Mục lục Lời cảm ơn 3 Lời nói đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Phát biểu bài toán biên ban đầu đối với hệ Navier-Stokes . . . . . 6 1.2 Các không gian hàm và các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Các không gian hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Một số kết quả về hệ phương trình Navier-Stokes . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Tính ổn định của nghiệm dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.4 Đánh giá số chiều của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . 18 2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes và ứng dụng 24 2.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Đa tạp quán tính xấp xỉ H m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Đa tạp quán tính xấp xỉ M 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Phương trình của đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Các đánh giá về khoảng cách của quỹ đạo tới M 0 . . . . . 30 2.3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 MỤC LỤC Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 2 Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS. TS. Cung Thế Anh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô đang công tác tại Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong thời gian chúng tôi học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn. Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014 Học viên Phạm Mạnh Hùng 3 Lời nói đầu Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, dưới những điều kiện tương đối tổng quát. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén là hệ phương trình Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:    ∂u ∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f(x, t) x ∈ Ω, t > 0, ∇.u = 0 x ∈ Ω, t > 0, (1) ở đó, u = u(x, t); p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, hằng số ν > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực. Khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian dần ra vô cùng là một trong các nội dung quan trọng cần được nghiên cứu vì nó cho phép dự đoán xu hướng phát triển của hệ trong tương lai, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt được mục đích mong muốn. Dáng điệu tiệm cận nghiệm thường được nghiên cứu bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút hoặc trong tình huống đơn giản hơn là nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng (xem [10]). Tuy nhiên, tập hút toàn cục thường có cấu trúc hình học rất phức tạp và không ổn định đối với nhiễu; vì vậy nó không thật phù hợp cho các vấn đề xấp xỉ số dáng điệu của nghiệm khi thời gian lớn. Bên cạnh đó, lí thuyết đa tạp quán tính (là một đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều, bất biến và hút mũ các quỹ đạo) cũng là công cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem[1, 3]). Đa tạp quán tính, nếu tồn tại, sẽ chứa tập hút toàn cục và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét; nói riêng là có thể qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ rút gọn trên đa tạp quán tính, là hệ hữu hạn chiều. Tuy nhiên, các phương 4 Lời nói đầu pháp kiến thiết đa tạp quán tính đã biết đều yêu cầu điều kiện kẽ hở phổ đủ lớn, tức là khoảng cách giữa hai giá trị riêng liên tiếp phải đủ lớn. Mặc dù chỉ là điều kiện đủ, nhưng đây là điều kiện rất ngặt và nhiều phương trình quan trọng trong vật lí toán không thỏa mãn. Cho đến nay, sự tồn tại đa tạp quán tính đối với hệ phương trình Navier- Stokes hai chiều vẫn là câu hỏi mở. Tuy nhiên, dựa trên lí thuyết đa tạp quán tính, Foias-Manley-Temam đã xây dựng đa tạp quán tính xấp xỉ M 0 cho hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều. Đa tạp quán tính này xấp xỉ tập hút toàn cục tốt hơn so với sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ thông thường H m (là đa tạp tuyến tính), nhận được bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin cổ điển. Luận văn này trình bày các kết quả về sự tồn tại đa tạp quán tính xấp xỉ M 0 đối với hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều và ứng dụng trong vấn đề xấp xỉ nghiệm. Nội dung chính của luận văn dựa trên các bài báo [2, 11] trong Danh mục tài liệu tham khảo. Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và tập hút toàn cục đối với hệ phương trình Navier-Stokes. Ta biết rằng sự tồn tại tập hút toàn cục với số chiều fractal hữu hạn là điều kiện cần để tồn tại đa tạp quán tính. Chương 2: Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier- Stokes và ứng dụng. Trong chương này, trước hết dựa trên phương pháp Galerkin cổ điển, chúng tôi trình bày dáng điệu của các dòng xoáy nhỏ của hệ phương trình Navier- Stokes bằng cách sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ H m . Tiếp theo, chúng tôi trình bày đa tạp quán tính xấp xỉ M 0 và đưa ra ước lượng về khoảng cách của quỹ đạo đến đa tạp này. Cuối cùng chúng tôi trình bày một ví dụ minh họa cho tính ưu việt của đa tạp M 0 so với đa tạp H m . 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả cổ điển về sự tồn tại duy nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều trong miền bị chặn. Các kết quả trong chương này dựa theo [9, 10]. 1.1 Phát biểu bài toán biên ban đầu đối với hệ Navier-Stokes Giả sử Ω là miền bị chặn trong R 2 với biên ∂Ω trơn. Xét bài toán biên ban đầu đối với hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều:              ∂u ∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f, x ∈ Ω, t > 0, ∇ · u = 0 x ∈ Ω, t > 0, u(x, t) = 0 x ∈ ∂Ω, t > 0, u(x, 0) = u 0 (x) x ∈ Ω, (1.1) trong đó u = (u 1 , u 2 ) T là hàm vectơ vận tốc, p : Ω → R là hàm áp suất, hằng số ν > 0 là hệ số nhớt. 1.2 Các không gian hàm và các toán tử Trong mục này ta giới thiệu các không gian hàm và các toán tử thường dùng khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes. 1.2.1 Các không gian hàm. Kí hiệu: V = {u ∈ (C ∞ 0 (Ω)) 2 : ∇ · u = 0}. 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Để nghiên cứu bài toán (1.1), ta xét các không gian hàm sau: V = V (H 1 0 (Ω)) 2 = {u ∈ (H 1 0 (Ω)) 2 : ∇ · u = 0} là bao đóng của V trong (H 1 0 (Ω)) 2 , H = V (L 2 (Ω)) 2 là bao đóng của V trong (L 2 (Ω)) 2 . Khi đó H và V là các không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là: (u, v) = (u, v) H =  Ω u · vdx =  Ω 2  i=1 u i v i dx, ((u, v)) = (u, v) V =  Ω 2  i=1 ∇u i · ∇v i dx =  Ω 2  i,j=1 ∂u i ∂x j ∂v i ∂x j dx, trong đó u = (u 1 , u 2 ) T , v = (v 1 , v 2 ) T . Gọi H ⊥ là phần bù trực giao của H trong (L 2 (Ω)) 2 . Từ kết quả trong Temam [8], ta có H ⊥ = {u ∈ (L 2 (Ω)) 2 : u = gradp, p ∈ H 1 (Ω)}. Gọi V  là không gian đối ngẫu của V . Ta kí hiệu |.|, . lần lượt là chuẩn trong H và trong V , . ∗ là chuẩn trong V  . 1.2.2 Các toán tử ∗ Toán tử A: Giả sử A : V → V  là toán tử xác định bởi Au, v = ((u, v)), ∀u, v ∈ V. Kí hiệu D(A) là miền xác định của A, ta có: D(A) = {u ∈ H : Au ∈ H} = (H 2 (Ω)) 2 ∩ V. Dễ thấy A là toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịch đảo A −1 : H → D(A) compact vì phép nhúng H 1 0 (Ω) → L 2 (Ω) là compact. Do đó, phổ của A gồm toàn giá trị riêng {λ i } ∞ i=1 với 0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ n ≤ , λ n → +∞ khi n → +∞, và các hàm riêng tương ứng {w j } ∞ j=1 ⊂ D(A) lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H. Ta có: |φ| L ∞ (Ω) 2 ≤ c 2 φ  1 + log |Aφ| 2 λφ 2  1 2 , ∀φ ∈ D(A). (1.2) 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ∗ Toán tử B: Đặt b(u, v, w) = 2  i,j=1  Ω u i ∂v j ∂x i w j dx. Khi đó, b(., ., .) là một dạng 3-tuyến tính liên tục trên (H 1 0 (Ω)) 2 , hay nói riêng trên V . Chứng minh. |b(u, v, w)| =     Ω 2  i,j=1 u i ∂v j ∂x i w j dx    ≤ 2  i,j=1   Ω |u i | 4 dx  1 4   Ω    ∂v j ∂x i    | 2 dx  1 2   Ω |w j | 4 dx  1 4 ≤ Cu L 4 v H 1 0 w L 4 ≤ Cu H 1 0 v H 1 0 w H 1 0 , ở đó ta đã sử dụng phép nhúng H 1 (Ω) → L 4 (Ω). Ngoài ra, ta có b(u, v, w) = −b(u, w, v) ∀u, v, w ∈ V. Nói riêng b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ V. Bổ đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Laydyzhenskaya khi n = 2). Với bất kì tập mở Ω ⊂ R 2 , ta có: ν L 4 (Ω) ≤ 2 1 4 ν 1 2 L 2 (Ω) ∇ν 1 2 L 2 (Ω) , ∀ν ∈ H 1 0 (Ω). (1.3) Chứng minh. Vì C ∞ 0 (Ω) trù mật trong H 1 0 (Ω) nên ta chỉ cần chứng minh (1.3) đúng với mọi ν ∈ C ∞ 0 (Ω). Với ν ∈ C ∞ 0 (Ω), ta có ν 2 (x) = 2 x 1  −∞ ν(ξ 1 , x 2 ) ∂ν ∂x 1 (ξ 2 , x 2 )dξ 1 . Suy ra ν 2 (x) ≤ 2ν 1 (x 2 ), ở đây ν 1 (x 2 ) = +∞  −∞ |ν(ξ 1 , x 2 )|    ∂ν ∂x 1 (ξ 1 , x 2 )    dξ 1 . Tương tự, ta cũng có ν 2 (x) ≤ 2ν 2 (x 1 ), với ν 2 (x 1 ) = +∞  −∞ |ν(x 1 , ξ 2 )|    ∂ν ∂x 1 (x 1 , ξ 2 )    dξ 2 . 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Từ đó suy ra  R 2 ν 4 (x)dx =  R 2 ν 1 (x 2 )ν 2 (x1)dx ≤ 4  +∞  −∞ ν 1 (x 2 )dx 2  +∞  −∞ ν 2 (x 1 )dx 1  ≤ 4ν 2 L 2 (R 2 )    ∂ν ∂x 1    2 L 2 (R 2 )    ∂ν ∂x 2    2 L 2 (R 2 ) ≤ 2ν 2 L 2 (R 2 ) · ∇ν 2 L 2 (R 2 ) . Từ đây suy ra điều phải chứng minh. Bổ đề 1.2.2. Ta có |b(u, v, w)| ≤ 2 1 2 |u| 1 2 u 1 2 v|w| 1 2 w 1 2 , ∀u, v, w ∈ V. Chứng minh. Ta có |b(u, v, w)| = 2  i,j=1  Ω    u i ∂v j ∂x i w j dx    ≤  2  i,j=1    ∂v j ∂x i |    2 L 2 dx  1 2  2  i=1 u i  2 L 4 dx  1 2  2  j=1 w j  2 L 4 dx  1 4 . Mà 2  i=1 u i  2 L 4 ≤ 2 1 2 2  i=1 u i  L 2 · ∇u i  L 2 ≤ 2 1 2 u · |u|, nên suy ra |b(u, v, w)| ≤ 2 1 2 |u| 1 2 u 1 2 v|w| 1 2 w 1 2 , ∀u, v, w ∈ V. Chú ý. Vì b(u, v, w) = −b(u, w, v) nên |b(u, v, w)| ≤ 2 1 2 |u| 1 2 u 1 2 w|v| 1 2 v 1 2 , ∀u, v, w ∈ V. Nói riêng |b(u, u, v)| ≤ 2 1 2 .|u| · u · v, ∀u, v ∈ V. (1.4) Xét toán tử B : V × V → V  xác định bởi B(u, v), w = b(u, v, w), ∀u, v, w ∈ V, và đặt Bu = B(u, u). Ta có: |(B(u, v), w)| ≤ c 2 |u| 1 2 u 1 2 v|w| 1 2 w 1 2 , (1.5) 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị |B(u, v)| ≤ c 3        uv  1 + log |Au| 2 λ 1 u 2  1 2 , uAu  1 + log |A 3 2 v| 2 λ 1 Av 2  1 2 , (1.6) B(u, v) ≤ c 4  |u| 1 2 u 1 2 v 1 2 |Av|, u| 1 2 |Au| 1 2 v. (1.7) Khi đó, bài toán (1.1) có thể phát biểu dưới một trong hai dạng sau đây: Bài toán 1. Cho trước u 0 ∈ H và f ∈ L 2 (0, T ; V  ). Tìm hàm u ∈ L 2 (0, T ; V ) thỏa mãn    d dt (u, v) + ν((u, v)) + b(u, u, v) = f, v, với mọi v ∈ V và hầu khắp t ∈ (0, T ), u(0) = u 0 . Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta xét bổ đề sau. Bổ đề 1.2.3. Giả sử u ∈ L 2 (0, T ; V ). Khi đó hàm Bu xác định bởi Bu(t), v = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ V, sẽ thuộc L 1 (0, T ; V  ). Chứng minh. Với hầu khắp t ∈ [0, T ], ta có Bu(t) ∈ V  và |Bu(t), v| = |b(u(t), u(t), v)| ≤ Cu(t) 2 · v, ∀v ∈ V. Suy ra Bw V  ≤ Cw 2 , ∀w ∈ V . Do đó T  0 Bw(t) V  dt ≤ C T  0 w(t) 2 V dt < +∞. Vậy Bu ∈ L 1 (0, T ; V  ). Bài toán 2. Cho trước u 0 ∈ H và f ∈ L 2 (0, T ; V  ). Tìm hàm u ∈ L 2 (0, T ; V ) thỏa mãn: u  ∈ L 1 (0, T ; V  ), u  + νAu + Bu = f trong V  với hầu khắp t ∈ (0, T ), (1.8) u(0) = u 0 . (1.9) Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương với nhau theo nghĩa nếu u là nghiệm của bài toán này thì nó cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại. 10 [...]... khác ta có thể xấp xỉ nghiệm u(t) bởi các nghiệm trên đa tạp quán tính xấp xỉ Hm Đa tạp Hm rất đơn giản vì nó là đa tạp tuyến tính 28 Chương 2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes và ứng dụng 2.3 2.3.1 Đa tạp quán tính xấp xỉ M0 Phương trình của đa tạp Trong phương pháp xấp xỉ Galerkin thông thường với các vectơ riêng của toán tử Stokes A, không gian tuyến tính Hm sinh bởi... hiện đơn giản, và sử dụng những hàm này để xây dựng những lược đồ xấp xỉ số mới Hơn nữa sự tồn tại đa tạp quán tính đối với hệ phương trình Navier-Stokes cho đến nay vẫn còn là vấn đề mở Vì vậy, người ta cố gắng xấp xỉ tập hút toàn cục bởi những đa tạp trơn mà ta gọi là các đa tạp quán tính xấp xỉ và những đa tạp xấp xỉ này cho phép ta đưa ra những xấp xỉ Galerkin cải biên, tốt hơn xấp xỉ Galerkin cổ... 1 νΛ ν ν ν (2.12) và ta kết luận rằng q(t) 2 ≤ q(t1 ) 2 e−νΛ(t−t1 ) + 2 2 Trong (2.10) và (2.12) ta có thể chặn |q(t1 )|2 và q(t1 ) 2 bởi M0 và M1 tương ứng Khi đó, sau một khoảng thời gian chỉ phụ thuộc vào M0 (hoặc M1 ), ν và Λ = λm+1 , các số hạng phụ thuộc t trở nên không đáng kể và ta nhận được 27 Chương 2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes và ứng dụng 2 4 (|Qf |2 +... sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Φ0 thay cho Hm ta xét ví dụ sau Giả sử ∞ us = uk wk , k=1 3 −2 trong đó uk = σk (1 + log k)−1 (σ > 0 cho trước) Ta biết rằng [7] các giá trị riêng của toán tử Stokes thỏa mãn đánh giá sau: c0 λ1 m ≤ λm ≤ c1 λ1 m, m = 1, 2, , với c0 , c1 là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào Ω 31 (2.23) Chương 2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes và ứng dụng. .. I − Pm , λ = λm , Λ = λm+1 25 Chương 2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes và ứng dụng và kí hiệu p = P u, q = Qu ; p biểu diễn cho sự chồng chất của "các dòng xoáy −1 lớn" có cỡ lớn hơn λm2 , và q biểu diễn cho "các dòng xoáy nhỏ" có cỡ nhỏ hơn −1 2 λm+1 Sử dụng phép chiếu P, Q cho phương trình (1.8) và sử dụng tính chất P A = AP và QA = AQ, ta được dp + νAp + P B(p + q)... riêng đầu tiên là một đa tạp quán tính xấp xỉ Cụ thể, cho hàm Φ trong (2.3) bằng 0 ta được xấp xỉ Galerkin thông thường; dum + νAum + P B(um , um ) = P f, um ∈ Hm dt Các nhà toán học Foias - Manley - Temam đã giới thiệu đa tạp giải tích hữu hạn chiều M0 = graph(Φ0 ), với Φ0 (p) = (νA)−1 [Qf − QB(p, p)], p ∈ Hm , là đa tạp xấp xỉ tập hút toàn cục tốt hơn so với Hm Cụ thể ta sẽ chứng minh định lí sau... chứng minh quỹ đạo của (1.8) hội tụ đến lân cận của đa tạp quán tính xấp xỉ M0 khi t → ∞ Định lí 2.3.2 Với t đủ lớn, t ≥ t∗ , khoảng cách trong H từ bất kì quỹ đạo nào 1 3 của (1.8) tới P H có cỡ κL 2 δ , và tới M0 có cỡ κLδ 2 Trong chuẩn của V , các 1 1 khoảng cách tương ứng có cỡ κL 2 δ 2 và κLδ ; các hằng số κ phụ thuộc vào ν, λ1 , |f | và t∗ phụ thuộc vào ν, λ1 , |f |, R0 , với |u(0)| ≤ R0 Chứng... tính của phương trình có bậc (νA)−1 = (νλ1 m)−1 và do đó nhỏ hơn nhiều so với thời gian giảm dư trong (2.4) cho phần tuyến tính của phương trình này, 29 Chương 2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes và ứng dụng (νλ1 )−1 Vì vậy, sự tiến hóa trong (2.5) là gần như không đổi và điều này dẫn đến thay thế (2.5) bằng phương trình xấp xỉ (2.21) νAq + QB(p) = Qf Với p cho trước, việc... (2.17) và (2.20), ta thấy đã cải tiến được đáng kể khi sử dụng Φ0 32 Kết luận Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày những nội dung sau: 1 Các kết quả cơ bản về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều trong miền bị chặn 2 Cách xây dựng các đa tạp quán tính xấp xỉ Hm , M0 và ước lượng khoảng cách từ quỹ đạo bất kì của hệ đến các đa tạp này Do khuôn khổ của luận văn và. .. p + q) = Qf dt (2.2) Đa tạp quán tính của phương trình (1.8) là tập con M ⊂ H có các tính chất sau: (i) M là đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều; (ii) M bất biến dương (tức là, nếu u0 ∈ M thì nghiệm của (1.8) - (1.9) là u(t) ∈ M, ∀t > 0); (iii) M hút mũ mọi quỹ đạo (tức là, với mọi nghiệm u(t) của (1.8), khoảng cách dist(u(t), M) → 0 theo tốc độ mũ) Từ (iii) ta thấy rằng đa tạp quán tính M, nếu tồn tại, . đa tạp quán tính, Foias-Manley-Temam đã xây dựng đa tạp quán tính xấp xỉ M 0 cho hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều. Đa tạp quán tính này xấp xỉ tập hút toàn cục tốt hơn so với sử dụng đa. Navier- Stokes bằng cách sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ H m . Tiếp theo, chúng tôi trình bày đa tạp quán tính xấp xỉ M 0 và đưa ra ước lượng về khoảng cách của quỹ đạo đến đa tạp này. Cuối cùng chúng. tạp quán tính xấp xỉ thông thường H m (là đa tạp tuyến tính) , nhận được bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin cổ điển. Luận văn này trình bày các kết quả về sự tồn tại đa tạp quán tính xấp xỉ