Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ K[x, y] K[x, y] Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ K[x, y] K K[x, y] K Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ A Q A Q A Q A a, b A ab ∈ Q a ∈ Q n ∈ N b n ∈ Q Z 4Z Q A P = √ Q A Q P P A Q P A Q 1 , Q 2 , , Q n n ≥ 1 P A n ∩ i=1 Q i P Q A √ Q = m A Q m A Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ I A I I A I = Q 1 ∩ Q 2 ∩ ∩ Q n , √ Q i = P i Q i P i i = 1, 2, , n I P 1 , P 2 , , P n n A ∀j = 1, , n Q j  n ∩ i=1 i=j Q i I A I A I = Q 1 ∩ Q 2 ∩ ∩ Q n √ Q i = P i i = 1, 2, , n I = Q  1 ∩ Q  2 ∩ ∩ Q  n   Q  i = P  i i = 1, 2, , n  I n = n  {P 1 , P 2 , , P n } = {P  1 , P  2 , , P  n } I A, I = Q 1 ∩Q 2 ∩ ∩Q n , √ Q i = P i i = 1, , n I. {P 1 , , P n } I I Ass(I) I A. Ass(I) I I Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ I A Ass(I) = {P 1 , , P n } I = Q 1 ∩ Q 2 ∩ ∩ Q n √ Q i = P i i = 1, 2, , n I = Q  1 ∩ Q  2 ∩ ∩ Q  n  Q  i = P i i = 1, 2, , n  I i P i I Q i = Q  i I I A A[x 1 , , x n ] K A = K[x, y] x, y.  xy, y 2  = x, y 2 ∩ y =  x, y 2  ∩ y I =  xy, y 2   x, y 2 =  x, y 2  = x, y Ass(I) = {y, x, y} y I x, y I. S = A \ P A I A I P = S −1 I Q A √ Q = P, P ∈ Spec(A) P  P P P = Q P = A P P ⊆ P P P ∩ A = P Q P = Q. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ P 0 ⊃ P 1 ⊃ P 2 ⊃ ⊃ P n A n A A A dim A P A P A/P dim P. I A dim I = sup {dimP | P ∈ V (I)}, V (I) A I P A P = P 0 ⊃ P 1 ⊃ P 2 ⊃ ⊃ P r P P ht P. I A I ht I ht I = inf{ht P | P ∈ V (I)} K dim K[x 1 , , x n ] = n m K[x 1 , , x n ] ht m = n. (A, m) dim A = ht m P A dim A P = ht P A P = ht P D 1 A I A n ht(I) ≤ n. Q ⊂ P A Q = P 0 ⊂ P 1 ⊂ . . . P n = P P i = P i+1 , ∀i Q P i P i P i+1 . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ A Q ⊂ P A Q P Q P A P ∈ Spec(A) dim A = dim A/P+ ht P K[x 1 , , x n ] K[x, y] P ∈ Spec(K[x, y]) 1 ht P = 1 (iv) P 0 = I = f 0 , , f k  = K[x, y] f 0 , , f k ∈ K[x, y] K UCLN {f i } = 1 dim I = 0. ⇒ I = 0 dim I = 1 dim I = 0. dim I = 1 P I ⊆ P dim P = 1 K[x, y] P P = q q ∈ K[x, y] q|f i i = 0, , k UCLN {f i } = 1 dim I = 0. ⇐ UCLN {f i } = 1 d ∈ K[x, y] d|f i i = 0, , k. I ⊆ d d d dim I = 0 d ht d = 2 UCLN {f i } = 1 I 0 A. I A I I K[x, y] Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ A = K[x 1 , x 2 , , x n ] = K[x] K A I A I ≤ T K[x] ≤ m ∈ T, 1 ≤ m, m 1 , m 2 , m ∈ T m 1 ≤ m 2 mm 1 ≤ mm 2 . ≤ T m 1 > m 2 > m 3 > . . . ≤ B ⊆ T B m 1 B B Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... i Nãi chung, mét c¬ së Groebner tèi tiĨu kh«ng gièng víi c¬ së Groebner rót gän vµ kh«ng duy nhÊt Tuy nhiªn, c¬ së Groebner rót gän lµ c¬ së Groebner tèi tiĨu §Þnh lý sau giíi thiƯu cÊu tróc tỉng qu¸t cđa mét c¬ së Groebner tèi tiĨu cđa c¸c i®ean trong 3.1.3 §Þnh lý Cho K[x, y] I = f0 , f1 , , fk lµ mét i®ªan cđa K[x, y] trong ®ã F = {f0 , f1 , , fk } ⊆ K[x, y] lµ mét c¬ së Groebner tèi tiĨu cđa I... 2.2.2 §Þnh nghÜa Cho F = {f1 , f2 , , ft } ⊆ A\ {0} vµ I = f1 , f2 , , ft F ®­ỵc gäi lµ mét c¬ së Groebner cđa I nÕu lt(f1 ), lt(f2 ), , lt(ft ) = lt(I) Bỉ ®Ị d­íi ®©y sÏ chØ ra r»ng lu«n tån t¹i c¬ së Groebner cđa mét i®ªan I tïy ý trong A 2.2.3 MƯnh ®Ị trong ®ã K Cho I= 0 lµ mét i®ªan thËt sù cđa A = K[x1 , x2 , , xn ] lµ mét tr­êng Khi ®ã lu«n tån t¹i c¬ së Groebner cđa Chøng minh Cho I I lµ mét... lµ béi cđa lt(fi ) víi fi ∈ F vµ T cè ®Þnh sao cho lt(f ) = T.lt(fi ) 2.2.7 §Þnh nghÜa Cho F f, g ∈ K[x1 , x2 , , xn ] Ta viÕt f → g nÕu tån t¹i {g0 , g1 , , gr } ⊂ K[x, y] sao cho g0 = f RF g1 , g1 RF g2 , , gr−1 RF gr = g NhËn xÐt r»ng F cho bÊt kú mét ®a thøc tån t¹i F F F f = h0 → h1 → → hr → lu«n dõng MỈt kh¸c, khi F f ∈ A, lu«n tån t¹i h ∈ A sao cho f → h mµ kh«ng F h = h tháa m·n h → h Ta... At th× R M + (R) = R R kh«ng thn nhÊt, chóng ta xÐt H ∈ At sao cho M + (R) = H 2.2.15 §Þnh nghÜa Cho R = (r1 , r2 , , rt ) ∈ At vµ H = (h1 , h2 , , ht ) At Khi ®ã H ®­ỵc gäi lµ më réng cđa R nÕu lµ phÇn tư thn nhÊt cđa M + (R) = H Bỉ ®Ị sau cung cÊp c«ng cơ sÏ ®­ỵc dïng ®Ĩ chøng minh sù t­¬ng ®­¬ng kh¸c cđa c¬ së Groebner 2.2.16 Bỉ ®Ị Cho F = {f1 , f2 , , ft } ⊆ A\ {0} cè ®Þnh vµ R = (r1 , r2 , ,... thiÕt lËp ®­ỵc ba ®iỊu kiƯn t­¬ng ®­¬ng víi §Þnh nghÜa 2.2.1 cđa c¬ së Groebner Sau ®©y ta sÏ t×m hiĨu tht to¸n t×m c¬ së Groebner 2.3 Tht to¸n Buchberger Tr­íc khi giíi thiƯu tht to¸n tÝnh c¬ së Groebner, ta giíi thiƯu mét sè ký hiƯu sau 2.3.1 §Þnh nghÜa ®ã Cho F = {f1 , f2 , , fr } ⊆ A = K[x1 , x2 , , xn ] trong K lµ mét tr­êng Cho (e1 , e2 , , er ) lµ c¬ së chÝnh t¾c cđa Ar (i) B = {(i, j) : 1 ≤... c¬ së Groebner cđa I = f1 , f2 v× lt(S(1, 2)) ∈ lt(I), nh­ng lt(S(1, 2)) = xy ∈ lt(f1 ), lt(f2 ) §Ĩ x©y dùng c¬ së Groebner tõ cho F , ta cÇn thªm vµo F mét ®a thøc, f3 , tõ I , sao lt(S(1, 2)) ∈ lt(f1 ), lt(f2 ), lt(f3 ) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 21 S - ®a thøc lµ c¬ së qut ®Þnh qu¸ tr×nh ph¸t triĨn, biÕn ®ỉi mét tËp cho s½n F = {f1 , f2 , , ft } thµnh c¬ së Groebner. .. nh­ tht to¸n Buchberger, dïng ®Ĩ tÝnh to¸n c¬ së Groebner cho c¸c i®ªan trong A = K[x1 , x2 , , xn ], trong ®ã K lµ mét tr­êng Gi¶ sư ®· cè ®Þnh mét thø tù tõ trªn A Tht to¸n Buchberger : f1 , f2 , , fr ∈ A\ {0} Input : Mét c¬ së Groebner cđa Output : Cho Begin I = f1 , f2 , , fr F = {f1 , f2 , , fr }; u = r; B = (i, j) : 1 ≤ i < j ≤ u WHILE B = ∅ DO CHOOSE (i, j) ∈ B B = B\ {(i, j)} IF L(i, j) = lt(fi... j) WHILE f = 0 vµ lt(f ) ∈ lt(F ) DO CHOOSE f =f− IF T vµ s sao cho lt(f ) = T.lt(fs ) lc(f ) lc(fs ) T.fs f = 0 THEN u=u+1 fu = f F = F ∪ {fu } B = B ∪ {(i, u) |1 ≤ i < u} §Þnh lý sau sÏ chØ ra sù ®óng ®¾n cđa tht to¸n Buchberger 2.3.5 §Þnh lý Cho F = {f1 , f2 , , fr } ⊆ A\ {0} trong ®ã A = K[x1 , x2 , xn ] Khi ®ã tht to¸n Buchberger sÏ tÝnh to¸n c¬ së Groebner cho I Chøng minh thªm vµo Sau mçi lÇn... f5 } lµ c¬ së Groebner cđa I = f1 , f2 , f3 v× S - ®a thøc cã c¸c ®¬n thøc khëi ®Çu thc lt(f1 ), lt(f2 ), lt(f3 ) §Þnh lý 2.3.5 ®­ỵc thiÕt lËp sao cho bÊt kú mét tËp h÷u h¹n sinh nµo cđa i®ªan I ®Ịu cã thĨ ®­ỵc tht to¸n biÕn ®ỉi thµnh c¬ së Groebner cđa I MỈc dï c¬ së nµy kh«ng tån t¹i duy nhÊt nh­ng nã cã thĨ ®­ỵc biĨu diƠn d­íi cïng mét d¹ng duy nhÊt 2.3.7 §Þnh nghÜa Groebner cđa Cho F = {f1 ,... mçi fi cho lc(fi ) C¬ së Groebner rót gän cđa I = f1 , f2 , f3 trong VÝ dơ 2.3.6 lµ: F = z 3 − x3 , xz 2 + x2 , y + x2 , x2 z + x4 , x6 + x3 Chó ý ta cã thĨ dïng mét sè phÇn mỊm nh­: MAPLE, CoCoA, ®Ĩ tÝnh c¬ së Groebner cđa mét i®ªan víi c¸c phÇn tư sinh cho tr­íc Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 27 Ch­¬ng 3 Ph©n tÝch nguyªn s¬ cđa c¸c i®ªan trong K[x, y] theo c¬ së Groebner