BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HẢI YẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TỰA KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN QUỐC BÌNH HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Quốc Bình. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Quốc Bình, đồng thời tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô đã tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Quốc Bình. Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Mục lục Mở đầu 1 1 Sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn 4 1.1. Sự hội tụ mạnh và ánh xạ tựa không giãn . . . . . . . . 4 1.2. Ứng dụng cho ánh xạ không giãn và ánh xạ nén . . . . . 14 1.3. Một số kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Sự hội tụ yếu của các dãy lặp tới điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn 38 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1. Hội tụ mạnh và yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2. Tính chất Opial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2. Sự hội tụ yếu của dãy lặp tới điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 iii BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: R Đường thẳng thực Ø Tập hợp rỗng ∥.∥ Chuẩn trong không gian |x| Giá trị tuyệt đối của x A ∩ B Giao của tập A và tập B ∂B Biên của tập B Int(B) Phần trong của tập B MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giả sử X là không gian Banach thực, D là tập con đóng của X và T là ánh xạ liên tục từ D vào X. Với x 0 bất kì thuộc D và số λ ∈ (0, 1),dãy {x n } được xác định bởi phép lặp (i) x n = T (x n−1 ) = T n (x 0 ), n = 1, 2, 3, hoặc phép lặp (ii) x n = T λ (x n−1 ) = T n λ (x 0 ), T λ = λ.I + (1 − λ)T, n = 1, 2, 3, Định lí kinh điển của Banach khẳng định rằng nếu T là ánh xạ co từ D vào D ( nghĩa là ∥T x − T y∥ ≤ q ∥x − y∥ , ∀x, y ∈ D và q < 1) thì x n = T n (x 0 ) hội tụ (mạnh) đến điểm bất động duy nhất của T với bất kì thuộc D. Khi T là ánh xạ không giãn ( nghĩa là ∥T x − T y∥ ≤ ∥x − y∥ , ∀x, y ∈ D) thì T chưa chắc đã có điểm bất động , và nếu có thì chưa chắc đã hội tụ tới điểm bất động của T (chẳng hạn T là phép quay hình tròn đơn vị trong R 2 quanh gốc tọa độ). Tuy nhiên Krasnoselskii [7] đã chứng minh rằng nếu X là không gian lồi đều, D là tập con lồi đóng bị chặn của X, T : D −→ D là ánh xạ không giãn và compact thì  T n 1 2 (x 0 )  sẽ hội tụ mạnh tới điểm bất động của T. Shaefer [15] mở rộng kết quả của Krasnoselskii cho dãy lặp {T n λ (x 0 )}, còn Edelstein[6] mở rộng cho trường hợp X là lồi chặt. Sau đó Browder và Petryshyn[1,2] mở rộng các kết quả trên [7,15,6] cho trường hợp T là 2 chính quy tiệm cận và I-T biến tập đóng bị chặn thành tập đóng. Diaz, Metcalf [3,4] và Dotson [5] mở rộng các kết quả trên cho ánh xạ tựa không giãn (nghĩa là ánh xạ T thỏa mãn ∥ T x − p ∥≤∥ x − p ∥ , ∀x ∈ D, ∀p ∈ F (T ) tập điểm bất động của T). Các kết quả về sự hội tụ yếu của dãy lặp {T n λ (x 0 )} cũng nhận được từ Schaefer [15], Browder Petryshyn [1], Opial [9]. Trong luận văn này chúng tôi trình bày các kết quả nhận được bởi Petryshyn và Williamson [14] đối với sự hội tụ mạnh và yếu của các dãy lặp {T n (x 0 )} cũng như {T n λ (x 0 )} đối với ánh xạ tựa không giãn. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nghiên cứu sự hội tụ mạnh và yếu của các dãy lặp {T n (x 0 )}, {T n λ (x 0 )} tới điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu thấu đáo bài báo của Petryshyn và Williamson và các bài báo liên quan tới đề tài nghiên cứu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức cơ bản, cần thiết một số khái niệm và kết quả cơ bản trong hướng ánh xạ tựa không giãn của lý thuyết điểm bất động. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các bài báo về ánh xạ tựa không giãn và lý thuyết điểm bất động. Đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách hệ thống các kết quả nhận được. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống các kết quả về sự hội tụ mạnh và yếu của các dãy lặp {T n (x 0 )}, {T n λ (x 0 )} tới điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn. Chương 1 Sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn 1.1. Sự hội tụ mạnh và ánh xạ tựa không giãn Trong phần này nghiên cứu về sự hội tụ của ánh xạ tựa không giãn với giả thiết là tập điểm bất động khác rỗng. Cách tiếp cận chính ở đây là phát triển, mở rộng các kết quả đã biết của một số tác giả và một số kết quả mới cũng được suy ra. Cho X là không gian Banach thực với chuẩn ∥.∥. Nếu A và B là 2 tập hợp trong X, kí hiệu d(A, B) = inf {∥a − b∥ |a ∈ A, b ∈ B} là khoảng cách giữa A và B, d(p, A) là khoảng cách giữa một điểm p và tập hợp A. Với ánh xạ T : D ⊂ X −→ X kí hiệu tập hợp những điểm bất động của T trong D là F D (T ) hoặc đơn giản là F (T ). Đầu tiên ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian định chuẩn, D là tập con 4 5 của X, T là ánh xạ liên tục từ D vào X. a) Nếu ∥T x − T y∥ ≤ q ∥x − y∥ , ∀x, y ∈ D và q < 1) thì T là ánh xạ co trên D. b) Nếu ∥T x − Ty ∥ ≤ ∥x − y∥ , ∀x, y ∈ D thì T là ánh xạ không giãn trên D. c)Nếu ∥ T x − p ∥≤∥ x − p ∥, ∀x ∈ D, ∀p ∈ F (T ) (F (T ) tập điểm bất động của T) thì T là ánh xạ tựa không giãn trên D. Kết quả mới cơ bản đầu tiên của phần này là định lí sau đây. Định lý 1.1.1. Cho D là tập con đóng trong không gian Banach X và ánh xạ T liên tục từ D vào X sao cho (1.1) F(T ) ̸= ∅ (1.2) ∀x ∈ D, ∀p ∈ F (T ), ∥T x − p∥ ≤ ∥x − p∥ (1.3) ∃x 0 ∈ D sao cho x n = T n (x 0 ) ∈ D với n ≥ 1 Khi đó {x n } hội tụ đến một điểm bất động của T trong D khi và chỉ khi lim n d(x n , F(T )) = 0 Chứng minh. Rõ ràng điều kiện lim n→∞ d(x n , F(T )) = 0 là điều kiện cần . Điều kiện đủ, giả sử lim n→∞ d(x n , F(T )) = 0.Ta chứng tỏ dãy {x n } là một dãy Cauchy. Cho ε > 0, ∃n 1 ∈ N sao cho ∀n ≥ n 1 , d(x n , F(T )) ≤ ε 2 .∀l, k ≥ n 1 ta có: ∥x l − x k ∥ ≤ ∥x l − p∥ + ∥x k − p∥ [...]... không thỏa mãn Từ nay về sau ta sẽ gọi ánh xạ T : D −→ X là ánh xạ tựa không giãn có điều kiện nếu T tựa không giãn mỗi khi F (T ) ̸= ∅ Định lí sau được chứng minh mà không cần giả thiết trước đó về F (T ) Định lý 1.1.4 Cho D là tập con đóng của không gian Banach X, T là ánh xạ tựa không giãn từ D vào X Giả sử {T n (x0 )}n≥1 ⊆ D, ∀x0 ∈ D Khi đó dãy {T n (x0 )}n≥1 hội tụ mạnh đến một điểm bất động của. .. những ánh xạ l-cầu co trong X không nhất thiết là ánh xạ l-tập co Lý do để giới thiệu các ánh xạ co, các ánh xạ k-cầu co và các ánh xạ nén (cầu) là đối với lý thuyết điểm bất động đối với các phép lặp, các lập luận là giống nhau cho ánh xạ T : D −→ X định nghĩa theo ngôn ngữ của γ hay là của χ Nhắc lại T : G ⊂ X −→ X được gọi là không giãn ngặt nếu ∥T x − T y∥ < ∥x − y∥ với x, y ∈ G Hệ quả sau của Định... " T là ánh xạ tựa không giãn được đưa ra bởi Tricomi cho những hàm thực và sau này được Diaz và Metcalf [3,4] , Dotson [5] nghiên cứu với các ánh xạ trong không gian Banach Việc lớp ánh xạ này bao gồm lớp ánh xạ không giãn được biết bởi những ví dụ sau [5] Ví dụ 1.1.1 Cho X là đường thẳng thực và ánh xạ T được xác định như sau: T (0) = 0 Tx = x 1 sin ; (x ̸= 0) 2 x 7 Điểm bất động duy nhất của T là... tính nửa compact tại 0 của T Nhận xét 1.2 Joran Lindenstrauss đã xây dựng được một ví dụ về ánh xạ không giãn T biến hình cầu đơn vị B(0, 1) trong không gian Hilbert { } n vào chính nó với F (T ) ̸= ∅ mà dãy T1/2 (x0 ) không hội tụ đến một điểm bất động nào của T Như vậy để dãy lặp {xn } được xây dựng bởi n phương pháp lặp xn = Tλ (x0 ) hội tụ đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T : D −→ D (với... (1.9) của Hệ quả 1.1 không thỏa mãn vì 0 ∈ F (T ) với ∀x ∈ D − F x − 0 = ∥x∥ = ∥T x∥ = T x − 0 Vì thế đây là ví dụ của ánh xạ không giãn, không compact được định nghĩa trên tập D lồi , đóng, bị chặn trong không gian Hilbert, ánh xạ T : D −→ D và dãy lặp từ một điểm bất kì hội tụ đến điểm bất động của T Hơn nữa sự hội tụ này được đảm bảo bởi Định lí 1.1.3 mà không phải bởi Hệ quả 1.1 vì các giả thiết của. .. Tồn tại ánh xạ (ví dụ T=I) với ánh xạ này (2.1) đúng nhưng (2.2) không đúng và có ánh xạ (ví dụ ánh xạ co được đưa ra trong Belluce và Kirk ) thỏa mãn (2.2) nhưng không thỏa mãn (2.1) Hệ quả 1.3 Cho X là một không gian lồi đều, D là tập con lồi đóng, bị chặn của X T là ánh xạ không giãn từ D vào D Giả sử (2.3) Tồn tại số c > 0 sao cho mọi x ∈ D, ∥(I − T )x∥ ≥ cd(x, F (T )) n Cho x0 là điểm tùy ý của D,... chỉ khi C là ánh xạ 0-co tập Mọi ánh xạ Lipschitzian S : G −→ X với hằng số l > 0 là ánh xạ k-co tập với k = l Thì ánh xạ T = S + C : G −→ X cũng là ánh xạ k-co tập với k = l Từ nay về sau, chúng ta còn cần sử dụng khái niệm ánh xạ nén của Sadovsky đối với độ đo không compact cầu (xem định nghĩa dưới đây) và sau đó bởi Furi và Vignoli cho độ đo không compact tập Định nghĩa 1.2.2 Một ánh xạ T liên tục,... compact tại 0 hoặc I − T biến tập đóng của D vào tập đóng của X Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh đến một điểm bất động của T trong D Chứng minh Để chứng minh Định lí 1.2.1 ta cần chứng minh ánh xạ Tλ thỏa mãn các điều kiện (1.1)-(1.5) của Định lí 1.1.2 Vì T : D −→ X là ánh xạ 1- tập co hoặc ánh xạ 1- cầu co và T thỏa mãn điều kiện (2.4) và (2.7), định lí điểm bất động của Petryshyn suy ra F (T ) ̸= ∅ vì thế... ∀x ∈ D (3.2) T tựa không giãn có điều kiện ngặt Khi đó dãy {T n (x0 )} hội tụ đến một điểm bất động của T với x0 ∈ D Chứng minh Để chứng minh Định lí 1.3.1 đủ là phải chứng minh T thỏa mãn các điều kiện của Định lí 1.1.3 Bởi (3.1), định lí điểm bất động của Frum-Ketkov với chứng minh của Nussbaum là F (T ) ̸= ∅ nghĩa là (1.1) của Định lí 1.1.3 đúng và (1.2) cũng đúng vì T tựa không giãn có điều kiện... tổng quát các kết quả của [7,15,6] cho không gian Banach lồi ngặt và các ánh xạ nén (tập) Hệ quả 1.4 Cho X là không gian Banach và D là tập con lồi, đóng, bị chặn của X Giả sử T là ánh xạ nén (tập) hoặc nén (cầu) không giãn từ D vào D Giả sử X lồi ngặt hoặc T không giãn ngặt Với λ ∈ (0, 1), n cho Tλ = λ.I − (1 − λ)T , thì ∀x0 ∈ D, dãy {Tλ (x0 )}n≥0 hội tụ mạnh đến một điểm bất động của T trong D 20 Chứng . lặp tới điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn 1.1. Sự hội tụ mạnh và ánh xạ tựa không giãn Trong phần này nghiên cứu về sự hội tụ của ánh xạ tựa không giãn với giả thiết là tập điểm bất động khác. Sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn 4 1.1. Sự hội tụ mạnh và ánh xạ tựa không giãn . . . . . . . . 4 1.2. Ứng dụng cho ánh xạ không giãn và ánh xạ nén . . . bản trong hướng ánh xạ tựa không giãn của lý thuyết điểm bất động. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các bài báo về ánh xạ tựa không giãn và lý thuyết điểm bất động. Đọc hiểu,