Dạng chuẩn tắc Jordan

Ma trận dạng chéo là một ma trậnđơn giản, các tự đồng cấu có ma trận với một cơ sở nào đó là ma trận dạngchéo được gọi là các tự đồng cấu chéo hóa.. Ma trận dạng chuẩn tắc Jordan là một

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 2

Chương I: Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Không gian vectơ con 4

1.2 Ánh xạ tuyến tính 5

1.3 Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận 6

1.4 Giá trị riêng và vector riêng của tự đồng cấu 7

1.5 Chéo hóa ma trận 9

1.6 Tự đồng cấu chéo hóa được 11

Chương II: Dạng chuẩn tắc Jordan 17

2.1 Tự đồng cấu lũy linh 17

2.2 Dạng chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu 21

2.3 Ví dụ 29

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo……….40

Lời nói đầu

Việc nghiên cứu các đồng cấu đặc biệt là các tự đồng cấu đóng vai tròquan trọng trong việc làm rõ cấu trúc của các không gian vectơ Để việcnghiên cứu các tự đồng cấu được dễ dàng hơn thì ta cần tìm ma trận biểu diễnđơn giản nhất có thể của các tự đồng cấu Ma trận dạng chéo là một ma trậnđơn giản, các tự đồng cấu có ma trận với một cơ sở nào đó là ma trận dạngchéo được gọi là các tự đồng cấu chéo hóa Nhưng không phải bất kì tự đồngcấu nào cũng chéo hóa được vì vậy ta cần tìm ma trận có dạng gần với ma

trận dạng chéo nhất Ma trận dạng chuẩn tắc Jordan là một ma trận đặc biệt,

gồm các khối khác không trên đường chéo chính, mỗi khối là một ma trận chỉ

có các phần tử khác không trên đường chéo chính các phần tử nằm dưới (trên)đường kề với đường chéo là 1 các phần tử còn lại bằng không Đối với mỗi tựđồng cấu luôn xác định duy nhất một ma trận dạng chuẩn tắc Jordan sai kháckém thứ tự các khối Jordan trên đường chéo chính Dạng chuẩn tắc Jordan cóthể coi là dạng ma trận biểu diễn đơn giản nhất của một tự đồng cấu bất kì.Dựa vào tài liệu [1] và một số tài liệu khác khóa luận xin trình bày cụ thể vềdạng chuẩn tắc Jordan như sau:

Khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị trình bày các vấn đề cơ bản về giá trị

riêng vector riêng của một đồng cấu tuyến tính, vấn đề chéo hóa ma trận, tựđồng cấu chéo hóa

Chương 2: Trình bày các kiến thức về dạng chuẩn tắc Jordan, dẫn dắt

chứng minh sự tồn tại của ma trận dạng chuẩn tắc Jordan của một tự đồng cấubất kì và đưa ra một số ví dụ cụ thể tìm dạng chuẩn tắc Jordan của một tựđồng cấu tuyến tính

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô giáo TS Đào Thị Thanh Hà, đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá

trình làm khóa luận tốt nghiệp Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, các thầy cô

trong tổ Đại số, các bạn sinh viên đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành khóaluận này.

Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn còn có nhiềuthiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc đểkhóa luận được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 5 năm 2012

Tác giả

Chương 1:

KIẾN THỨC CHUẨN BI 1.1 Không gian vectơ con

1.1.1 Định nghĩa

Cho V là một không gian vectơ trên trường K, khi đó tập con W ≠φ,

W ⊂V được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W khép kín với hai

phép toán trên V Nghĩa là nếu:

(α β+ ) W∈ với ∀α β, ∈W

Và aα ∈W với ∀ ∈α W a K, ∈

Nhận xét: W với hai phép toán là hạn chế của hai phép toán trên V cũng

là một không gian vectơ trên K

1.1.2 Mệnh đê

Nếu W là một không gian vectơ con của V thì dimW ≤ dimV Đẳng thức dimW = dimV xảy ra khi và chỉ khi W = V.

1.1.3 Tổng và tổng trực tiếp

Giả sử W1, , Wm là các không gian vectơ con của V, khi đó tập hợp:

1 m 1 m / i i, 1, ,

W + +W = α + +α α ∈W i= m lập nên một không gian vectơ con của V

i) Không gian vectơ W1+ + W m ={α1+ + α αm / i∈W i i, =1, ,m} được

gọi là tổng của các không gian W 1 , , W m có thể kí hiệu là

1

m i i

của các không gian W 1 , , W m và được kí hiệu là W1⊕ ⊕ W m

Giả sử U và W là các không gian vector con của một không gian vectơ hữu

hạn chiều V khi đó: dimU + dimW =dim(U + W) + dim( U ∩W).

1.1.6 Hệ quả: dim( U ⊕W) dim= U +dimW .

1.2 Ánh xạ tuyến tính

1.2.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Giả sử V, W là các không gian vectơ trên trường K với các cơ sở tương ứng là: (α1, , αn) và (β1, , βm ) khi đó ánh xạ tuyến tính f : V → W được xác định duy nhất bởi các vectơ f(α1), , f(αn) Biểu thị tuyến tính cácvectơ trên với cơ sở (β1, , βm ) ta được:

n n

1.2.2 Định nghĩa (Tự đồng cấu)

Mỗi đồng cấu f từ không gian vector V vào chính nó được gọi là một tự đồng cấu của V.

1.2.3 Định nghĩa (ma trận đồng dạng)

Giả sử A và B là hai ma trận vuông cùng cấp n, ta nói ma trận B đồng dạng với ma trận A nếu tồn tại ma trận P không suy biến (khả nghịch) cấp n

sao cho: B P AP= −1

1.2.4 Định ly

Hai ma trận vuông đồng dạng với nhau nếu nếu và chỉ nếu chúng là ma

trận của cùng một tự đồng cấu của một không gian vectơ trong các cơ sở nào đó của không gian này.

1.3 Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận

1.3.1 Định nghĩa

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K Một số λ ∈Kđược gọi

là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ khác không u K∈ n, sao cho( )

A u =λu Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá

trị riêng

1.3.2 Định ly

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K Giả sử α1, ,αr là các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng λ λ1, , ,2 λr của ma trận A, khi đó tập

{α1, ,αr} độc lập tuyến tính

1.3.3 Định nghĩa (đa thức đặc trưng) :

Cho A=( )a ij là ma trận vuông cấp n trên K Xét ma trận vuông

Đa thức P X A( ) det( = A XI− n) ∈K X[ ] được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận

A Phương trình P X A( ) 0 = được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.

Cho f là một tự đồng cấu của không gian vectơ V trên trường K Một phần

tử λ ∈K được gọi là giá trị riêng của f nếu tồn tại một vectơ khác không α ∈V

sao cho ( )f α =λα Khi đó vectơ α được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá

trị riêng λ

1.4.2 Định nghĩa

Giả sử λ là một giá trị riêng của tự đồng cấu f khi đó không gian vectơ con ker(f - λidv) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá trị

riêng λ được gọi là không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng λ.

1.4.3 Đa thức đặc trưng của tự đồng cấu

Cho V là không gian vectơ n chiều trên K và tự đồng cấu :f V →V có ma

trận là A trong một cơ sở nào đó của V Khi đó đồng cấu (f - Xidv) có ma trận là: (A – XI n ) trong cơ sở trên nên ta có:

det( f Xidv det A – XI− ) = ( n)

Nếu A = (aij)nn thì:

Đa thức bậc n của ẩn X với hệ số trong K: Pf(X) = det(f - Xidv) được gọi là

đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f

Giả sử U là một không gian vectơ con ổn định đối với tự đồng cấu f : V

→ V gọi f : V/U → V/U, f (α) = (f(α)) là đồng cấu cảm sinh bởi f Khi đó đa thức đặc trưng của f bằng tích các đa thức đặc trưng của f| U và của f

1.4.7 Định ly

Không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng λ: Ker(f - λidv) là không gian con ổn định của V đối với f.

Chứng minh

Ta có ker(f - λidv) là một không gian vector con của V

Với mọi v ∈ ker(f - λidv) ta có ( ) f λv =λf v( )=λ λ( )v , suy ra:

λv k∈ er(f −λidv)

Vậy với mọi vector v∈ ker(f - λidv), ta luôn có ( ) f v =λv k∈ er( f −λi vd )

Do đó ker(f - λidv) là không gian con bất biến của V

1.5 Chéo hóa ma trận

1.5.1 Định nghĩa

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K Ma trận A được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với một ma trận đường chéo hay tồn tại một ma trận khả nghịch P và một ma trận đường chéo D để A PDP= −1

1.5.2 Định ly

Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường K Khi đó A chéo hóa được nếu

và chỉ nếu A có n vector riêng độc lập tuyến tính Hơn nữa, nếu A PDP= − 1 với

D là ma trận chéo thì các phần tử trên đường chéo chính của D là các giá trị riêng của ma trận A và các cột của ma trận P là các vectơ riêng tương ứng

Từ P AP D−1 = nhân 2 vế với ma trận P ta được: AP = PD (*)

Gọi p1, p2, …, pn là các vector cột liên tiếp của P ta có:

Suy ra λ1, , λn là các giá trị riêng của A và p1, p2, …, pn là các vectơ riêngtương ứng.

Vậy khi A chéo hóa được thì A có n vectơ độc lập tuyến tính

ii) Giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính ta đi chứng minh A chéohóa được

Gọi p1, p2, …, pn là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A với các giá trị riêngtương ứng là λ1, ,λn suy ra Ap1 =λ1 1p, ,Ap n =λn p n.(**)

Đặt P là ma trận có các cột là các vectơ p1, p2, …, pn ta có

AP là ma trận có các cột là Ap1, …, Apn theo (**) ta suy ra AP là ma trận cócác cột là λ1 1p, ,λn p n

Suy ra AP = P

1

= PD trong đó D là ma trận chéo có những giá trị

riêng trên đường chéo chính

Vì các vectơ cột của P là độc lập tuyến tính nên ma trận P khả nghịch suy raphương trình AP = PD viết thành P AP D−1 =

Vậy khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K Giả sử λ λ 1 , , , 2 λr là các giá trị riêng

phân biệt của A và S i là cơ sở của không gian vectơ riêng ứng với các λi (i =

1, 2, …, r) Khi đó S S= ∪ ∪ ∪ 1 S2 S r độc lập tuyến tính trong K n và A chéo hóa được nếu và chỉ nếu S chứa n vectơ

1.6 Tự đồng cấu chéo hóa được

0 0

0 0

0 0 n

A

λλ

S = v v v là cơ sở của V Vì vi là vectơ riêng của f nên tồn tại λ ∈i K

sao cho ( )f v i =λi i v với mọi i = 1, 2, …, n Khi đó

chính là ma trận của f theo cơ sở S Ma trận biểu

diễn A của f là ma trận đường chéo nên f chéo hóa được

1.6.3 Hệ quả

Cho tự đồng cấu f : V →V , và A là ma trận biểu diễn của f theo cơ sở nào đó của V Khi đó, f là chéo hóa được nếu và chỉ nếu A chéo hóa được.

Chứng minh

Giả sử λ ∈K là một giá trị riêng của A Khi đó tồn tại vectơ v khác 0 sao

cho ( )A v =λv= f v( ) Điều này đồng nghĩa với λ cũng là giá trị riêng của tự

đồng cấu f và ngược lại.

f V →V ứng với những giá trị riêng λ λ1, , ,2 λk Khi đó tổng V 1 +…+ V k

là một tổng trực tiếp.

Trong đó λ λ1, , ,2 λm là các vô hướng đôi một khác nhau trong K.

ii) rank(f - λi idv) = n – s i với (i = 1, 2, …, m), với s i là bội của λi xem như nghiêm của đa thức P Xf ( ).

Khi đó : 1

1( ) ( ) ( ) (s )s m

1

1( 1) (n ) (s )s m

Suy ra : rank(f - λiidv) = rank(A - λiIn) = n – si (với i = 1,2,…m)

Ngược lại giả sử các điều kiện (i), (ii) được thỏa mãn Ta xét không giancon riêng của f ứng với giá trị riêng λi : Vi = ker(f - λiidv) ( với i = 1,2, m)

Ta có :

dimVi = dimker(f - λiidv) = n – rank(f - λiidv) = si.

Mà : Tổng V1 + V2 +…+ Vk là một tổng trực tiếp, với số chiều bằng s1+ +sm

= n

Vậy tổng đó bằng toàn bộ không gian V:

V V= ⊕ ⊕ ⊕1 V2 V m

e e e e là một cơ sở của V gồm toàn những vectơ riêng của

f Như vậy f chéo hóa được.

là các vectơ riêng ứng với λ =1 1

⇒ không gian con riêng của f ứng với λ =1 1 là V1 = (1,1,0)

Với λ λ2 = =3 5 ta có

1 1

là các vectơ riêng ứng với λ λ2 = =3 5.

⇒ không gian con riêng của f ứng với λ λ2 = =3 5 là

V2 = { (−1,1,0 , 0,0,1) ( ) }

Ta có các vector (1,1,0); ( 1,1,0); (0,0,1)− độc lập tuyến tính nên suy ra f có 3

vectơ riêng độc lập tuyến tính Áp dụng Định lý 1.6.2 thì ma trận của f với cơ

Với λ =1 1 ta có

1 1

là các vectơ riêng ứng với λ = −1 1

⇒ không gian con riêng của f ứng với λ = −1 1 là V1= (0,0,1)

Với λ λ2 = =3 2 ta có

1 1

là các vectơ riêng ứng với λ λ2 = =3 2

⇒ không gian con riêng của f ứng với λ λ2 = =3 2 là V2 = (1,1,1)

Suy ra dimV1+dimV2 = < =2 n 3 nên theo Định lý 1.5.4 thì ma trận A không

chéo hóa được suy ra f không chéo hóa được.

Chương2 : DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là chúng ta có thể cải tiến một ma trận bất kì về

ma trận tam giác? Để làm được điều đó chúng ta cần tìm cơ sở “tốt hơn” cho các không gian con xuất hiện như là hạng tử trực tiếp Vì vậy chúng ta có cái nhìn gần hơn về tự đồng cấu lũy linh

2.1 Tự đồng cấu lũy linh

Cho f : V → V là một tự đồng cấu của V Giả sử ta phân tích V thành:

Lớp các tự đồng cấu f mà ma trận của nó trong một cơ sở nào đó có dạng chéo

khối như trên với các khối Ji thật “đơn giản” Đó là lớp các tự đồng cấu lũy linh.

2.1.1 Định nghĩa.

i) Tự đồng cấu ϕ của K – không gian vectơ V được gọi là lũy linh nếu

có số nguyên dương k sao cho ϕk= 0 nếu thêm vào đó ϕk− 1 ≠ 0 thì k được

gọi là bậc lũy linh của ϕ

ii) Cơ sở (e1, , en) của V được gọi là một cơ sở xyclic đối với ϕ nếu

ϕ(e1) = e2, ϕ(e2) = e3, , ϕ(en) = 0

iii) Không gian vectơ con U của V được gọi là một không gian con xyclic đối với ϕ nếu U có cơ sở xyclic đối với ϕ.

2.1.2 Nhận xét :

i) Mỗi tự đồng cấu lũy linh đều có giá trị riêng duy nhất bằng 0.

ii) Cơ sở ( , , )e1 e là một cơ sở xyclic với n ϕ nếu và chỉ nếu ma trận của

ϕ trong cơ sở này có dạng:

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

i) Giả sử ϕ có bậc lũy linh bằng k.

Theo định nghĩa thì tồn tại vectơ α V∈ sao cho ϕk-1(α) ≠ 0 và ϕk(α) = 0 suyra: ϕ αk( )=ϕ ϕ α( k− 1( )) 0= đặt β = ϕk-1(α) thì β chính là một vectơ riêng của

ϕ ứng với giá trị riêng bằng 0.

Ngược lại, giả sử α là một vectơ riêng của ϕ ứng với giá trị riêng λ

Ta có ϕ(α) = λα, do đó ϕk(α) = λkα Vì k là bậc lũy linh của ϕ nên:

ϕk = 0 suy ra λkα = 0

Mà α là một vectơ riêng nên α≠ 0 suy ra λ = 0

ii) Gọi ( , , )e1 e là một cơ sở xyclic với n ϕ khi đó ta có:

Giả sử f là một tự đồng cấu lũy linh của không gian vectơ hữu hạn chiều

V Khi đó, V phân tích được thành tổng trực tiếp của các không gian con xyclic đối với f Hơn nữa, với mỗi số nguyên dương s, số không gian con s chiều xyclic đối với f trong mọi phân tích như thế là không đổi và bằng:

Giả sử ta xây dựng được các không gian vectơ V với 1 i j ≤ ≤ ≤ −j i n 1

thỏa mãn tính chất trên, ta sẽ đi xây dựng các không gian vectơ V với i j

Lại có ker( | )ϕ V n−1 ⊂ker( | )ϕ V n vì V n−1 ⊂V n Ta chọn V là phần bù tuyến tính n n

của ker( | )ϕ V n−1 trong er( | )k ϕ V n suy ra

Như vậy họ không gian con V với 1 j i k i j ≤ ≤ ≤ đã được xây dựng bằng quy

nạp theo i

Bây giờ ta xét dãy các không gian vectơ : j j1 j

V ≅→V − ≅→ ≅→V

trong đó các mũi tên đều chỉ các hạn chế của đồng cấu ϕ.

Ta thấy với mỗi vectơ e≠0 trong j

k

V được đặt tương ứng với một không gian

con xyclic (k – j – 1) chiều với ϕ, với mỗi cơ sở xyclic gồm các vectơ sau

Giả sử V = ⊕iWi là một phân tích của V thành tổng trực tiếp các khônggian con xyclic đối với ϕ Vì mỗi ϕ đều là một không gian ϕ- ổn định nên:

W

( ) ( | )

i i

Vì thế với mỗi số nguyên dương s ta có :

rank(ϕs− 1) 2− rank( )ϕs +rank(ϕs+ 1) chính là số không gian con s chiềuxyclic với ϕ trong mọi phân tích của V

2.2 Dạng chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu

2.2.1 Nhận xét

Giả sử f : V → V là một đồng cấu bất kì Với mỗi λ∈ K xét tập:

Rλ = {α ∈ V: ∃m = m(α) sao cho (f - λidv) m (α) = 0} Khi đó:

i) Rλ là không gian con ổn định đối với f

ii) Rλ≠ {0} nếu và chỉ nếu λ là một giá trị riêng của f

Thật vậy

i) Ta có Rλ là một không gian vectơ con vì Rλ là hợp của một dãy các

không gian vectơ con lồng vào nhau: Rλ =

1

( ) m m

f f −λidv α = f −λidv f α = f α −λ αf = f f α −λα

= f f( ( )α −λidv( ))α = f((f −λidv)( )) (α = f −λidv f) ( )α

Mà với mỗi α ∈Rλ tồn tại m > 0 sao cho (f −λidv) ( ) 0m α = suy ra:

( )m ( )m ( ) (0) 0

f f −λidv = f −λidv f α = f = ⇒(f −λidv f)( ( )) 0α =

Theo cách cho Rλ thì từ đẳng thức trên ta có f( ) Rα ∈ λ

Vậy Rλ là một không gian vectơ con ổn định với f.

ii) Nếu λ là một giá trị riêng của f thì không gian con riêng ker( f −λidv)

là một không gian con của Rλ Suy ra Rλ ≠{ }0

Ngược lại, giả sử α ∈Rλ / 0{ } , chọn m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho

(f - λidv) m (α) = 0 ⇒(f −λidv)((f −λidv) ( )) 0m α =

Suy ra: β =(f −λidv) ( ) 0m− 1 α ≠ là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng