Mục lục Mở đầu 2 1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học 4 1.1 Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học 4 1.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học 24 2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian 24 2.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng . . . 36 2.4 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp 53 3.1 Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1 Mở đầu Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay tìm cực trị nói chung đã có từ lâu và luôn xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học. Trong chương trình toán phổ thông, bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trải dài ở hầu hết các cấp học, có mặt ở tất cả các bộ môn Số học, Đại số, Giải tích, Hình học và Lượng giác. Đặc biệt, trong kỳ thi Đại học, Học sinh giỏi quốc gia và quốc tế thường có bài xác định cực trị nói chung nào đó. Bởi vậy, bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là một trong số những bài toán được rất nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến. Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng sao cho hợp lý, đôi khi rất độc đáo. Hơn nữa, bài toán xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất còn liên quan đến sự đánh giá, tìm cái chặn hoặc xét xem bài toán sẽ có tính chất gì khi nó đạt cực trị. Chính vì thế, để đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn toán ở bậc phổ thông, luận văn này em xin tập trung trình bày một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học, hình học và hình học tổ hợp với tên đề tài: "Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các bài toán số học, hình học và hình học tổ hợp". Luận văn ngoài mục lục, lời nói đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì luận văn được chia ra làm ba chương: Chương I: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học. Trong chương này giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của số học có đặc điểm chính là sử dụng nhuần nhuyễn các định lí cơ bản của số học và đưa ra các bài toán điển hình về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong số học. Chương II: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học. Trong chương này giới thiệu một vài bài toán cơ bản về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong hình học không gian và hình học phẳng. Chương III: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp. Trong chương này tập trung trình bày một số bài toán về tìm giá trị lớn nhất và giá 2 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp và thường liên quan đến các đối tượng là các tập hợp hữu hạn. Qua luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS. TS Phan Huy Khải người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho em trong thời gian học tập tại trường. Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2013 3 Chương 1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học Trong chương này có sử dụng nhuần nhuyễn các định lí cơ bản của số học, có kết hợp với các phương pháp truyền thống của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để hình thành các bài toán đặt ra là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mang một nội dung số học mà từ trước đến nay giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong số học chưa được phổ cập như các bài toán trong lượng giác hay biểu thức nào đó Sau đây là một vài bài toán điển hình về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong số học. 1.1 Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học Bài toán 1.1: Cho P = 5|x|−3|y|, ở đây x, y thuộc tập hợp D được xác định như sau: D = {(x, y) : x, y ∈ Z và 4x + 5y = 7}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P khi (x, y) ∈ D. Lời giải. Nếu (x, y) ∈ D thì chắc chắn x = 0; y = 0. Thật vậy nếu trái lại, giả sử chẳng hạn x = 0 ⇒ 5y = 7. Điều đó vô lí vì y ∈ Z. Mặt khác, nếu (x, y) ∈ D thì x và y trái dấu. Thật vậy nếu x và y cùng dấu, chẳng hạn cùng dương thì do x, y ∈ Z ⇒ x ≥ 1, y ≥ 1 ⇒ 4x + 5y ≥ 9. Đó là điều vô lí. 4 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Vì lẽ đó D = D 1 ∪ D 2 , trong đó: D 1 = {(x, y) : x > 0, y < 0; x, y ∈ Z và 4x + 5y = 7}, D 2 = {(x, y) : x < 0, y > 0; x, y ∈ Z và 4x + 5y = 7}. Theo nguyên lí phân rã, ta có: min (x,y)∈D P = min{ min (x,y)∈D 1 P ; min (x,y)∈D 2 P }. (1) Từ 4x + 5y = 7 ⇒ x = 7 −5y 4 = 2 − y − 1 + y 4 . Do x, y ∈ Z ⇒ 1 + y 4 = t, với t ∈ Z. Từ đó ta có:  y = 4t −1 x = 3 −5t. (*) • Khi (x, y) ∈ D 1 thì P = 5x + 3y. (2) Do x > 0; y < 0 nên suy ra:  3 −5t > 0 4t −1 < 0 ⇒ t < 1 4 ⇒ t = 0; −1; −2; (do t ∈ Z) Với x = 3 −5t; y = 4t −1, ta có P = 5x + 3y = 12 −13t. (3) Từ (3) và do t = 0, −1, −2, nên suy ra ứng với t = 0, ta có min (x,y)∈D 1 P = 12. (4) • Khi (x, y) ∈ D 2 thì P = −5x − 3y. (5) Do x < 0; y > 0 nên từ (*) suy ra:  3 −5t < 0 4t −1 > 0 ⇒ t > 3 5 ⇒ t = 1; 2; 3 (do t ∈ Z.) Lúc này P = 13t − 12. (6) Từ (6) và do t = 1, 2, 3, suy ra ứng với t = 1, thì min (x,y)∈D 2 P = 13.1 − 12 = 1. (7) 5 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Từ (1), (4), (7) ta có: min (x,y)∈D P = 1 ⇔  x = 3 −5.1 y = 4.1 −1 ⇔  x = −2 y = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi  x = −2 y = 3. Bài toán 1.2: Cho m, n là các số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(m, n) = |36 m − 5 n |. Lời giải. Vì chữ số cuối cùng của chữ số 36 m là 6 với mọi chữ số tự nhiên m và chữ số cuối cùng của số 5 n là 5 với mọi số tự nhiên n, nên chữ số cuối cùng của hiệu số 36 m − 5 n là 1 khi 36 m > 5 n và chữ số cuối cùng của hiệu số 5 n − 36 m là 9 khi 36 m < 5 n . Vì vậy chữ số cuối cùng trong cách biểu diễn thập phân của số N = |36 m − 5 n | chỉ có thể là 1 hoặc 9 và giá trị nhỏ nhất có thể được của số này có thể là 1, 9 hoặc 11. Với m = 1 và n = 2 rõ ràng ta có N = 11. Ta hãy chứng minh rằng các đẳng thức N = 9 và N = 1 không thể xảy ra, điều đó có nghĩa là N = 11 là giá trị nhỏ nhất. Thật vậy, nếu ta có đẳng thức 5 n −36 m = 9 thì 5 n = 36 m + 9 là một bội số của 9 là điều không thể được. Nếu ta có đẳng thức 36 m −5 n = 1 thì 5 n = 36 m −1 = (6 m +1)(6 m −1); 6 m −1 = 5 k và 6 m + 1 = 5 n−k là điều vô lí vì số 6 m + 1 tận cùng bằng chữ số 7 do đó không thể bằng một lũy thừa của 5. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng giá trị nhỏ nhất của f(m, n) là min (m,n)∈D f(m, n) = 11, ở đây D là tập hợp tất cả các giá trị tự nhiên của m và n. Bài toán 1.3: Cho m, n là các số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = |12 m − 5 n |. Lời giải. Trước hết ta chứng minh rằng với mọi m, n là số nguyên dương thì |12 m 0 − 5 n 0 | ≥ 7. (1) 6 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Thật vậy giả sử (1) không đúng, tức là tồn tại hai số nguyên dương m 0 , n 0 sao cho |12 m 0 − 5 n 0 | < 7. (2) Vì 12 m 0 là số chẵn, còn 5 n 0 là số tận cùng là 5, nên suy ra: 12 m 0 − 5 n 0 là số lẻ ⇒ 12 m 0 − 5 n 0  . . .2. Do 12 m 0  . . .5, còn 5 n 0 . . .5 ⇒ 12 m 0 − 5 n 0  . . .5. Lại thấy 12 m 0 . . .3, còn 5 n 0  . . .3 ⇒ 12 m 0 − 5 n 0  . . .3. Kết hợp lại các điều kiện trên, từ (2) suy ra: |12 m 0 − 5 n 0 | = 1. (3) Từ (3) ta có: hoặc là 12 m 0 − 5 n 0 chia cho 13 thì dư 1 hoặc là 12 m 0 − 5 n 0 chia cho 13 thì dư 12. Rõ ràng ta có: 12 m 0 ≡ (−1) m 0 (mod13). (4) Như vậy nếu m 0 là số chẵn thì 12 m 0 ≡ 1(mod13), còn nếu m 0 là số lẻ thì 12 m 0 ≡ 12(mod13). Mặt khác ta luôn luôn có thể biểu diễn: n 0 = 4k 0 + z 0 với k 0 ∈ Z và z 0 ∈ {0; 1; 2; 3}. Từ đó suy ra: 5 n 0 = 625 k 0 .5 z 0 ≡ 1 k 0 .5 z 0 (mod13). (5) Từ (5) ta có: Khi 5 n 0 chia 13 thì số dư sẽ là 1, 5, 12 hoặc 8 (tương ứng với z 0 = 0, 1, 2 hoặc 3). Từ (4), (5) suy ra khi đem 12 m 0 − 5 n 0 chia cho 13 thì không thể dư 1 hoặc 12. Điều này mâu thuẫn với (3). Vậy không thể có (2), tức là (1) đúng. Mặt khác nếu chọn m = 1; n = 1, thì P = 7. Như vậy giá trị nhỏ nhất là min P = 7. Bài toán 1.4: Xét tập hợp tất cả các cách chọn 30 số nguyên dương x 1 , x 2 , x 3 , , x 30 sao cho x 1 + x 2 + + x 30 = 2011. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x 1 x 2 x 30 . Lời giải. Do vai trò bình đẳng giữa x 1 , x 2 , , x 30 nên không mất tính tổng quát ta giả sử rằng x 1 ≤ x 2 ≤ ··· ≤ x 30 . 7 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa 1. Xét bài toán tìm min P . Xét bộ số (x 1 , x 2 , , x 30 ) trong đó: 1 < x 1 ≤ x 2 ≤ ··· ≤ x 30 và x 1 + x 2 + . . . x 30 = 2011. Khi đó ta có P = x 1 .x 2 . . . x 30 . Bây giờ xét bộ số (x 1 − 1, x 2 , . . . , x 29 , x 30 + 1). Khi đó để ý rằng do x 1 > 1 ⇒ x 1 ≥ 2 ⇒ x 1 − 1 ≥ 1. Mặt khác, (x 1 − 1) + x 2 + ··· + x 29 + (x 30 + 1) = x 1 + x 2 + . . . x 30 = 2011, nên bộ số mới này cũng thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ứng với bộ số này ta có:  P = (x 1 − 1)x 2 . . . x 29 (x 30 + 1) ⇒ P −  P = x 2 . . . x 29 [x 1 x 30 − (x 1 − 1)(x 30 + 1)] = x 2 . . . x 29 (x 30 − x 1 + 1). Do x i > 0, ∀i = 2; 29, và x 1 ≤ x 30 ⇒ P >  P . (1) (1) chứng tỏ rằng bộ số (x 1 , x 2 , . . . , x 30 ) không làm cho tích P đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy một điều kiện cần để P đạt giá trị nhỏ nhất là x 1 = 1. Từ đó lập luận hoàn toàn tương tự suy ra x 2 = x 3 = ··· = x 29 = 1 cũng là điều kiện cần để P đạt giá trị nhỏ nhất. Từ đó suy ra min P = 1.1. . . . 1(2011 −29) = 1982. Vậy min P = 1982 ⇔ có 29 thừa số bằng 1, và một thừa số bằng 1982. 2. Xét bài toán tìm max P . Xét bộ số (x 1 , x 2 , . . . , x 30 ) trong đó:    x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x 30 x 30 − x 1 ≥ 2 x 1 + x 2 + + x 30 = 2011. Ứng với bộ số này ta có P = x 1 x 2 . . . x 30 . Bây giờ xét bộ số mới sau đây: (x 1 + 1, x 2 , . . . , x 29 , x 30 − 1). Mặt khác dễ thấy: (x 1 +1)+x 2 +···+x 29 +(x 30 −1) = x 1 +···+x 30 = 2011, nên bộ số mới cũng thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ứng với bộ số này ta có:  P = (x 1 + 1)x 2 . . . x 29 (x 30 − 1) ⇒  P − P = x 2 . . . x 29 [(x 1 + 1)(x 30 − 1) −x 1 x 30 ] = x 2 . . . x 29 (x 30 − x 1 − 1). Từ x 30 − x 1 ≥ 2 ⇒  P > P . Vậy bất đẳng thức này chứng tỏ bộ số (x 1 , . . . , x 30 ) chưa làm cho P 8 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa đạt giá trị lớn nhất. Vì thế điều kiện cần để P đạt giá trị lớn nhất là x 30 − x 1 < 2 hay x 30 − x 1 ≤ 1 ⇒ x 30 − x 1 ∈ {0; 1} tức là : hoặc x 30 = x 1 hoặc x 30 = x 1 + 1. Như thế điều kiện cần để P đạt giá trị lớn nhất là trong 30 số thì không được có hai số bất kì nào trong chúng chênh lệch nhau quá 1. Điều này có nghĩa là phải có t số bằng α và 30−t số bằng α+1(1 ≤ t ≤ 30) sao cho: tα + (30 −t)(α + 1) = 2011 ⇒ 30α + (30 −t) = 2011. (*) Để thỏa mãn (∗) có thể chọn α = 67, t = 29 vì 30.67 + 1 = 2011. Như vậy chọn dãy chẳng hạn 29 số bằng 67 và một số bằng 68 thì P = 67 29 .68. Tóm lại ta có max P = 67 29 .68 Kết hợp lại ta có min P = 1982 và max P = 67 29 .68. Bài toán 1.5: Xét tập hợp gồm 7 số nguyên tố khác nhau có các tính chất sau: 1. Chúng có dạng a, b, c, a + b + c, a + b −c, a −b + c, b + c −a. 2. Hai trong ba số a, b, c có tổng bằng 800. Gọi d là khoảng cách giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong 7 số đó. Tìm giá trị lớn nhất của d. Lời giải. Do vai trò bình đẳng giữa a, b, c nên có thể giả sử a + b = 800 và a < b. Rõ ràng c < 800. Thật vậy nếu c ≥ 800 ⇒ a + b − c ≤ 0, điều này mâu thuẫn với việc a + b − c là số nguyên tố. Rõ ràng a + b + c là số lớn nhất trong 7 số nguyên tố nói trên. Số nguyên tố lớn nhất dưới 800 là 797, vì thế: a + b + c = 800 + c ≤ 800 + 797 ⇒ a + b + c ≤ 1597. (1) Rõ ràng a, b, c phải là các số lẻ. Thật vậy nếu trái lại tồn tại ít nhất một trong ba số trên là số chẵn, thì do 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất nên chỉ có đúng một trong ba số a, b, c là 2, còn hai số còn lại là hai số nguyên tố lẻ khác nhau. Từ đó suy ra các số a + b + c, a + b − c, a − b + c, b + c − a đều là 9 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa các số chẵn, mà chúng lại khác nhau. Như vậy ta có nhiều hơn 2 số nguyên tố chẵn khác nhau trong 7 số nói trên. Điều đó là vô lí. Vậy cả 7 số nguyên tố đã cho đều là các số nguyên tố lẻ. Nói riêng số nhỏ nhất trong 7 số đã cho lớn hơn hoặc bằng 3. Kết hợp với (1) suy ra : d ≤ 1597 −3 ⇒ d ≤ 1594. (2) Bây giờ ta chỉ ra dấu "=" trong (2) có thể xảy ra. Ví dụ chọn 7 số sau: a = 13; b = 787; c = 797; a + b + c = 1597, a + b − c = 3; a − b + c = 23; b + c − a = 1571. Rõ ràng đúng là 7 số nguyên tố khác nhau thỏa mãn tính chất 1, ; 2. Ngoài ra: d = 1597 − 3 = 1594. Từ đó theo định nghĩa về giá trị lớn nhất suy ra max d = 1594. Bài toán 1.6: Tổng của m số dương chẵn và n số dương lẻ khác nhau là 2001. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 5m + 2n. Lời giải. Vì tổng của m số nguyên dương chẵn khác nhau ≥ 2 + 4 + ··· + 2m = 2. m(m + 1) 2 = m 2 + m, còn tổng của n số dương lẻ khác nhau ≥ 1 + 3 + ··· + (2n −1) = n 2 . Vì vậy từ giả thiết suy ra 2001 ≥ m 2 + m + n 2 = (m + 1 2 ) 2 + n 2 − 1 4 ⇒ (m + 1 2 ) 2 + n 2 ≤ 2001 + 1 4 . (1) Ta có A = 5m + 2n = 5(m + 1 2 ) + 2n − 5 2 . Vì thế theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki thì A ≤  (5 2 + 2 2 )[(m + 1 2 ) 2 + n 2 ] − 5 2 . (2) Từ (1) và (2) suy ra A ≤  29(2001 + 1 4 ) − 5 2 ⇒ A ≤ 238, 407. (3) Vì m, n là nguyên dương nên A = 5m + 2n là nguyên dương. 10 [...]... trị nhỏ nhất trong hình học không gian và hình học phẳng Trong đó có vận dụng linh hoạt, nhuần nhuyễn các phương pháp tìm cực trị của hàm số để giải quyết các bài toán trong hình học một cách đơn giản nhất Sau đây là các bài toán điển hình về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học 2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian Bài toán 2.1.1: Cho hình chóp SABC có thể... âm và không cùng bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x, y) = |5x2 + 11xy − 5y 2 | Bài 7 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất sau: i) n là lập phương của một số nguyên dương ii) n viết trong hệ thập phân có 4 số tận cùng là 1997 23 Chương 2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học Trong chương này sẽ đưa ra các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình. .. là giá trị nhỏ nhất cần tìm thỏa mãn bài toán 22 Luận văn thạc sỹ 1.2 Học viên: Vũ Thị Thoa Bài tập đề nghị n Bài 1: Cho số tự nhiên n > 0 có tính chất i=1 p2000 120, ở đây p1 , p2 , , pn là i các số nguyên tố lớn hơn 10 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn bài toán Bài 2: Cho a1 , a2 , , an là các số tự nhiên và là hợp số sao cho a1 + a2 + · · · + an = 2001 Tìm giá trị n lớn nhất thỏa mãn bài. .. diện và V là thể tích của tứ diện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = M A.SBCD + M B.SACD + M D.SABC Bài 6: Cho tứ diện ABCD đỉnh A (tức là AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau) Gọi a là cạnh lớn nhất của tứ diện xuất phát từ A và r là bán kính hình cầu nội tiếp Tìm giá trị nhỏ nhất của a 35 Luận văn thạc sỹ 2.3 Học viên: Vũ Thị Thoa Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng Bài toán. .. thế ta có (5, 2, 4, 0) ∈ D và f (5, 2, 4, 0) = 61 Kết hợp với (4) ta có min f (x, y, z, t) = 61 D Bài toán 1.8: Sử dụng tất cả các chữ số từ 1 đến 9, hãy sắp xếp thành ba số có ba chữ số khác nhau sao cho tích của chúng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất Lời giải a) Trước hết ta tìm giá trị nhỏ nhất: Các chữ số đầu tiên của ba số cần tìm phải có giá trị nhỏ nhất, nên ba số này phải có dạng: 1Aa,... am , trong đó am là các hợp số ta suy ra ngay m ≤ 500 Vậy 500 là giá trị lớn nhất có thể có của m Chú ý: Nếu thay số 2002 bằng 2003 và xét bài toán tương tự: Tìm giá trị lớn nhất có thể có của m để có thể phân tích 2003 thành tổng của m hợp số Với chú ý rằng 2003 = 4.497 + 6 + 9 = 4 + 4 + · · · + 4 +6 + 9, từ đó suy ra ở đây 497 số 4 giá trị lớn nhất có thể có của m là 499 Bài toán 1.10: Cho k là số. .. bài toán Bài 3: Cho n > 1 là số tự nhiên sao cho (n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 và thương là số chính phương Tìm số tự nhiên nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán Bài 4: Giả sử n là số nguyên dương sao cho n chia hết cho 1993 và có 4 chữ số tận cùng là 1994 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn bài toán Bài 5: Cho n là số tự nhiên sao cho n.192003 + 842003 chia hết cho 13390 Tìm giá trị nhỏ nhất của n Bài. .. thể thay hai hợp số 6 bằng ba hợp số 4 và điều này như đã biết là vô lí iii) Hợp số 9 có mặt tối đa trong tổng một lần (lập luận tương tự dựa vào đẳng thức 9 + 9 = 4 + 4 + 4 + 6) Bây giờ xét số 2002 của bài toán Ta có: 2002 = 4.499 + 6 = 4 + 4 + · · · + 4 +6 499 số 4 Đó là cách biểu diễn 2002 thành tổng các hợp số và là cách biểu diễn duy nhất mà trong tổng biểu diễn có nhiều số hạng nhất Vì thế từ... tích nhỏ nhất ứng với các số cần tìm là 147.258.369 b) Bây giờ ta tìm giá trị lớn nhất Các số ứng với tích lớn nhất phải có dạng 9Aa.8Bb.7Cc Tương tự như phần a) ta có thể chứng minh rẳng A < B < C; a < b < c; các chữ số a, b và c đều nhỏ hơn các chữ số A, B, C , rồi từ đó suy ra được a < b < c < A < B < C Vậy tích lớn nhất cần tìm là 941.852.763 Bài toán 1.9: Số 2002 được phân tích thành tổng các m hợp. .. số lẻ nhỏ nhất) Như vậy với mọi số tự nhiên n ≥ 12 đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các hợp số Ứng với mọi số tự nhiên n ≥ 12 đều có thể biểu diễn nó dưới dạng tổng của các hợp số, nhưng ở đây ta quan tâm đến cách mà trong biểu diễn 14 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa này số các hợp số (tức là số các số hạng của tổng) là nhiều nhất có thể được Từ nhận xét trên ta thấy rằng trong cách biểu . số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học, hình học và hình học tổ hợp với tên đề tài: " ;Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các bài toán số học, hình học và hình. trong số học. Chương II: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học. Trong chương này giới thiệu một vài bài toán cơ bản về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong hình học không gian và hình học. số học, có kết hợp với các phương pháp truyền thống của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để hình thành các bài toán đặt ra là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mang một nội dung số học