vận dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề trong đại số và giải tich nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thpt

TRAN TUAN KIEU

VAN DỤNG PHUONG PHAP DAY HOC GIAI QUYET VAN DE TRONG ĐẠI SÓ VÀ GIẢI TÍCH NHẰM BÒI DƯỠNG NĂNG LỰC

GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THPT

CHUYÊN NGÀNH: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn

MASO: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIAO DUC HOC

- Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyên Văn Thuận

VINH-2010

Trang

MO DAU 1

Chương1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỀN

1.1 Tống quan về dạy học giải quyết vấn đề . -2- 22 sz2csz+se cee2 3

1.1.1 Khái niệm về dạy học giải quyết vấn đề ¿- +2e+rserrxerxsrz 3

1.1.1.1 Cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề 3 1.1.1.2 Những khái niệm cơ bả - ¿65+ xxx E+vEvevEskeetskrsrerkrre 4 1.1.1.3 Dạy học giải quyết vấn đề . -2-©-2¿©s++22z+2xe2EEc2EEeErkrrreerkeee 5 1.1.2 Các cấp độ của dạy học giải quyết vấn đề -2c2ccxzrzsce + 6 1.1.3 Vai trò của đạy học giải quyết vấn đề ¿-ccc xcccsecresrxerree 8 1.2 Bai toan va nang luc gidi Tan oo eceeeeeeseeecseeeeeeeseeeeeteeseeteeetaeee es 10 1.2.1 Phan loai bai toan

1.2.1.1 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật toán 1 I

1.2.1.2 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất tựa thuật toán 12 1.2.1.3 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất phi thuật toán 14 1 2.2 Năng lực và năng lực toán hỌC - - + 3x S* server 18

1.2.2.1 Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ - 5c +cs2 18

LUC GIAI TOAN CHO H QC SINH THPT

2.1 Khả năng triển khai dạy học giải quyết vấn đề 2- 2+ ©cs+csz 45 2.1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học -:- 5¿55z55+ 45 2.1.2 Khả năng triển khai dạy học giải quyết vấn đề - s¿5c+5+ 46 2.2 Một số luận điểm và yêu cầu trong việc vận dụng phương pháp dạy học

giải quyết vấn đề -:- se té 1111211211 111211 21111211 11111111 gxerrey 48

2.2.1 Vận dụng linh hoạt và mềm dẻo các cấp độ trong từng tình huống cụ

tHe es 48

2.2.2 Can quan tâm đúng mức việc tạo điều kiện cho học sinh được hoạt 001 49 2.2.3 Vai trò của cách đặt câu hỏi và những chú ý, ghi nhớ mang tính chất “chốt” lại vấn đề -¿- set tk T1 11 111111111111 1111111111111 111111 creE 51 2.2.3.1 Vai trò của cách đặt câu NOL cece ccc cceececeeseeeeeseeeeseeeeeseeeeeee 51

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm

3.2.2 Nội dung thực nghiệm

1 LY DO CHON DE TAI

1.1 Ở trường phố thông, dạy Toán là dạy hoạt động Tốn học (A A Stơliar) Đối với học sinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Cho nên, chất lượng dạy học Toán gần như được đánh giá bởi sự trưởng thành về trình độ và năng lực giải Toán của học sinh

1.2 Bồi dưỡng năng lực giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó học sinh có khả năng thích ứng mỗi khi đứng trước những vấn đề cần giải quyết Tuy nhiên, nhiều khi chúng ta nhầm tưởng rằng: cứ giải mẫu, giảng kỹ là sau đó học sinh có thể giải tốt Thật ra, thầy có giải mẫu hay giảng kỹ cũng chỉ mới là thuyết trình Điều quan trọng là phải cho học sinh được tập dượt, được hoạt động và suy nghĩ,

khi đó trí óc phải làm việc, năng lực mới phát triển được Bởi vậy, cốt lõi của

dạy học không phải là thầy giải nhiều bài toán cho học sinh xem, mà người

thầy phải biết đặt ra những câu hỏi hợp lý, tế nhị để sao cho học sinh được

suy nghĩ, và nhờ đó học sinh được tích luỹ dần về phương pháp giải Toán Ngay cả khi thầy thuyết trình cũng phải làm cho học sinh hiểu tại sao lại biến đổi như vậy? tại sao lại xuất phát từ cái này mà không phải từ cái kia? tức là cái lý thì phải đúng nhưng phải chú ý cả cái lẽ nó sinh ra (Phan Đình Diệu)

1.3 Dạy học giải quyết vấn đề tuy không còn mới về mặt lý thuyết

nhưng việc triển khai trong thực tế không được nhiều, có chăng cũng nghiêng về thầy thuyết trình, trò nghe giảng Trong khi đó dạy học giải quyết vấn đề cũng có nhiều cấp độ cần phải quan tâm: đàm thoại giải quyết vấn đề, độc lập giải quyết vấn dé

1.4 Nhiều bài toán khâu quyết định là ở chỗ phương hướng, nhưng

nhằm bôi dưỡng năng lực giải Toán cho học sinh THPT”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu việc vận dụng phương pháp đạy học giải quyết vẫn đề trong quá trình dạy học Toán THPT theo các cấp độ: thuyết trình, đàm thoại, tự nghiên cứu vấn đề, nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ nghiên cứu làm sáng tỏ những vấn đề sau: 3.1 Làm sáng tỏ bản chất của dạy học giải quyết vấn đề và các cấp độ của nó 3.2 Làm sáng tỏ năng lực và năng lực giải Toán

3.3 Chỉ rõ tác động của việc lựa chọn phương pháp dạy học, phương thức đặt câu hỏi tới việc nâng cao năng lực giải Toán cho học sinh

3.4 Thẻ hiện việc áp dụng phương pháp dạy học giải quyết van dé qua các tình huống cụ thể

4, GIA THUYET KHOA HOC

Cần thiết và có thể sử dụng nhiều hơn các cấp độ của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán ở bậc THPT, để góp phần nâng cao chất lượng đạy học mơn Tốn và thực hiện việc đôi mới phương pháp dạy học

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨ

-Phương pháp nghiên cứu lý luận

-Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

-Phương pháp thực nghiệm sư phạm

6 CÁU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần: mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỀN

Chương 2: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VAN ĐỀ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH NHẰM BOI DUGNG NANG

LỰC GIẢI TOÁN CHO H ỌC SINH THPT

1.1 Tống quan về dạy học giải quyết van dé 1.1.1 Khải niệm về dạy giải quyết vấn đề

1.1.1.1 Cơ sở khoa học của phương pháp day học giải quyết van dé a Cơ sở Triết học

Theo Triết học Duy vật biện chứng: “Mâu thuẫn là động lực thúc đấy quá trình phát triển” Mỗi vấn đề được gợi cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm sẵn có với những yêu cầu giải thích sự

kiện mới hoặc đổi mới tinh thé

b Cơ sở Tâm lý học

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy

sinh nhu cầu cần tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như X L Rubinstein: “Tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”

c Cơ sở Giáo dục học

Dạy học giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích

cực vì nếu khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình giải quyết vấn đề

Dạy học giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục Tác dụng giáo dục của kiểu dạy học này là ở chỗ nó dạy cho học sinh cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo

Trong giáo dục, người ta thường hiểu khái niệm “vấn đề” như sau:

Một vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:

- Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hành động đó

- Học sinh chưa được học một quy tac c 6 tính chất thuật toán nào để giải

đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra

Hiểu theo nghĩa trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài tập Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật tốn thì khơng phải là những vấn dé

b Tình huống có vấn đề

Tình huống có vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đối đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Như vậy, một tình huống có vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau: - Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải nhận thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ đề vượt qua

- Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề, nhưng nếu học

sinh thấy xa lạ, không muốn tìm hiểu thì đây cũng chưa phải là một tình

câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên và lý thú từ lôgic của đề tài đang

nghiên cứu Đó có thể là một tình huống nghịch lý khiến người ta ngạc nhiên

thắc mắc Song, quá trình dạy học nêu vấn đề hình thành tốt đẹp các chức năng của nó thì trong quá trình áp dụng nó ngày càng nhiều trong thực hành thì bản thân quá trình sáng tạo, quá trình tìm tòi sẽ trở thành động cơ chủ yếu

- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình thì học sinh cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết vấn đề đó

Đặt vấn đề tốt sẽ tác động đến cá nhân theo một phương thức nhất định Nếu việc khắc phục được khó khăn trong vấn đề nêu lên dẫn đến sự thoả mãn một nhu cầu nào đó của cá nhân, thì cá nhân đó sẽ có nguyện vọng giải quyết vấn đề ấy Lúc này sẽ nảy sinh một sự căng thắng trí tuệ nhất định, sự căng thang nay chi mat đi khi van đề đã được giải quyết Những người lười suy nghĩ, không quen với tư duy độc lập, sẵn sàng tránh sự căng thắng đề và sự băn khoăn về trí tuệ kèm theo nó Điều đó cũng cho thấy, tình huống có vấn đề còn phụ thuộc vào chủ quan và tạo ra tình huống có vấn đề như thế nào để không bỏ rơi một bộ phận học sinh trong lớp là kết quả của nghệ thuật sư phạm của giáo viên

1.1.1.3 Dạy học giải quyết van dé

Có thể sơ đồ hoá quá trình đạy học giải quyết van dé như sau:

x K

x

Hinh 1.1

Đưa học sinh (H) đến một trở ngại (T) (tình huống có vấn đề), ở đó T thoả mãn các điều kiện gây xúc cảm và trên sức một ít

Học sinh tích cực hoạt động nhận thức dưới sự gợi mở dẫn dắt toàn bộ hoặc từng phần của giáo viên, hoặc hoàn toàn độc lập để tìm ra con đường HK vượt qua T đến kết quả K Mô phỏng theo lý thuyết hoạt động các mũi tên Hx thể hiện yếu tố trực giác với tư cách là một sự mách bảo bat ngo, không nhận thức được Quá trình rèn luyện hoc sinh độc lập vượt qua trở ngại sẽ dần dần hình thành và phát triển ở họ các năng lực sáng tạo

Dạy học giải quyết vấn đế có những đặc trưng sau: - Học sinh được đặt vào một tình huống có vấn đề

- Học sinh hoạt động tích cực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết vấn đề

- Mục đích của đạy học không chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội được kết quá của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn làm cho họ phát triển được khả năng tiến hành những quá trình như vậy.Nói cách khác, học sinh không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học

1.1.2 Các cấp độ của dạy học giải quyết vấn đề

của dạy học phát hiện và GQVĐ Có nhiều cách phân chia, chắng hạn theo Giáo sư Nguyễn Bá Kim [35, tr 189, 190] thì có các hình thức sau đây:

a) Người học độc lập phát hiện va GOVD

Đây là một hình thức dạy học mà tính độc lập của người học được phát huy cao độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học tự phát

hiện va GQVD dé

Như vậy, trong hình thức này, người học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này

b) Người học hợp tác phát hiện và GOVĐ

Hình thức này chỉ khác hình thức thứ nhất ở chỗ quá trình và phát hiện

GQVĐÐ không diễn ra một cách đơn lẻ ở một người học, mà là có sự hợp tác giữa những người học với nhau, chang han dưới hình thức học nhóm, học

tổ, làm dự án,

©) Thay tro vẫn đáp phát hiện và GOVĐ

Học trị làm việc khơng hồn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của

thầy khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi

của thầy và những câu trả lời hoặc đáp lại của trò Như vậy có sự đan kết, thay đổi sự hoạt động của thầy và trò dưới hình thức vấn đáp

Với hình thức này, ta thấy dạy học phát hiện và GQVĐ có phần giống với phương pháp vấn đáp Tuy nhiên hai cách dạy học này thật ra không đồng nhất với nhau Nét quan trọng trong dạy học phát hiện và GQVĐ không phải là những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề Trong một giờ học nào đề, thầy giáo có thể đặt nhiều câu hỏi, nhưng nếu câu hỏi này chỉ có tác dụng tái hiện tri thức đã học thì giờ học đó vẫn không phải là dạy học phát hiện và GQVĐ Ngược lại, trong một số trường hợp, việc phát hiện và GQVĐ của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải là những câu

d) Giáo viên thuyết trình và phát hiện GOVĐ

Ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở các hình thức trên Thầy tạo ra các tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy phát hiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải) Trong quá trình đó có việc tìm tòi, dự đốn, có lúc

thành cơng, có khi thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết

quả Như vậy, tri thức được trình bày không phải dưới đạng có sẵn mà trong quá trình người ta khám phá ra chúng Quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thật sự Hình thức này được dùng nhiều hơn ở những lớp trên: Trung học phô thông và Đại học

Những hình thức nêu trên đã được sắp xếp theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình phát hiện và GQVĐ, vì vậy nó cũng đồng thời là những cấp độ dạy học phát hiện và GQVĐ về phương điện này

1.1.3 Vai trò của dạy học giải quyết vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim [35, tr 6], "Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và ứng xử của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt được các mục đích đạy học" Do đó, có thể thấy rằng phương pháp dạy

học của GV có ảnh hưởng rất lớn đến sự hình thành và phát triển năng lực phát hiện

phương pháp giải toán của HS

tr 6] "Anh không thể dạy cho con người bắt kỳ điều gì, mà anh chỉ có thé giúp người ấy tự tìm ra chân lý" (Galilê)

- Chúng ta có thể xem quá trình dạy và học thông qua ba tầng tiếp thu của HS như sau:

+ Tầng 1, #ép nhận thông tin Khi ấy thầy giảng, trò nghe và ghi nhớ Trò cần học thuộc với hy vọng sử dụng kiến thức đó để làm những bài tập gân sát với những điều thầy dạy

+ Tầng 2, sự /rao đối thông tin và tạo thông tin mới Khi ấy thầy và trò có sự trao đổi trong quá trình dạy và học nhằm bám sát những kiến thức trong tâm, giúp trò sau này dễ dàng vận dụng được những điều đã học vào những môi trường (những bài toán mới, những dạng toán mới ) hết sức đa dạng

+ Tầng 3, rèn luyện cách tiếp cận, hình thành phương pháp tư duy sáng tao Trong quá trình giảng bài với những bài học khác nhau, người thầy phải

chọn những nội dung đề kết cấu thành hệ thống bài giảng nhằm từng bước

hình thành một phương pháp tư duy, tạo nên kỹ năng sáng tạo cho trò Kết quá là trò sẽ có phương pháp tiếp cận thực tế độc đáo và hiệu quả, có kỹ năng giải quyết vấn đề mức cao

Như vậy, điều hết sức quan trọng mà thầy cần rèn cho trò là phương pháp tiếp cận thông tin, quan sát và nhận dạng vấn đề, hình thành những nhận thức mới

chủ động, tích cực, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch .phù hợp với định hướng đổi mới Giáo dục trong giai đoạn hiện nay

1.2 Bài toán và năng lực giải Toán 1.2.1 Phân loại bài toán

Khi đứng trước một bài toán có bao giờ chúng ta tự hỏi “Bài toán này thuộc kiểu gì?” Đây khơng hồn tồn là một câu hỏi vô bổ mà ngược lại, nêu câu hỏi như vậy có thể có ích, bởi lẽ nếu trả lời được câu hỏi này ở một chừng mực nhất định có nghĩa là ta đã xếp được bài toán này vào một loại nào đó, đối chiếu bài toán với đoạn này đoạn kia đã từng được biết đến trong sách giáo khoa hoặc trong quá trình giải toán, thì như vậy chúng ta đã tiến thêm một bước, hãy nhớ lại phương pháp giải các bài toán kiểu đó mà ta đã nghiên cứu trước đây

Điều này không chỉ đúng cho những bài toán giản đơn mà còn đúng với việc giải mọi bài toán ở bất kỳ độ phức tạp nào Câu hỏi nói trên sẽ dẫn

đến một câu hỏi tiếp theo “Có thê sử dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu

này?” Và những câu hỏi tương tự như thế cứ lần lượt xuất hiện cho đến khi

điều bí mật được hé mở

Việc phân loạt các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán

theo từng kiểu, có thể giúp ích ta khi giải toán Một sự phân loại tốt phải chia

các bài toán thành những kiểu sao cho mối kiểu bài toán quy định trước một phương pháp giải

1.2.1.1 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật toán - Thuật toán là một đãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự nhất định - Mỗi bước là một thao tác sơ cấp, trường hợp đặc biệt là một thuật toán đã biết Các bước rõ rằng, thao tác chính xác (trong cùng một điều kiện, hai bộ xử lí cùng thực hiện một thuật toán thì phải cho ra cùng một kết quả)

Khá nhiều bài toán trong chương trình phổ thông thuộc dạng có thuật giải tổng quát như phương trình bậc nhất một ấn, phương trình bậc hai, phương trình trùng phương, khảo sát hàm số bậc 3

Việc nắm vững cách giải và rèn luyện kĩ năng giải toán này đóng một vai trò cơ bản trong dạy học toán ở trường THPT Ngoài những lợi ích khác, nó cho phép rèn luyện tư duy thuật toán cho HS

Ví dụ I.I: Giải phương trình

a(sinx +cosx)+bsinxcosx+c=0

Thuật toán giải phương trình này có thé tóm tắt như sau: Buéc 1 Dat t= sinx+cosx =~ V2 sin(x + Tự c[-2:21 A n r-l Bước 2 Ta có sin xcosx = —— Bước 3 Ta có phương trình r-l at+b +c=0

Đây là phương trình bậc hai ân ¿ đã có thuật giải, giải phương trình này

tìm; (nếu có), đối chiếu với điều kiện re[T—2:42 ] Nếu không có giá trị +

thỏa mãn kết luận phương trình đã cho vô nghiệm Bước 4 Giải phương trình

a TT —

sins +) = ft V2

Phương trình này cũng đã có thuật giải Kết luận nghiệm

Đối với lớp bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật

toán, GV có hai sự lựa chọn cơ bản về phương pháp dạy: Thơng báo ngay

thuật tốn cho HS rồi cho ví dụ minh họa hoặc dẫn đắt HS đi tìm điều đó

thứ nhất nghe có vẻ tiết kiệm thời gian và hiểu quả hơn (Điệu này sẽ được thể hiện chỉ tiết trong mục2.3 của luận văn)

Đề giúp các em phát hiện ra thuật toán giải bài toán vừa nêu, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đàm thoại giải quyết vấn đề như sau:

GV: Em hãy nhận xét về mối liên hệ giữa các biểu thức

sinx, cosx va sinx+cos.x, sinx.cosx

HS: Ta đã có công thức sin” x+ cos” x =I, còn

GV: Em đã nhớ lại được một công thức rồi, công thức này có dùng được gì không ?

HS: Có, ta hãy bình phương biểu thức sinx+cosx:

(sin x+cosx)” = sin” x+cos” x+ 2sin xcos x

=l+2sin xcos x

GV: Như vậy, các biểu thức trong phương trình ban đầu có thể biểu thị

qua biểu thức nào ?

HS: Tat nhiên là có thể biểu thi qua sin x+cos x

GV: Điều này có ý nghĩa gì không?

HS: Ta chỉ cần đặt z=sinx+cosx thì sẽ đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc hai của z đã biết cách giải

Như vậy đối với những bài toán đã có thuật giải, vấn đề cơ bản là nhận

dạng được bài toán, nghĩa là phát hiện xem bài toán thuộc dạng nào (đã có

thuật giải) Tất nhiên không phải lúc nào HS cũng có thể dễ dàng nhận ra

dạng của bài tốn Cơng việc này đòi hỏi những khả năng nhất định Do đó trong trường hợp này, việc /ừm hiểu bài toán đóng vai trò quan trọng hơn cả vi công việc còn lại chỉ là áp dụng trực tiếp thuật toán đã biết mà thôi

1.2.1.2 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất tựa thuật toán

qui tắc có thé coi là tựa thuật toán, được hiểu như là một dãy hữu hạn những chi dan thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó

Theo tác giả Bùi Văn Nghị [5I, tr 162], aa thudt todn 1a quy trình gồm một số hữu hạn các hoạt động có mục đích rõ ràng, cụ thể, được sắp xếp theo

một trình tự nhất định, nhằm đi đến kết quả là giải được một loại công việc nào đó theo đúng yêu cầu đã định

Tựa thuật toán có các đặc điểm gần giống với thuật toán nhưng mỗi bước

có thể là một thao tác sơ cấp, có thê chỉ gợi ÿ định hướng suy nghĩ hoặc hướng

dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số Ít trường hợp và có hiệu quả

trong nhiều trường hợp Cụ thê qui tắc tựa thuật toán phân biệt với qui tắc thuật

toán như sau:

- Mỗi chỉ dẫn trong qui tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định;

- Kết quả thực hiện được mỗi chỉ dẫn không đơn trị;

- Qui tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán

Mặc dầu có những hạn chế nói trên so với thuật toán, qui tắc tựa thuật toán cũng vẫn là những tri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạt động và giải toán

Ví dụ 1.2: Giải phương trinh :x+Jx+Vx-14+Vx?-x =2

Bước4: Thay các giá trị của tở bước 3 thoả mãn ĐKXĐ để giải tim x Rõ ràng ví dụI.2 không phải t ường minh đạng (*) nhưng dễ dàng thấy răng: Vi? =x =VxVx-1 thi hoc sinh cần thấy răng trong vi dul.2 cd m 6t b6

phận tương tự đ ạng (*) (chứa tổng và tích của các cin; Jx;Vx—1) Lẽ tự nhiên

học sinh sẽ nghĩ tới việc vận dụng tương tự thuật giải phương trình dạng (*) để giải bài toán nay

Có thể tóm tắt lời giải như sau : ĐKXĐ: x>I

Đặt /=VJx+VJx-l;@>0); =x+Vx-x= t +l 2

Ta có phương trình ant: £ +2r-3=0 ¢=1:1=-3 (loai)

Thay vào cách đặt ta co: Vx+Vx-1=1= x=1

1.2.1.3 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất phi thuật toán

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho HS không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học tập của HS Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho HS biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán Bởi vì “ Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” (G Pôlia, 1975)

Như vậy tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán cần thực hiện theo lược

đồ giải toán 4 bước của G Pôlia

Bước I: Phải tìm hiểu kỹ nội dung bai toán

- Cái gì phải tìm? Cái gì đã cho? Cái phải tìm cần thoả mãn những điều kiện gì? những điều kiện đó có đủ để xác định cái phải tìm không? Thiếu hay thừa? Có mâu thuẫn với nhau không?

- Hãy tách các điều kiện ra với nhau Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm đường lối giải, phải tìm sự liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm;

phải dùng phương pháp phân tích, nếu cần thì xét các bài tập trung gian

- Đã lần nào gặp bài toán này chưa? có thể gặp bài tập dưới một hình

thức khác?

- Đã gặp một bài tập nào tương tự như thế chưa?

- Hãy nghiên cứu cái phải tìm! Đã gặp bài tập nào có cái phải tìm tương tự chưa? - Đây là một bài tập đã giải và tương tự bài tập phải làm Bài tập ấy có

giúp ích gì không? Có thể áp dụng kết quả của bài tập đó không? Có thể đưa vào những phần tử phụ để có thể áp dụng bài tập đã biết không?

- Có thể phát biểu bài tập đưới một hình thức khác không? Hãy thay các khái niệm trong đó bài bằng định nghĩa của chúng

- Nếu chưa tìm được lời giải của bài tập đã cho, hãy có gắng giải một bài tập tương tự và dễ hơn, đặc biệt hơn Có thể giải một phần của bài tập không? Hãy bỏ đi một vài điều kiện của bài tập và xét sự thay đồi của cái phải tìm Có thé nghĩ ra những giả thiết khác để giúp xác định cái phải tìm không?

- Có thể biến đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai, để cho chúng gần nhau hơn không (bài tập phụ)?

- Đã sử dụng hết những cái đã cho chưa? Đã xét hết các điều kiện chưa? Đã chú ý đến hết các khái niệm có trong đề bài chưa?

Bước 3: Thực hiện chương trình giải:

Hãy kiểm tra từng bước thực hiện Có thấy rõ từng bước đều đúng không, có thé chứng minh được không?

Bước 4: Nghiên cứu lời giải:

- Co thé di dén cing két qua bằng phương pháp khác không? Có thể xét

kết quả ở một khía cạnh khác không?

- Có thể sử dụng phương pháp giải hay kết quả vào một bài tập khác được không?

- Lược đồ trên hiển nhiên không phải là một thuật toán để giải mọi bài

tập, nó chỉ mang tính chất hướng dẫn, gợi ý Vì vậy, đây là những lời khuyên bổ ích Người thầy giáo dựa vào sự gợi ý này để vận dụng vào từng bài cụ thể Đó cũng là sáng tạo trong đạy học

Ví dụ1.3: Sau khi học công thức cộng, yêu cầu HS tinh giá trị các hàm số lượng giác của các cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos 15”

Nhận thấy 15° không phải là số đo của một cung đặc biệt và chưa biết thuật giải để trực tiếp giải bài toán Học sinh tích cực suy nghĩ, huy động tri thức, kỹ năng của mình để tìm ra lời giải bài tập trên bằng cách: Biểu thi 15° qua hai cung có số đo đặc biệt (15 = 60°- 45), từ đó áp dụng trực tiếp công thức cộng

cos15°= cos (60° - 45°) = cos60° cos45°+ sin60° sin45°

Ví dụ1.4: Chứng minh giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P(x,y)=x°+xy+y°—3(x+y)+3 =0 Giải:

Nhận xét rang P(x,y) là đa thức hai biến số Bài toán cực trị của hàm hai biến số khá phức tạp vượt ra ngoài chương trình phố thông Vì vậy ta tim cach chuyền hóa nội dung bài toán Theo yêu cầu của bài toán, ta cần chứng minh:

P(X,Y) min =0

Chứng minh rằng với mọi x, y thì P(x,y)>0 và ton tai (x,y) để dấu đắng thức xảy ra

Như vậy bài toán đã cho đã được chuyền: Ta có P(x,y)>0 6© 4a? +(b-3)a+b?—3b+3>0 ° («+°;`) ow (53) ~3b+3>0 2 2 © 224+b~3)'+Š(b=DŸ >0 đúng k 42 re Jb-I=0 b=1 Dâu đăng thức xảy ra khi: ° {1 2a+b-3=0 a=l Ví dụ1.5 Ví giả thiết0< a<2c, ta xét hàm sé: y=—*** — xX” +aX+C€ 1 2c+a Chứng minh rằng: —=—.ˆ = Ỷ 2c-a Giải: Xét x+av+ccó A=az*-4e<0(do điều kiện 0<z<2c) cho nên x°+ax+c°>0

voi moi x va ham y có tập xác định là R

1.2.2 Năng lực và năng lực Toán học

1.2.2.1 Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ a) Năng lực

Ở phương Tây có nhiều quan điểm về NL: Theo quan điểm di truyền học, trường phái A Binet (1875-1911) và T Simon cho rằng: NL phụ thuộc tuyệt đối và tính chất bẩm sinh của di truyền gen Theo quan điểm xã hội học, E Durkhiem (1858-1917) cho rằng: NL, nhân cách con người được quyết

định bởi xã hội (như một môi trường bắt biến, tách rời khỏi điều kiện chính

trị) Theo phái tam ly hoc hanh vi, J B Watson (1870-1958) coi NL cua con

người là sự thích nghi “sinh vật” với điều kiện sống [25] Nhìn chung, các

quan điểm này chủ yếu xem xét NL từ khía cạnh bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con người mà coi nhẹ yếu tố giáo dục

Các nhà tâm lý học Mácxit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cách khác Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bâm sinh di truyền đối với NL mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thanh NL

C Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [48, tr 167] Ph Angghen thi cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” [2, tr 641]

Trường phái tâm lý học Xô viết với A G Côvaliov [13, tr 84-127], N X Lâytex, và tiêu biểu là B M Chieplôv đã có nhiềuu công trình nghiên cứu về NL trí tuệ B.M Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lý cá nhân có liên quan với kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó Theo ông có hai yếu tô cơ bản liên quan đến khái niệm NL:

Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lý mang tính cá nhân Mỗi cá thé

Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lý chung mà NL còn phải gắn với một hoạt động nào đ và được hoàn thành có kết quả tốt (tính hướng đích)

Cũng theo quan điểm trên, X.L Rubinstein chú trọng đến tính có ích của hoạt động, ông coi NL là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lý làm cho con người thích hợp với một hoạt động có ích lợi cho xã hội nhất định”

Ở Việt Nam, nhắn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, Phạm Tất Dong và Phạm Minh Hạc đưa ra định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lý của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào day” 24 tr 45]

b) Kĩ năng, kĩ xảo và mối quan hệ với năng lực

M A Danilép va MN Xcatkin [20, tr 26]: "Ki nang bao gid cing xuất phát từ kiến thức, kĩ năng chính là kiến thức trong hành động Kĩ năng là khả năng của con người biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiến thức"

Theo X Roegiers [68, tr 79] thì cho rằng: "Kĩ năng là khả năng thực hiện một cái gì đó Đó là một hoạt động được thực hiện"

Meirieu cho rang: "Ky nang 1a mot hoat dong tri tué 6n dinh va cé thể tái hiện trong những trường kiến thức khác nhau Không một kĩ năng nào tồn tại ở dạng thuần khiết và mọi khả năng đều biểu hiện qua những nội dung"

Như vậy, qua tổng hợp các nghiên cứu chúng tôi cho rằng: Kĩ năng là ở phương thức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua các nội dung cụ thể Kĩ năng có thê được hình thành theo con đường luyện tập Kĩ năng là một bộ phận cấu thành năng lực

Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thành một hoạt động nào đó phụ thuộc vào kĩ năng thực hiện những hành động

hiện các kĩ năng đó chính là kĩ xảo Như vậy, NL va kĩ năng, kĩ xảo có mối

liên hệ khăng khít, gắn bó, NL thường bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành

phần có quan hệ chặt chẽ với nhau, giúp con người hoạt động có kết quả

Nhìn nhận vấn đề NL đưới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phương diện

tìm cách phát triển những NL cho HS trong học tập, X Rogiers đã mô hình hoá khái niệm NL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong một loại tình huống hoạt động: “Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trước đề giải quyết những vấn dé do tình huống này đặt ra” [68, tr.90]

Tom lai, NL va ki nang là những vấn đề khá trừu tượng trong tâm lý học Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà tâm lý học đều thống nhất rằng:

*) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao

*) Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:

+ Có tri thức về hoạt động đó;

+ Tiến hành hoạt động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả; + Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;

+ Biết tiền hành có kết quả trong những đ iều kiện khác nhau

e) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phương diện giáo dục, chúng tôi tổng hợp lại như sau:

*) NL thể hiện đặc thù tâm lý, sinh lý khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởng của yếu tố bâm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn chế còn do những điều kiện khác của môi trường sống

nếu không sẽ bị thui chột Do vậy NL không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển trong hoạt động, chỉ ton tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thé

*) Nói đến NL là noi dén NL trong một loại hoạt động cụ thể của con người *) Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những

hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau Đồng thời NL còn

liên quan đến khá năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm

*) Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong học tập và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm

1.2.2.2 Năng lực toán học và một số thành tô đặc trưng của tư duy toán học ảnh hưởng đến năng lực toán hoc

a) Năng lực toán học

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL toán học từ những phương diện khác nhau Trong các bài viết của Viện sĩ B V Gơnhedencô viết về giáo dục học ở trường phổ thông, ông đưa ra các yêu cầu đối với tư duy toán học của học sinh là:

1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thíu só t của những đ iều cân thiế t trong chứng mình;

2) Sự cô đọng;

3) Sự chí nh xác của các kí hiệu; 4) Phân chia rõ tiế n trình suy luận; 3) Thói quen lý lẽ đây đủ và logic

Theo A la Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là: 1) Suy luận theo sơ đô lôgic chié m wu thế,

2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đi đến mục đích; 3) Phân chia rành mạch các bước suy luận;

4) Sử dụng chính xác các kí hiệu (mỗi kí hiệu toán học có một ÿ nghĩa xác định chặt chẽ);

*) A N Kơlmơgơrơv xem xét NL tốn học trên cơ sở 3 thành tố liên có

liên quan đến khả năng biến đồi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận légic:

1) NL biế n đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm các phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình;

2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học ”; 3) Nghệ thuật suy luận lôgic được phân nhỏ hợp lÿ, tuần tự

*)V A Cruchetxki [14, tr 168] nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và xử lý thông tin đã phân chia NL toán học bao gồm 4 thành tô cơ bản là:

1) Thu nhận thơng tin tốn học;

2) Chế biế n thông tin toán học;

3) Lưu trữ thơng tin tốn học;

4) Thành phân tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ *) UNESCO da céng bé 10 tiéu chí NL toán học cơ bản như sau:

1) NL phát biểu và tái hiện những đị nh nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các KN; 2)_NL tính nhanh và tính cần thận, sử dụng đúng các kí hiệu;

3) NL di ch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;

4) _NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điề u kiện ràng buộc giữa chúng thành kí hiệu;

5) NL theo dõi một hướng suy luận hay chứng mình; 6) _NL xây dựng một chứng mình;

7) NL giải một bài toán đã toán học hoá;

8) NL giai một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa);

9)_NL phân tích bài toán và xác định phé p toán có thể áp dụng; 10) NL khai quat hoa

NL học Giải tích, NL học Hình học Mặt khác, toán học có tính trừu tượng cao và tính logic chặt chẽ nên hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với tư duy toán học Do đó, NL toán học có thể được nghiên cứu từ những góc độ riêng Có những tác giả đã cụ thể hoá và vận dụng NL này vào DH Toán theo các khía cạnh, phạm vi và chủ đề khác nhau

E L Thorndike trong cuốn các vấn đề giảng dạy Đại số, 1920 [81, tr 27] đã xác định bảy thành tố của NL Đại số gồm:

1) Hiểu và thiết lập các công thức;

2) Biểu diễn các tương quan số lượng thành hình dạng công thức; 3) Bié n đối các công thức;

4) Thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho; 3) Giải các phương trình;

6) Thực hiện các phép bié n đổi đại số đồng nhất;

7) Biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng

Từ khía cạnh rèn luyện NL tư duy trong NL toán học, Nguyễn Thái Hoè đưa ra các yêu cầu rèn luyện tư duy qua giải bài tập toán [29, tr 4]; Nguyễn Văn Thuận tìm hiểu các đặc trưng của tư duy lôgic và sử dụng chí nh xác ngơn ngữ tốn học cho HS ở đầu cấp THPT [72]

Nghiên cứu rèn luyện NL giải toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hướng tìm

hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [52]

Trên cơ sở nghiên cứu những lý luận và thực tiễn, có thê thấy:

*) NL toan học là những đặc điểm tâm lý về hoạt động triítuệ của học sinh, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, đễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong mơn Tốn

*) NL toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn

b) MOt sé thanh phan dic trung cia tu duy toan hoc anh huéng đến năng lực toán học

Để thuận lợi cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến việc thực hiện dạy học GQVĐ như nâng cao năng lực giải toán cho học sinh ở các phần sau của luận văn, chúng tôi thấy cần thiết phải phân tích, làm rõ một số loại tư duy dưới đây

a) Tư duy trực giúc

Khái niệm trực giác được đề cập từ lâu và có những cách hiểu khác nhau, điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng trong quá trình nhận thức và sáng tạo khoa học Theo đại bách khoa tồn thư Xơviết thì trực giác là năng lực nhận thức chân lý bằng cách xét đoán trực tiếp mà không có sự biện giải bằng chứng minh Theo v A Cruchetxki thì nhiều trường hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực có thê giải thích bởi ảnh hưởng vô thức bởi kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng là năng lực khái quát hóa các đối tượng, các quan hệ, các phép toán toán học và năng lực tư đuy bằng cấu trúc rút gọn

Các tài liệu khác nhau, hiểu trực giác toán học theo nhiều nghĩa khác nhau và trong thực tế cũng tồn tại nhiều dạng khác nhau; nó có thé coi là sự bừng sáng đột ngột, chưa nhận thức được, có thể là trực quan cảm tính và cũng có thể là kết quả của sự vận động không có ý thức các cách thức hoạt

động khái quát và các cấu trúc rút gọn

J Bruner đã viết: “Thông thường tư duy trực giác dựa trên cơ sở quen biết với những kiến thức cơ bản trong lĩnh vực đang xét với cơ cấu của lĩnh vực này Điều đó cho phép thực hiện tư duy trực giác đưới những dạng biến đổi đột ngột, việc chuyên nhanh từ chỗ này sang chỗ kia, bỏ qua những khâu của vấn đề, we

Và cũng cần chú ý rằng không phải tất cả các phát minh (phát minh vĩ

đại) đều là trực giác, nhưng có rất nhiều phát minh bắt đầu từ trực giác

dẫn Áo thể hệ thống các tiên đề của hình học Ơclit khi Ông nêu ra có lẽ phần lớn cũng xuất phát từ trực giác chăng?

Vi dul.6: Vao nam F Gauss 7 tuổi, thầy giáo đã ra cho cả lớp bài tập: “Hãy tính tổng của một 100 số tự nhiên từ 1 dén 100” va Gauss da dua ra cách trả lời chính xác chỉ sau một lát suy nghĩ Làm thế nào ở độ tuổi đó, ông đã có thé tinh được phép tính phức tạp này?

Phải chăng xuất phát từ trực giác, Ông đã nghĩ: “Dù thay đổi trật tự của con số trong phép tính thì kết quả vẫn không thay đổi, vì thế mình có thể nhóm 1 với 100, 2 với 99, 3 với 98, để tạo thành các cặp có tổng bằng nhau, và mình có 50 cặp số như vậy (2)”,suy luận đưa ra đáp án là 101.50 = 5050 Suy nghĩ này được thể hiện qua sơ đồ sau: mm" 101 14243 +4+ +97 +98 + 9100 101 Hình1.2

Không rõ thời điểm đó Ông thực sự đã suy nghĩ như thế nào, nhưng có lẽ bằng trực giác toán học khi ghép đôi các cặp với nhau như trên? (dẫn theo [80, tr 5])

Qua những ví dụ trên, cho thấy cần phải có những quan tâm hợp lý đối với tư duy trực giác bởi nó có những ý nghĩa rất lớn trong học tập cũng như trong cuộc sống

b) Tư duy lôgíc

bác bỏ, khẳng định, đặt giả thuyết Theo các tác giả Koliagin, Oganhexian, Lukankin, Xanhixki thì: “Tư duy lôgíc được đặc trưng bởi kĩ năng đưa hệ quả từ những tiền đề, kĩ năng phân chia ra trường hợp riêng và phối hợp chúng lại để khảo sát một cách toàn diện vấn đề đang xét, kĩ năng dự đoán về mặt lý thuyết một kết quả cụ thể nào đó”

Theo quan điểm trên, tư duy lôgíc chứa đựng ba thành phần cơ bản đó là: suy điễn, dự đoán, chia trường hợp riêng Tuy nhiên, mức độ của từ ng thành phần ấy thì không được định chuẩn một cách rõ ràng, bởi như đối với dự đoán chắng hạn, cũng có nhiều mức độ, đối với suy diễn thì cũng có những cái trực

tiếp và gián tiếp

Vấn đề dự đốn trong tư duy lơgíc thường gặp nhiều trong DH toán ở trường PT, như các bài toán quỹ tích hình học phẳng, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số khi chưa cos công cụ đạo hàm, đặc biệt là những dự đoán òê phương hướng GQ bài toán Chắng hạn đối với rất nhiều phương trình, hệ phương trình, nếu đi theo con đường truyềmn thống như: đặt ân phụ, biến đồi tương đương, phương pháp thế, thì không thể giải được, nhưng nếu đoán ra yếu tố then chốt là bài toán sẽ được giải theo phương pháp không mẫu mực (đánh giá hai về chang hạn); thì sẽ thành công

Xét ví dụ đưới đây, mô tả lại quá trình mày mò, suy luận để tìm lời giải của một HS có NL toán học 1 =x+-, x 2:2 Ví dụ1.7: Giải phương trình: DKXD: x#0

HS đó nhận thấy phương trình đã cho có chứa những yếu tố siêu việt (mũ, lượng giác), hơn nữa có vẻ như, các biểu thức ở hai về đã cho đưới đạng

mà khó có thể làm “gọn hơn” được nữa, lại dé thay x = I là một nghiệm của

Nhận thấy được: vxe ĐKXĐ thì luôn c6:0< VT =2°°* <2;

Tiếp tục đi đánh giá VP với hi vọng tìm thấy có sự trái chiều

Các biểu thức:x, L là các biểu thức cùng đấu với tích không đổi, có xuất

x

hiện đáng dấp của BDT Cauchy, Nhung BĐT này lại chỉ áp dụng cho các số

không âm; nên dẫn tới đánh giá như sau:

Khi x<0 thì /P=x+ 1 0<VT nén phuong trinh vô nghiệm x Khi x>0 thi theo BDT Cauchy vP=x+ 1>2>yr „ nên phương trình x tương đương với hệ điều kiện: VT =2°%? =2 tp=x+lL~-¿ S*Th x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=1

Nhiều HS khi giải không tránh khỏi sai lầm khi áp dụng BĐT Cauchy

ngay cho về phải và cũng dẫn tới đáp số đúng, sai lầm này thuộc kiểu sai lầm

không nắm rõ nội dung định lý với các điều kiện của nó

Cũng cần nói thêm rằng nhiều bài tốn thuộc kiểu khơng mẫu mực, thì nhiều khi yếu tố mắấu chốt lại nằm ở chỗ hạn chế được miền chứa nghiệm của

bài toán, rồi giải bài toán trên miền chứa nghiệm của nó thì dường như đơn

giản hơn Như ví dụ trên khi x<0 thì phương trình vô nghiệm, nên nếu

phương trình có nghiệm thì nghiệm phải thuộc khoảng (0; +~), do đó dẫn tới

cách giải trên

c) Tư duy sáng tạo

Theo Từ điển Tiếng Việt, “sáng tạo ” là tìm ra cái mới, cách giải quyết

vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tao gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kì hoạt động nào của xã hội loài người Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau với tư duy sáng tạo Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nhất ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhân mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" [37]

Theo Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và theo tác giả "Tu duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bó gò bị phụ thuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của

mỗi cá nhân đã tạo ra nó” [71]

Trong cuốn: "Sáng tạo Tốn học", G Pơlya cho rằng: "Một tư duy gọi là

có hiệu quả nếu tư duy đã dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể

sáng tạo một cách gián tiếp, chắng hạn lúc ta dé lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả"

Chắng hạn “con gà đẻ trứng vàng” của Fermat: “Phương trình x" + y"= z"

không có nghiệm nguyên dương với số tự nhiên n >2” Ở lề của cuốn sách “Arithmetica” của Diophantus, Pierre de Fermat viét: “Khi n = 4 biểu thức trên có nghĩa, và với số n đồng dạng cũng vậy Tôi có một phương pháp rất hay để chứng mình cho định lý này nhưng không thể viết ra đây vì là cuốn sách quá

„3

hep’”” [80, tr 35] Tuy không đưa ra được lời giải cho bài toán nhưng các kết quả toán học có được khi đi tìm lời giải bài toán của các nhà toán học nhiều thế hệ, đã cho những lý thuyết toán học mới với những ý nghĩa to lớn, (cũng nói thêm rằng, việc chứng minh định lý đó cũng chỉ mới được Andrew Wiles công bố vào 1994 với độ dày 200 trang, và lý thuyết chứng minh hết sức phức tạp vượt qua kiến thức mà nhân loại có được thời Fermat sống, có dựa vào một phần của “Giả thuyết Taniyama - Shimura” (dan theo [80, tr 36])

Tác giá Trần Thúc Trình đã cụ thể hơn sự sáng tạo với người học Toán: " Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương

đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết

Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chỉ phối (từng phần hay hoàn toàn), tức

là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bi cho học

sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung và trình bày

Theo định nghĩa thông thường và phố biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là tư duy để tạo ra cái mới Lene trong [44], đã chỉ ra các thuộc tính của tư duy sáng tạo là:

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu;

- Kĩ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một

phương thức mới);

- Kĩ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết những phương thức khác

Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phải trong tư đuy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc lập

đều là tư duy sáng tạo vừa có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm

dưới dạng vòng trong đồng tâm

Tư duy tích cực Tư duy độc lập Tư duy sáng tạo Hình 1.3

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng

tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Ví dụ1.8: Xét ví dụ mà qua đó thê hiện những cách nhìn khác nhau trong việc chứng minh một định lý toán học của những HS có NL toán học nhất định, và ở góc độ nào đó cũng có thể coi là sáng tạo trong giải

Cách 1: HS van dung tinh chat quen biét trong hoan canh mdi khi cd những phần tương tự:

HS đã biết tính chất: cos x + cos y < 2cos * 5 ” ,VX,€ [- HH 5 > (1) dấu “=” xảy ra khix =y

Họ đễ suy ra kết quả tương tự:

X+y+z Z.7

COS x + €OS y + €0SZ < 3c0S 3 sYuze|~5i2 lì (2)

dau “=” xay ra khi x = y =z

Sự di chuyển nhanh của tư duy khi áp dụng vào tam giác 48C, ta được:

A+B+C 3

cos + cosB + cosC <3cos————= 7; dấu bằng xảy ra khi: 4=8=C (ở

đây các góc A, B, C tuy không thỏa mãn điều kiện (2.1) nhưng do bị hạn chế

bởi góc trong tam giác giác nên vẫn có kết quả tương tự)

Cách 2: Hướng suy nghĩ xuất trong đầu những HS có kiến thức khá phong phú, khi thấy được sự xuất hiện các giá trị cosin của góc trong tam giác, gợi ý đến dùng tích vô hướng của các vectơ được xây dựng trên cơ sở các cạnh của tam giác có giá là các đường chứa cạnh (theo chúng tôi cách giải này có những nét độc đáo nhất định khi nghĩ được như vậy) Dẫn tới cách giải sau:

Chọn ba vectơ 7= j =# sao cho: i = =1( dvdd) nhu Hinh 1.4

Khi đó ta có: (+7+zŸ >0 Si+j +k +2ij+jk+ki>0 Sl+li4+i-— 2|] cos B+ Lie cosC + IKlieos 4)>0 (4) © cosA+cosB+cosC si

((4) dé có, chang han: jj = ii cos(i, j) = cos(z ~ B) =—cos 8)

Dấu “=”xảy ra khi :

i+ j+k=0 tam gidc ABC déu

Cách 3: HS vận dụng linh hoạt bất đắng thức quen thuộc (bất đẳng thức Cauchy) khi đoán được dấu ““=”,theo chúng tôi cách giải này có nhiều nét độc đáo

Ta có:

cos 4+ cos Ö + cosC = cos 4+ cos 8 — cos 4cos 8 +sin 4sin 8 = cos 4(I— cos 8) + sin 4sin 8 + cos 8

cos’ 4+(l1—cosB)’ sin” 4+sin” 8

So tH tt cos 8

2 2

cl cos’ A+sin* A | cos’ B+sin* B _3

_2 2 2 2

Dấu “=”xảy ra khi tam giác 48C đều

Cách giải trên, mấu chốt là dự đoán được dấu “=”và trên cơ sở đó mà

nhắm thích hợp, và vận dụng linh hoạt bất đắng thức đã học

Ngoài ra đối với những HS ở mức độ vừa phải hơn, việc giải được như cách 4, cách 5 cũng có thê coi là mới mẻ trong giải bài toán

Cách 4: Với lỗi suy nghĩ mộc mạc, khi biến đối để đưa về tổng của những biểu thức không âm (khi muốn đánh giá biểu thức không âm) hay đưa

3

Ta co: cos A+ cos B+ cosC < +

= 2cos A+B cos A-B +1-2sin°—< 2c 2 N | be ©> 2sin° C—2cos sinC+ >0 2 2 2 sin°C—2sin C(Leos4—#)+ lọc? 4—E „1 _ 1 A-B 20 2 4 2 4 4 2 TU nG a) + isin? AB >0, luôn đúng

(0 được chứng minh; dấu “=”xảy ra khi tam giác 48C đều

Cách 5: HS biết huy động kết quả của định lý về dấu của tam thức bậc hai, vận dụng vào giải bài toán, thực hiện biến đổi để xem là biểu thức đưa ra được như là tam thức bậc hai của một biến nào đó mà việc xét đấu có thé thực

hiện được thông qua biệt số đenta

Sử dụng biến đối tương đương kết hợp với kết quả của định lý về dấu

của tam thức bậc hai Ta có: cos A +6088 + eos <> (1) © 2cos 4+ cos 4=8 41 ~asin2@& <3 2 2 © 2sin? © 2cos 4B sin Ey b> 1 (3) 2 2 2 2

Dé (1) dung thì điều kiện cần và đủ là (3) đúng

Để chứng minh (3) đúng, thấy dáng dap của tam thức bậc hai ấn “sin< "nghĩ tới việc đi xét biệt số đenta, khi đó:

Ar=cos?4— _1~_ si? #—E <0,V4,B là góc của tam giá, cùng với hệ số a=2 >0, suy ra (3) đúng, suy ra (1) đúng, dấu “=”xảy ra khi tam giác

Cũng cần hiểu rằng tư duy sáng tạo cũng có nhiều cấp độ khác nhau, đối với HS khi chưa có PP để giải bài toán nào đó, mà HS đó có thể mò mẫm, dự

đoán, rồi đi đến cách giải (chắng hạn, HS cấp THCS khi chưa có cách giải phương trình bậc hai dạng chuẩn, thì việc biến đổi để đưa về dạng bình

phương đúng dạng X”= k) thì cũng có thể coi đó là một nỗ lực đáng ghi nhận, có thể coi là sự sáng tạo trong nỗ lực GQVD

Khi HS có những cách giải mà thể hiện suy nghĩ, cách giải không giống như cách thường giải (bởi trong trường hợp này có? nghĩa của những con số

mà nếu thay đổi đi một chút thì không thể giải được theo cách đó); tuy có thể

không đầy đủ, chưa chặt chẽ nhưng người giáo viên cần có những động viên,

khuyến khích kịp thời, cổ vũ cho họ và hãy lẫy đó là những tín hiệu tốt bởi it

ra việc dạy học của mình đã có những hiệu quả đáng ghi nhận

1.3 Thực tế vận dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề trong mơn Tốn „

Xuât phát từ yêu câu nâng cao chât lượng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đào tạo có chủ trương đổi mới nội dung và phương pháp giáo dục Việc đôi mới phương pháp dạy học được xem là chìa khóa của vấn đề nâng cao chất lượng Thế nhưng ở các trường phổ thông hiện nay, các PPDH được giáo viên sử dụng chủ yếu vẫn là các phương pháp truyền thống Vấn đề cải tiến phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh đã được đặt ra nhưng kết quả chưa đạt như mong muốn Giáo viên đã có ý thức lựa chọn phương pháp dạy học chủ đạo trong mỗi tình huống điển hình ở mơn Tốn nhưng nhìn chung còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết Phương pháp thuyết trình vẫn còn khá phô biến Những PPDH có khả năng phát huy được tính tích cực, độc lập sáng tạo ở học sinh như dạy học giải quyết vấn đề, dạy học phân hoá thì giáo viên ít sử dụng Có tình trạng đó là do phần đông giáo viên chưa thật sự nắm vững các PPDH này Giáo viên chưa được hướng dẫn

khi vận dụng các PPDH mới khó hoàn thành nội dung chương trình dạy học

trong khuôn khổ thời lượng bị hạn chế Vấn đề thu hút số đông học sinh yếu

kém tham gia các hoạt động cũng gặp không ít khó khăn Kết quả là hiệu quả dạy học chắng những không được nâng cao mà nhiều khi còn sút giảm

Thực tế dạy học Toán hiện nay trong nhiều trường THPT có thể mô tả như sau:

Phần lý thuyết: Giáo viên dạy từng chủ đề theo các bước, đặt vấn đề, giảng giải để dẫn học sinh tới kiến thức, kết hợp với đàm thoại nhằm uốn nắn

những lệch lạc nếu có, củng có kiến thức bằng bài tập, hướng dẫn công việc học tập ở nhà

Phần bài tập: Học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp,

giáo viên gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho học sinh Một số bài Toán sẽ được phát triển theo hướng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa cho đối tượng học sinh khá giỏi

Việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp Giáo viên ít

khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi

hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hay các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp

Hầu hết các giáo viên còn sử dụng nhiều phương pháp thuyết trình và đàm thoại chứ chưa chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học

Hình thức dạy học chưa đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh Học sinh tiếp nhận kiến thức chủ yếu còn bị động Những kĩ năng cần thiết của việc tự học chưa được chú ý đúng mức Do vậy việc dạy học Toán ở trường phố thông hiện nay còn bộc lộ

nhiều điều cần được đổi mới Đó là học trò chưa thật sự hoạt động một cách