọi i. Đặc biệt là s = t.
Giả sử gi 6= gi0. Do hệ số cao nhất của gi, gi0 là 1, suy ra gi − gi0 = 0 hoặc in< gi−gi0 6= ui. Giả sử trường hợp in< gi −g0i 6= ui xảy ra khi đó
u1, . . . , us sinh ra in<(J). Suy ra ∃j 6= i sao cho uj là ước của in gi−gi0, điều này là mâu thuẫn với giả thiết G là cơ sở Gr¨obner thu gọn bởi vì in< gi −gi0 ∈ supp (gi)∪supp gi0