Điểm bất động của ánh xạ lipschitz đều trong không gian mêtric cat(0) và không gian mêtric siêu lồi (LV1233)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2LƯƠNG THỊ THU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT0 VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC SIÊU LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LƯƠNG THỊ THU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(0)

VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC SIÊU LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LƯƠNG THỊ THU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(0)

VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC SIÊU LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN KHIÊM

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Khiêm, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Lương Thị Thu

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khiêm,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất độngcủa ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) vàkhông gian mêtric siêu lồi” được hoàn thành bởi nhận thức của bảnthân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Lương Thị Thu

Mục lục

Lời nói đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Một số khái niệm về hình học của không gian Banach 4

1.1.1 Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach 4

1.1.2 Đường kính và bán kính Chebyshev 6

1.1.3 Cấu trúc chuẩn tắc và cấu trúc chuẩn tắc đều 6

1.1.4 Đặc trưng Lifschitz và hệ số Lifschitz 7

1.2 Ánh xạ không giãn 8

1.3 Ánh xạ Lipschitz đều 9

Chương 2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) và không gian mêtric siêu lồi 13

2.1 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) 13

2.1.1 Không gian mêtric trắc địa 13

2.1.2 Không gian CAT(0) 14

2.1.3 Tính chất hình học của không gian CAT(0) 15

2.1.4 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) 20

2.2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi 21

2.2.1 Không gian mêtric siêu lồi 21

2.2.2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi 23

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Các định lý điểm bất động là một trong những công cụ nghiên cứu sựtồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong phương trình vi phân, phươngtrình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, sự tồn tại điểm cân bằng

và tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu trong lý thuyết tối ưu

Lý thuyết điểm bất động đã ra đời cách đây khoảng một thế kỷ Sự rađời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912 và Nguyên lý ánh

xạ co Banach năm 1922 đã hình thành hai hướng chính của lý thuyếtđiểm bất động là: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sựtồn tại điểm bất động cho các ánh xạ dạng co

Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyếtđiểm bất động dạng co Hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ vàonhững năm 60 của thế kỷ 20 và đã thu được những kết quả quan trọngcho lớp ánh xạ không giãn

Các kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz đềutrong không gian Banach đã được xây dựng khá hoàn chỉnh vào nhữngnăm 70 và 80 của thế kỷ 20 Trong những năm gần đây người ta tìmcách mở rộng các kết quả về tồn tại điểm bất động cho ánh xạ Lipschitzđều trong không gian Banach sang lớp không gian mêtric với cấu trúclồi sinh bởi các hình cầu đóng, hoặc không gian mêtric với cấu trúc lồitrắc địa (xem [4], [7], [8])

Bởi tầm quan trọng của các định lý điểm bất động, cùng với mong

1

muốn tìm hiểu về một số kết quả gần đây về điểm bất động cho lớp ánh

xạ Lipschitz đều chúng tôi đã chọn đề tài "Điểm bất động của ánh xạLipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) và không gianmêtric siêu lồi"

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chínhcủa luận văn gồm hai chương

Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm về hình học củakhông gian Banach, về ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều vàmột số kết quả chính về điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đềutrong không gian Banach

Chương 2 của luận văn gồm hai phần Phần thứ nhất của chương

2 trình bày về lớp không gian CAT(0) cùng với những tính chất hìnhhọc của nó Phần thứ của chương 2 trình bày về không gian mêtric siêulồi và chứng minh Định lý Casini-Maluta về điểm bất động của ánh xạLipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết điểm bất độngcủa ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) và không gianmêtric siêu lồi

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mụcđích nghiên cứu

Áp dụng một số phương pháp Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích lồi, lýthuyết tô pô

4 Đóng góp của đề tài

Trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đềutrong không gian mêtric CAT(0)và không gian mêtric siêu lồi

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm về hình học của không gian

Banach

1.1.1 Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach

Cho X là một không gian Banach với chuẩn k · k

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X được gọi là không gian lồichặt nếu

kx − yk > ε

⇒ x + y

2 < 1 − δ(ε).

Ví dụ 1.1.3 Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều

Thật vậy, giả sử ||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1 và ||x − y|| ≥ ε Từ đẳng thứchình bình hành ta có:

||x + y||2 = 2||x||2 + 2||y||2 − ||x − y||2 ≤ 4 − ε2

4

Định nghĩa 1.1.5 Môđun lồi của không gian Banach X là hàm số

(i) Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi δ(ε) > 0 với mọi

ε ∈ (0, 2]

(ii) Nếu kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε thì x + y

2 ≤ 1 − δX(ε)
.Tương tự, nếu x, y, a ∈ X và R, ε > 0 sao cho kx − ak ≤ R,

ky − ak ≤ R, kx − yk ≥ ε thì x + y

2 − a ≤ R1 − δX ε

R

.(iii) Nếu X là không gian Hilbert thì δX(ε) = 1 −

r

1 − ε

2

4.Định nghĩa 1.1.6 Đặc trưng lồi của không gian Banach X là số ε0(X)xác định bởi

ε0(X) = supε ∈ [0, 2] : δ(ε) = 0

Nhận xét Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi ε0(X) = 0.Mệnh đề 1.1.7 (xem [5]) Môđun lồi δX là hàm liên tục, không giảmtrên khoảng [0, 2) và tăng ngặt trên đoạn [ε0(X), 2]

2 .1.1.2 Đường kính và bán kính Chebyshev

Cho (X, d) là một không gian mêtric, C là một tập con bị chặn khácrỗng của X và điểm a ∈ X Ta kí hiệu:

• d(C) := supd(x, y) : x, y ∈ C là đường kính của tập C;

• ra(C) := supd(x, a) : x ∈ C là bán kính của tập C đối với điểma;

• r(C) = infra(C) : a ∈ C là bán kính Chebyshev của tập C;

• Điểm z ∈ C được gọi là một tâm Chebyshev của C nếu rz(C) =r(C)

1.1.3 Cấu trúc chuẩn tắc và cấu trúc chuẩn tắc đều

Định nghĩa 1.1.8 Tập hợp K trong không gian định chuẩn X đượcgọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập hợp con lồi, đóng, bị chặn

H ⊂ K với đường kính d(H) > 0 đều tồn tại một điểm a ∈ H sao cho

Mệnh đề 1.1.10 (Xem [5]) Nếu không gian Banach X có cấu trúcchuẩn tắc đều thì X là không gian phản xạ

Giữa môđun lồi đều và cấu trúc chuẩn tắc có mối liên hệ sau đây

Mệnh đề 1.1.11 (Xem [5]) Với mọi không gian Banach X ta có bấtđẳng thức

N (X) ≤ 1 − δX(1)

Từ đó, nếu X có đặc trưng lồi ε0(X) < 1 thì X có cấu trúc chuẩn tắcđều Nói riêng, các không gian Banach lồi đều là các không gian có cấutrúc chuẩn tắc đều và phản xạ

1.1.4 Đặc trưng Lifschitz và hệ số Lifschitz

Định nghĩa 1.1.12 Đặc trưng Lifschitz của một không gian mêtric(X, d) được định nghĩa như sau:

κ(X) = sup

n

β > 0 : ∃α > 1 sao cho ∀x, y ∈ X và r > 0, nếu d(x, y) > r

thì ∃z ∈ X sao cho B(x, βr) ∩ B(y, αr) ⊂ B(z, r)o.(Ở đây ký hiệu B(z, r) là hình cầu đóng tâm z bán kính r)

Từ định nghĩa của κ(X) ta luôn có κ(X) ≥ 1, bởi vì với β = 1 ta chỉcần chọn z = x

Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, d) là một không gian mêtric và C là một

tập con khác rỗng của X Một ánh xạ T : C −→ X được gọi là một ánh

xạ không giãn nếu

d(T x, T y) ≤ d(x, y) ∀x, y ∈ C

Lớp ánh xạ không giãn là sự mở rộng tự nhiên của lớp ánh xạ co Tuy

nhiên khác với ánh xạ co, ánh xạ không giãn có thể không có điểm bất

động, hoặc điểm bất động có thể không duy nhất

Ví dụ 1.2.2 Kí hiệu c0 là không gian của các dãy số hội tụ đến 0

với chuẩn sup và B là hình cầu đơn vị đóng trong c0 Với mỗi x =(x1, x2, ) ∈ B ta đặt T x = (1, x1, x2, ) Khi đó T : B −→ B là ánh xạ

không giãn nhưng không có điểm bất động

Thật vậy, giả sử tồn tại x∗ = (x∗1, x∗2, x∗3, ) ∈ B sao cho x∗ = T x∗

Khi đó (x∗1, x∗2, x∗3, ) = (1, x∗1, x∗2, ) nên x∗i = 1 với mọi i Do đó x∗

không thuộc c0 Vậy T không có điểm bất động

Để đảm bảo cho lớp ánh xạ không giãn có điểm bất động ta cần thêm

những điều kiện chặt chẽ hơn về cấu trúc hình học của không gian Năm

1965, ba nhà toán học F Browder, D Gohde, W A Kirk đã tìm ra điều

kiện đảm bảo cho sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ không giãn.Các điều kiện bao gồm: tính compact yếu, tính lồi và cấu trúc chuẩn tắc.Định lí 1.2.3 (Browder-Gohde-Kirk, 1965) Cho C là một tập con lồi,compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach X Khi đómọi ánh xạ không giãn từ C vào C đều có điểm bất động.

1.3 Ánh xạ Lipschitz đều

Sau khi thu được kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạkhông giãn, một cách rất tự nhiên người ta nghiên cứu bài toán đó cholớp ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz lớn hơn 1 Tuy nhiên, S.Kakutani đã xây dựng được một phản ví dụ về một ánh xạ (1 + ε) -Lipschitz từ hình cầu đóng đơn vị của không gian Hilbert vào chính nó

mà không có điểm bất động

Ví dụ 1.3.1 (S Kakutani) Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trongkhông gian Hilbert `2 Với mỗi ε ∈ (0, 1), xét ánh xạ T : B −→ B xácđịnh bởi

Cuối cùng ta kiểm tra rằng T không có điểm bất động trong B.

Giả sử tồn tại x∗ = (x∗1, x∗2, x∗3, ) ∈ B mà T x∗ = x∗ Khi đó ta có

(ε(1 − kx∗k), x∗1, x∗2, ) = (x∗1, x∗2, x∗3, )

Từ đây suy ra x∗i = ε(1 − kx∗k) với mọi i = 1, 2, 3,

- Nếu kx∗k < 1 thì x∗i = const 6= 0 với mọi i = 1, 2, 3, Điều này kéotheo x∗ 6∈ `2

- Nếu kx∗k = 1 thì x∗i = 0 với mọi i Điều này vô lý vì kx∗k = 0 6= 1.Vậy T không có điểm bất động trong B

Từ ví dụ của S Kakutani ta cần phải đặt thêm điều kiện lên các ánh

xạ Lipschitz để đảm bảo cho nó có điểm bất động K Goebel và W A.Kirk đã đề xuất một lớp ánh xạ mới là lớp trung gian giữa lớp ánh xạkhông giãn và lớp ánh xạ Lipschitz, gọi là lớp ánh xạ Lipschitz đều.Định nghĩa 1.3.2 Cho (X, d) là một không gian mêtric, C là tập conkhác rỗng của X Một ánh xạ T : C −→ C được gọi là một ánh xạLipschitz đều (hay k - Lipschitz đều) nếu tồn tại một số k ≥ 1 sao cho

d(Tnx, Tny) ≤ kd(x, y) ∀x, y ∈ C, ∀n ∈ N

Nhận xét Ánh xạ T là ánh xạ k-Lipschitz đều nếu và chỉ nếu tất cảcác ánh xạ Tn (n = 0, 1, 2, ) đều là ánh xạ Lipschitz với cùng một hằng

số Lipschitz k

Rõ ràng mọi ánh xạ không giãn từ C vào C cũng là ánh xạ Lipschitzđều với k = 1

K.Goebel và W A Kirk là những người đầu tiên chứng minh được

sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ Lipschitz đều

Định lí 1.3.3 (Goebel - Kirk [6]) Cho C là một tập con lồi, đóng, bịchặn, khác rỗng của không gian Banach X có đặc trưng lồi ε0(X) < 1.Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ k-Lipschitz đều với k ∈ (1, γ0), trong

đó γ0 là nghiệm duy nhất của phương trình γ(1 − δX(1

γ)) = 1 Khi đó T

có điểm bất động trong C

Năm 1975, E A Lifschitz đã đưa ra một cách tiếp cận mới dựa trênđặc trưng Lifschitz của không gian mêtric để chứng minh sự tồn tại điểmbất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric Kết quả củaLifschitz khi quy về trường hợp không gian Hilbert mạnh hơn hẳn kếtquả trên đây của Goebel và Kirk

Định lí 1.3.4 (Lifschitz [10]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy

đủ, bị chặn và có đặc trưng Lifschitz κ(X) > 1 Khi đó, nếu T : X −→ X

là ánh xạ k-Lipschitz đều với k < κ(X) thì T có điểm bất động trong X

Áp dụng kết quả của Lifschitz cho không gian Banach ta thu được hệquả sau

Hệ quả 1.3.5 Cho C là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn của không gianBanach X với hệ số Lifschitz κ0(X) > 1 Giả sử T : C −→ C là một

Định lí 1.3.6 (Casini-Maluta [3]) Cho X là một không gian Banach

có cấu trúc chuẩn tắc đều N (X) < 1 và C là một tập hợp lồi, đóng, bịchặn trong X Khi đó, nếu T : C −→ C là một ánh xạ k-Lipschitz đềuvới k < pN(X)−1 thì T có điểm bất động trong C

Chương 2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) và không gian mêtric

siêu lồi 2.1 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0)

2.1.1 Không gian mêtric trắc địa

Cho (X, d) là một không gian mêtric và x, y là hai điểm thuộc X,d(x, y) = l Một cung trắc địa nối hai điểm x, y trong X là một ánh xạ

c : [0, l] −→ X sao cho

c(0) = x, c(l) = y và d c(t), c(t0)
= |t − t0| ∀t, t0 ∈ [0, l].Khi đó ảnh của đoạn [0, l] qua ánh xạ c là tập c [0, l]
, được gọi làmột đoạn thẳng trắc địa nối x và y Nếu đoạn thẳng trắc địa đó là duynhất thì nó được kí hiệu là [x, y]

Định nghĩa 2.1.1 Không gian mêtric (X, d) được gọi là một khônggian trắc địa nếu hai điểm bất kỳ thuộc X đều được nối với nhau bằngmột đoạn thẳng trắc địa trong X

Không gian mêtric (X, d) được gọi là một không gian trắc địa duynhất nếu hai điểm bất kỳ thuộc X đều có duy nhất một đoạn thẳng trắcđịa trong X nối chúng

Nhận xét Nếu (X, d) là một không gian mêtric trắc địa duy nhất và

x, y là hai điểm thuộc X thì với bất kì số thực t ∈ [0, 1], tồn tại duy nhất

13

điểm zt ∈ [x, y] sao cho d(zt, x) = (1 − t)d(x, y) và d(zt, y) = td(x, y) Ta

kí hiệu điểm zt như trên là điểm tx ⊕ (1 − t)y

Định nghĩa 2.1.2 Cho (X, d) là một không gian mêtric trắc địa Mộttập con C của X được gọi là một tập lồi trắc địa nếu với hai điểm bất

kì x, y ∈ C thì đoạn thẳng trắc địa nối x với y cũng chứa trong C.Bao lồi trắc địa của một tập con A ⊂ X, kí hiệu là conv(A), là giaocủa tất cả các tập lồi trắc địa trong X chứa A

2.1.2 Không gian CAT(0)

Cho (X, d) là một không gian mêtric trắc địa Một tam giác trắc địatrong X là tam giác có ba đỉnh x1, x2, x3 ∈ X và ba cạnh là ba đoạnthẳng trắc địa nối các đỉnh của tam giác Kí hiệu tam giác trắc địa này

là ∆(x1, x2, x3)

Với mỗi tam giác trắc địa ∆(x1, x2, x3) trong X luôn tồn tại một tamgiác ∆(x1, x2, x3) trong mặt phẳng Euclid R2 sao cho:

dR2(xi, xj) = d(xi, xj) ∀i, j ∈ {1, 2, 3}

Ở đây ta kí hiệu dR2(xi, xj) là khoảng cách Euclid giữa hai điểm xi và

xj trong R2 Tam giác ∆(x1, x2, x3) gọi là tam giác so sánh của tam giác

Định nghĩa 2.1.3 Không gian mêtric trắc địa (X, d) được gọi là mộtkhông gian CAT(0) nếu mọi tam giác trắc địa ∆(x1, x2, x3) trong X đềuthỏa mãn bất đẳng thức sau:

Với mọi u, v ∈ ∆(x1, x2, x3) ta có d(u, v) ≤ dR2(u, v), trong đó u

và v tương ứng là các điểm so sánh của u và v trong tam giác so sánh

2.1.3 Tính chất hình học của không gian CAT(0)

Mệnh đề 2.1.5 Trong không gian CAT(0), mỗi hình cầu đóng là mộttập lồi trắc địa

Chứng minh Giả sử (X, d) là một không gian CAT(0) và B(c, r) là hìnhcầu đóng tâm c bán kính r trong X Với x, y ∈ B(c, r), áp dụng bất