tran thi thai hoa MỞ ĐẦU Vào năm 70 kỉ XX lĩnh vực toán học có nhiều ứng dụng đời hình học Fractal Công cụ để nghiên cứu hình học Fractal chiều độ đo Có nhiều khái niệm chiều độ đo đề xướng, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết tìm thấy nhiều ứng dụng hữu ích cho nhiều lĩnh vực khác Một độ đo Fractal đặc biệt quan tâm độ đo tự đồng dạng (Self - Similar Measure) Độ đo khởi xướng vào năm 1981 Hutchinson sau nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu P Erdos, B Solomyak, A Fan, R Salem, K Lau, R Strichartz, J Neunhauserer, Nhờ việc nghiên cứu độ đo mà ta nghiên cứu chiều Hausdorff tập Fractal giá độ đo tự đồng dạng sinh họ ánh xạ đồng dạng tập Fractal sinh ánh xạ Mặt khác, nhờ nghiên cứu độ đo tự đồng dạng ta nghiên cứu cấu trúc địa phương tập Fractal Chính thế, độ đo thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Với lí chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn Về độ đo tự đồng dạng Mục đích luận văn thông qua tài liệu, tìm hiểu, trình bày cách hệ thống chứng minh chi tiết kết độ đo tự đồng dạng Nghiên cứu tính kỳ dị tính liên tục tuyệt đối số độ đo tự đồng dạng thường gặp Ngoài phần Mở đầu, Mục lục Tài liệu tham khảo, Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Độ đo tự đồng dạng Chương trình bày số kiến thức sở độ đo, độ đo kỳ dị, độ đo liên tục tuyệt đối, hệ hàm lặp, biến ngẫu nhiên, Đây khái niệm sở sử dụng xuyên suốt luận văn Trình bày chứng minh chi tiết số bổ đề, mệnh đề, định lý bổ trợ để trình bày chứng minh kết luận văn; trình bày định nghĩa chứng minh tính chất độ đo tự đồng dạng Chương Tính kì dị tính liên tục tuyệt đối số độ đo tự đồng dạng Chương trình bày chứng minh chi tiết tính kỳ dị tính liên tục tuyệt đối số độ đo tự đồng dạng Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo tổ Giải tích Khoa Toán - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến góp ý thầy, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG 1.1 Độ đo, độ đo liên tục tuyệt đối, độ đo hoàn toàn kì dị Trong chương trình bày số kiến thức sở độ đo, độ đo kỳ dị, độ đo liên tục tuyệt đối, hệ hàm lặp, biến ngẫu nhiên, Trình bày chứng minh chi tiết số bổ đề, mệnh đề, định lý bổ trợ để trình bày chứng minh kết luận văn; trình bày định nghĩa chứng minh tính chất độ đo tự đồng dạng 1.1.1 Định nghĩa Cho X = ∅, C σ-đại số tập X Hàm tập µ : C → R gọi độ đo i) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C; ii) µ(∅) = 0; iii) µ σ-cộng tính, nghĩa ∞ Ai ∈ C, Ai ∩ Aj = ∅, (i = j), Ai ∈ C i=1 ∞ µ( ∞ Ai ) = i=1 µ(Ai ) i=1 Độ đo µ thỏa mãn µ(X) = gọi độ đo xác suất 1.1.2 Mệnh đề Giả sử X = ∅, C σ-đại số tập X, µ độ đo C Khi đó, i) µ(∅) = ii) A, B ∈ C, B ⊂ A µ(B) < +∞ µ(A \ B) = µ(A) − µ(B) iii) Tính đơn điệu A, B ∈ C B ⊂ A µ(B) ≤ µ(A) iv) Tính nửa σ-cộng tính theo nghĩa, ∞ Ak ∈ C, A ∈ C, A ⊂ Ak k=1 ∞ µ(A) ≤ µ(Ak ) k=1 Đặc biệt, thêm điều kiện µ(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, µ(A) = ∞ v) Nếu Ak ∈ C, Ak ∩ Aj = ∅ (k = j), A ∈ C, A ⊃ Ak k=1 ∞ µ(A) ≥ µ(Ak ) k=1 1.1.3 Định nghĩa Cho µ độ đo C Khi đó, giá độ đo µ (nếu tồn tại) tập đóng bé với phần bù có độ đo 0, ký hiệu sptµ 1.1.4 Định nghĩa Giả sử X tập tùy ý khác rỗng, C σ-đại số tập X Khi đó, cặp (X, C) gọi không gian đo Mỗi A ∈ C gọi tập đo 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X = (X, d) không gian mêtric Khi đó, i) σ-đại số nhỏ bao hàm lớp tập mở không gian mêtric X gọi σ-đại số Borel không gian X tập thuộc σ-đại số gọi tập Borel không gian X ii) Ta nói µ độ đo Borel tất tập Borel đo với A ⊂ X tồn tập Borel B ⊃ A cho µ(A) = µ(B) 1.1.6 Định nghĩa Giả sử µ ν độ đo xác định không gian đo (X, C) Ta nói µ ν kì dị lẫn tồn tập A, B ∈ C cho A ∩ B = ∅, A ∪ B = X ν(A) = µ(B) = 0, ký hiệu µ ⊥ ν Nếu µ ⊥ µL (µL độ đo Lebesgue) ta nói µ hoàn toàn kì dị 1.1.7 Ví dụ Cho a ∈ R ta xác định hàm tập ν ν(E) = a ∈ E a ∈ E với E tập đo Lebesgue Khi đó, ν ⊥ µL (µL độ đo Lebesgue) Chứng minh Dễ kiểm tra với cách xác định ν độ đo Lấy A = R \ {a}, B = {a} ta có A ∩ B = ∅, A ∪ B = R ν(A) = µL (B) = Vậy ν ⊥ µL 1.1.8 Định nghĩa Giả sử µ ν độ đo xác định C Khi đó, ν gọi liên tục tuyệt đối độ đo µ ν(E) = với E ∈ C thỏa mãn µ(E) = 0, ký hiệu ν Nếu µ µ µL ta nói µ liên tục tuyệt đối 1.1.9 Mệnh đề Giả sử µ ν độ đo xác định C Khi đó, ν µ ν ⊥ µ ν(E) = với E ∈ C Chứng minh Vì ν ⊥ µ nên tồn A, B ⊂ X cho A ∪ B = X, A ∩ B = ∅ µ(B) = ν(A) = (1.1) Khi đó, với E ∈ C ta có ν(E) = ν(E ∩ X) = ν[E ∩ (A ∪ B)] = ν[(E ∩ A) ∪ (E ∩ B)] = ν(E ∩ A) + ν(E ∩ B) (do ν cộng tính hữu hạn A, B rời nhau) Vì ν độ đo nên < ν(E ∩ A) ≤ ν(A) = (theo (1.1)) Vậy ν(E) ≤ ν(A) + ν(E ∩ B) = + ν(E ∩ B) = ν(E ∩ B) (1.2) Hơn nữa, ν µ µ(B) = nên ν(B) = suy ν(E ∩ B) ≤ ν(B) = suy ν(E ∩ B) = (1.3) Từ (1.1),(1.2) (1.3) suy ν(E) = 1.1.10 Định lý phủ Vitali ([5]) Giả sử µ độ đo Khi µ liên tục tuyệt đối giới hạn D(µ, x) < ∞ với µ hầu hết x ∈ R, D(µ, x) = limr→0 µ(Br (x)) 2r với Br (x) lân cận tâm x, bán kính r 1.1.11 Định lý phân tích Lebesgue ([4]) Giả sử (X, C) không gian đo σ-hữu hạn giả sử ν độ đo σ-hữu hạn C Khi đó, tồn độ đo νa νs cho νs ⊥ ν, νa ν ν = νa + νs Hơn nữa, độ đo νa , νs 1.2 Hệ hàm lặp, tập Fractal 1.2.1 Định nghĩa i) Cho D = ∅, D ⊂ Rn , ánh xạ f : D→D gọi ánh xạ co D tồn c ∈ [0; 1) để |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀x, y ∈ D c gọi tỷ số co ánh xạ f ii) Nếu dấu "=" bất đẳng thức xảy với x, y ∈ D ánh xạ f gọi ánh xạ đồng dạng D c gọi tỷ số đồng dạng ánh xạ f iii) Ánh xạ f : D→Rn gọi ánh xạ Lipschitz tồn số c > cho |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀x, y ∈ D iv) Ánh xạ f : D→Rn gọi ánh xạ Holder tồn số c > α > cho |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α , ∀x, y ∈ D 1.2.2 Định nghĩa i) Một họ hữu hạn gồm m ánh xạ co {f1 , f2 , , fm } D gọi hệ hàm lặp (viết tắt IFS - Iterated Function System) D ii) Cho hệ hàm lặp {fi }m i=1 gồm ánh xạ đồng dạng Ta nói hệ hàm lặp cho thỏa mãn điều kiện tập mở (viết tắt OSC-Open Set Condition) tồn tập mở bị chặn khác rỗng V ⊂ Rn cho m  f (V ) ⊆ V ; i i=1  fi (V ) fj (V ) = ∅ (i = j) 1.2.3 Định lý ([3]) Cho hệ hàm lặp {fi }m i=1 D, K lớp tập compact, khác rỗng D ánh xạ f : K→K xác định m E → f (E) = fi (E) i=1 Khi đó, tồn tập F ∈ K cho f (F ) = F hay m F = fi (F ) i=1 Hơn nữa, có tập E ∈ K cho fi (E) ⊆ E, ≤ i ≤ m ∞ F = f k (E) với f k lặp lại k lần ánh xạ f k=1 1.2.4 Định nghĩa i) Cho hệ hàm lặp {fi }m i=1 D Khi đó, tập F m thỏa mãn F = fi (F ) gọi tập bất biến hay tập hút (attractor) i=1 hệ hàm lặp {fi }m i=1 ii) Nếu fi (1 ≤ i ≤ m) ánh xạ đồng dạng tập bất biến F gọi tập tự đồng dạng (Self-similar Set) iii) Các tập bất biến hệ hàm lặp xem tập fractal 1.2.5 Một số ví dụ tập fractal Các ví dụ nêu sau phổ biến hình học fractal Do đó, không trình bày lại chi tiết chứng minh chúng tập bất biến hệ hàm lặp mà mô tả cách xây dựng hệ hàm lặp sinh chúng a) Tập tựa Cantor Với n ≥ 3, ta xây dựng tập Cn R thông qua bước lặp sau: Một đoạn thẳng chia thành n đoạn nhỏ có độ dài nhau, bước lặp ta giữ lại đoạn đoạn cuối n phần chia Gọi Ek (k = 0, 1, 2, 3, ) bước thứ k trình lặp E0 : Cn0 = [0; 1]; E1 : Cn1 = 0; n1 ∪ E2 : Cn2 = 0; n12 ∪ n−1 n ;1 ; n−1 n2 ; n n−1 n2 −n+1 n ; n2 ∪ ∪ n2 −1 n2 ; ; ∞ E∞ : Cn = Cnk k=0 Khi đó, Cn gọi tập tựa Cantor, tập fractal bất biến qua hệ hàm lặp {fi }2i=1 với fi : R→R, i = 1, xác định f1 (x) = x, n f2 (x) = n−1 x+ n n Trường hợp n = C3 tập Cantor cổ điển (Midle Cantor Set) b) Bụi cantor Xuất phát từ hình vuông đơn vị, chia thành 16 hình vuông nhỏ có độ dài cạnh 14 , giữ lại hình vuông bỏ 12 hình vuông khác Cứ tiếp tục bước thứ k ta có 4k hình vuông cạnh 4k Quá trình lặp lại vô hạn lần, ta thu bụi Cantor Tương tự tập Cantor ta chứng minh bụi Cantor tập tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp {fi }4i=1 R2 xác định f1 (x, y) = x y + , , f2 (x, y) = 4 x y + , + , 4 4 f3 (x, y) = x y + , + , f4 (x, y) = 4 x y , + 4 c) Tam giác Sierpinski Tập xây dựng cách xuất phát từ hình tam giác có cạnh đơn vị độ dài, chia thành tam giác nhỏ đường trung bình tam giác, độ dài cạnh tam giác 12 , giữ lại hình tam giác xung quanh bỏ hình tam giác Cứ tiếp tục cho tam giác lại Lặp lại trình vô hạn lần, đến bước thứ k ta có 3k tam giác, cạnh 2k Quá trình lặp lại vô hạn lần, ta thu tam giác Sierpinski Tam giác Sierpinski tập fractal sinh hệ hàm lặp {fi }3i=1 R2 xác định x , x f2 (x, y) = + f1 (x, y) = f3 (x, y) = y ; y , ; 2 x + , √ y + 1.3 Không gian xác suất, biến ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa i) Giả sử (X, C) không gian đo, P độ đo xác suất C Khi đó, ba (X, C, P) gọi không gian xác suất ii) Một biến số gọi biến ngẫu nhiên kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên iii) Một biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm giá trị 10 Lấy vectơ trọng số xác suất p = (p1 , , pn ) Khi đó, tồn độ đo xác suất Borel µpb,d thỏa mãn n µpb,d (A) pi (µpb,d ◦ Ti−1 (A)) = i=1 độ đo tự đồng dạng sinh hệ hàm lặp {Ti }ni=1 21 CHƯƠNG TÍNH KÌ DỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG Trong chương trình bày chứng minh chi tiết tính kỳ dị tính liên tục tuyệt đối số độ đo tự đồng dạng 2.1 Tích chập Bernoulli Tích chập Bernoulli đưa Wintner cộng ông vào 1930 Đặc biệt, vào sau năm 80 loạt vấn đề động lực học liên quan đến tích chập Bernoulli làm trở thành vấn đề hấp dẫn Chẳng hạn công trình Alexander Yorke (1982), Przytycki Urbanski (1989), Ledrappier (1982), Đến sau năm 1990, Pollicott Simon tích chập Bernoulli liên quan đến toán {0,1,3} toán có nhiều ý nghĩa hình học fractal Trong mục nghiên cứu tính kì dị liên tục tuyệt đối độ đo 2.1.1 Định nghĩa Giả sử λ ∈ (0, 1), {Xi } dãy biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị a1 = −1, a2 = với xác suất tương ứng p1 = 12 , p2 = 21 , i = 1, Khi đó, phân phối biến ngẫu nhiên ∞ ∞ n Yλ = ±λn λ (±1) = n=0 n=0 νλ xác định νλ (E) = P rob{ω : Yλ (ω) ∈ E}, (2.1) với E ⊂ R gọi tích chập Bernoulli Theo Định lý 1.4.5 cách xác định νλ (2.1) độ đo νλ độ đo tự đồng dạng 22 sinh hệ hai ánh xạ đồng dạng R T0 (x) = λx − 1, T1 (x) = λx + với xác suất ( 21 , 21 ) Độ đo có nhiều hữu ích nghiên cứu hệ động lực học việc tính chiều tập Độ đo νλ xem phép chiếu không tuyến tính nghĩa là, lấy Ω = {−1, 1}N không gian dãy với độ đo Bernoulli µ Khi đó, νλ = µ ◦ Π−1 λ với ∞ ωn λn , Πλ (ω) = n=1 (ωn ) ∈ Ω Sự biểu diễn hữu ích lý thuyết độ đo hình học Vì νλ độ đo tự đồng dạng nên theo Định lý 1.4.10 νλ liên tục tuyệt đối hoàn toàn kì dị Bài toán xác định giá trị λ ∈ (0, 1) để νλ liên tục tuyệt đối hay νλ hoàn toàn kì dị toán có ý nghĩa, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học từ năm 80 kỉ XX Cho đến nay, toán nhiều vấn đề chưa giải nhiều nhà toán học quan tâm Nếu độ đo νλ kì dị người ta quan tâm đến việc tính hay ước tính chiều Vì sptνλ tập fractal Người ta thu kết Kershner Wintner ( 12 , 1) với giá trị tính kì dị νλ với < λ < (1935) Tuy nhiên, trường hợp λ ∈ λ để νλ kì dị đạt với số giá trị Erdos ([2]), Kahane ([6]) Trong ([9]), Solomyak (1995) chứng minh νλ liên tục tuyệt hầu hết λ ∈ ( 21 , 1) Các trường hợp λ ∈ ( 12 , 1) mà νλ kì dị Erdos 23 λ số Pisot Phần trình bày chứng minh chi tiết kết đạt xét tính liên tục, kì dị νλ 2.1.2 Định lý Giả sử νλ tích chập Bernoulli Khi đó, với < λ < ta có νλ hoàn toàn kì dị Chứng minh Với cách xây dựng νλ sptνλ ⊂ C với C tập Cantor (xây dựng Ví dụ 1.2.5a n = 3)) Ta có µL (C) = tổng độ dài tất khoảng bị bỏ trình xây dựng tập Cantor C ∞ k−1 k=1 k = ∞ k 1 ( ) = 3 1− k=0 =1 µL ([0, 1]) = nên µL (C) = Do đó, sptνλ ⊂ C µL (sptνλ ) = Vậy, theo Định nghĩa 1.1.6 ta có νλ hoàn toàn kì dị Năm 1962, Garsia phán đoán νλ liên tục tuyệt hầu hết λ ∈ ( 21 , 1) dự đoán B Solomyak chứng minh Và gần đây, dự đoán chứng minh cách đơn giản Y Peres B Solomyak Phần tiếp trình bày chứng minh hai tác giả 2.1.3 Định nghĩa i) Một chuỗi lũy thừa h(x) gọi (∗)hàm tồn k ≥ ak ∈ [−1, 1] để ∞ k−1 i h(x) = − ii) Giả sử g(x) = + xi x + ak x + i=1 ∞ k i=k+1 bn xn , bn ∈ {−1, 0, 1} Khi đó, I = [λ0 , λ1 ] n=1 gọi thỏa mãn điều kiện δ-gác ngang (δ-transversality condition) với δ > g(x) < δ g (x) < −δ với x ∈ I 24 2.1.4 Bổ đề Giả sử (∗)-hàm h(x) thỏa mãn h(x0 ) > δ h (x0 ) < −δ (2.2) với x0 ∈ (0, 1) δ ∈ (0, 1) Khi đó, điều kiện δ-gác ngang [0, x0 ] Chứng minh Trước hết ta h(x) > δ h (x) < −δ với x ∈ [0, x0 ] Thật vậy, ta có h (x) = với nhiều giá trị x ∈ (0, 1) Ta có h (0) = −1 k > ngược lại h (0) = a1 (theo cách xác định (∗)-hàm h) Do đó, h (0) > −δ (nếu k = suy từ h (x0 ) < −δ) Vì h (1− ) = +∞ nên h (x) < −δ với x ∈ (0, x0 ) Ta có h(x) > h(x0 ) > δ với x ∈ (0, 1) Lấy g(x) chuỗi lũy thừa có dạng ∞ bn xn với bn ∈ {−1, 0, 1} g(x) = + n=1 Xét f (x) = g(x) − h(x) với cách xác định g(x) định nghĩa (∗)-hàm kéo theo ∞ l ci xi , i ci x − f (x) = i=1 i=l+1 ci ≥ l = k − l = k Với x ∈ [0, x0 ], theo chứng minh ta có g(x) < δ nên f (x) < f (x) < suy g (x) < −δ l Từ f (x) < ta có ci xi < i=1 ∞ i=l+1 f (x) < Vậy, bổ đề chứng minh 25 ci xi nên l i=1 ci ixi−1 < ∞ i=l+1 ci ixi−1 2.1.5 Định lý (Solomyak 1995) Giả sử νλ tích chập Bernoulli Khi đó, với hầu hết λ ∈ ( 21 , 1) ta có νλ liên tục tuyệt đối Chứng minh Lấy Br (x) = [x − r, x + r] Khi đó, đạo hàm νλ D(νλ , x) = limr→0 νλ (Br (x)) 2r Theo Định lý phủ Vitali 1.1.8 νλ liên tục tuyệt đối D(νλ , x) < ∞ với νλ hầu hết x ∈ R Nếu ta D(νλ , x)dνλ (x)dλ < ∞, S := I (2.3) R νλ liên tục tuyệt hầu hết λ ∈ I I tập thỏa mãn điều kiện δ-gác ngang Để ý với λ để νλ liên tục tuyệt đối, D(νλ , x) phiên Radon-Nikodym đạo hàm dνλ (x) dx Vì D(µ, x)dνλ (x) < ∞ R kéo theo dνλ (x) dx ∈ L2 (R Theo Bổ đề Fatou, ta có S ≤ limr→0 2r νλ [Br (x)]dνλ (x)dλ I (2.4) R + Lấy Ω = {−1, 1}Z không gian dãy trang bị topo tích Gọi µ độ đo Bernoulli Ω với trọng số ( 21 , 12 ) Khi đó, có phép chiếu tự nhiên Πλ : Ω → R xác định ∞ ωn λn Πλ (ω) = n=0 với ω = (ω1 , ω2 , ) ∈ Ω 26 Ta có νλ = µ ◦ Π−1 λ (2.5) Vì Πλ liên tục nên ta thay đổi biến (2.4) để S ≤ limr→0 2r νλ [Br (Πλ (ω))]dµ(ω)dλ I (2.6) Ω Tiếp theo, kí hiệu 1A hàm đặc trưng tập A sử dụng (2.5), ta có νλ [Br (Πλ (ω))] = 1Br (Πλ (ω)) dνλ R = Ω 1{τ ∈Ω:|Πλ (τ )−Πλ (ω)|≤r} dµ(τ ) Thay vào (2.6) thay đổi thứ tự lấy tích phân lấy tích phân theo λ ta có S ≤ limr→0 2r µL {λ ∈ I : |Πλ (τ ) − Πλ (ω)| ≤ r}dµ(τ )dµ(ω), Ω Ω (2.7) với µL độ đo Lebesgue Đặt ∞ (τn − ωn )λn φτ,ω (λ) = Πλ (τ ) − Πλ (ω) = n=0 Để ý τn − ωn ∈ {−2, 0, 2} Ta cần đánh giá µL {λ ∈ I : |φτ,ω (λ)| ≤ r} Ta viết φτ,ω (λ) = 2λk g(λ), (2.8) k = |ω ∧ τ | = min{n : ωn = τn } g chuỗi lũy thừa với hệ số ±1 Không tính tổng quát, giả sử ωk < τk ∞ bn x n g(x) = + n=1 27 (2.9) với bn ∈ {−1, 0, 1} Để tính tích phân (2.8), giả sử khoảng I = [λ0 , λ1 ] thỏa mãn điều kiện δ-gác ngang với δ > Ta từ điều kiện δ-gác ngang với δ > ta có µL {λ ∈ I : |g(λ)| ≤ ρ} ≤ 2δ −1 ρ (2.10) Nếu ρ > δ ta có (2.10); ngược lại, g (λ) < −δ |g(λ)| ≤ ρ điều kiện δ-gác ngang Do g đơn điệu giảm tập (2.10) với |g | > δ Vì bất đẳng thức (2.10) chứng minh r Do (2.8), ta có |φτ,ω (λ)| ≤ r kéo theo |g(λ)| ≤ λ−k với λ ∈ [λ0 , λ1 ] r Áp dụng (2.10) với ρ = λ−k , ta có µL {λ ∈ I : |φτ,ω (λ)| ≤ r} ≤ δ −1 λ−k r Thay (2.7), ta có S ≤ δ −1 limr→0 2r −|ω∧τ | Ω Ω λ0 rdµ(τ )dµ(ω) ∞ −1 = (2δ) = λ0 > λ−k (µ × µ){(ω, τ ) : |ω ∧ τ | = k} k=0 ∞ (2δ)−1 k=0 (2.11) −k−1 < ∞, λ−k Vậy (2.3) chứng minh Vì vậy, ta có tính liên tục tuyệt đối νλ với hầu hết λ ∈ I thỏa mãn điều kiện δ-gác ngang Mặc dù, phán đoán Garsia chứng minh νλ liên tục tuyệt hầu hết λ ∈ ( 21 , 1) Tuy nhiên, giá trị cụ thể λ ∈ ( 12 , 1) để νλ liên tục tuyệt đối λ = 2− n , n = 1, 2, Sau kết nói điều này, khuôn khổ luận văn xin trích dẫn kết không trình bày chi tiết lời chứng minh 28 2.1.6 Định lý ([8]) Giả sử νλ độ đo tích chập Bernoulli Khi đó, với λ = √ k ,k ≥ ta có νλ liên tục tuyệt đối 2.1.7 Định lý ([8]) Giả sử νλ độ đo tích chập Bernoulli Khi đó, với λ số-PV ta có νλ kì dị 2.2 Độ đo tự đồng dạng với m > Mục 2.1 nghiên cứu độ đo tự đồng dạng sinh hệ gồm hai ánh xạ đồng dạng Trong mục này, nghiên cứu độ đo tự đồng dạng với m ánh xạ đồng dạng m ≥ Cho X0 , X1 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập, biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực r0 , r1 , , rm với xác suất p0 , p1 , , pm Với < ρ < 1, lấy ∞ ρ−n Xn S= n=0 µ độ đo tự đồng dạng sinh S, nghĩa µ(A) = P rob{ω : S(ω) ∈ A}, với tập đo A Rõ ràng µ liên tục tuyệt đối hoàn toàn kì dị Nếu < ρ < m sptµ ⊂ C (C tập Cantor) µL (sptµ) = nên µ kì dị Nếu m < ρ < với lựa chọn khác ρ r0 , r1 , , rm với trọng số xác suất p0 , p1 , , pm ta có tính liên tục hay kì dị µ Trong phần này, ta xét trường hợp p0 = p1 = = pm = ri = i, i = 0, 1, m, ρ = 1q , q ≥ Lấy n ∈ N Đặt Dm = {0, 1, , m} Dnm = {0, 1, , m}n , 29 m+1 , gọi µ µn độ đo xác suất sinh S Sn tương ứng, ∞ S= n q −k q −k Xk Xk Sn = k=0 k=0 Lấy sn (0) < sn (1) < < sn (kn ), kn = m(q n+1 −1) , q−1 kí hiệu tập tất giá trị khác sptµn Với kí hiệu ta có mệnh đề sau 2.2.1 Bổ đề Với sn+1 ∈ sptµ, dãy Sn = max{tn ∈ sptµn : tn ≤ sn+1 } −1 (sn+1 ) = Khi đó, ta có #Sn+1 m−k q j=0 #Sn−1 (sn − jq −n ) #A hiểu lực lượng A Chứng minh Ta có, ] [ m−k q −1 Sn+1 (sn+1 ) = (Sn−1 (sn − jq −n ), jq + k), (2.12) j=0 đó, (A, yn+1 ) = {(y0 , , yn , yn+1 ) : (y0 , , yn ) ∈ A)} Mặt khác, ta có #(Sn−1 (sn − jq −n ), jq + k) = #Sn−1 (sn − jq −n ), với j = 0, , m−k q Vì tập vế phải (2.12) rời nên ta có điều phải chứng minh Vậy Bổ đề chứng minh 2.2.2 Bổ đề Nếu m < rq r ∈ N #Sn−1 (sn ) ≤ rn với n ∈ N sn ∈ sptµn Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.1, ta có #Sn−1 (sn ) tổng nhiều −1 [m q ] + ≤ r số dạng #Sn−1 (tn−1 ), tn−1 ∈ sptµn−1 30 Chú ý #S0−1 (t0 ) = 1, phép truy toán ta có −1 #Sn−1 (sn ) ≤ r max{#Sn−1 (tn−1 ) : tn−1 ∈ sptµn−1 } ≤ rn Vậy Bổ đề chứng minh 2.2.3 Định lý Nếu q ước (m + 1) µ độ đo liên tục tuyệt đối Ngược lại, µ hoàn toàn kì dị Chứng minh Vì q ước (m + 1) nên tồn k ∈ N để kq = m + Với h > tồn n cho q −n ≤ h < q −n+1 ∞ Kí hiệu s = q −k x n k sn = k=0 q −k xk ta có k=0 ∞ q −k xk = |s − sn | ≤ m k=n+1 mq −n q−1 Do đó, µ([s, q −n ]) ≤ µn ([s, Cq −n ]) ≤ µ([s, 2Cq −n ], với C = m q−1 cho + số phụ thuộc m q Vì vậy, tồn C µ([s − h, s + h]) µn ([s − C q −n , s + C q −n ]) ≤ h q −n Để ý (s − C q −n , s + C q −n ]) chứa nhiều 2C + điểm khác liên tiếp giá µn Vì m < kq nên từ Bổ đề 2.2.2 ta có #Sn−1 (tn ) ≤ k n , ∀n ∈ N ∀tn ∈ sptµn Do đó, µ([s − h, s + h]) (2C + 1)k n (m + 1)−n ≤ = 2C + h q −n Vì vậy, µ([s − h, s + h]) ≤ (2C + 1)h, 31 với h > Điều với s sptµ Vậy, µ liên tục tuyệt đối Vậy định lý chứng minh 32 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Tìm hiểu trình bày lại cách có hệ thống khái niệm độ đo, độ đo kì dị, độ đo liên tục tuyệt đối, độ đo tự đồng dạng (trình bày Chương 1) Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu chưa chứng minh hay chứng minh vắn tắt Định lý 1.4.2, 1.4.3, 1.4.5, 1.4.6, 1.4.10 độ đo tự đồng dạng Tìm số ví dụ minh họa cho Định nghĩa, Định lý Ví dụ 1.1.7, 1.4.11 Khảo sát, trình bày chứng minh chi tiết tính kì dị liên tục tuyệt đối hai độ đo thường gặp cho trường hợp n = n > (Định lý 2.1.2, 2.1.5, 2.2.3) 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] P Erdos (1939), On family of symmetric Bernoulli convolutions, Amer Math; 62, 180-186 [3] K Falconer (1990), Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John Wiley [4] J E Hutchinson (1981), Fractals and self similar, Indiana Univ Math; 30, 271-280 [5] R Hamos (1974), Measure theory, Spinger-Verlag New Youk - Heisenberg - Berlin [6] J P Kahane (1971), Sur la distribution de certaines series aleatoires, Colloque Th Nombres [1969, Bordeaux]; 25, 119-122 [7] D Mauldin, K Simon (1998), The equivalence of some Bernoulli convolutions to Lesbegue measure, Proc Amer Math Soc; 9, 27332736 [8] R Riedi (1995), An improved multifractal formalism and self similar measures, Journal of Math Analysis and Applications; 189, 462-490 [9] B Solomyak (1995), On the random series ±λi , Annals of Math; 8, 133-141 [10] T Y Hu (2000), Asymptotic behavior of fourier transforms of self similar measures, Proc Amer Math Soc; 6, 1713-1720 34 [11] Vu Thi Hong Thanh, Nguyen Ngoc Quynh, Le Xuan Son (2009), The extreme value of local dimension of convolution of the Cantor measure, VNU Journal of Science, Mathematics - Physics; 25, 57-68 [12] Y Peres, B Solomyak (1996), Absolute continuity of Bernoulli convolutions, a simple proof, Mathematical Research Letters 3, 231-239 [13] A Wintner (1935), On symmetric Bernoulli convolutions, American Journal of Mathematics 35 [...]... minh 32 KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được các kết quả sau 1 Tìm hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống khái niệm về độ đo, độ đo kì dị, độ đo liên tục tuyệt đối, độ đo tự đồng dạng (trình bày trong Chương 1) 2 Chứng minh chi tiết một số kết quả đã có trong tài liệu nhưng chưa được chứng minh hay chứng minh còn vắn tắt như các Định lý 1.4.2, 1.4.3, 1.4.5, 1.4.6, 1.4.10 về độ đo tự đồng dạng 3 Tìm được... tuyệt đối 2.1.7 Định lý ([8]) Giả sử νλ là độ đo tích chập Bernoulli Khi đó, với λ là số-PV ta có νλ kì dị 2.2 Độ đo tự đồng dạng với m > 2 Mục 2.1 chúng tôi đã nghiên cứu về độ đo tự đồng dạng sinh bởi hệ gồm hai ánh xạ đồng dạng Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu độ đo tự đồng dạng với m ánh xạ đồng dạng và m ≥ 3 Cho X0 , X1 , là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị... m = j=1 pj P rob(S ∈ Fj−1 (A)) 14 m = j=1 pj µ(Fj−1 (A)) = µ(A) Vậy theo tính duy nhất của độ đo tự đồng dạng trong Định lý 1.4.3 thì độ đo µ trùng với độ đo µρ Độ đo tự đồng dạng có một ý nghĩa quan trọng trong nghiên cứu hình học fractal Cụ thể ta có định lý sau 1.4.6 Định lý([3]) Giả sử µ là độ đo tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp {Fj }m j=1 với Fj (x) = ρx + aj , 0 < ρ < 1, x ∈ R, aj ∈ R, j = 1,... xác định νλ như ở (2.1) thì độ đo νλ chính là độ đo tự đồng dạng 22 sinh bởi hệ hai ánh xạ đồng dạng trên R là T0 (x) = λx − 1, T1 (x) = λx + 1 với các xác suất là ( 21 , 21 ) Độ đo này có nhiều hữu ích trong nghiên cứu hệ động lực học và việc tính chiều của một tập Độ đo νλ có thể xem như là phép chiếu không tuyến tính nghĩa là, lấy Ω = {−1, 1}N là không gian các dãy với độ đo Bernoulli µ Khi đó, νλ... đó, gọi µ là độ đo sinh bởi S = ρn Xn thì µ là độ đo tự đồng n=1 dạng và được gọi là tích chập Bernoulli vô hạn hay tích chập Bernoulli Độ đo này sinh bởi hai ánh xạ đồng dạng Fj (x) = ρx ± 1, j = 1, 2 Gọi νλ là phân phối của biến ngẫu nhiên Yλ Độ đo này được nghiên cứu từ những năm 1930 và nó liên quan đến nhiều tính chất của giải tích điều hòa, lý thuyết về các số đại số, hệ động lực học và ước tính... một độ đo ν nào trên C cũng có thể phân tích thành ν = νa + νs trong đó νs ⊥ ν, νa ν với (X, C) là một không gian đo và từ các bổ đề trên ta có tính chất đặc biệt của độ đo tự đồng dạng được trình bày trong định lý sau 1.4.10 Định lý Giả sử µ là độ đo tự đồng dạng thì µ hoặc là liên tục tuyệt đối hoặc là hoàn toàn kỳ dị Chứng minh Giả sử rằng µ là độ đo liên tục tuyệt đối nhưng không tương đương với độ. .. , , pn ) Khi đó, tồn tại duy nhất độ đo xác suất Borel µpb,d thỏa mãn n µpb,d (A) pi (µpb,d ◦ Ti−1 (A)) = i=1 là độ đo tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp {Ti }ni=1 21 CHƯƠNG 2 TÍNH KÌ DỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG Trong chương này chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết tính kỳ dị và tính liên tục tuyệt đối của một số độ đo tự đồng dạng 2.1 Tích chập Bernoulli Tích chập... gian xác suất Họ các biến ngẫu nhiên (Xi )i∈I được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu họ σ-đại số (σ(Xi )i ∈ I) độc lập (độc lập đôi một) 1.4 Định nghĩa, tính chất và ví dụ về độ đo tự đồng dạng Gọi X = (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, µ là độ đo Borel đều trên X Khi đó i) Khối lượng của µ xác định bởi M(µ) = µ(X) ii) Gọi M là tập hợp các độ đo Borel đều có giá bị chặn và khối lượng hữu hạn Đặt M1... đồng dạng có cùng tỉ số đồng dạng ρ và lấy p1 , p2 , , pm là các trọng số xác suất kết hợp với chúng (nghĩa m là pi > 0, i = 1, 2, m, pi = 1) i=1 Khi đó, độ đo xác suất µ trên R thỏa mãn m pj µ(Fj−1 (A)), µ(A) = j=1 đối với mọi tập đo được A được gọi là độ đo tự đồng dạng 13 (1.4) Một tính chất thú vị là ta có thể xác định độ đo µ bởi một cách khác như sau Lấy X0 , X1 , là dãy các biến ngẫu nhiên độc... diễn này rất hữu ích trong lý thuyết độ đo hình học Vì νλ là độ đo tự đồng dạng nên theo Định lý 1.4.10 thì νλ hoặc liên tục tuyệt đối hoặc hoàn toàn kì dị Bài toán xác định giá trị λ ∈ (0, 1) để νλ liên tục tuyệt đối hay νλ hoàn toàn kì dị là bài toán có ý nghĩa, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học từ những năm 80 của thế kỉ XX Cho đến nay, bài toán này vẫn còn nhiều vấn đề chưa được ... tính độ đo tự đồng dạng Định lý 1.4.3 độ đo µ trùng với độ đo µρ Độ đo tự đồng dạng có ý nghĩa quan trọng nghiên cứu hình học fractal Cụ thể ta có định lý sau 1.4.6 Định lý([3]) Giả sử µ độ đo tự. .. phương tập Fractal Chính thế, độ đo thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Với lí chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn Về độ đo tự đồng dạng Mục đích luận văn thông qua tài liệu, tìm hiểu,... (2.1) độ đo νλ độ đo tự đồng dạng 22 sinh hệ hai ánh xạ đồng dạng R T0 (x) = λx − 1, T1 (x) = λx + với xác suất ( 21 , 21 ) Độ đo có nhiều hữu ích nghiên cứu hệ động lực học việc tính chiều tập Độ