TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI BỘ MÔN CƠ HỌC KỸ THUẬT - - GS.TS NGUYỄN THÚC AN PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU PGS.TS KHỔNG DỖN ĐIỀN LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG HÀ NỘI 2003 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG MỞ ĐẦU MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1.1 Các trình thay đổi khác đại lượng vô hướng chia thành hai dạng: 1.2 Chuyển động dao động đặc biệt quan tâm dao động có chu kỳ ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ THẾ NĂNG CỦA CƠ HỆ HÀM HAO TÁN PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 5.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II 5.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương pháp Đalămbe 11 5.3 Áp dụng phương pháp lực để lập phương trình vi phân dao động nhỏ (trường hợp riêng phương pháp Đalămbe) 11 XÁC ĐỊNH ĐỘ CỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG 13 6.1 Thanh đàn hồi 13 6.2 Hệ lò xo 14 Câu hỏi ôn tập 16 CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 17 1.1 Dao động tự hệ tuyến tính bậc tự 17 1.1.1 Dao động tự không cản 17 1.1.2 Dao động tự có cản 19 1.2 Dao động cưỡng hệ tuyến tính bậc tự 24 1.2.1 Tính tốn dao động cưỡng khơng cản (n = 0) 26 1.2.2 Tính tốn dao động cưỡng có cản (n ≠ 0) 28 1.2.3 Đệm đàn hồi máy 32 1.2.4 Áp dụng phép biến đổi Laplace tính tốn dao động cưỡng 34 Câu hỏi ôn tập 39 CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 40 2.1 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động 40 2.1.1 Hệ nhiều bậc tự 40 2.1.2 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động 40 2.1.3 Những nguyên tắc giải phương trình dao động hệ 41 2.2 Dao động tuyến tính hệ có hai bậc tự 43 2.2.1 Dao động tự khơng có cản 43 2.2.2 Dao động cưỡng không cản 47 2.2.3 Một vài toán ứng dụng 50 2.3 Dao động xoắn trục mang đĩa 55 2.3.1 Phương trình - Phương trình tần số 55 2.3.2 Phương trình dao động xoắn cưỡng trục mang đĩa 57 2.4 Dao động uốn dầm có khối lượng tập trung 59 2.4.1 Phương trình - Phương trình tần số 59 2.4.2 Phương trình dao động uốn cưỡng dầm có khối lượng tập trung 60 Câu hỏi ôn tập 63 CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 65 3.1 Dao động dọc tiết diện không đổi 65 3.1.1 Phương trình vi phân dao động dọc 65 3.1.2 Giải phương trình (3-4) phương pháp Furiê 66 3.1.3 Các điều kiện biên thanh, phương trình tần số 67 3.2 Dao động xoắn trục tròn tiết diện không đổi 69 3.2.1 Phương trình nghiệm 69 3.2.2 Các điều kiện biên - phương trình tần số 70 3.3 Dao động uốn dầm tiết diện không đổi 71 3.3.1 Phương trình 71 3.3.2 Giải phương trình (3-39) 73 3.3.3 Phương trình tần số 73 3.4 Sự truyền sóng đàn hồi dọc tiết diện không đổi 76 Câu hỏi ôn tập 77 CHƯƠNG IV: VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI VÀ ÁP DỤNG LÝ THUYẾT VA CHẠM VÀO BÀI TỐN ĐĨNG CỌC 79 4.1 Một vài toán va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi 79 4.1.1 Va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi tự 79 4.1.2 Va chạm vật rắn vào đàn hồi đầu bị gắn chặt 82 4.2 Một vài toán va chạm búa vào cọc 89 4.2.1 Va chạm búa vào cọc tự 89 4.2.2 Va chạm búa vào cọc tựa cứng 94 4.2.3 Va chạm búa vào cọc đóng đồng đáy cọc gặp lực cản không đổi 99 Câu hỏi ôn tập 117 CHƯƠNG V: CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG PHI TUYẾN 118 MỞ ĐẦU 118 5.1 Dao động tự không cản hệ bậc tự với đặc trưng phi tuyến lực phục hồi 120 5.1.1 Phương trình vi phân nghiệm xác 120 5.1.2 Nghiệm gần phương trình (5-1) 122 5.2 Dao động cững không cản hệ bậc tự với đặc trưng phi tuyến lực phục hồi 128 5.2.1 Phương pháp Butnôp-Galepkin 129 5.2.2 Phương pháp tuyến tính hố trực tiếp 129 5.2.3 Phương pháp Đufing 129 Câu hỏi ôn tập 135 BÀI TẬP 136 Bài tập chương I: Dao động tuyến tính hệ bậc tự 136 Bài tập chương II: Dao động tuyến tính hệ nhiều bậc tự 146 Bài tập chương III: Dao động hệ có vơ số bậc tự 151 Bài tập chương IV: Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyến 153 TÀI LIỆU THAM KHẢO 157 THÔNG TIN TÁC GIẢ 158 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình “Cơ học Lý thuyết II – Lý thuyết Dao động” – Tác giả PGS PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Dỗn Điền, xuất Trường Đại học Thủy lợi, năm 1989, đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Cơng trình, ngành Thuỷ điện ngành Máy Xây Dựng năm qua, đề cập đến toán dao động hệ bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự giải nguyên lý tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động vài trường hợp cụ thể cách giải hệ có nguy xuất hiện tượng cộng hưởng Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến tốn động lực, chúng tơi biên soạn đưa vào thêm: Chương IV (Va chạm vật rắn vào đàn hồi áp dụng Lý thuyết va chạm vào tốn đóng cọc); Chương V (Cơ sở Lý thuyết dao động phi tuyến) có đưa vào ví dụ gần với thực tế tính tốn cơng trình cho ngành Thuỷ lợi Tài liệu dùng để giảng dạy “Lý thuyết dao động” cho sinh viên ngành Công trình, Thuỷ điện, Cấp nước, Trạm bơm giảng dạy môn “ Dao động kỹ thuật” cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi Tài liệu dùng làm tài liệu ơn tập thi tuyển Cao học Nghiên cứu sinh cho ngành Cơng trình, Động lực làm tài liệu học tập tham khảo cho Nghiên cứu sinh ngành có liên quan Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp bạn đọc để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày hoàn chỉnh Hà Nội, tháng 10 năm 2003 Các tác giả CHƯƠNG MỞ ĐẦU MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1.1 Các trình thay đổi khác đại lượng vô hướng chia thành hai dạng: Các trình dao động q trình khơng dao động Q trình dao động đặc trưng tăng hay giảm cách luân phiên đại lượng biến đổi Nó mơ tả phương trình tốn học Dao động phương trình vi phân mơ tả chuyển động tuyến tính, gọi dao động tuyến tính Ngược lại, gọi dao động khơng tuyến tính (phi tuyến) 1.2 Chuyển động dao động đặc biệt quan tâm dao động có chu kỳ Hàm f* (t ) mơ tả q trình dao động có chu kỳ, tồn giá trị T > 0, thoả mãn điều kiện sau: f* (t ) = f* (t ± T ) = f* (t ± 2T ) = = f* (t ± nT ) (1) Trong đó: T gọi chu kỳ; n số nguyên dương Một dạng đặc biệt dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng thực tế dao động điều hoà Về mặt động học dao động điều hoà miêu tả hệ thức: q = A sin(kt + α ) (2) Ở đây: q toạ độ điểm dao động tính từ vị trí trung bình (chọn làm gốc toạ độ); A toạ độ q ứng với độ lệch lớn điểm phía gọi biên độ dao động; (kt + α) Argument sin gọi pha dao động; α pha ban đầu; k tần số vòng (riêng) dao động Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T hệ thức: 2π (3) k (t + T ) + α = kt + α + 2π , từ đó: k = (rad / s ) T Số lần dao động đơn vị thời gian tính theo cơng thức: k (4) f = = T 2π f gọi tần số; đơn vị thường dùng Hecz (Hz) ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ Xét hệ N chất điểm có n bậc tự Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí hệ: q1, q2 , qn (qi, i = 1, n ) Với hệ chịu liên kết dừng, vị trí điểm Mk biểu diễn: uu uu r r rk = rk (q1 , q2 , , qn ) uu r uu r n uu d r r ∂ rk • Từ đó: vk = k = ∑ qi dt i =1 ∂qi n ∑ mk vk2 k =1 uu uu r r Thay (5) vào biểu thức với ý: vk = vk vk Động hệ xác định biểu thức: T = (5) • • n (6) ∑1 Aij qi q j i, j= Ở đây: Aij = Aji hệ số phụ thuộc vào tọa độ suy rộng Khai triển chúng theo chuỗi lũy thừa lân cận vị trí cân (qi = 0; i = 1, n) giữ lại số T= Ta có: hạng đầu, ta nhận biểu thức động hệ tuyến tính hố: • • n T = ∑ aij q i q j (7) i , j =1 Trong đó: aij = a ji = ( Aij )0 gọi hệ số quán tính (thực tế khối lượng mơmen qn tính) Nếu hệ có bậc tự (n = 1), ta có: T = •2 a q , a = A(0) Nếu hệ có hai bậc tự (n = 2), ta được: • • •2⎞ 1⎛ •2 T = ⎜ a11 q1 + 2a12 q1 q + a22 q ⎟ 2⎝ ⎠ (8) (9) Ở đây: a11 = ( A11 )0 ; a12 = ( A12 )0 ; a22 = ( A22 )0 Các hệ số dạng toàn phương (7) thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định dương), nghĩa là: a11 a12 a1n a11 a12 a11 > 0; > 0; ; a21 a22 a2 n > a21 a22 an1 an ann THẾ NĂNG CỦA CƠ HỆ Với liên kết dừng, hệ hàm toạ độ suy rộng: π = π (q1 , q2 , , qn ) Trong hệ bảo tồn, vị trí cân (qi = 0; i = 1, n) , hệ có giá trị cực trị nên: ⎛ ∂π ⎞ ⎜ ⎟ = Với i = 1, n ⎝ ∂qi ⎠ qi =0 (10) Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân ổn định hệ bảo toàn, hệ cực tiểu Khai triển π theo chuỗi luỹ thừa lân cận vị trí cân ổn định (qi = 0; i = 1, n) , ta có: ⎛ ∂π ⎞ n qi + ∑ cij qi q j + (11) ⎟ i , j =1 i =1 ⎝ ∂qi ⎠ Nếu chọn vị trí cân ổn định hệ làm gốc tính π (π )0 = (10) n π = (π )0 + ∑ ⎜ nên số hạng thứ hai (11) không Mặt khác với hệ tuyến tính khơng chứa khai triển thành phần bậc cao hai toạ độ suy rộng Do π hệ tuyến tính hố dạng toàn phương sau: π= n ∑ cij qi q j i , j =1 (12) ⎛ ∂ 2π ⎞ gọi hệ số cứng Ở đây: cij = c ji = ⎜ ⎜ ∂q ∂q ⎟ ⎟ i j ⎠0 ⎝ Nếu hệ có bậc tự (n = 1), ta có: π = cq , c = π ′′(0) Nếu hệ có hai bậc tự (n = 2), ta được: π = (c11q12 + 2c12 q1q2 + c22 q2 ) (14) ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ ∂ 2π ⎞ ; c22 = ⎜ Trong đó: c11 = ⎜ ⎟ ; c12 = ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ∂q1 ⎠0 ⎝ ∂q1∂q2 ⎠0 ⎝ ∂q2 ⎠0 (13) Tương tự phần 2., hệ số cij dạng toàn phương (12) thoả mãn điều kiện xác định dương HÀM HAO TÁN Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc vào vận tốc: uur uu r Rk = − β k vk uu r Trong đó: β k > hệ số cản (nhớt); vk vận tốc chất điểm thứ k thuộc hệ Gọi toạ độ suy rộng của hệ: qi (i = 1, n) Các lực suy rộng tương ứng với lực cản bằng: uu r ur n uu ∂ r r u ∂r r QiΦ = ∑ Rk k = −∑ β k v k k ∂qi ∂qi k =1 k =1 • uu r uur ∂ rk ∂ rr Khi sử dụng đồng thức Lagrăng: = • , ta có: ∂qi ∂ qi uu r n uu ∂ r r vk ⎞ ∂ ⎛ n ∂φ Φ φ k Qi = −∑ β k rk = ⎜ ∑ β k ⎟ Hay: Qi = − • 2⎠ ∂qi ∂qi ⎝ k =1 k =1 ∂q n (15) i n vk (16) k =1 φ biểu diễn (16) gọi hàm hao tán Ta viết φ giống động T tọa độ suy rộng: • • n φ = ∑ Bij q i q j (17) i , j =1 Ở ta đặt: φ = ∑ β k Trong đó: Bij = B ji hàm toạ độ suy rộng: qi (i = 1, n) Khai triển chúng theo chuỗi luỹ thừa lân cận vị trí cân qi = 0; (i = 1, n) giữ lại số hạng đầu, ta nhận biểu thức hàm hao tán tuyến tính hố: n ∑ bij qi q j i , j =1 Ở đây: bij = b ji = ( Bij )0 hệ số cản suy rộng φ= •2 Khi hệ có bậc tự (n = 1): φ = b q ; b = B (0) > • • •2 •2 Khi hệ có hai bậc tự (n = 2): φ = (b1 q1 + 2b12 q1 q + b22 q ) Trong đó: b11 = ( B11 )0 ; b12 = ( B12 )0 ; b22 = ( B22 )0 (18) (19) (20) Các hệ số bij dạng toàn phương (18) thoả mãn tiêu chuẩn xác định dương PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 5.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II Cơ sở lý thuyết nhiều cơng trình nghiên cứu dao động hệ Hôlônôm nhiều bậc tự việc áp dụng phương trình Lagrăng loại II Phương pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ dao động cách sử dụng phương trình Lagrăng loại II gọi phương pháp Đối với hệ Hơlơnơm, có n bậc tự do, xác định toạ độ suy rộng độc lập: q1 , q2 , qn (qi : i = 1, n) , phương trình Lagrăng loại II có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T − = Qi ; i = 1, n (21) • dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi ⎝ i⎠ a Nếu lực tác dụng lên hệ lực ∂π ; i = 1, n Ta có: Qi = Qiπ = − ∂qi Phương trình (21) trở thành: ⎛ ⎞ ∂π d ⎜ ∂T ⎟ ∂T − =− ; i = 1, n (21a) • ∂qi dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi ⎝ i⎠ Đưa vào hàm Lagrăng: L = T − π , ta được: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L (21b) − = 0; i = 1, n • dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi ⎝ i⎠ b Nếu lực tác dụng lên hệ bao gồm lực lực cản nhớt ta có: ∂π ∂φ Qi = Qiπ + Qiφ = − − • ; i = 1, n ∂qi ∂ q i Phương trình (21) trở thành: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ (22) − =− − • ; i = 1, n • dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi ∂qi ∂ q i ⎝ i⎠ Khi ý đến hàm Lagrăng L: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L ∂φ (22a) − + • = 0; i = 1, n • dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi ∂ q i ⎝ i⎠ c Nếu lực tác dụng lên hệ lực có thế, lực cản nhớt cịn có ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy rộng ký hiệu QiP, ta có: Qi = Qiπ + Qiφ + Qi P ; i = 1, n Và phương trình (21) viết dạng: ⎛ ⎞ ∂π ∂φ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T (23) − =− − • + Qi P ; i = 1, n • ∂qi ∂ q dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi i ⎝ i⎠ Thí dụ 1: Con lắc kép gồm hai đồng chất: AB = BC = 2L, trọng lượng P1 = P2 = P nối với lề B Con lắc thực dao động nhỏ mặt phẳng thẳng đứng xung quanh vị trí cân Ay; ngồi AB quay xung quanh trục A; BC quay xung quanh lề B (Hình 1) Bài giải Giả thiết rắn tuyệt đối ; hệ có hai bậc tự Ta chọn θ1, θ2 góc lệch với phương thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng Tại vị trí cân θ1 = θ2 = Phương trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là: d ⎛ ∂T ⎞ ∂T x ⎜ • ⎟− (a) = Qi ; i = 1, A dt ⎜ ∂ θ i ⎟ ∂θi ⎝ ⎠ θ1 Chọn hệ trục tọa độ Axy hình vẽ Động hệ bằng: •2 •2 ⎛ •2 •2 ⎞ P1 1 B T = TAB + TBC = J Az θ + mBC ⎜ x D + y D ⎟ + J Dz θ 2 ⎝ ⎠ Ta có: J Az 1P P P = (2 L) , mBC = , J Dz = (2 L) g 3g 12 g ⎧ xD = L(2sin θ1 + sin θ ) ⎨ ⎩ yD = L(2cos θ1 + cos θ ) ⎤ PL ⎡ ⎢ 4θ + θ + 3θ θ cos(θ1 − θ ) ⎥ 3g ⎣ ⎦ Xét dao động nhỏ: cos(θ1 − θ ) ≈ , ta nhận được: Ta có: T = •2 •2 • • θ2 D P2 y HÌNH C lực lực qn tính xuống chỗ gắn gối đàn hồi với độ cứng C Dầm đặt động xem cứng tuyệt đối R 1 ; a) K d l = ; b) K d l = ; c) Trả lời: K d l = d l = 2 Rt mω 4mω ω 1− 1− 1− C C k Kdl = 9mω 1− 20C P0sinωt P0sinωt C P0sinωt L1 m m m L C L1 C C L L L a) c) 29 Để cách ly rung động củab) máy thiết bị tới giá đỡ đàn hồi người ta thường đưa vào yếu tố hao tán Đó HÌNH VẼ BT 28 giảm chấn có ma sát nhớt Hãy tính hệ số động lực sơ đồ mơ tả hình vẽ Khi tính lấy giá trị sau: EJ m = 1NS / cm ; ω = 100rad / s ; α = 60 NS / cm ; = 200 N / cm L Trả lời: η = ; η = 0,316 2 ⎛ ω ⎞ ⎛ 2nω ⎞ ⎜1 − ⎟ + ⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ 30 Khảo sát dao động cưỡng khối lượng m có xung lực tuần hồn dấu khoảng hữu hạn t1 độ cao h tác dụng lên ⎡ ⎤ ⎛ T − t1 ⎞ ⎢ cos p0 ⎜ t + ⎟ ⎥ ⎛ p0t1 ⎞ ⎝ ⎠ + 2sin p ⎛ t − t1 ⎞ ⎥ Trả lời: y (t ) = h sin ⎜ 0⎜ ⎟ ⎟⎢ T ⎝ ⎠⎥ ⎝ ⎠⎢ sin p0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Trong khoảng: T ≤ t < ∞ nghiệm thác triển tuần hoàn với chu kỳ T EJ m EJ F(t) h α L m F(t) C P0sinωt L HÌNH VẼ BT 29 T t T T HÌNH VẼ BT 30 Bài tập chương II: Dao động tuyến tính hệ nhiều bậc tự 31 Hai tải trọng khối lượng m1, m2 treo vào lị xo có độ cứng C1, C2 tương ứng Xác định tần số dao động hệ khi: a) C1 = C2 = C b) C1 = C2 = C m1 = m2 = m Trả lời: a) k1,2 = b) k1,2 = 2( m1 + m2 )C (2m2 + m1 ) C C2 − m m1m2 2m1m2 4m12 m2 ( 1C 3m 2m ) C1 m1 C2 m2 32 Một móng máy nặng Q = 1000KN đặt đất đàn hồi Diện tích đáy HÌNH VẼ BT 31 HÌNH VẼ BT 32 móng S =17m2; độ cứng riêng đất bằng: Λ = 60000KN/cm3 Để khử dao động cộng hưởng phát sinh máy làm việc người ta đặt máy bệ nặng liên kết với móng lị xo đàn hồi có độ cứng tổng cộng là: C = 50.000 KN / m Trọng lượng máy bệ P = 49 KN Hãy xác định tần số dao động hệ (móng giảm rung) Trả lời: k1 = 89,5rad / s; k2 = 111,7 rad / s 33 Hãy xác định tần số dao động xoắn hệ gồm trục ba đĩa đồng chất lắp trục Hai đĩa lắp chặt vào hai đầu, đĩa thứ ba lắp chặt vào Mơmen qn tính đĩa đường tâm trục J; độ cứng xoắn phần trục C1 = C2 = C Bỏ qua khối lượng trục C 3C , k2 = Trả lời: k1 = J J 34 Hai lắc có độ dài L khối lượng m nối với khoảng h lị xo có động cứng C Các đầu lò xo gắn chặt vào chúng Hãy xác định dao động nhỏ hệ mặt phẳng chứa vị trí cân lắc, sau làm cho lắc lệch khỏi vị trí cân góc α Vận tốc ban đầu chúng Bỏ qua khối lượng lò xo ⎛k +k ⎞ ⎛k −k ⎞ ⎛k +k ⎞ ⎛k −k ⎞ Trả lời: ϕ1 = α cos ⎜ t ⎟ cos ⎜ t ⎟ ; ϕ = α sin ⎜ t ⎟ sin ⎜ t ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Trong đó: k1 = h g 2Ch + L mL2 g ; k2 = L C C M L ϕ m m m 35 Con lắc gồm chạy khối lượng M trượt không ma sát mặt phẳng nằm HÌNH nhỏ có ngang cầu VẼ BT 34khối lượng m nối với HÌNHchạy dài L, VẼ BT 35 quay quanh trục gắn liền với chạy Lị xo có độ cứng C, đầu gắn với chạy đầu gắn cố định Hãy xác định tần số dao động nhỏ hệ Trả lời: Tần số phải tìm nghiệm phương trình: ⎛ C g ( M + m) ⎞ Cg =0 k4 −⎜ + ⎟k + ML ⎠ ML ⎝M 36 Thanh đồng chất có độ dài L treo vào điểm cố định nhờ sợi dây dài l = 0,5 L Hãy xác định tần số dao động hệ tìm tỷ số độ lệch khỏi đường thẳng đứng dây ứng với dao động thứ thứ hai Bỏ qua khối lượng dây g g ; k2 = 2,558 Trả lời: k1 = 0,677 l l ϕ1 = 0,847ϕ2 dao động thứ ϕ1 = −1,180ϕ2 dao động thứ hai 37 Hai lắc vật lý treo vào hai trục song song đặt mặt phẳng nằm ngang nối với lị xo có độ dài trạng thái chưa bị căng khoảng cách hai trục lắc l l ϕ1 C b a L L ϕ2 m=P/g m=P/g Hãy xác định tần số, tỷ số biên độ dao động hệ góc lệch khỏi vị trí cân nhỏ Trọng lượng lắc P, bán kính quán tính trục qua trọng tâm song song với trục treo ρ, độ cứng lò xo C, khoảng cách từ trọng tâm lắc từ điểm gắn lò xo vào lắc đến trục treo tương ứng a b Bỏ qua sức cản chuyển động khối lượng lò xo (1) (2) A1 ga ( Pa + 2Cb ) g A1 2 ; k = ; (1) = +1; (2) = −1 Trả lời: k1 = P( ρ + a ) ρ + a2 A2 A2 38 Hãy nghiên cứu dao động toa xe lửa mặt phẳng thẳng đứng nó, trọng lượng phần lò xo toa xe Q Khoảng cách từ trọng tâm đến mặt phẳng thẳng đứng qua trục L1 = L2 = L, bán kính quán tính trục trung tâm song song với trục toa xe ρ, độ cứng lò xo hai trục C1 = C2 = C Trả lời: x = Asin(k1t+α); ϕ = Bsin(k2t+β) Trong đó: x dịch chuyển thẳng đứng trọng tâm toa xe; ϕ góc tạo sàn toa xe với mặt phẳng nằm ngang; A, B, α, β số tích phân; k1 = 2Cg 2CgL2 ; k2 = Q Qρ O L L1 C L2 A R m 39 Một đĩa tròn đồng chất bán kính R khối lượng M nối khớp với OA = L, quay quanh trục cố định nằm ngang HÌNH VẼ BT 39 lượng m Chất điểm khối HÌNH VẼ BT 38 gắn chặt vào vành đĩa Hãy xác định tần số dao động tự hệ, bỏ qua khối lượng Đĩa quay mặt phẳng dao động OA Trả lời: Tần số dao động tự nghiệm phương trình: M + m ⎛ 2m( R + L) ⎞ g 2mg ( M + m) =0 k − ⎜1 + ⎟ k + M + 3m ⎝ MR MRL( M − 3m) ⎠L 40 Hãy xác định tần số dao động xoắn tự hệ gồm hai trục liên kết với bánh truyền động Mơmen qn tính khối lượng lắp trục mơmen qn tính bánh đường tâm trục bằng: J1 = 87500 kgcms2; J2 = 56000 kgcms2; J1z = 302 kgcms2; J2z = 10,5 kgcms2; Tỷ số truyền λ = Z1/Z2 = 5; Độ cứng trục xoắn: C1 = 316.106 Kgcm; C2 = 115.106 Kgcm Bỏ qua khối lượng trục Trả lời: k1 = 54,8 rad/s; k2 = 2,38.103 rad/s 41 Một hệ gồm khối lượng m1 pittông giảm chấn gắn cứng với điểm B Nhờ lị xo có độ cứng C1, hệ treo vào phẳng A chuyển động theo quy luật: ξ = ξ(t) Hộp giảm chấn có khối lượng m2 tựa lị xo có độ cứng C2, đầu lị xo tựa pittông Ma sát nhớt giảm chấn tỷ lệ với vận tốc tương đối pittông so với hộp, hệ số cản β Hãy thiết lập phương trình chuyển động hệ • • ⎧ •• m1 x1 + β x1 − β x − (C1 + C2 ) x1 − C2 x2 = C1ξ (t ) ⎪ Trả lời: ⎨ •• • • ⎪m2 x − β x1 + β x − C2 x1 + C2 x2 = ⎩ O A II II O1 C ξ(t) m1 C2 I I m2 42 Hãy tìm tần số dạng dao động hai tải trọng B Q, gắn vào hai đầu dầm công xôn nằm ngang Dầm có độ dài 3L nằm tự hai gối đỡ cánh khoảng L, điểm gắn tải trọng cách gối HÌNH VẼ BT 40 HÌNH VẼ BT 41 khoảng L Mơmen qn tính tiết diện ngang dầm J; Mơđun đàn hồi vật liệu dầm E Bỏ qua khối lượng dầm EJg EJg ; k2 = Trả lời: k1 = 5QL3 QL3 43 Động điện trọng lượng Q1 gắn móng bê tơng đàn hồi (dạng hình hộp đặc) có trọng lượng Q2 hệ số cứng C2 Móng đặt đất cứng Rơto có trọng lượng P lắp trục đàn hồi nằm ngang có hệ số cứng uốn C1, tâm sai Rơto trục r, vận tốc góc trục ω Hãy xác định dao động cưỡng thẳng đứng Stato động có tính đến ảnh hưởng khối lượng móng cách cộng thêm 1/3 khối lượng vào khối lượng Stato Trả lời: Độ lệch khỏi vị trí cân Stato: C1Pgrω sin(ωt ) y= 1 ⎡ ⎤ C1C2 g − ⎢(C1 + C2 ) P + C1 (Q1 + Q2 ) ⎥ gω + (Q1 + Q2 )ω 3 ⎣ ⎦ ωt rP C1 Q Q Q1 44 Ba toa tầu chở hàng móc với nhau, độ cứng móc nối toa C1, C2 Trọng lượng toa Q1, Q2, Q3 Tại thời điểm ban đầu hai toa vị trí cân bằng, toa cuối bên phải lệch khỏi vị trí cân khoảng x0 a) Tìm tần số dao động hệ b) Xác định chuyển động toa xe vẽ dao động trường hợp: Các toa xe có trọng lượng (Q1 = Q2 = Q3 = Q) móc nối có độ cứng (C1 = C2 = C3 = C) Trả lời: a) k1 = 0, k2 k3 nghiện phương trình: ⎛ C C + C2 C3 ⎞ ⎛CC C C CC ⎞ k4 − g ⎜ + + ⎟k + g2 ⎜ + + ⎟ = Q2 Q3 ⎠ ⎝ Q1 ⎝ Q1Q2 Q2Q3 Q1Q3 ⎠ x0 x0 x − cos k2t + cos k3t ; x x x2 = − cos k3t x x x x3 = + cos k2t + cos k3t ; k2 = Các dao động biểu diễn sau: b) x1 = gC 3Cg ; k3 = Q Q 1 P0 m1 C1 m2 C2 m3 EJ m1 m2 L/4 EJ L/4 L L/6 m2 m1 L/3 L/3 m3 L/6 L a) 45 a) Xác định tần số dao động riêng dầm tiết diện khơngbđổi có hai khối HÌNH VẼ BT = lượng tập trung m44 m, m2 = 2m (Hình vẽ 45a)HÌNH VẼ BT 45 b) Đặt lực tức thời P(t) =P0 lên khối lượng m1 Tìm quy luật dao động tải trọng mơmen uốn dầm (Hình vẽ 45b) Trả lời: a) k1 = 5,6117 b) x1 = EJ FJ ; k2 = 17,10 mL mL3 P0 L3 (25 − 20cos k1t − 4cos k2t − cos k3t ) 3888 EJ P0 L3 (39 − 40cos k1t + cos k3t ) 3888 EJ P0 L3 x3 = (17 − 20cos k1t + 4cos k2t − cos k3t ) 3888 EJ EJ EJ EJ k1 = 5,643 ; k2 = 22, 4045 ; k2 = 36 3 mL mL mL3 46 Người ta gắn trục chung động bốn nhịp với ba xi lanh Rôto máy phát điện chiều có mơmen qn tính J1 = 1,78.103 kgcms2 Rôto máy phát điện xoay chiều có mơmen qn tính J2 = 5J1 bánh đà có mơmen qn tính J3 = 50J1 Độ dài thu gọn phần trục L1 = 373 cm; L2 = 239 cm; Môđun trượt vật liệu trục G; mơmen qn tính độc cực tiết diện trục JP; tích GJP = 1010 kgcm2 Hãy xác định: Tần số dao động hệ, vận tốc tới hạn trục Bỏ qua ảnh hưởng khối lượng pittông, truyền, tay quay trục Trả lời: k1 = 0; k2 = 6,43 s-1; k3 = 138 s-1; ω(1)th = 42,6 s-1; ω(2)th = 92 s-1 x2 = L1 J1 L2 J2 J3 HÌNH VẼ BT 46 Bài tập chương III: Dao động hệ có vơ số bậc tự 47 Trên bị ngàm hai đầu tác dụng lực dọc trục không đổi P u r Dao động xảy lực P bị cắt bỏ nπ x P sin cos pnt ; ε = π n=1,3, n2 L EF 48 Hãy xác định tần số riêng hàm riêng đầu bị ngàm chặt, đầu mang khối lượng m λx E pn = λn ; xn ( x) = Cn sin n ; n = 1, 2, Trả lời: L ρL Trả lời: 4ε L U= ∑ (−1) n −1 μρ m λn nghiệm phương trình: cot g λ = λ; λ = L ; μ = ρF μL EJ 49 Một bị ngàm chặt đầu phải, bên trái gắn vào lò xo Xác định tần số 2EF riêng C * = L E Trả lời: p1 = 2, 29 ρ L2 r P O L/2 L/2 m x O x C* x O L L εL/2 50 Trục đồng chất47 HÌNH VẼ BT hình trụ trịn đặt hai ổ đỡ hình vẽ Biết JP1/ JP2 = Xác HÌNH VẼ BT 48 HÌNH VẼ BT 49 định tần số riêng dao động xoắn trục a G ; λ nghiệm phương trình: sin λ + 3sin 3λ = Trả lời: p1 = λ1 = 1,15 ρ a*2 a* ρG, JP1 ρG, JP2 ρE, EJ m L a* 2a* 51 Cho dầm đồng chất tiết diện không đổi, đầu trái bị ngàm chặt, bên phải tự HÌNH VẼ BT 50 HÌNH VẼ BT 51 m mang khối lượng m Biết ε = = Xác định tần số riêng tần số riêng μL bậc EJ EJ ; p1 = 1,742 Trả lời: pn = λn2 ML μ L4 Với λn nghiệm phương trình: + chλcosλ + ελ(shλcosλ − chλsinλ) = Bài tập chương IV: Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyến 52 Một xà cứng có tiết diện ngang khơng đổi dài 2L, khối lượng m gắn lề điểm A giữ thăng hai lò xo có độ cứng C Lập phương trình vi phân dao động nhỏ xà, biết phụ thuộc lực cản lò xo độ dãn dài tuyến tính Tìm tần số riêng dao động nhỏ xà •• ⎞ CL2 cos ϕ cos α ⎛ 1 − Trả lời: a) mL α + ⎜ ⎟=0 ⎜ − sin α sin ϕ sin ϕ + sin α sin ϕ ⎟ ⎝ ⎠ b) p = 3C cos ϕ m L O ϕ L O C ϕ C L C C L A α 53 Một xà cứng độ dài 2L, tiết diện ngang không đổi, trọng lượng Q, treo đầu mút giữ thẳng đứng nhờ hai lị xo có độ cứng C L L Lập phương trình vi phân dao động tự xà Tính tần số riêng dao động HÌNH VẼ BT 52 HÌNH VẼ BT 53 nhỏ xà 3g ⎛ C ⎞ ⎜ + ⎟ ⎝Q L⎠ 54 Cho biết khối lượng m di chuyển tự không ma sát dọc theo trục nằm ngang Ở hai phía khối lượng người ta gắn hai lò xo nhau, độ cứng C Giữa lò xo gối có khe hở Tìm tần số dao động hệ phụ thuộc vào biên độ x0 π p0 C ; p0 = Trả lời: p = 2Δ m π+ x0 − Δ •• Trả lời: a) α + 3g 3Cg sin α + 4L 4Q ( ) + sin α − − sin α = ; b) p = Δ Δ C C m C1 m C2 x0 HÌNH VẼ BT 56 55 Giải tập 54HÌNH VẼ BT 54cứng hai lị xo khác (C1 C2) với độ 2π p1 p2 Trả lời: p = 2Δ ( p1 + p2 )(π + ) x0 − Δ 56 Giả thiết khối lượng m dịch chuyển tự (khơng ma sát) mặt phẳng nằm ngang Khi chuyển động khối lượng tiếp xúc với hai lò xo gắn hai phía Lị xo khơng gắn cứng vào khối lượng vị trí cân (khi lị xo khối lượng khơng có khe hở) lị xo khơng bị nén kéo Độ cứng lị xo khác C1 C2 Tìm tần số dao động hệ C1C2 Trả lời: p = m ( C1 + C2 ) 57 Cho biết khối lượng m gắn vào hai lò xo kéo với độ căng ban đầu To Giả sử dao động khối lượng mặt phẳng ngang ma sát Hãy tìm giá trị độ lệch ban đầu x0 cho tần số dao động khối lượng rad/s Hãy giải toán phương pháp tham số bé giới hạn xấp xỉ bậc Cho m = 0,01 Ns2 /cm; L0 = 50 cm; T0 = 50 N; C = 20 N/cm Trả lời: x0 ≈ 9,12 cm 58 Cho biết phương trình dao động tự lắc tốn học có dạng: •• g ϕ + sin ϕ = Trong đó: L độ dài lắc L Tìm tần số dao động tự biết khai triển hàm sinϕ chuỗi Taylor ta lấy hai số hạng đầu Cho biết thời điểm ban đầu (t = 0) lắc lệch khỏi vị trí cân thẳng đứng góc ϕ0 Hãy giải toán phương pháp tham số bé phương pháp tuyến tính hố trực tiếp so sánh kết thu được: g ⎛ ϕ0 ⎞ Trả lời: a) Phương pháp tham số bé: p = ⎜1 − ⎟ ⎠ L⎝ 5ϕ ⎞ g 2⎛ Phương pháp tuyến tính hố trực tiếp: p12 = p0 ⎜1 − ⎟ ; p0 = 42 ⎠ L ⎝ 2 b) Δ = 0,006 p0ϕ0 y r F C L0 m C x R L0 C uur 59 Tìm tần số dao động địn bẩy cho lực khơng đổi F tác dụng vào Mơ men qn tính khối lượng địn bẩy J, độ cứng trục C HÌNH VẼ BT 57 HÌNH VẼ BT hàm sinϕ Giả sử dao động địn bẩy lớn, khai triển 59 chuỗi Taylor ta lấy hai số hạng sinϕ = ϕ − ϕ3 • Biết thời điểm ban đầu (t = • 0) góc quay địn bẩy ϕ(0) = 0, cịn vận tốc góc ϕ (0) = ϕ Hãy giải toán phương pháp tham số bé phương pháp Butnốp-Galepkin so sánh kết thu Trả lời: Kết hai phương pháp trùng nhau: ⎛ • ⎞ ⎜ ϕ0 ⎟ FR C − FR 2 p1 = p + , p2 = ⎜ p1 ⎟ GJ J ⎝ ⎠ 60 Người ta gắn khối lượng m vào đầu mút yếu tố đàn hồi phi tuyến (lò xo) Giả sử lực động điều hồ có dạng F = F0 sin ωt, đặc F trưng lị xo có dạng T = Cx + C1x3 cịn ma m sát khơng đáng kể Cho F0 = 20N ; ω = 10rad/s, m = 10 –1Ns2/cm C = 15N/cm; C1 = HÌNH VẼ BT 60 1,0N/cm Với giá trị tần số lực kích động hệ tồn hai chế độ dao động bình ổn Tính biên độ dao động hai chế độ Trả lời: ω* = 16,6 rad/s; a0 = 4,76 cm; a1 = - 2,38 cm 61 Tìm nghiệm gần phương trình dao động cưỡng khối lượng m (xem hình vẽ BT 60) phương pháp Đufinh, biết thời điểm ban đầu khối lượng m có độ lệch cực đại vị trí cân x0 (các trị số số lấy BT 60) Trả lời: x= 2,27sin10t – 0,363.10-1(sin10t – sin30t) TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Dỗn Điền Bài giảng Lý thuyết dao động ĐHTL - Hà Nội 1988, 88 tr Giáo trình Cơ học lý thuyết Tập II ĐHTL - Hà nội 1977 Бабаков И М Теория колебаний изд 2-е М Наука - 1965- 650с Бутенин Н В Элементы теории нелинейных колебаний Л.Сидпромгиз -1962 - 194c И И Основы теории вибрационной техники Быховский М.Машиностроение - 1969 - 364c Пановко Я Г Основы прикладной теории колебаний и удара Л.Машиностроение -1976 319c Тимошенко С П колебания в инженерном деле М Наука - 1967 - 444c Филипов А Л колебания деформируемых систем М.Машиностроение -1970 732c Nguyễn Văn Khang Dao động kỹ thuật NXB KHKT Hà Nội 2001 10 Nguyễn Thúc An Lý thuyết va chạm dọc đàn hồi ứng dụng vào toán cọc - ĐH Thuỷ lợi 1991 11 Nguyễn Thúc An Áp dụng lý va chạm dọc vào tốn đóng cọc - ĐH Thuỷ lợi 1999 12 Kolsky - Stress waves in soil - Oxford 1953 13 Кильчевский Н А Теория соударений твердых тел- Киев 1969 14 P C Muller, W O Schiellen, Dao động tuyến tính dịch giả Nguyễn Đơng Anh, NXB Xây Dựng 1997 15 Nonlinear oscillations Ali Hasan NayFeh and Dean T Mook, John Willey & Sons, New York, 1979 THƠNG TIN TÁC GIẢ A Tác giả giáo trình: Lý thuyết dao động GS.TS Nguyễn Thúc An - Năm sinh: 25/02/1939 - Nguyên quán: Xã Tảo Dương văn, huyện Ứng hòa, Hà nội - Trú quán: Phòng 101 nhà tập thể trường Đại học Thủy lợi - Điện Thoại: 04.38533673 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi PGS.TS Nguyễn Đình Chiều - Năm sinh: 19/9/1946 - Nguyên quán: Xã Yên Nam huyện Duy Tiên tỉnh Hà nam - Trú quán: 515 Nguyễn Tam Trinh quận Hai Bà trưng, Hà nội - Điện Thoại: 04.36241860 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi PGS.TS Khổng Doãn Điền - Năm sinh: 08/10/1946 - Nguyên quán: Phường Bạch hạc thành phố Việt trì, tỉnh Phú thọ - Trú quán: Tập thể trường Đại học Thủy lợi, Đống Đa, Hà nội - Điện Thoại: 38528515 - Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi B Phạm vi đối tượng sử dụng: Ngành học: Kỹ thuật cơng trình, Cơng nghệ kỹ thuật xây dựng, Thủy điện lượng tái tạo, Kỹ thuật khí, Kỹ thuật bờ biển Trường học: Đại học Thủy lợi Từ khóa: Dao động, Lý thuyết dao động Yêu cầu kiến thức: Toán cao cấp, Cơ học Số lần xuất bản: 01 Nhà xuất bản: NXB Nông nghiệp ... tả phương trình tốn học Dao động phương trình vi phân mơ tả chuyển động tuyến tính, gọi dao động tuyến tính Ngược lại, gọi dao động khơng tuyến tính (phi tuyến) 1.2 Chuyển động dao động đặc biệt... trình vi phân chuyển động 40 2.1.3 Những nguyên tắc giải phương trình dao động hệ 41 2.2 Dao động tuyến tính hệ có hai bậc tự 43 2.2.1 Dao động tự khơng có cản 43 2.2.2 Dao động. .. IV: Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyến 153 TÀI LIỆU THAM KHẢO 157 THÔNG TIN TÁC GIẢ 158 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình “Cơ học Lý thuyết II – Lý thuyết Dao động? ?? – Tác giả PGS