LỜI CẢM ƠN TôixinchânthànhcảmơnBangiámhiệu,Phòngsauđạihọc,Banchủ nhiệmvàthầycôgiáokhoaVậtlýtrườngĐạihọcSưphạmHàNội2đãtạo điềukiệnvàgiúpđỡtôitrongsuốtthờigianhọctậpvàlàmluậnvăn.Đặcbiệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.LưuThị KimThanh đã tậntìnhhướngdẫn,động viên, giúp đỡ tôi trongquátrìnhnghiêncứuvàhoànthiệnluậnvăn. Cuốicùngtôixintỏlongbiếtơntớigiađình,bạnbè,nhữngngườiđã độngviên,giúpđỡtôitrongsuốtthờigianhọctậpvàlàmluậnvăn.Mặcdùđã rấtcốgắngsongbảnluậnvănnàykhôngtránhkhỏinhữnghạnchếvàthiếu sót.Rấtmongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủaquýthầycôvàcácbạn.  Hà nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả   Đoàn Thị Thu Hường  LỜI CAM ĐOAN Tôixincamđoanrằngsốliệuvàkếtquảnghiêncứutrongluậnvănnày trungthựcvàkhôngtrùnglặpvớicácđềtàikhác.Tôicũngxincamđoanrằng mọisựgiúpđỡchoviệcthựchiệnluậnvănnàyđãđượccảmơnvàthongtin tríchdẫntrongluậnvănđãđượcghirõnguồngốc.  Tác giả   Đoàn Thị Thu Hường         1 MỞ ĐẦU Vậtlýlýthuyếtlàmộtchuyênngànhcủavậtlýhọc,đượcpháttriểnmạnh mẽcảvềbềrộngvàbềsâu.Vậtlýlýthuyếtcónộidungvậtlývàphươngpháp toánhọc.Vậtlýlýthuyếtnghiêncứunhữngquyluậttổngquátnhất,phảnánh đượcbảnchấtvậtlýcủacáchiệntượngtựnhiên[1,2,3,4,5]. Vậtlýlýthuyếtcóhainhiệmvụ: a)Diễntảcácquyluậtvậtlýdướidạngcáchệthứcđịnhlượngvàthành lậpmốiliênhệnộitạigiữacácsựkiệnquansátđượctrongthựcnghiệm.Xây dựngnhữngthuyếtbaogồmvàgiảithíchđượcmộtsốphạmvirộngrãinhiều hiệntượngvậtlý. b)Dùngphươngpháptoánhọcđểtìmranhữngquyluậtmớinhữngquy luậttổngquáthơncácquyluậtđóbiết,đoántrướcđượcnhữngmốiliênhệ giữacáchiệntượngvậtlýmàthựcnghiệmchưaquansátđược. Thuyết lượng tử, là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý lý thuyếthọc,trongđócơhọclượngtửđólàmthayđổicơbảnquanniệmvềthế giớivimô,làphầnmởrộngvàbổsungcủacơhọcNewton(cũngọilàcơhọc cổđiển).Nócònlàcơsởcủarấtnhiềucácchuyênngànhkháccủavậtlývà hoáhọcnhưvậtlýchấtrắn,hóalượngtử,vậtlýhạt Trongcơhọclượngtử, mỗi đại lượng vật lý đềuđượcđặc trưng bởi mộttoán tử. Ví dụ như: năng lượng,độnglượng,tọađộ,mômengóc,…đềusẽcómộttoántửtươngứng. Mặtkhác,cơhọclượngtửđượcxâydựngbằngmộthệcáctiênđề,bằngmột loạtcáccôngcụtoán,trongsốđótoántửgiữmộtvịtríquantrọng[6,7,8,9]. Việc hiểu rõ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người nghiêncứuvậtlýhiệnđại. Ngàynay,líthuyếttrườnglượngtửlàcơsởđểgiảithíchbảnchấtcủa cáchạtvimôvềcấutrúcvàcáctínhchấtcủanó.Líthuyếttrườnglượngtửđó mởraconđườngđểnhậnbiếtcácquátrìnhvậtlýxảyratrongthếgiớihạtvi 2 mô,líthuyếttrườnglượngtửđóngvaitròquantrọngtrongnhiềulĩnhvựccủa vậtlý.Đặcbiệttrongviệcnghiêncứuhệnhiềuhạtvàxâydựngcácđịnhluật phânbốthốngkêlượngtử.Cácphươngphápnàybổsungchonhauđểlàmrõ đượcbảnchấtvậtlýcủacácquátrìnhvậtlýtronghệnhiềuhạt. Cáctínhtoánlíthuyếtđượcxâydựngđốivớimôhìnhlýtưởng,dođó vẫncónhữngsaikhácgiữakếtquảlíthuyếtvàthựcnghiệmthuđược.Khiđó ngườitathườngdùngcácphươngphápgầnđúngđểgiảiquyết.Nhómlượngtử màcấutrúcnólàđạisốbiếndạngphùhợpvớinhiềumôhìnhcủavậtlý,là mộtphươngphápgầnđúngcủalíthuyếttrườnglượngtử. Nhómlượngtửvàđạisốbiếndạngđượckhảosátthuậnlợitronghình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc nghiêncứunhómlượngtửvàđạisốbiếndạngđượckíchthíchthêmbởisự quantâmngàycàngnhiềuđếncáchạttuântheocácthốngkêkhácvớithống kêBose-EinsteinvàthốngkêFermi-DiracnhưthốngkêparaBose,para- Fermi,thốngkêvôhạn,cácthốngkêbiếndạng ,vớitưcáchlàcácthốngkê mởrộng[10,11,12,13,14].Chođếnnaycáchmởrộngđángchúýnhấtlà trongkhuônkhổcủađạisốbiếndạng.Vớinhữnglýdotrêntôiđãchọnđềtài “Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy boson biến dạng”. Mụcđíchcủađềtàilàtìmhiểucáctoántửtrongvậtlý,mộtcôngcụhữu hiệudựngtrongnghiêncứucáchệhạtvimô.Xâydựngbiểudiễnmatrậncủa cáctoántửbosonbiếndạngq,thỏamãncáchệthứcgiaohoántươngứngvà xâydựngcácthốngkêlượngtửbiếndạngbằngphươngpháplíthuyếttrường lượngtử. 3 NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CÁC PHÉP TÍNH TOÁN TỬ  Trongchươngnày,chúngtasẽgiớithiệuvắntắtsựmôtảcáctrạngthái củacơhọclượngtửbởiDiracvàlíthuyếtbiểudiễn. Trướchết,trạngtháicủahệlượngtửlàgì?Chúngtathừanhậnrằngnếu biếttrạngtháicủahệchúngtasẽbiếtcácthôngtinvềhệ.Mộthệlượngtửở mộttrạngtháixácđịnh nàođókhimọiđiềutamuốnbiếtvềnóđềucó thể đượcbiết,ngoạitrừsựviphạmcácquiluậtcủacơhọclượngtử. Cáctrạngtháicủahệlượngtửcóthểmôtảbởicáchàmsóngψ.Sựmô tảtrạngtháilượngtửkhácnhiềucáctrạngtháitrongcơhọccổđiển.Vídụ,đối vớicáctrạngtháilượngtửtakhôngthểđồngthờixácđịnhchínhxáccảtọađộ vàxunglượngcủahệdonguyênlíbấtđịnhHeisenberg.Hơnnữa,tachỉcóthể tiênđoánxácsuấtcủacácsưkiệntươnglaimàthôi.Sựkhácbiệtthứhaicủa cáctrạngtháilượngtửlàởchỗcáchàmsóngmôtảchúngtuântheonguyênlí chồngchấttrạngthái. Cáctrạngtháilượngtửcóthểmôtảbởicácvectơtrạngthái|ψ>(tương ứng với hàm sóng (r,t)   ) trong không gian vectơ. Không gian này gọi là khônggianHilbertvớicácvectơcơsởkíhiệubởi|u j >gọilàcáctrạngtháicở sởhaycácketcơsở{|u j >}. 1.1. Không gian vectơ E - không gian vectơ Euclide 1.1.1. Không gian vectơ E Định nghĩa:KhônggianvectơElàmộttậphợpcácphầntử(x,y,z…) vớiphépcộnghaiphầntửx,ybấtkìvàphépnhânmộtphầntửxbấtkìvới mộtsốthựcλthỏamãncáctínhchấtsauđây: 4 Phép cộng:∀x,y∈Eđãđịnhnghĩaz=x+y∈Ethỏamãncácđiềukiện:  1.Giáohoán:  x+y=y+x  2.Kếthợp:  (x+y)+k=x+(y+k)  3.Tồntạiphầntửkhông(0)saocho:x+0=0+x∀x∈E  4.Vớimỗiphầntửx,tồntạiphầntửđốixứng(-x)saocho      x+(-x)=(-x)+x=0  Phép nhân:∀x∈E,∀λ∈R(R-tậphợpcácsốthực)đãđịnhnghĩaz= λx∈Ethỏamãncácđiềukiệnsau:  5.Kếthợp:λ 1 (λ 2 x)=λ 1 λ 2 x  6.Phânbốđốivớiphépcộngvecto:λ(x+y)=λx+λy  7.Phânbốđốivớiphépcộngsốλ:(λ 1 +λ 2 )x=λ 1 x+λ 2 x  8.Tồntạiλ=1thỏamãnλx=1.x=x  Mỗiphầntửx,y,z,…củatậphợpEgọilàmộtvectơ.KhônggianE địnhnghĩavớiλ∈Rgọilàkhônggianthực,vớiλlàsốphức(λ∈C,Clàtập hợpsốphức)Egọilàkhônggianphức.  Cácvectơx 1 ,x 2 ,…,x n ∈Elàphụthuộctuyếntính,tồntạicácsốthực λ 1 ,λ 2, …,λ n khôngbằngkhôngtấtcảsaocho:      λ 1 x 1 +λ 2 x 2 +…+λ n x n =0  Nếu 1 2 n 0       thìcácvecto 1 2 n x ,x , ,x làđộclậptuyếntính.  Sốcựcđạivectơđộclậptuyếntínhcủamộtkhônggiangọilàsốchiều củakhônggianđó.Trongkhônggiantuyếntínhnchiều,ngườitacóthểchọn nvectơbấtkìđộclậptuyếntính 1 2 n i (x ,x , ,x ) (x ,i 1,2, ,n)  làmcơsở.Khi đómộtvectơbấtkìz∈Ecóthểkhaitriểnduynhấtdướidạngtổhợptuyến tínhcủacácvectơcơsở: n i i i 1 z a x E           (1.1) 5 hệsốa i làthực(nếuElàkhônggianvectơ)hoặcphức(nếuElàkhônggian phức). Thôngthườngngườitakíhiệucácvectơcơsởlà{e i } 1 1 2 2 n n (e x ,e x , ,e x )   vàcáctọađộcủavectơzlà 1 2 n z ,z , ,z nghĩalàta có:      n i i i 1 z z e        (1.2)  Saukhiđãchọncơsở{e i }thìcáctọađộz i củamộtvectơznàođó(z∈ E)làxácđịnh.Cóthểbiểudiễnvectơzbằngmộtmatrậncộtcónphầntửlàn tọađộz i : 1 2 n z z z . Z . z                       (1.3)  Matrậncộtkíhiệulàzphụthuộcvàoviệcchọncơsở.Cùngmộtvectơ ztronghaicơsởkhácnhausẽcótọađộkhácnhauvàbiểudiễnbởihaimatrận cộtkhácnhau. 1.1.2. Không gian vectơ Euclide  TrongkhônggianvectơthựcEđãcho,tíchvôhướngcủahaivectơx,y ∈E,kíhiệulà(x,y)làmộtsốthựcsaocho:  1.(x,y)=(y,x)   ∀x,y∈E(giaohoán)  2.(x,λy)=λ(x,y)  ∀x,y∈E,λ∈R(kếthợp)  3.(x+y,z)=(x,z)+(y,z) ∀x,y,z∈E(phânphối) khiđóEgọilàkhônggianvectơvớitíchvôhướng.  Nếuthỏamãnthêmđiềukiệnxácđịnhdương:  4.(x,x)≥0,∀x∈Evà(x,x)=0khivàchỉkhix=0thìEgọilàkhông gianEuclidethực. 6  TrongkhônggianEuclideđộdài(hay môđun)củavectơxđượcđịnh nghĩa: x (x,x)        (1.4)  Gócθgiữahaivectơxvàybấtkìđượcđịnhnghĩanhưsau: (x, y) cos x y        (1.5)  Haivectơtrựcgiaovớinhaunếutíchvôhướngbằngkhông:      (x,y)=0  Từđịnhnghĩacủacơsở{e i }suyratrongkhônggianEuclidecácvectơ cơsởe 1 ,e 2 ,…,e n trựcgiaonhau      (e i ,e j )=0  nếui#j vàcóđộdàibằngđơnvị(chuẩnhóa):(e i ,e j )=1  Tínhchấttrựcchuẩncủahệcơsởnhưvậycóthểviếtlạinhưsau: i j ij (e ,e )          (1.6)  ĐốivớikhônggianphứcZ,tíchvôhướngcủahaivectơbấtkìx,y∈Z kíhiệulà(x,y)vàthỏamãnnhữngđiềukiệnsau:  1.(x,y)=(y,x)   ∀x,y∈Z  2.(x,λy)=λ(x,y)  ∀x,y∈Z,λ∈C(tậphợpsốphức)  3.(x+y,z)=(x,z)+(y,z) ∀x,y,z∈Z  Nếukhônggianphứcvớitíchvôhướngcònthỏamãnthêmđiềukiện:  4.(x,x)≥0    ∀x∈Zvà(x,x)=0khivàchỉkhix=0 thìkhônggianZgọilàkhônggianEuclidephứchaykhônggianUnita.   TrongkhônggianUnitacáctọađộx i củavectox; 1 2 n x (x ,x , ,x ) nói chunglàcácsốphức.Tíchvôhướngcủahaivectơx,ycódạng: 1 1 2 2 n n (x, y) x y x y x y        (1.7) 7  Cáckháiniệmđộdàicủamộtvectơ,tínhtrựcgiaocủahaivectơtrong khônggianUnitavẫngiữnhưtrongkhônggianEuclidethực.  TrongkhônggianphứcnchiềuZ,saukhiđãchọncơsởthìcáctọađộ củamỗivectơđượcxácđịnh.Biểudiễnmỗivectơbằngmộtmatrậncột 1 1 2 2 n n x y x y x . X y . Y x,y Z . . x y                                       tíchvôhướngcủahaivectơ(1.7)cóthểbiểudiễndướidạngtíchcủamộtma trậnhàngnhânvớimộtmatrậncột 1 2 * * * * 1 2 n n y y (x,y) (x x x ) . X Y . y                       (1.8) 1.2. Không gian Hilbert 1.2.1. Định nghĩa  KhônggianHilbertHlàmộtkhônggianUnitađầyđủ,cónghĩalàmọi tổhợptuyếntínhcủacácvectotrongkhônggiancũnglàvectơcủakhônggian đó.Tínhchấtnàysuyratừđịnhnghĩacủakhônggianvectơ.Nếukhônggian cósốchiềuvôhạnthìtínhchấtđầyđủcónghĩalàmọichuỗicủacácvectơhội tụvềmộtvectơcủakhônggianđó.  KhônggianHilbertlàtáchđượcnếunóchứamộttậphợptrùmậtđếm đượccủacácvectơ.Tậphợptrùmậtlàtậphợpmàtrongđómỗivectơcóthể làgiớihạncủamộtchuỗivectơcủatậphợp(vídụcácsốhữutỷhợpthànhmột tậphợptrùmậttrongtậphợptrùmậttrongtậphợpcácsốthực). 8  KhônggianHilbertlàtáchđược,nếungườitatìmđượcítnhấtmộtcơ sởđếmđượccủakhônggianđó.  Thí dụ:Tậphợpcácđơnthức 2 k 1,x,x , ,x , (vớiklàsốnguyên)làmột cơsởđếmđượccủakhônggiancácđathứccóbậcbấtkì.Tậphợpcácsóng phẳnge ikx (vớiklàsốsóng,cóthểcócácgiátrịliêntục)khôngphảilàmộtcơ sởđếmđược.  Đối với cơ sở đếm được   i 1 2 n e ,i 1,2, ,n :e ,e , ,e  thì một vecto z đượckhaitriểnnhưsau: k k k 1 z z e            (1.9) klàchỉsốnguyên.  Đốivớicơsởkhôngđếmđượcthì: z z e d           (1.10)  làthôngsốbiếnđổiliêntục. 1.2.2. Một số tính chất của không gian Hilbert vô hạn chiều  Không gian Hilbert vô hạn chiều có một số tính chất khác lạ so với khônggianhữuhạnchiều.  a.KhônggianHilberttáchđượccóítnhấtmộtcơsởđếmđược,ngoàira cóthểcócơsởkhôngđếmđược.Nhưvậy,mộtvectocủakhônggianvừacó thểkhaitriểntrongmộtcơsởkhôngđếmđược.  b.MộtvectơcủakhônggianHilbertcóthểkhaitriểntrongmộtcơsở gồmcácvectơnằmngoàikhônggianđó.  c.Thànhphầnthứi(φ i )củavectơφtrongkhônggiancóN(hữuhạn) chiềubằnghìnhchiếucủavectơφlênvectơcơsởthứi(e i ).      i i (e , )     MuốnxácđịnhđượcvectơφtacầnbiếttấtNhìnhchiếucủanólêncác vectơcơsở. [...]... rằng phép biến đổi cơ sở trực chuẩn đó được thực hiện bởi các tốn tử Unita và  các vectơ trạng thái của hệ lượng tử đang xét cũng như các tốn tử biểu diễn các đại lượng vật lí đo được cũng sẽ thay đổi dạng.  Tuy nhiên khi thay cơ sở,  có những tính chất của hệ phản ánh bản chất nội tại nào đó của hệ khơng thay  đổi. Các lượng khơng biến đổi khi thay đổi cơ sở gọi là các bất biến.  Ta sẽ lần  lượt xét các vấn đề trên. ...                                           (1.33)    Tốn  tử A   tác  dụng  trong  khơng  gian  Z   có  cơ  sở  trực  chuẩn   en   được biểu diễn bởi một ma trận A có các phần tử là:                                        Aij  ei A e j                                                        (1.34)   Ma trận biểu diễn tốn tử A  liên hợp với  A  sẽ được biểu diễn bởi ma  * * trận có các phần tử là:   A    ei A e j  e... nhau để nghiên cứu. Cơ sở là các hàm riêng (hay vectơ riêng) trực chuẩn của các tốn tử động lực ecmite. Tập hợp các hệ số Fourier của hàm sóng sẽ  xác  định hàm sóng đó trong cơ sở đó, cũng như ma trận của tốn tử khác nhau sẽ  xác định hồn tồn các tốn tử đó trong cơ sở đang xét. Tương ứng ta nói có  hàm  sóng  và  tốn  tử trong  biểu diễn tọa  độ  hay  xung  lượng  khi  cơ  sở  được  chọn là các hàm riêng của tốn tử tọa tử tọa độ hay xung lượng. Tất nhiên, tất ...                                  (1.62)  1.6.2 Các bất biến              Khi  biến đổi  cơ  sở,  các trị  riêng  và  vết  của các tốn  tử là  bất  biến.   Thực vậy, theo định nghĩa vết một tốn tử của một ma trận A là lượng:                                                 TrA   e n A e n                            (1.63)  n   Tức là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A.               Xét sự biến đổi cơ sở, từ cơ sở ...   ij * Cuối  cùng  ta  có   A    A* ji   A T    Như  vậy  ma trận A    biểu diễn ij ij  tốn  tử A    biểu diễn tốn  tử A   thì  bằng  ma trận A  (biểu diễn tốn  tử A )  chuyển vị và lấy liên hợp phức.  15 1.4.2 Tốn tử ecmite  Định nghĩa tốn tử ecmite: Tốn tử A  gọi là ecmite nếu  A  A , trong   đó  A  là tốn tử liên hợp ecmite với  A  và được xác định bởi hệ thức  tương tự (1.42)... chọn là các hàm riêng của tốn tử tọa tử tọa độ hay xung lượng. Tất nhiên, tất  cả các biểu diễn đều tương đương nhau. Việc chọn biểu diễn này hay biểu diễn khác chỉ do tính thuận lợi của những bài tốn vật lý cụ thể.  13 1.4 Tốn tử 1.4.1 Ma trận của tốn tử liên hợp Ta  biết  rằng  tác  dụng  của tốn  tử A lên  vectơ  trạng  thái     dẫn  đến  trạng thái mới mơ tả bởi vectơ trạng thái    Định nghĩa này được viết dưới  dạng phương trình:                                                    ...  là yếu tố ma trận của tốn tử biến đổi cơ sở.     22            So sánh hai vế của biểu thức ta tìm được mối liên hệ giữa các hàm sóng  mơ tả cùng một trạng thái trong các biểu diễn khác nhau:  c k   Skn c 'n                                         (1.59)                                       n hay dưới dạng ma trận:     C  SC'                                              (1.60)             Nhân hai vế của (1.60) với ...               Trong  cơ  sở   u n  ,  tốn  tử A   được  biểu diễn bởi  ma trận A  có  các phần tử là:  A nm  u n A u m                                            Bây giờ phương trình trị riêng của A  (1.39) có thể biểu diễn dưới dạng ma trận                                                             A X  X              Phương  trình  ma trận (1.50)  có  thể  viết  thành  hệ  n  phương ... Kết quả này chứng tỏ các trị riêng của tốn tử A  là khơng đổi: a=a’     24 1.7 Giao hốn tử của các tốn tử - Hệ thức bất định Giả sử  U   là vectơ riêng của tốn tử A  tương ứng với các trị riêng   :                                              A U    U    Trạng thái  U   cũng là vectơ riêng của tốn tử B nếu:                                              B U    U    trong đó    là trị riêng của B  ... Vì trạng thái bất kì có thể được khai triển theo hệ vectơ riêng của các tốn tử A và B U   Như vậy, muốn đo đồng thời các đại lượng vật lí   và   ở trạng  thái   thì trạng thái của hệ   phải trùng với vectơ riêng  U  của tốn tử A và B  Ta dễ dàng chứng minh được điều kiện cần và đủ để hai đại lượng  vật lí  ,   có thể đo  được  một  cách  chính xác, đồng thời  là các tốn  tử biểu diễn chúng giao hốn với nhau.  +) Giao hốn tử và hệ thức . ma trận A   biểu diễn toán tử A  biểu diễn toán tử  A  thìbằng ma trận A (biểu diễn toán tử  A ) chuyểnvịvàlấyliênhợpphức. 15 1.4.2. Toán tử ecmite Địnhnghĩa toán tử ecmite: Toán tử  A gọilàecmitenếu . ,vớitưcáchlà các thốngkê mởrộng[10,11,12,13,14].Chođếnnaycáchmởrộngđángchúýnhấtlà trongkhuônkhổ của đạisố biến dạng. Vớinhữnglýdotrêntôiđãchọnđềtài Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy boson biến dạng . Mụcđích của đềtàilàtìmhiểu các toán tử trongvậtlý,mộtcôngcụhữu hiệudựngtrongnghiêncứu các hệhạtvimô.Xâydựng biểu diễn ma trận của các toán tử boson biến dạng q,thỏamãn các hệthứcgiaohoántươngứngvà xâydựng các thốngkêlượng tử biến dạng bằngphươngpháplíthuyếttrường lượng tử.  . khác nhauđểnghiêncứu.Cơsởlà các hàmriêng(hayvectơriêng)trựcchuẩn của các toán tử độnglựcecmite.Tậphợp các hệsốFourier của hàmsóngsẽxác địnhhàmsóngđótrongcơsởđó,cũngnhư ma trận của toán tử khácnhausẽ xácđịnhhoàntoàn các toán tử đótrongcơsởđangxét.Tươngứngtanóicó hàmsóngvà toán tử trong biểu diễn tọađộhayxunglượngkhicơsởđược chọnlà các hàmriêng của toán tử tọa tử tọađộhayxunglượng.Tấtnhiên,tất cả các biểu diễn đềutươngđươngnhau.Việcchọn biểu diễn nàyhay biểu diễn khácchỉdotínhthuậnlợi của nhữngbài toán vậtlýcụthể. 13 1.4. Toán tử 1.4.1. Ma trận của toán tử liên hợp Tabiết rằngtácdụng của toán tử  A lênvectơtrạngthái  