ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————o0o——————– VŨ THỊ THOA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG CÁC BÀI TỐN SỐ HỌC, HÌNH HỌC, HÌNH HỌC TỔ HỢP Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHAN HUY KHẢI HÀ NỘI - 2013 Mục lục Mở đầu Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số học 1.1 Một số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số học 1.2 Bài tập đề nghị 23 Giá 2.1 2.2 2.3 2.4 trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học Giá trị lớn giá trị nhỏ hình học Bài tập đề nghị Giá trị lớn giá trị nhỏ hình học Bài tập đề nghị không gian phẳng Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học tổ hợp 3.1 Một số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học tổ hợp 3.2 Bài tập đề nghị Kết luận Tài liệu tham khảo 24 24 35 36 51 53 53 71 73 74 Mở đầu Bài tốn tìm giá trị lớn nhỏ hay tìm cực trị nói chung có từ lâu xuất lĩnh vực tốn học Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn tìm giá trị lớn nhỏ trải dài hầu hết cấp học, có mặt tất mơn Số học, Đại số, Giải tích, Hình học Lượng giác Đặc biệt, kỳ thi Đại học, Học sinh giỏi quốc gia quốc tế thường có xác định cực trị nói chung Bởi vậy, tốn tìm giá trị lớn nhỏ số toán nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến Các tốn tìm giá trị lớn hay nhỏ phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức vận dụng cho hợp lý, độc đáo Hơn nữa, toán xác định giá trị lớn nhỏ cịn liên quan đến đánh giá, tìm chặn xét xem tốn có tính chất đạt cực trị Chính thế, để đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn tốn bậc phổ thông, luận văn em xin tập trung trình bày số tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số học, hình học hình học tổ hợp với tên đề tài: "Giá trị lớn giá trị nhỏ tốn số học, hình học hình học tổ hợp" Luận văn ngồi mục lục, lời nói đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn chia làm ba chương: Chương I: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số học Trong chương giá trị lớn nhỏ số học có đặc điểm sử dụng nhuần nhuyễn định lí số học đưa tốn điển hình giá trị lớn giá trị nhỏ số học Chương II: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học Trong chương giới thiệu vài toán giá trị lớn nhỏ hình học khơng gian hình học phẳng Chương III: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học tổ hợp Trong chương tập trung trình bày số tốn tìm giá trị lớn giá Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa trị nhỏ hình học tổ hợp thường liên quan đến đối tượng tập hợp hữu hạn Qua luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Phan Huy Khải người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy cô trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho em thời gian học tập trường Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Chương Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số học Trong chương có sử dụng nhuần nhuyễn định lí số học, có kết hợp với phương pháp truyền thống giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ để hình thành tốn đặt tìm giá trị lớn giá trị nhỏ mang nội dung số học mà từ trước đến giá trị lớn giá trị nhỏ số học chưa phổ cập toán lượng giác hay biểu thức Sau vài tốn điển hình giá trị lớn giá trị nhỏ số học 1.1 Một số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số học Bài toán 1.1 : Cho P = 5|x| − 3|y|, x, y thuộc tập hợp D xác định sau: D = {(x, y) : x, y ∈ Z 4x + 5y = 7} Tìm giá trị nhỏ biểu thức P (x, y) ∈ D Lời giải Nếu (x, y) ∈ D chắn x = 0; y = Thật trái lại, giả sử chẳng hạn x = ⇒ 5y = Điều vơ lí y ∈ Z Mặt khác, (x, y) ∈ D x y trái dấu Thật x y dấu, chẳng hạn dương x, y ∈ Z ⇒ x ≥ 1, y ≥ ⇒ 4x + 5y ≥ Đó điều vơ lí Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Vì lẽ D = D1 ∪ D2 , đó: D1 = {(x, y) : x > 0, y < 0; x, y ∈ Z 4x + 5y = 7}, D2 = {(x, y) : x < 0, y > 0; x, y ∈ Z 4x + 5y = 7} Theo ngun lí phân rã, ta có: P = min{ P ; P } (x,y)∈D (x,y)∈D1 (1) (x,y)∈D2 − 5y 1+y =2−y− 4 1+y = t, với t ∈ Z Do x, y ∈ Z ⇒ y = 4t − Từ ta có: (*) x = − 5t Từ 4x + 5y = ⇒ x = • Khi (x, y) ∈ D1 (2) P = 5x + 3y Do x > 0; y < nên suy ra: − 5t > 4t − < ⇒t< ⇒ t = 0; −1; −2; (do t ∈ Z) Với x = − 5t; y = 4t − 1, ta có P = 5x + 3y = 12 − 13t (3) Từ (3) t = 0, −1, −2, nên suy ứng với t = 0, ta có P = 12 (4) (x,y)∈D1 • Khi (x, y) ∈ D2 P = −5x − 3y (5) Do x < 0; y > nên từ (*) suy ra: − 5t < 4t − > ⇒t> ⇒ t = 1; 2; (do t ∈ Z.) Lúc P = 13t − 12 (6) Từ (6) t = 1, 2, 3, suy ứng với t = 1, P = 13.1 − 12 = (x,y)∈D2 (7) Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Từ (1), (4), (7) ta có: P = ⇔ (x,y)∈D x = − 5.1 y = 4.1 − Vậy giá trị nhỏ P ⇔ x = −2 y = x = −2 y = Bài toán 1.2: Cho m, n số nguyên dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức f (m, n) = |36m − 5n | Lời giải Vì chữ số cuối chữ số 36m với chữ số tự nhiên m chữ số cuối số 5n với số tự nhiên n, nên chữ số cuối hiệu số 36m − 5n 36m > 5n chữ số cuối hiệu số 5n − 36m 36m < 5n Vì chữ số cuối cách biểu diễn thập phân số N = |36m − 5n | giá trị nhỏ số 1, 11 Với m = n = rõ ràng ta có N = 11 Ta chứng minh đẳng thức N = N = xảy ra, điều có nghĩa N = 11 giá trị nhỏ Thật vậy, ta có đẳng thức 5n − 36m = 5n = 36m + bội số điều Nếu ta có đẳng thức 36m −5n = 5n = 36m −1 = (6m +1)(6m −1); 6m −1 = 5k 6m + = 5n−k điều vơ lí số 6m + tận chữ số khơng thể lũy thừa Như vậy, ta chứng minh giá trị nhỏ f (m, n) f (m, n) = 11, D tập hợp tất giá trị tự nhiên m (m,n)∈D n Bài toán 1.3: Cho m, n số nguyên dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = |12m − 5n | Lời giải Trước hết ta chứng minh với m, n số nguyên dương |12m0 − 5n0 | ≥ (1) Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Thật giả sử (1) không đúng, tức tồn hai số nguyên dương m0 , n0 cho |12m0 − 5n0 | < (2) Vì 12m0 số chẵn, cịn 5n0 số tận 5, nên suy ra: 12m0 − 5n0 số lẻ ⇒ 12m0 − 5n0 Do 12m0 5, 5n0 ⇒ 12m0 − 5n0 Lại thấy 12m0 3, 5n0 ⇒ 12m0 − 5n0 Kết hợp lại điều kiện trên, từ (2) suy ra: |12m0 − 5n0 | = (3) Từ (3) ta có: 12m0 − 5n0 chia cho 13 dư 12m0 − 5n0 chia cho 13 dư 12 Rõ ràng ta có: 12m0 ≡ (−1)m0 (mod13) (4) Như m0 số chẵn 12m0 ≡ 1(mod13), cịn m0 số lẻ 12m0 ≡ 12(mod13) Mặt khác ta ln ln biểu diễn: n0 = 4k0 + z0 với k0 ∈ Z z0 ∈ {0; 1; 2; 3} Từ suy ra: 5n0 = 625k0 5z0 ≡ 1k0 5z0 (mod13) (5) Từ (5) ta có: Khi 5n0 chia 13 số dư 1, 5, 12 (tương ứng với z0 = 0, 1, 3) Từ (4), (5) suy đem 12m0 − 5n0 chia cho 13 khơng thể dư 12 Điều mâu thuẫn với (3) Vậy khơng thể có (2), tức (1) Mặt khác chọn m = 1; n = 1, P = Như giá trị nhỏ P = Bài toán 1.4: Xét tập hợp tất cách chọn 30 số nguyên dương x1 , x2 , x3 , , x30 cho x1 + x2 + + x30 = 2011 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x1 x2 x30 Lời giải Do vai trị bình đẳng x1 , x2 , , x30 nên khơng tính tổng qt ta giả sử x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ x30 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Xét tốn tìm P Xét số (x1 , x2 , , x30 ) đó: < x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ x30 x1 + x2 + x30 = 2011 Khi ta có P = x1 x2 x30 Bây xét số (x1 − 1, x2 , , x29 , x30 + 1) Khi để ý x1 > ⇒ x1 ≥ ⇒ x1 − ≥ Mặt khác, (x1 − 1) + x2 + · · · + x29 + (x30 + 1) = x1 + x2 + x30 = 2011, nên số thỏa mãn yêu cầu đề Ứng với số ta có: P = (x1 − 1)x2 x29 (x30 + 1) ⇒ P − P = x2 x29 [x1 x30 − (x1 − 1)(x30 + 1)] = x2 x29 (x30 − x1 + 1) Do xi > 0, ∀i = 2; 29, x1 ≤ x30 ⇒ P > P (1) (1) chứng tỏ số (x1 , x2 , , x30 ) không làm cho tích P đạt giá trị nhỏ Vậy điều kiện cần để P đạt giá trị nhỏ x1 = Từ lập luận hồn toàn tương tự suy x2 = x3 = · · · = x29 = điều kiện cần để P đạt giá trị nhỏ Từ suy P = 1.1 1(2011 − 29) = 1982 Vậy P = 1982 ⇔ có 29 thừa số 1, thừa số 1982 Xét tốn tìm max P Xét số (x1 , x2 , , x30 ) đó:  x1 ≤ x2 ≤ ≤ x30  x30 − x1 ≥ x1 + x2 + + x30 = 2011 Ứng với số ta có P = x1 x2 x30 Bây xét số sau đây: (x1 + 1, x2 , , x29 , x30 − 1) Mặt khác dễ thấy: (x1 + 1) + x2 + · · · + x29 + (x30 − 1) = x1 + · · · + x30 = 2011, nên số thỏa mãn yêu cầu đề Ứng với số ta có: P = (x1 + 1)x2 x29 (x30 − 1) ⇒ P − P = x2 x29 [(x1 + 1)(x30 − 1) − x1 x30 ] = x2 x29 (x30 − x1 − 1) Từ x30 − x1 ≥ ⇒ P > P Vậy bất đẳng thức chứng tỏ số (x1 , , x30 ) chưa làm cho P Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa đạt giá trị lớn Vì điều kiện cần để P đạt giá trị lớn x30 − x1 < hay x30 − x1 ≤ ⇒ x30 − x1 ∈ {0; 1} tức : x30 = x1 x30 = x1 + Như điều kiện cần để P đạt giá trị lớn 30 số khơng có hai số chúng chênh lệch Điều có nghĩa phải có t số α 30−t số α+1(1 ≤ t ≤ 30) cho: tα + (30 − t)(α + 1) = 2011 ⇒ 30α + (30 − t) = 2011 (*) Để thỏa mãn (∗) chọn α = 67, t = 29 30.67 + = 2011 Như chọn dãy chẳng hạn 29 số 67 số 68 P = 6729 68 Tóm lại ta có max P = 6729 68 Kết hợp lại ta có P = 1982 max P = 6729 68 Bài toán 1.5: Xét tập hợp gồm số ngun tố khác có tính chất sau: Chúng có dạng a, b, c, a + b + c, a + b − c, a − b + c, b + c − a Hai ba số a, b, c có tổng 800 Gọi d khoảng cách số lớn số nhỏ số Tìm giá trị lớn d Lời giải Do vai trị bình đẳng a, b, c nên giả sử a + b = 800 a < b Rõ ràng c < 800 Thật c ≥ 800 ⇒ a + b − c ≤ 0, điều mâu thuẫn với việc a + b − c số nguyên tố Rõ ràng a + b + c số lớn số nguyên tố nói Số nguyên tố lớn 800 797, thế: a + b + c = 800 + c ≤ 800 + 797 ⇒ a + b + c ≤ 1597 (1) Rõ ràng a, b, c phải số lẻ Thật trái lại tồn ba số số chẵn, số nguyên tố chẵn nên có ba số a, b, c 2, hai số lại hai số nguyên tố lẻ khác Từ suy số a + b + c, a + b − c, a − b + c, b + c − a Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa tô màu cách T Nếu ô (i; j) tô màu cách tô màu T (1 ≤ i ≤ 2n − 1) (i + 1; j ) ô kề với (i, j) hàng dĩ nhiên không tô màu Thực phép biến đổi T: Xóa màu tất ô (i; j) mà i ≡ 1(mod2), đồng thời tô màu ô (i + 1; j) (tức xóa màu tất nằm hàng lẻ) Rõ ràng sau thực phép biến đổi ấy, ta có phép tơ màu T Phép tô màu thỏa mãn điều kiện sau: Hai ô vuông tô màu bước T khơng có đỉnh chung k(T ) = k(T ) Tất ô nằm hàng thứ 1, 3, 5, , 2n − khơng có màu Theo cách tơ màu số tơ màu hàng không vượt n + Và có tối đa n hàng có màu, nên: K(T ) ≤ n(n + 1) Vì k(T ) ≤ (n + 1)n với cách tô màu T 60 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Xét cách tô màu sau: Tô màu màu tất ô (2i, 2j − 1) với i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n + Rõ ràng phép tô màu thỏa mãn yêu cầu đề Số ô tô n(n + 1) Vậy max k = n(n + 1) Bài toán 3.5: Các học sinh học n môn (n ≥ 3) Biết với môn học có học sinh đạt điểm tối ưu, cịn với hai mơn tùy ý có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn hai mơn học Tìm số n bé cho từ điều kiện suy có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn n môn học Lời giải Biểu thị học sinh điểm mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Nếu hai học sinh đạt điểm tối ưu mơn đó, ta nối hai điểm tương ứng lại với Khi đó, với mơn học có ba học sinh đạt điểm tối ưu, môn học cho tương ứng tam giác Mặt khác, với hai mơn tùy ý có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn hai môn học Do hai tam giác có đỉnh chung Ta có nhận xét sau đây: Nếu bốn tam giác có chung đỉnh, tất tam giác có chung đỉnh (Thật vậy, xét tam giác khác ngồi bốn tam giác Vì đỉnh chung khơng phải đỉnh A chung bốn tam giác kể trên, nên suy tam giác thứ năm có bốn đỉnh Điều vơ lí chứng minh nhận xét trên) Xét hai khả sau: Nếu n ≥ Lấy tam giác số n tam giác Khi tam giác 61 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa có chung đỉnh với n − (n − ≥ 7) tam giác lại Tam giác có ba đỉnh mà lại có đỉnh chung với n − ≥ tam giác khác Theo nguyên lí Dirichlet suy có đỉnh chung đỉnh với ba tam giác khác, tức tồn bốn tam giác có chung đỉnh Theo nhận xét suy tất tam giác (n tam giác) có chung đỉnh Điều có nghĩa cho n mơn học với n ≥ 8, giả thiết điều kiện đề thỏa mãn ln suy có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn n môn học Nếu n = Xét thí dụ sau với học sinh, môn học Rõ ràng điều kiện đề thỏa mãn, suy kết luận có học sinh đạt điểm tối ưu tất mơn học Vậy n = khơng thích hợp Dĩ nhiên ≤ n ≤ 7, dùng thí dụ này, số n khơng thỏa mãn Tóm lại n = giá trị nhỏ cần tìm Bài tốn 3.6: Cho 1000 điểm M1 , M2 , , M1000 mặt phẳng Vẽ đường trịn bán kính tùy ý Cho điểm S đường trịn Tìm giá trị nhỏ P = SM1 + SM2 + · · · + SM1000 Lời giải Xét đường kính S1 S2 tùy ý đường trịn, S1 S2 hai đầu đường kính  S1 M1 + S2 M1 ≥ S1 S2 =    S1 M2 + S2 M2 ≥ Vì S1 S2 = 2, nên ta có:    S1 M1000 + S2 M1000 ≥ 62 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Cộng vế 1000 bất đẳng thức nên ta có: (S1 M1 + S1 M2 + · · · + S1 M1000 ) + (S2 M1 + S2 M2 + · · · + S2 M1000 ) ≥ 2000 (1) Từ (1) theo nguyên lí Dirichlet suy hai tổng vế trái (1), có tổng lớn 1000 Giả sử S1 M1 + S1 M2 + · · · + S1 M1000 ≥ 1000, lấy S = S1 Vậy giá trị nhỏ P 1000 S = S1 Bài toán 3.7: Cho mảnh giấy hình vng Mảnh giấy cắt đường cắt thẳng thành hai mảnh Một hai mảnh nhặt ta lại làm nhiều lần Hỏi số lần cắt phải để nhận 100 đa giác 20 cạnh? Lời giải Giả sử sau n lần cắt ta nhận 100 đa giác 20 cạnh Sau lần cắt tổng số đỉnh tăng thêm nhiều (Nếu nhát cắt 63 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa qua đỉnh cũ: Kiểu I số đỉnh tăng lên 3; qua hai đỉnh cũ: kiểu III số đỉnh tăng lên 2; không qua đỉnh cũ nào: kiểu II số đỉnh tăng lên 4) Vậy sau n lần cắt, gọi Sn tổng số đỉnh sau n lần cắt, ta có bất đẳng thức sau: Sn ≤ + 4n (1) Sau lần cắt, tổng số mảnh giấy tăng thêm Vậy sau n lần cắt tổng số mảnh giấy n + Vì ta nhận 100 đa giác 20 cạnh, nên số mảnh giấy đa giác 20 cạnh n + − 100 = n − 99 Vì với mảnh giấy số đỉnh (vì mảnh đa giác nhát kéo thẳng), nên tổng số đỉnh mảnh giấy lớn 3(n − 99) Tổng số đỉnh 100 đa giác 20 cạnh 2000 đỉnh Ta có Sn ≥ 2000 + 3(n − 99), hay Sn ≥ 3n + 1073 (2) Từ (1) (2) suy + 4n ≥ 3n + 1703, hay n ≥ 1699 Vậy số lân cắt khơng thể 1699 Bây ta cách cắt cần dùng 1699 lần cắt - Trước hết cắt 99 lần để có 100 hình chữ nhật (1 hình chữ nhật tạo thành hình chữ nhật sau nhát cắt) - Ở hình chữ nhật thực 16 nhát cắt để đa giác 20 cạnh (điều dựa vào dự kiện sau: Với đa giác n cạnh , nhát cắt hai cạnh liên tiếp đa giác mà không qua đỉnh tạo đa giác có n + cạnh Như sau nhát cắt thích hợp ta biến n- giác thành n + 1- giác) Vậy số nhát cắt cần dùng để có 100 đa giác hai mươi cạnh là: 99 + 16.100 = 1699 Tóm lại số lần cắt thỏa mãn yêu cầu đề 1699 64 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Bài tốn 3.8: Một bảng vng gồm 1999 × 1999 với có chứa khơng hịn đá Tìm số bé hịn đá xếp bảng cho chọn trống bất kì, tổng số hịn đá hàng cột tương ứng với trống 1999 Lời giải Giả sử cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề Gọi k số bé hịn đá hàng hay cột (số tồn theo ngun lí cực hạn) Khơng giảm tổng quát, giả sử có cột chứa k hịn đá Trong cột này, tương ứng với có chứa hịn đá, theo cách xác định số k , hàng có chứa hịn đá phải chứa k hịn đá Xét cột chứa k hịn đá, với 1999 − k ô trống cột này, tương ứng với cột ô trống để thỏa mãn điều kiện vừa nêu, hàng chứa trống phải chứa 199 − k hịn đá Vì số hịn đá có bảng là: k + (1999 − k)2 = 2(k − 19992 1999 19992 ) + ≥ = 1998000, 2 Do số hịn đá có bảng khơng 1998001 hịn đá Bây xét cách xếp đá sau: Tô màu đen trắng bảng hình vẽ Sau ô đen xếp đá, ô trắng để không Rõ ràng yêu cầu cách xếp đá thỏa mãn Ứng với trắng (ơ khơng có đá), tổng số đen hàng cột chứa ô trắng 1999 Mặt khác, số đá xếp theo cách (do có 1000 hàng, hàng 1000 viên 999 hàng, hàng 999 viên): 10002 + 9992 = 1998001 đá 65 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Vậy số bé đá cần xếp để thỏa mãn u cầu đề 1998001 hịn đá Bài tốn 3.9: Cho năm điểm mặt phẳng, khơng có ba điểm thẳng hàng Xét tất đường thẳng nối cặp điểm năm điểm cho Giả thiết đường thẳng khơng có hai đường song song với nhau, khơng có hai đường vng góc với Từ điểm kẻ đường vng góc với tất đường thẳng nói mà khơng qua điểm Gọi n số giao điểm có tất đường vng góc Tìm giá trị lớn n Lời giải Gọi điểm A, B, C, D, E Xét điểm A Với bốn điểm lại B, C, D, E 66 Luận văn thạc sỹ có tất C42 = B, C, D, E Học viên: Vũ Thị Thoa 4! = đường thẳng nối cặp điểm số bốn điểm 2!2! Từ A có đường thẳng vng góc kẻ xuống đường thẳng Tương tự, xét với B, C, D, E Vậy số đường vng góc × = 30 đường Với 30 đường ấy, số giao điểm tối đa chúng : C30 = 30! = 435 28!2! (1) Tuy nhiên nhiều giao điểm bị tính thừa a) Xét đường vng góc qua đỉnh (A chẳng hạn) Có đường vng góc qua A Theo lí thuyết số tối đa giao điểm đường thẳng tính : C62 = 6! = 15 4!2! Tuy nhiên, đường đồng quy, nên số giao điểm bị tính thừa là: 15 − = 14 Vậy số giao điểm bị tính thừa thuộc loại (sẽ gọi loại I) là: 14 × = 70 giao điểm (2) b) Xét đường thẳng qua A, B chẳng hạn Khi với ba điểm cịn lại C, D, E đường vng góc với AB kẻ từ C, D, E song song với Vì ba đường vng góc khơng cắt Trên thực tế ta tính tối đa có: C32 = giao điểm 67 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Vậy số giao điểm bị tính thừa Mặt khác, số cách chọn đoạn thẳng từ điểm cho là: C52 = 5! = 10 3!2! Vậy số giao điểm bị tính thừa thuộc loại (sẽ gọi loại II) là: × 10 = 30 giao điểm (3) c) Xét tam giác ABC Ba đường vng góc kẻ từ A, B, C tương ứng xuống BC, CA, AB đồng quy (vì ba đường cao tam giác ABC ) Theo lí thuyết ta tính tối đa số giao điểm tạo ba đường vng góc C32 = Mặt khác có C63 = 6! = 20 tam giác tạo thành từ điểm A, B, C, D, E 3!3! Vì số giao điểm bị tính thừa thuộc loại (sẽ gọi loại III) là: 20 × (3 − 1) = 40 giao điểm (4) Vậy số giao điểm bị tính thừa là: 70 + 30 + 40 = 140 giao điểm (5) Từ (1), (5) suy số giao điểm tối đa n đường thẳng vng góc nói thỏa mãn bất đẳng thức sau: n ≤ 435 − 140, hay n ≤ 295 Vậy giá trị lớn cần tìm thỏa mãn tốn n = 295 68 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Bài tốn 3.10: Cho bảng hình vng n × n (n ≥ 2) Trong ô vuông ta viết số nguyên không âm tùy ý thỏa mãn điều kiện: Nếu viết số 0, tổng tất số viết dịng cột chứa khơng nhỏ n Tìm giá trị nhỏ tổng số viết hàng Lời giải Với i = 1, n, kí hiệu tổng số viết hàng thứ i (kể từ xuống dưới) Với j = 1, n, kí hiệu bj tổng số viết cột thứ j (kể từ trái sang phải) Từ giả thiết toán suy ra: Với i = 1, n; j = 1, n ta ln có: + bj ≥ n Như ta có: n (1) n (ai + bj ) ≥ n3 T = (2) i=1 j=1 Giả sử aj số ghi ô (i, j) (là ô hàng i cột j ) aij nằm tổng bj Do bj cuất T n lần, "gián tiếp" số aij tham gia vào tổng T 2n lần Do kí hiệu S tổng số viết bảng, thì: n n S= aij (3) i=1 j=1 Từ (2), (3) nhận xét suy ra: T = 2nS ⇒ S ≥ 69 n2 (4) Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Mặt khác, S số nguyên, nên từ (4) ta lại có: S≥ n2 + (5) Bây ta xét khả xảy dấu (5) Có hai trường hợp sau: Nếu n chẵn (n = 2k ) Khi đó, xét cách ghi số vào bảng sau: Dễ thấy cách ghi số thỏa mãn yêu cầu đề Lúc tổng S số ghi bảng S = 2k Mặt khác, ta có: n2 + 4k + 1 = = 2k + = 2k 2 Vậy ta có trường hợp S = n2 + 2 Nếu n lẻ (n = 2k + 1) Khi đó, xét cách ghi số vào bảng sau: Rõ ràng cách ghi số thỏa mãn yêu cầu đề Lúc tổng số ghi bảng là: S = (k + 1)2 + k = 2k + 2k + Lại có n2 + (2k + 1)2 + = = 2k + 2k + = 2k + 2k + 2 70 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa Như trường hợp ta có: S= n2 + Kết hợp lại suy giá trị nhỏ tổng S cần tìm S = 3.2 n2 + Bài tập đề nghị Bài 1: Có 10 em tham gia trị chơi bóng chuyền Biết khoảng cách em đơi khác nhau, em tay có bóng Sau hiệu lệnh người quản trị, em đưa bóng cho banj đứng gần Hỏi có em cịn có bóng tay Bài 2: Cho 1000 điểm M1 , M2 , , M1000 mặt phẳng Vẽ đường trịn bán kính tùy ý Tìm giá trị nhỏ P = SM1 + SM2 + · · · + SM1000 , với S điểm đường tròn Bài 3: Cho C đa giác lồi Nó gọi "đa giác đẹp", ngồi đỉnh ra, khơng cịn điểm khác "điểm ngun" Tìm số cạnh lớn có "đa giác đẹp" Bài 4: Một tờ giấy kẻ ô vuông gồm m hàng, n cột (m + n ≥ 3) Tô màu k ô vuông cho ô khơng tơ màu có điểm chung với tơ màu Tìm giá trị nhỏ k Bài 5: Cho bảng hình vng 13 × 13 vng Người ta tô màu đỏ S ô vuông bảng cho khơng có bốn đỏ nằm bốn góc hình 71 Luận văn thạc sỹ Học viên: Vũ Thị Thoa chữ nhật Hỏi giá trị lớn S bao nhiêu? Bài 6: Cho C đa giác lồi Nó gọi "đa giác đẹp", đỉnh ra, khơng cịn đỉnh khác "điểm ngun" (tức đỉnh mà hai tọa độ số ngun) Tìm số cạnh lớn có "đa giác đẹp" 72 Kết luận Luận văn "Giá trị lớn giá trị nhỏ số học, hình học hình học tổ hợp" đạt số kết sau: Đưa tốn điển hình giá trị lớn giá trị nhỏ số học, sử dụng khéo léo phương pháp số học để tìm cực trị tốn Đưa toán giá trị lớn giá trị nhỏ hình học: Hình học khơng gian hình học phẳng Đưa tốn giá trị lớn giá trị nhỏ hình học tổ hợp, có sử dụng nguyên lí Dirichlet, nguyên lí lân cận vài phương pháp khác tốn hình học tổ hợp Mặc dù cố gắng vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện 73 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính 1993, Bất đẳng thức, NXB Giáo Dục Việt Nam [2] Nguyễn Kim Cường 2006, Kĩ thuật áp dụng bất đẳng thức Cô-Si, NXB Giáo Dục [3] Lê Hồng Đức 2010, Phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Vũ Đình Hịa 2008, Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục [5] Phạm Kim Hùng 2007, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội [6] Nguyễn Văn Mậu 2006, Bất đẳng thức - Định lí áp dụng, NXB Giáo Dục [7] Nguyễn Văn Mậu 2008, Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo Dục [8] Ngô Thế Phiệt 2007, Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, NXB Giáo Dục [9] Đỗ Thanh Sơn 2009, Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo Dục [10] Tài liệu từ Internet 74 ... nhỏ số học Trong chương giá trị lớn nhỏ số học có đặc điểm sử dụng nhuần nhuyễn định lí số học đưa tốn điển hình giá trị lớn giá trị nhỏ số học Chương II: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học. .. đầu Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số học 1.1 Một số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số học 1.2 Bài tập đề nghị 23 Giá 2.1 2.2 2.3 2.4 trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình. .. trị lớn giá trị nhỏ mang nội dung số học mà từ trước đến giá trị lớn giá trị nhỏ số học chưa phổ cập toán lượng giác hay biểu thức Sau vài tốn điển hình giá trị lớn giá trị nhỏ số học 1.1 Một số