1 MỤC LỤC Mở đầu Các kiến thức sở 1.1 Xây dựng trường số p-adic 1.2 Độ cao hàm ánh xạ chỉnh hình 1.3 Các tính chất cở độ cao 15 Định lý Nevanlinna-Cartan p-adic 22 2.1 Định lý Nevanlinna-Cartan p-adic 22 2.2 Một số hệ định lý Nevanlinna - Cartan p-adic 30 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Lý thuyết Nevanlinna đánh thành tựu đẹp đẽ sâu sắc Toán học Lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ công trình Hadamard, Borel, ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Có thể xem Định lý Nevanlinna dạng siêu việt định lý đại số nói rằng, số nghiệm đa thức trường đóng đại số số bậc đa thức Mặt khác, theo triết lý A.Weil tương tự trường số trường hàm tương tự định lý số học phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên Đến năm đầu thập kỷ 80 kỷ XX, P.Vojta phát rằng, có dịch lý thuyết Nevanlinna số học: định lý Roth Phát làm thay đổi nhiều phần số học đại, đưa đến kết sâu sắc G.Faltings, P.Vojta, tư tưởng lý thuyết Nevanlinna đóng vai trò chủ đạo Nói cách vắn tắt, nhiều giả thuyết số học chứng minh ta xây dựng "lý thuyết Nevanlinna số học" Ta nhớ lại nguyên lý Hasse-Minkowski: ta hy vọng có "kết số học" ta có trường hợp thực, phức p-adic Với mục đích làm xuất nhu cầu xây dựng lý thuyết Nevanlinna p-adic Trong lý thuyết Nevanlinna hoàn thiện trường hợp phức thể công trình H.Cartan H.Weyl - J.Weyl, lý thuyết Nevanlinna p-adic chưa hoàn thiện Điều động lực để cố gắng tìm hiểu thể lý thuyết Nevanlinna trường sở trường số p-adic Lý thuyết Nevanlinna p-adic chiều xây dựng lần đầu công trình Hà Huy Khoái Nhu cầu xây dựng lý thuyết Nevanlinna nhiều chiều dẫn đến việc phải xét lý thuyết Nevanlinna p-adic trường hợp nhiều biến Những công trình theo hướng thuộc Hà Huy Khoái, sau tiếp tục phát triển thể công trình Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tư, Nguyễn Thành Quang Trong luận văn trình bày số khái niệm sở lý thuyết Nevanlinna p-adic số tính chất chúng Trình bày Định lý Nevanlinna - Cartan p-adic hệ Luận văn bao gồm chương Chương Các kiến thức sở Trong chương trình bày số khái niệm như: độ cao chuỗi lũy thừa, độ cao hàm chỉnh hình, độ cao ánh xạ chỉnh hình mặt phẳng xạ ảnh P n (Cp ) Đồng thời, trình bày số tính chất độ cao Điều làm sở cho việc chứng minh Định lý Nevanlinna - Cartan p-adic chương Chương Định lý Nevanlinna - Cartan p-adic Đây nội dung luận văn, bao gồm tiết Tiết 2.1, trình bày định lý Nevanlinna - Cartan p-adic chứng minh chi tiết định lý Tiết 2.2, trình bày hệ định lý Nevanlinna - Cartan p-adic Trong có kết tương tự định lý khẳng định không gian phức C Chẳng hạn như: Bổ đề Borel p-adic, Định lý Green p-adic Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình TS Mai Văn Tư Nhân dịp cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới TS Mai Văn Tư, người thầy tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo khoa Toán nhiệt tình giảng dạy, bảo Cuối tác giả cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ, động viên suốt trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Xây dựng trường số p-adic 1.1.1 Sự phân loại giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ (Xem chi tiết [1]) Cho p số nguyên tố ∀x ∈ Q, x = 0, ta có x = ±pα1 pα2 pαn n , với pi số nguyên tố; αi số nguyên, i = 1, 2, n Với x ∈ Q, x = 0, ký hiệu ordp (x) = αi (p = pi ) (p = pi , i = 1, , n) Với x ∈ Q, ký hiệu |x|p = p−ordp x x = |0|p = Khi |.|p thỏa mãn điều kiện giá trị tuyệt đối phi Acsimet gọi giá trị tuyệt đối p-adic Định lý Ostrowski: Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường Q tương đương với hai giá trị tuyệt đối là: giá trị tuyệt đối p-adic |.|p với p số p-adic giá trị tuyệt đối thông thường |.|∞ Định lý Ostrowski cho cách mở rộng trường Q thành trường đóng đại số Thứ nhất, theo giá trị tuyệt đối thông thường, Q mở rộng thành C Thứ hai cách mở rộng theo giá trị tuyệt đối p-adic trình bày mục 1.1.2 sau 1.1.2 Trường số p-adic (Xem chi tiết [1]) Gọi X tập hợp dãy số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p-adic |.|p Trên X ta xác định quan hệ tương đương sau: a = {an } ∈ X; b = {bn } ∈ X a ∼ b ⇔ lim |an − bn |p = n→∞ Ký hiệu Qp = X/ ∼ Giá trị tuyệt đối Qp cảm sinh giá trị tuyệt đối |.|p Q xác định sau: với a ∈ Qp , a có đại diện {an }, |a|p = lim |an |p n→∞ Trên Qp xây dựng hai phép toán, với a, b ∈ Qp , {an }, {bn } đại diện a b ta có: a + b = {an + bn }, ab = {an bn } Khi đó, Qp với hai phép toán lập thành trường gọi trường số hữu tỷ p-adic Nó mở rộng Q Người ta chứng minh mở rộng Qp thành trường đóng đại số, đầy đủ Trường ký hiệu Cp gọi trường số phức p-adic, (xem chi tiết [1]) Đặt Dr (a) = {z ∈ Cp : |z − a|p < r}, Dr (a) = {z ∈ Cp : |z − a|p ≤ r}, D1 (0) = D; D1 (0) = D 1.1.3 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa p-adic chuỗi hàm có dạng ∞ an z n = a0 + a1 z + + an z n + (1.1) n=0 ∈ Cp (i = 0, 1, ) 1.1.4 Nhận xét Chuỗi lũy thừa p-adic viết dạng tổng quát ∞ an (z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 ) + + an (z − z0 )n + n=0 (1.2) Bằng cách đặt X = z − z0 , chuyển việc khảo sát chuỗi hàm (1.2) việc khảo sát chuỗi hàm (1.1) Chuỗi lũy thừa (1.1) có tổng riêng đa thức n ak z k Sn (z) = k=0 Do vậy, chuỗi (1.1) hội tụ tổng S(z) xấp xỉ đa thức với độ xác tùy ý, miễn bậc Sn (z) lấy đủ lớn 1.1.5 Bán kính hội tụ Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (1.1) xác định hệ thức −1 r = ( lim |an |1/n p ) n→∞ Đặt Dr = Dr (0) = {z ∈ Cp : |z|p < r} 1.1.6 Định lý (Xem [9]) (i) Chuỗi (1.1) hội tụ lim |an z n |p = n→∞ (ii) Giả sử r= lim |an |1/n p −1 n→∞ Khi chuỗi (1.1) hội tụ Dr phân kỳ miền {z ∈ Cp : |z|p > r} (iii) Nếu chuỗi (1.1) hội tụ miền Dr hội tụ tuyệt đối, hội tụ Dr (iv) Nếu chuỗi (1.1) hội tụ S(z) miền Dr S(z) hàm liên tục Dr Chú ý chuỗi lũy thừa hội tụ Cp gọi hàm chỉnh hình hay gọi hàm nguyên p-adic Cp 1.2 Độ cao hàm ánh xạ chỉnh hình 1.2.1 Định nghĩa Độ cao cuả chuỗi lũy thừa (1.1) v(z) = t xác định hệ thức , t) = {v(an ) + nt} h( 0≤n v(z0 )} Chứng minh (i) Theo định lý 1.2.1, chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ lim |an z n |p = n→∞ ⇔ lim p−{v(an )+nt} = n→∞ ⇔ lim {v(an ) + nt} = ∞ n→∞ (ii) Theo mệnh đề (i), chuỗi (1.1) hội tụ z0 nên lim {v(an ) + nv(z0 )} = ∞, n→∞ lim {[v(an ) + nv(z)] − [v(an ) + nv(z0 )]} = lim {n[v(z) − v(z0 )]} = ∞ n→∞ n→∞ với v(z) > v(z0 ), lim {v(an ) + nv(z)} = ∞ Chứng tỏ chuỗi n→∞ hội tụ điểm thuộc miền {z ∈ Cp : v(z) > v(z0 )} 1.2.4 Hệ Nếu chuỗi (1.1) phân kỳ z0 phân kỳ điểm thuộc miền {z ∈ Cp : v(z) < v(z0 )} Chứng minh Thật vậy, từ mệnh đề (i) giả thiết ta có lim {v(an ) + nv(z0 )} < ∞ n→∞ Mặt khác lim {[v(an ) + nv(z0 )] − [v(an ) + nv(z)]} = lim {n[v(z0 ) − v(z)]} = ∞, n→∞ n→∞ với v(z) < v(z0 ) Chứng tỏ, với z, v(z) < v(z0 ) lim {v(an ) + n(z)} < ∞ n→∞ Vậy chuỗi (1.1) phân kỳ điểm thuộc miền {z ∈ Cp : v(z) < v(z0 )} 1.2.5 Định lý Chuỗi lũy thừa (1.1) hội tụ đĩa Dr đường thẳng t0 = − logp r đường tiệm cận đường đa giác h( , t) Chứng minh Giả sử chuỗi (1.1) hội tụ đĩa Dr , theo bổ đề 1.2.3 ta nhận lim {v(an ) + nt} = ∞, n→∞ 10 với z ∈ Dr Vì |z|p < r nên t = v(z) > t0 , ∀z ∈ Dr , chứng tỏ đường t0 = − logp r đường tiệm cận đa giác Newton Ngược lại, đường t0 = − logp r đường tiệm cận đa giác h( , t), với t → t0 + ta có lim {v(an ) + nt} = ∞ n→∞ Sử dụng bổ đề 1.2.3 khẳng định chuỗi (1.1) hội tụ đĩa Dr Định lý chứng minh 1.2.6 Các ví dụ (i) Xét chuỗi ∞ pn z n , n=0 có v(an ) + nt = n2 + nt → ∞ n → ∞ với t Vì v(an ) + nt triệt tiêu t0 = −n, n → ∞ t0 → −∞, tức r → ∞ Vậy chuỗi hội tụ toàn mặt phẳng Cp (ii) Xét chuỗi ∞ p−n z n , n=0 có v(an ) + nt = −n2 + nt triệt tiêu t0 = n n → ∞, ta có t0 → ∞ nghĩa r → Vậy chuỗi phân kỳ điểm Cp \{0} 1.2.7 Nhận xét Giả sử f (z) hàm chỉnh hình đĩa đơn vị D, tương ứng với chuỗi lũy thừa hội tụ ∞ an z n f (z) = n=0 Vì lim {v(an ) + nt} = ∞ với t = v(z) > n→∞ 26 Chứng minh Từ định nghĩa độ cao, có q−n−1 h(G, t) = (β1 , ,βq−n−1 ) h(Gβ1 Gβ2 Gβq−n−1 ) = (β1 , ,βq−n−1 ) h(Gβj , t), j=1 (theo mệnh đề 1.3.4, chương 1) Không tính tổng quát,với t, tồn β1 , β2 , , βq−n−1 cho bất đẳng thức sau h(Gβ1 , t) ≤ ≤ h(Gβq , t), (2.1) q−n−1 h(G, t) = h(Gβj , t) (2.2) j=1 Từ giả thiết định lý suy n fi = aij Gβq−j , i = 1, 2, , n + j=0 Sử dụng mệnh đề 1.3.4, chương 1, có h(fi , t) ≥ h(Gβq−j , t) + 0(1) 0≤j≤n Từ bất đẳng thức (2.1), thu h(fi , t) ≥ h(Gβj , t) + 0(1), j = 1, 2, , q − n − Do h(f, t) = h(fi , t) ≥ h(Gβj , t) + 0(1), 1≤i≤n+1 j = 1, 2, , q − n − (2.3) Cộng q − n − bất đẳng thức (2.3), có q−n−1 (q − n − 1)h(f, t) ≥ h(Gβj , t) + 0(1) j=1 Kết hợp (2.2) (2.4) ta có (q − n − 1)h(f, t) ≥ h(G, t) + 0(1) Bổ đề chứng minh (2.4) 27 2.1.13 Nhận xét Để chuẩn bị cho việc chứng minh định lý Nevanlinna Cartan p-adic, đánh giá đại lượng h(G, t) Giả sử α1 , , αn+1 n+1 số phân biệt lấy từ tập hợp số {1, 2, , q} β1 , , βq−n−1 q − n − số lại (luôn giả thiết q > n + 1) Theo cách lập luận bổ đề trên, hàm {fi } ứng với tổ hợp tuyến tính hàm Gα1 , , Gαn+1 Từ tính chất Wronskian, có ||Gα1 , , Gαn+1 || = ||f1 , , fn+1 ||, c(α1 , , αn+1 ) số c(α1 , , αn+1 ) phụ thuộc vào (α1 , , αn+1 ) Đặt A(α1 , , αn+1 ) = ||Gα1 , , Gαn+1 || Gα1 Gαn+1 1 Gα1 Gα1 = Gnα1 Gα1 Gα Gα Gnα2 Gα Gαn+1 Gαn+1 Gnαn+1 Gαn+1 Từ hệ thức có Gβ1 Gβq−n−1 G1 G2 Gq = c(α1 , , αn+1 )A(α1 , , αn+1 ) ||f1 , , fn+1 || Đặt R(z) = Gβ1 Gβq−n−1 c(α1 , , αn+1 )A(α1 , , αn+1 ) (2.5) (2.6) Từ (2.5) (2.6) suy R(z) không phụ thuộc vào cách chọn (α1 , , αn+1 ) (β1 , , βq−n−1 ) Từ hệ thức (2.6) có Gβ1 Gβq−n−1 = c(α1 , , αn+1 )R(z)A(α1 , , αn+1 ) (2.7) Sử dụng định nghĩa độ cao, cách xác định đường cong G hệ thức (2.7), quy việc đánh giá h(G, t) việc đánh giá h(R, t) h(A, t), 28 A = A(α1 , , αn+1 ) Chúng ta có: (k ) (k ) n+1 Gα11 Gαn+1 h(A, t) = h( , t) Gα1 Gαn+1 (k1 , ,kn+1 ) (2.8) Cực tiểu lấy theo cách chọn (n + 1) phần tử phân biệt {0, 1, , n} Mặt khác, ta lại có g (k) h( , t) ≥ −kt + 0(1), g (2.9) (theo hệ 1.3.2, chương 1) Kết hợp (2.8) (2.9), thu n+1 h(A, t) = (k1 , ,kn+1 ) ≥ i=1 n+1 (k1 , ,kn+1 ) (k ) Gαii , t) h( Gαi (−ki t) + 0(1), i=1 hay −n(n + 1) t + 0(1) Như vậy, đánh giá h(A, t) Để đánh giá h(R, t), chúng h(A, t) ≥ ta cần bổ để sau 2.1.14 Bổ đề Giả sử Φ(z) hàm chỉnh hình Cp Chúng ta có h+ (Φ, t) = N (Φ, t) + 0(1), (2.10) 0(1) đại lượng phụ thuộc Φ, không phụ thuộc t Chứng minh Từ tính chất đa giác Newton h(Φ, t) suy rằng, với t, hàm Φ(z) có hữu hạn điểm tới hạn cho v(z) ≥ t Giả sử t0 > t1 > > tm > t tất điểm tới hạn Rõ ràng độ cao h(Φ, t) hàm tuyến tính biến s ∈ [ti+1 , ti ] Gọi 29 − n+ i , ni tương ứng độ dốc hàm h(Φ, t) ti + ti − Khi − h(Φ, t0 ) − h(Φ, t) = n− (t0 − t1 ) + + nm (tm − t) + 0(1) − − − − − = n− t0 + (n1 − n0 )t1 + + (nm − nm−1 )tm − nm t + 0(1) − − = n− (t0 − t) + (n1 − n0 )(t1 − t) + + − + (n− m − nm−1 )(tm − t) + 0(1) (2.11) Rõ ràng Φ(z) = với z cho v(z) > t0 , Φ(z) có n− không điểm với + v(z) = t0 có (n− i − ni ) không điểm v(z) = ti , i = 1, 2, , m Do tổng vế phải (2.11) N (Φ, t) Bổ đề chứng minh 2.1.15 Nhận xét Từ bổ đề 2.1.14 ta có h+ (R, t) = N (R, t) + 0(1) (2.12) Với z ∈ Cp , hàm R(z) xác định hệ thức (2.6), Gβi (z) = 0, i = 1, 2, , q − n − (theo bổ đề 2.1.10) Vì không điểm R(z) cực điểm A(α1 , , αn+1 ), nghĩa cực điểm (k ) Gαii Gα i Từ định nghĩa hàm đếm mức k suy rằng: q q N (R, t) ≥ Nn (Fi ◦ f, t) Nn (Gi , t) = i=1 (2.13) i=1 Lại có: h(G, t) = (β1 , ,βq−n−1 ) = h(R, t) + (β1 , ,βq−n−1 ) h(Gβ1 Gβq−n−1 , t) = h(c(α1 , , αn+1 )A(α1 , , αn+1 ), t) (2.14) 2.1.16 Định lý (Nevanlinna - Cartan) Giả sử H1 , , Hq siêu phẳng P n (Cp ), vị trí tổng quát, f = (f1 , , fn+1 ) : Cp → P n (Cp ) đường cong chỉnh hình không suy biến Khi q (q − n − 1)h+ (f, t) ≤ Nn (f ◦ Hj , t) + j=1 0(1) đại lượng bị chặn t → −∞ n(n + 1) t + 0(1), 30 Chứng minh Từ hệ thức (2.12), (2.13) (2.14), thu h(G, t) ≥ −N (R, t) − n(n + 1) t + 0(1) (2.15) Kết hợp bổ đề 2.1.12 bất đẳng thức (2.15) có: (q − n − 1)h(f, t) ≥ −N (R, t) − n(n + 1) t + 0(1), hay n(n + 1) t + 0(1) n(n + 1) + 0(1) Nn (Fi ◦ f, t) + (q − n − 1)h+ (f, t) ≤ N (R, t) + q ≤ i=1 Định lý chứng minh 2.2 Một số hệ định lý Nevanlinna - Cartan p-adic 2.2.1 Định nghĩa Giả sử H siêu phẳng không gian xạ ảnh P n (Cp ) cho ảnh f = (f1 , , fn+1 ) không chứa H Chúng ta nói đường cong chỉnh hình f rẽ nhánh d (d nguyên dương) H z ∈ f −1 H có degz f ∗ H ≥ d Trong degz f ∗ H bậc f ∗ H Điều có nghĩa F (z) = phương trình siêu phẳng H không điểm F ◦ f có bội d Trong trường hợp f −1 H = ø, quy ước d = ∞ 2.2.2 Định lý (Định lý số khuyết) Giả sử f đường cong chỉnh hình không suy biến rẽ nhánh dj siêu phẳng Hj (H1 , , Hq siêu phẳng vị trí tổng quát) Chúng ta có: q (1 − j=1 n ) ≤ n + dj 31 Ngoài ra, f đường cong hữu tỷ bậc e (mọi fi (z), i = 1, 2, , n+1 đa thức bậc ei ei = e) q (1 − j=1 n n(n − 1) )≤n+1− dj 2e Chứng minh Từ tính chất hàm độ cao suy h+ (f, t) bị chặn t → −∞ f số Vì f không suy biến nên h+ (f, t) không bị chặn t → −∞ Bởi h+ (f, t) → +∞ t → −∞, (Theo mệnh đề 1.3.3, chương 1) Sử dụng định lý 2.1.16, có {1 − n(n + 1) t 0(1) Nn (Fi ◦ f, t) } ≤ n + + + h+ (f, t) h+ (f, t) h+ (f, t) (2.16) Từ giả thiết định lý mệnh đề 1.2.15 chương 1, nhận 1− Nn (Fi ◦ f, t) Nn (Fi ◦ f, t) N (Fi ◦ f, t) =1− + h (f, t) N (Fi ◦ f, t) h+ (f, t) n N (Fi ◦ f, t) , ≥1− + di h (f, t) (Vì N (Fi ◦ f, t) ≥ di N1 (Fi ◦ f, t) Nn (Fi ◦ f, t) ≤ nN1 (Fi ◦ f.t)) Sử dụng bổ đề 2.1.14 ta có Nn (Fi ◦ f, t) n h+ (Fi ◦ f, t) + 0(1) 1− =1− h+ (f, t) di h+ (f, t) n+1 + h ( a ij fj , t) + 0(1) n j=1 =1− di h+ (f, t) n 0(1) ≥ − (1 + + ) di h (f, t) 32 Vì n+1 + aij fj , t) ≤ h ( j=1 max h+ (fj , t) + 0(1) 1≤j≤n+1 = h+ (f, t) + 0(1) Do 1− n 0(1) Nn (Fi ◦ f, t) ≥ − + h+ (f, t) di h+ (f, t) (2.17) Từ (2.16) (2.17) ta có q (1 − i=1 n 0(1) n(n + 1) t 0(1) + + )≤n+1+ + + + di h (f, t) h (f, t) h (f, t) (2.18) Do bất đẳng thức (2.18) với t, t → −∞ h+ (f, t) → +∞ Bởi 0(1) = 0, t→−∞ h+ (f, t) lim f không suy biến t = 0, t→−∞ h+ (f, t) lim f không suy biến, hàm hữu tỷ Và t = − , t→−∞ h+ (f, t) e lim f đường cong đa thức bậc e Vì vậy, định lý chứng minh từ bất đẳng thức (2.18) qua hệ thức giới hạn 2.2.3 Định nghĩa Một đa tạp X P n (Cp ) gọi siêu mặt Fermat bậc d xác định phương trình: d X : z1d + z2d + + zn+1 = Giả sử α α jn+1 Mj = z1 j1 zn+1 , ≤ j ≤ s, 33 đơn thức bậc l với lũy thừa nguyên không âm Giả sử X siêu mặt Fermat bậc dl không gian xạ ảnhP n (Cp ), xác định phương trình s cj Mjd = 0, X: j=1 cj ∈ C∗p 2.2.4 Định lý (Bổ đề Borel p-adic) Giả sử f = (f1 , , fn+1 ) : Cp −→ X đường cong chỉnh hình khác số cho fj = 0, ∀j = 1, , n+1 Nếu d ≥ s(s − 2) tồn phân hoạch số {1, 2, , s} = ∪Iυ cho: (i) #Iυ ≥ 2, ∀υ (ii) Tỷ số Mjd ◦ f (z) Mkd ◦ f (z) số ∀j, k ∈ Iυ (iii) j∈Iυ Mjd ◦ f (z) = với υ Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp Rõ ràng định lý s = Giả sử định lý với số ≤ s − Đầu tiên, chứng tỏ {Mjd ◦ f, ≤ j ≤ s − 1} phụ thuộc tuyến tính Cp Thực vậy, hệ độc lập tuyến tính Chúng ta xác định đường cong chỉnh hình g P s−2 (Cp ) sau g :Cp −→ P s−2 (Cp ) d z −→ (M1d ◦ f (z), , Ms−1 ◦ f (z)) Ta lấy siêu phẳng vị trí tổng quát Hj : {zj = 0}, j = 1, , s − 1, Hs : {c1 z1 + + cs−1 zs−1 = 0} 34 Rõ ràng đường cong g không suy biến, theo định lý NevanlinnaCartan p-adic có s (s − (s − 2) − 1)h+ (g, t) ≤ Ns−2 (g ◦ Hj , t) + j=1 (s − 2)(s − 1) t + 0(1) Mặt khác từ định nghĩa độ cao mệnh đề 1.3.4, có h+ (f, t) = d max h+ (Mj ◦ f, t) 1≤j≤s−1 Vì theo bổ đề 2.1.14 (Chương 2), ta có: Ns−2 (g ◦ Hj , t) ≥ (s − 2)h+ (Mj ◦ f, t) + 0(1) Do nhận Ns−2 (g ◦ Hj , t) ≥ (s − 2) max h+ (Mk ◦ f, t) + 0(1), 1≤k≤s−1 (2.19) với j = 1, 2, , s − Bây ta chứng minh bất đẳng thức (2.19) j = Thật (s − 2) max h+ (Mk ◦ f, t) + 0(1) = (s − 2) max N (Mkd ◦ f, t) + 0(1) 1≤k≤s−1 1≤k≤s−1 ≥ (s − 2) max N1 (Mkd ◦ f, t) + 0(1) 1≤k≤s−1 ≥ max Ns−2 (Mkd ◦ f, t) + 0(1) 1≤k≤s−1 ≥ Ns−2 (g ◦ Hs , t) + 0(1) Vậy có d max h+ (Mj ◦ f, t) ≤ s(s − 2) max h+ (Mj ◦ f, t) + (s − 2)(s − 1) t + 0(1) (2.20) Từ giả thiết d ≥ (s(s − 2)) suy bất đẳng thức (2.20) không t → −∞ Bởi hệ {Mjd ◦ f : j = 1, , s − 1} phụ thuộc tuyến tính Ta có hệ thức: d c1 M1d ◦ f + + cs−1 Ms−1 ◦ f = 0, c j ∈ Cp (2.21) 35 Chú ý (2.21), bỏ hạng tử với cj = Như giảm số s phương trình xác định siêu mặt X s − nhỏ Nếu hạng tử (2.21) thuộc lớp tương đương định lý chứng minh Trong trường hợp ngược lại, sử dụng giả thiết quy nạp cho phương trình Sau số hữu hạn bước có điều phải chứng minh 2.2.5 Hệ (n = 2, s = 3, Mj = zj ) Giả sử f, g, h hàm chỉnh hình p-adic Cp , thỏa mãn phương trình f d + g d = hd Nếu d ≥ hàm f, g, h khác nhân tử 2.2.6 Nhận xét Mệnh đề tương tự hệ đa thức hệ định lý Mason (xem [10]) 2.2.7 Định nghĩa Đa tạp X biến dạng siêu mặt Fermat bậc d X xác định phương trình X : z1d + z2d + + zsd = 0, với s ≤ n + 2.2.8 Định lý (Green p-adic) Giả sử X biến dạng siêu mặt Fermat bậc d d ≥ s(s − 2) đường cong chỉnh hình f : Cp → X suy biến Chứng minh Giả sử f = (f1 , , fn+1 ) : Cp → X ánh xạ chỉnh hình Chúng ta chứng tỏ hệ d {f1d (z), , fn+1 (z), Mn+2 ◦ f (z), , Ms ◦ f (z)} phụ thuộc tuyến tính Giả sử ngược lại, xét ánh xạ chỉnh hình d g = (f1d (z), , fn+1 (z), Mn+2 ◦ f (z), , Ms ◦ f (z)) : Cp → P s−2 (Cp ) 36 Chúng ta chọn s siêu phẳng vị trí tổng quát j = 1, , s − 1, Hj : zj = 0, Hs : c1 z1 + + cs−1 zs−1 = Rõ ràng siêu phẳng Hj đường cong chỉnh hình g thỏa mãn giả thiết Định lý Nevanlinna-Cartan Chúng ta có: s (s−(s−2)−1)h+ (g, t) ≤ Ns−2 (g◦Hj , t)+ j=1 (s − 2)(s − 1) t+0(1) (2.22) Từ định nghĩa độ cao, ta có: h(g, t) = = h(g ◦ Hj , t) h(Mj ◦ f, t) 1≤h≤s−1 1≤h≤s−1 = min{ 1≤j≤n+1 h(fjd , t), = min{dh(f, t), n+2≤j≤s−1 n+2≤j≤s−1 h(Mj ◦ f, t)} h(Mj ◦ f, t)} (2.23) Mặt khác ta có α α j,n+1 h(Mj ◦ f, t) = h(f1 j,1 fn+1 ), j ≥n+2 n+1 = αj,m h(fm , t) m=1 n+1 ≥ αj,m h(f, t) m=1 = dh(f, t) (2.24) Từ (2.23) (2.24), có h(g, t) = dh(f, t) Do h+ (g, t) = dh+ (f, t) (2.25) 37 Mặt khác từ định nghĩa hàm đếm mệnh đề 1.2.15, chương 1, có Ns−2 (g ◦ Hj , t) ≥ (s − 2)N1 (g ◦ Hj , t) (s − 2)N (g ◦ Hj , t) = (s − 2)h+ (g ◦ Hj , t) + 0(1) = (s − 2)h+ (Mj ◦ f, t) + 0(1) Áp dụng bổ đề 2.1.14, chương ta suy Ns−2 (g ◦ Hj , t) ≤ (s − 2)h+ (f, t) + 0(1) (2.26) Lập luận tương tự chứng minh định lý 2.2.8, ta thấy bất đẳng thức (2.26) với j = s Từ bất đẳng thức (2.22) (2.25) (2.26) ta có (s − 2)(s − 1) t + 0(1) (2.27) Rõ ràng d > s(s − 2) bất đẳng thức (2.27) xảy dh+ (f, t) ≥ s(s − 2)h+ (f, t) + t → −∞ Vậy d {f1d , , fn+1 , Mn+2 ◦ f, , Ms ◦ f } phụ thuộc tuyến tính, nghĩa f đường cong suy biến 2.2.9 Nhận xét Trong trường hợp phức giả thuyết tiếng Green-Griffiths (xem[8]) nói đường cong chỉnh hình siêu mặt kiểu tổng quát suy biến Nói riêng, đường cong chỉnh hình siêu mặt bậc đủ lớn siêu biến Định lý 2.2.8 câu trả lời khẳng định cho giả thuyết Green - Griffiths p-adic trường hợp riêng 38 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn bước đầu tìm hiểu khái niệm sở lý thuyết Nevanlinna trường hợp trường sở trường số p-adic: Thông qua khái niệm hàm đếm, hàm độ cao đường cong chỉnh hình chứng minh lại cách chi tiết Định lý Nevanlinna-Cartan p-adic (Định lý 2.1.16) hệ thống lại hệ nó; Định lý số khuyết (Định lý 2.2.2), Bổ đề Borel p-adic (Định lý 2.2.4), Định lý Green p-adic (Định lý 2.2.8) 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mai Văn Tư (2010), Bài giảng chuyên đề số p-adic, Đại học Vinh [2] Mai Văn Tư (1995), Lý thuyết Nevanlinna - Cartan không gian Hyperbolic Brody p-adic, Luận án Phó Tiến sĩ khoa học Toán - Lý, Đại học sư phạm Vinh [3] Mai Văn Tư, Vài ứng dụng Định lý Nevanlinna - Cartan p-adic Thông báo khoa học Trường Đại học Vinh, số 13 Tiếng Anh [4] Ha Huy Khoai, Height of p-adic meromorphic functions and value distribulion theory, Viet Nam J Math (1992) [5] Ha Huy Khoai, Height of p-adic holomorphic functions and applications, Inter Symp Holomorphic mappings, Diophantine Geometry and related topics RIMS, Lecture Notes Ser 819, Kyoto (1993), pp 96-105 [6] Ha Huy Khoai and My Vinh Quang, P-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math 1351 (1988) pp 138-152 [7] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu, P-adic Nevanlinna - Cartan theorem, International Journal of Mathematics, Vol 6, No (1995), pp 719-731 [8] M Green and Ph Griffiths, Two applications of algebraic geometry to entire holomorphic mappings, Springer-Verlag, NewYork (1980), pp:41-74 40 [9] N I Koblitz (1979), P-adic numbers, p-adic analysis and Zetafunctions, Springer - Verlag [10] R C Mason (1984), Diophantine equations over function fields, London Math Soc Lecture Notes 96, Cambridge Univ Press [...]... Ta chứng minh định lý bằng phương ph p quy n p Rõ ràng định lý đúng khi s = 2 Giả sử định lý đúng với các số ≤ s − 1 Đầu tiên, chúng ta chứng tỏ rằng {Mjd ◦ f, 1 ≤ j ≤ s − 1} là phụ thuộc tuyến tính trên Cp Thực vậy, nếu hệ trên độc l p tuyến tính Chúng ta xác định đường cong chỉnh hình g trong P s−2 (Cp ) như sau g :Cp −→ P s−2 (Cp ) d z −→ (M1d ◦ f (z), , Ms−1 ◦ f (z)) Ta lấy các siêu phẳng ở vị trí... P- ADIC 2.1 Định lý Nevanlinna -Cartan p- adic 2.1.1 Định nghĩa Giả sử (z1 , , zn+1 ) là hệ tọa độ thuần nhất của không gian xạ ảnh P n (Cp ) và H1 , H2 , , Hq là các siêu phẳng trong P n (Cp ) Phương trình tổng quát của siêu phẳng Hj có dạng: n+1 Hj : aij zi = 0, j = 1, 2, , q i=1 Các siêu phẳng Hj được gọi là độc l p tuyến tính nếu hệ véctơ (a1j , a2j , , a(n+1)j ), j = 1, , q, q ≤ n + 1, là độc l p tuyến... 1.2.2 ta có Γ1 = t, Γk = kt, 1 < k < p, p = pt − 1, Γk = kt, p < k < p2 , Γ( p2 ) = p2 t = 2 tk = 1 pk −pk−1 là các điểm tới hạn của f (z) và 1 p , h− = , f,t p 1 p 1 = 1, hf,t = 0, ∀t = tk , h+ f,t = hf,tk h(log(1 + z), tk ) = −k + n p p 1 12 1.2.11 Mệnh đề (xem [4], [5]) (i) Nếu t không là điểm tới hạn của f (z) thì ta có hf,t = 0, f (z) = 0 và |f (z) |p = p h(f,t) (ii) Nếu t là điểm tới hạn... hàm f (z) 2.1.9 Định nghĩa Giả sử F (z) = 0 là phương trình xác định của siêu phẳng H của không gian xạ ảnh P n (Cp ) Khi đó hệ thức f ∗H = orda (F ◦ f ).a, a được gọi là cái níu hay divizor níu của đường cong f trên siêu phẳng H 2.1.10 Bổ đề Giả sử H1 , , Hq là các siêu phẳng của P n (Cp ), ở vị trí tổng quát và được xác định bới phương trình Fj (z) = 0, f = (f1 , , fn+1 ) : Cp → P n (Cp ) là đường... 0(1) 2 (2.15) Kết h p bổ đề 2.1.12 và bất đẳng thức (2.15) chúng ta có: (q − n − 1)h(f, t) ≥ −N (R, t) − n(n + 1) t + 0(1), 2 hay n(n + 1) t + 0(1) 2 n(n + 1) + 0(1) Nn (Fi ◦ f, t) + 2 (q − n − 1)h+ (f, t) ≤ N (R, t) + q ≤ i=1 Định lý được chứng minh 2.2 Một số hệ quả của định lý Nevanlinna - Cartan p- adic 2.2.1 Định nghĩa Giả sử H là một siêu phẳng trong không gian xạ ảnh P n (Cp ) sao cho ảnh của... (0) |p , h(f, t) = −logp |f (z) |p , với t = v(z), h− f,t0 = 0, hf,s − h+ f,t = t0 >s>t − logp |a |p , a∈Dr trong đó tổng được lấy trên mọi không điểm a của f (z) trong đĩa {z ∈ Cp : |z |p < p 1 } Bởi vậy công thức (1.8) có thể viết dưới dạng logp |f (z) |p − logp |f (0) |p = −logp |a |p a∈Dr Nhắc lại rằng Công thức Poisson-Jensen cổ điển có dạng 2π 1 2π log|f (eiθ )|dθ − log|f (0)| = −(orda f )log|a|, a∈D\{0}... L(f ) 2.1.7 Định nghĩa Hệ thức D= eD (a).a, a∈Cp eD (a) ∈ Z, 24 được gọi là divizor của mặt phẳng p- adic nếu trong mỗi miền bị chặn của Cp , tổng trên chỉ có hữu hạn điểm a sao cho eD (a) = 0 Đặt D0 = eD (a).a, eD (a) ≥ 0, a∈Cp D∞ = D − D0 hay D = D0 + D∞ Một divizor được gọi là đơn nếu eD (a) = 1, ∀a 2.1.8 Định nghĩa Giả sử f (z) là hàm phân hình trong Cp Hệ thức D= (orda f ).a, a∈Cp được gọi là... nguyên không âm Giả sử X là một siêu mặt Fermat bậc dl của không gian xạ ảnhP n (Cp ), được xác định bởi phương trình s cj Mjd = 0, X: j=1 trong đó cj ∈ C p 2.2.4 Định lý (Bổ đề Borel p- adic) Giả sử f = (f1 , , fn+1 ) : Cp −→ X là đường cong chỉnh hình khác hằng số sao cho fj = 0, ∀j = 1, , n+1 Nếu d ≥ s(s − 2) thì tồn tại phân hoạch của các chỉ số {1, 2, , s} = ∪Iυ sao cho: (i) #Iυ ≥ 2, ∀υ (ii) Tỷ... h(f.α, t) − h(g.α, t) = h(f, t) − h(g, t) 1.2.20 Định nghĩa Giả sử f = (f1 , , fn+1 ) : Cp → P n (Cp ) là ánh xạ từ không gian Cp vào không gian xạ ảnh P n (Cp ), trong đó fi là các hàm chỉnh hình không có điểm chung Khi đó f được gọi là ánh xạ chỉnh hình hay còn gọi là đường cong chỉnh hình 1.2.21 Định nghĩa Đường cong f = (f1 , , fn+1 ) : Cp → P n (Cp ) được gọi là không suy biến nếu ảnh của nó không... − 1} phụ thuộc tuyến tính Ta có hệ thức: d c1 M1d ◦ f + + cs−1 Ms−1 ◦ f = 0, c j ∈ Cp (2.21) 35 Chú ý rằng trong (2.21), có thể bỏ các hạng tử với cj = 0 Như vậy chúng ta đã giảm số s trong phương trình xác định siêu mặt X về s − 1 hoặc nhỏ hơn Nếu hạng tử ở (2.21) thuộc cùng một l p tương đương thì định lý được chứng minh Trong trường h p ngược lại, chúng ta sử dụng giả thiết quy n p cho các phương ... CHƯƠNG ĐỊNH LÝ NEVANLINNA -CARTAN P- ADIC 2.1 Định lý Nevanlinna -Cartan p- adic 2.1.1 Định nghĩa Giả sử (z1 , , zn+1 ) hệ tọa độ không gian xạ ảnh P n (Cp ) H1 , H2 , , Hq siêu phẳng P n (Cp ) Phương... trình bày định lý Nevanlinna - Cartan p- adic chứng minh chi tiết định lý Tiết 2.2, trình bày hệ định lý Nevanlinna - Cartan p- adic Trong có kết tương tự định lý khẳng định không gian phức C Chẳng... p 1 p 2 p n n , với pi số nguyên tố; αi số nguyên, i = 1, 2, n Với x ∈ Q, x = 0, ký hiệu ordp (x) = αi (p = pi ) (p = pi , i = 1, , n) Với x ∈ Q, ký hiệu |x |p = p ordp x x = |0 |p = Khi |.|p