0 ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG ðẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN LÝ) Năm 2014 1 MỤC LỤC Chương 1. Giải bài toán như thế nào………………………………………………………. 2 1.1. Cách giải một bài toán………………………………………………………………. 2 1.2. Các phương pháp suy luận thường gặp trong giải toán…………………………… 5 Chương 2: Các tập hợp số………………………………………………………………… 9 2.1. Tập hợp số tự nhiên…………………………………………………………………. 9 2.2. Số nguyên……………………………………………………………………………. 10 2.3. Số hữu tỉ…………………………………………………………………………… 12 2.4. Số thực………………………………………………………………………………. 18 Chương 3: ða thức- Phân thức hữu tỉ……………………………………………………… 23 3.1. ða thức………………………………………………………………………………. 23 3.2. Phân thức hữu tỉ…………………………………………………………………… 31 Chương 4: Hàm số và ñồ thị………………………………………………………………… 35 4.1. Khái niệm hàm số và ñồ thị hàm số…………………………………………………. 35 4.2. Một vài phép biến ñổi ñồ thị………………………………………………………… 36 4.3. Khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp…………………………………… 37 Chương 5: Phương trình – Hệ phương trình……………………………………………… 42 5.1. Phương trình…………………………………………………………………………. 42 5.2. Hệ phương trình…………………………………………………………………… 45 Chương 6: Bất phương trình- Hệ bất phương trình………………………………………. 52 6.1. Bất ñẳng thức……………………………………………………………………… 52 6.2. Bất phương trình- Hệ bất phương…………………………………………………… 55 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………… 62 2 CHƯƠNG 1 Giải bài toán như thế nào Số tiết: 05 (Lý thuyết: 04 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết) A) MỤC TIÊU Chương này gồm hai phần. Phần thứ nhất của chương trang bị cho người học các bước giải một bài toán, bao gồm: tìm hiểu ñầu bài; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình giải; kiểm tra kết quả và biện luận. Ba bước ñầu tiên rèn cho người học khi ñứng trước một bài toán dễ dàng ñịnh hình ñược các công việc chính, trên cơ sở ñó từng bước tiếp cận, vận dụng các kiến thức liên quan ñể hoàn thành lời giải của bài toán ñã cho. Bước thứ tư rèn cho người học biết cách phân tích ñể khai thác bài toán theo nhiều góc ñộ, ñây là một nhiệm vụ quan trọng, ñặc biệt là ñối với người học là các sinh viên ngành sư phạm toán. Phần thứ hai trang bị cho người học một số phương pháp suy luận thường dùng như: phân tích và tổng hợp; quy nạp; tương tự; ñặc biệt hoá; tổng quát hoá. Qua ñó, người học biết vận dụng chúng trong quá trình tư duy và quá trình lập luận khi giải toán. B) NỘI DUNG 1.1. Cách giải một bài toán Thông thường ñể giải một bài toán, người ta thường trải qua các công ñoạn: tìm hiểu ñầu bài; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình giải; kiểm tra kết quả và biện luận. Mặc dù trong thực tế, không phải quá trình giải bài toán nào cũng phải tuần tự trải qua ñầy ñủ các bước kể trên, nhưng việc tìm hiểu và vận dụng bốn bước này sẽ giúp ích khá nhiều cho việc nghiên cứu các bài toán, ñặc biệt là ñối với những bài toán chọn lọc ñiển hình thì nhất thiết phải ñược trình bày và phân tích kĩ lưỡng theo thứ tự các bước ñể rèn luyện các thao tác tư duy và nắm bắt rõ bản chất. 1.1.1. Tìm hiểu ñầu bài ðây là công việc bắt buộc ñầu tiên khi muốn giải một bài toán. Khi ñọc ñầu bài, chúng ta cần hiểu rõ ñâu là giả thiết của bài toán và ñâu là yêu cầu của bài toán. Trên cơ sở ñó, cố gắng khoanh vùng phạm vi của ñề toán: bài toán này thuộc vùng kiến thức nào? Cần có những kiến thức và kĩ năng gì? Nếu giải ñược thì sẽ giải quyết ñược vấn ñề gì? *) Lưu ý: - Cần tìm ra mối quan hệ giữa cái cần tìm và những cái ñã biết ñối với bài toán về tìm tòi, tính toán. - Cần nêu rõ giả thiết, kết luận ñối với bài toán chứng minh. - Nên sử dụng và khai thác hình vẽ trực quan ñể hỗ trợ. - Nên chọn lựa kí hiệu phù hợp. 1.1.2. Xây dựng chương trình giải a) Nhận dạng và tập hợp kiến thức Trên cơ sở ñã khoanh vùng bài toán, trước hết chúng ta cố gắng nhận dạng và phân loại nó. Tiếp ñó, chúng ta cố gắng huy ñộng và tổ chức các kiến thức ñã biết ñể tìm ra lời giải. Quá trình 3 này có thể là tự phát, thậm chí nếu ñã thao tác quen lặp lại nhiều lần nó có thể ñược tái hiện một cách vô thức. Chẳng hạn, khi gặp bài toán “phân tích ña thức thành nhân tử” thì trong ñầu hiện lên một loạt các phương pháp ñã biết về dạng toán này (nhóm hạng tử, ñặt nhân tử chung, thêm bớt hạng tử, sử dụng nghiệm ña thức, dùng hằng ñẳng thức, ñặt ẩn phụ,…). b) Phân tích bài toán ñể ñưa về những bài toán ñơn giản hơn Một bài toán có thể ñược xây dựng từ những bài toán ñơn giản hơn. Chúng ta nên cố gắng phân tích bài toán ñã cho, chia tách nó thành nhiều bài toán nhỏ, rồi giải từng bài toán nhỏ ấy, sau ñó kết hợp chúng lại ñể ñược lời giải của bài toán ban ñầu. Chẳng hạn, ñể chứng minh rằng “nếu p là số nguyên tố 5 p ≥ thì 2 ( 1) 24 p − ⋮ ”, ta có thể tách ra thành hai bài toán nhỏ: (i) 2 ( 1) 8 p − ⋮ và (ii) 2 ( 1) 3. p − ⋮ c) Liên hệ và sử dụng các bài toán ñã giải Khi gặp một bài toán mà chưa tìm ra lời giải, chúng ta hãy cố gắng nhớ lại xem ñã gặp một bài toán tương tự hoặc có liên quan ñến bài toán ñã cho mà ta ñã biết cách giải. ðiều này rất hữu ích vì nó giúp ta tiếp cận gần hơn bài toán ñang xét trên cơ sở kế thừa những ñiểm tương ñồng về phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả,… d) Mò mẫm, dự ñoán Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể tiến hành thử nghiệm với một số trường hợp ñặc biệt riêng lẻ. Trên cơ sở quan sát kết quả xảy ra ñối với các trường hợp này, chúng ta sẽ có thêm những thông tin ñể giải quyết cho trường hợp tổng quát. e) Sử dụng bản gợi ý của Pôlya ðứng trước một bài toán khó, nhiều khi chúng ta hoang mang thậm chí mất phương hướng và rất khó tiếp cận trong thời gian ngắn. Các gợi ý sau của Pôlya giúp cho chúng ta bình tĩnh ñể từng bước tháo gỡ tiến tới giải quyết bài toán ñã cho. - Bạn ñã gặp bài toán này hay bài toán tương tự lần nào chưa? - Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một ñịnh lí nào có thể sử dụng ở ñây ñược không? - Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự. - ðây là một bài toán liên quan mà bạn ñã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có cần phải ñưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng ñược không? - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? - Nếu bạn vẫn chưa giải ñược bài toán ñã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mà dễ hơn ñược không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp ñặc biệt? Một bài toán tương tự? Một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số ñiều kiện, bỏ qua các ñiều kiện khác. Khi ñó ẩn sẽ ñược xác ñịnh ñến một chừng mực nào ñó, nó biến ñổi như thế nào? Có thể nghĩ ra những dữ kiện khác giúp bạn xác ñịnh ñược ẩn không? Có thể thay ñổi ẩn hoặc các dữ kiện (hoặc cả hai) sao cho ẩn mới và các giữ kiện mới gần nhau hơn không? - Bạn ñã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? ðã sử dụng hết các quan hệ chưa? ðã ñể ý ñến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? 4 1.1.3. Thực hiện chương trình giải Khác với việc xây dựng chương trình giải, kết quả của việc thực hiện chương trình giải thể hiện ở việc trình bày lời giải ñầy ñủ của bài toán. ðể lời giải ñảm bảo chính xác, ñúng ñắn cần sử dụng những lập luận ñúng, có căn cứ. mấu chốt ở ñây là phải nắm vững và vận dụng các kiến thức về lôgic Toán. Lời giải cần ñảm bảo gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ ñọc ñể bản thân và người khác dễ theo dõi, kiểm chứng. Do ñó trình tự của nhiều chi tiết, nhiều công ñoạn khi tìm tòi xây dựng chương trình giải có thể ñược thay ñổi lại cho phù hợp. Tuy nhiên cũng cần lưu ý rằng, chính ñiều này gây khó khăn và làm hạn chế người học vì họ chỉ ñược tiếp cận với lời giải mà không rõ khi tiến hành giải phải trải qua các bước. các công ñoạn cụ thể. ðây là lí do mà trong quá trình dạy học, chúng ta không chỉ dừng lại ở việc tìm kiếm, trình bày lời giải hay ñọc hiểu một lời giải sẵn có mà thường coi trọng việc khai thác lời giải ñể cố gắng bóc tách xem ñằng sau mỗi lời giải còn ẩn chứa những gì? 1.1.4. Kiểm tra kết quả và biện luận Trong khi trình bày lời giải, rất có thể chúng ta có thiếu sót, nhầm lẫn, tồn tại. Việc kiểm tra kết quả trước hết giúp ta khắc phục và tránh ñược những tồn tại ñó, bên cạnh ñó nó còn rèn cho chúng ta tính cẩn thận, chắc chắn khi giải quyết một công việc. Mỗi một vấn ñề luôn nằm trong mối quan hệ mật thiết với một loạt các vấn ñề khác, việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải giúp ta tích lũy thêm kinh nghiệm, phát hiện cách giải khác, tìm ra bài toán mới, thấy ñược vị trí và phát hiện mối quan hệ của bài toán vừa giải với các bài toán khác,… ðó là lí do mà sau khi giải xong một bài toán, người ta thường khai thác bài toán hay ñôi khi gọi là biện luận. Có nhiều hướng ñể tiến hành khai thác bài toán, chẳng hạn: - Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự. - Hướng 2: Khái quát hóa ñể phát biểu bài toán tổng quát. - Hướng 3: ðặc biệt hóa ñể phát biểu bài toán trong một số trường hợp cụ thể hơn bài toán ban ñầu (chú ý rằng nếu bài toán ban ñầu ñúng thì bài toán ñặc biệt luôn ñúng). - Hướng 4: Thay ñổi giả thiết ñể xây dựng bài toán mới. - Hướng 5: Từ ý nghĩa bài toán ñã giải dẫn ñến phương pháp giải một bài toán khác. Ví dụ 1.1.1: Cho bài toán: “ Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2”. Ta có thể phát biểu một vài bài toán tương tự: (i) “Chứng minh rằng tích ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3”. (ii) “Chứng minh rằng tích bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4”. Từ bài toán này ta có thể xây dựng các bài toán tổng quát và bài toán ñặc biệt: (i) Bài toán tổng quát: “Chứng minh rằng tích n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n ”. (ii) Bài toán ñặc biệt: “Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8”. Ví dụ 1.1.2. Xuất phát từ bài toán: “ Tính biểu thức 2 2 ( ) ( ) A x y x y = + − − ” với ñáp số 4 , A xy = chúng ta có thể khai thác ñể có các bài toán: (i) “Chứng minh nếu tổng x y + không ñổi thì tích xy lớn nhất khi x y = ”. (ii) “Chứng minh nếu , 0 x y > và xy không ñổi thì tích x y + nhỏ nhất khi x y = ”. 5 (iii) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. (iv) Tìm hai số khi biết hiệu và tích của chúng. 1.2. Các phương pháp suy luận thường gặp trong giải toán 1.2.1. Phân tích và tổng hợp Phân tích là dùng trí óc ñể tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần. Tổng hợp là dùng trí óc ñể kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể. Trong hoạt ñộng giải toán, trước hết chúng ta phải nhìn nhận và quan sát một cách tổng thể ñể xem bài toán ñó thuộc loại gì, cần huy ñộng những kiến thức nào, có thể sử dụng các phương pháp nào. Bước tiếp theo, chúng ta hãy tiến hành phân tích phân tích bài toán ñã cho thành các bài toán nhỏ. Trên cơ sở tìm ra lời giải của các bài toán bộ phận, thông qua sự tổng hợp chúng ta sẽ ñược lời giải của bài toán ban ñầu. Cần chú ý rằng thao tác phân tích thường ñược sử dụng khi tìm lời giải cho bài toán, còn khi trình bày lời giải ñể ñảm bảo tính ngắn gọn, người ta hay dùng thao tác tổng hợp mặc dù biết có vẻ áp ñặt, thiếu tính tự nhiên. Ví dụ 1.2.1. Tìm công thức giải phương trình bậc hai tổng quát 2 0 ( 0). ax bx c a + + = ≠ Sau khi chia vế trái cho a ta ñược: 2 0. b c x x a a + + = Muốn tìm nghiệm ta cần phải phân tích vế trái thành tích hai nhân tử bậc nhất. ðã có 2 , 2 2 b b x x x a a = ta cần thêm bớt hạng tử 2 2 2 . 4 b b a a   =     Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 . 2 4 4 2 4 b c b b b c b b ac x x x x x a a a a a a a a −   + + = + + − + = − −     ðến ñây ta thấy rằng phải xét từng trường hơph dựa theo dấu của 2 4 , b ac ∆ = − … rồi cứ thế ñối với mỗi trường hợp lại phân tích tiếp. Tuy nhiên khi trình bày lời giải, ta lại theo phương pháp tổng hợp như sau: Phương trình tương ñương với 2 2 2 0, -4 . 2 4 b x b ac a a ∆   − − = ∆ =     Ta có: +) 0 : ∆ > Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2 ; 2 b x a − ± ∆ = +) 0 : ∆ = Ph ươ ng trình có nghi ệ m kép 1 2 ; 2 b x x a = = − +) 0 : ∆ = Ph ươ ng trình vô nghi ệ m. 1.2.2. Quy nạp Quy nạp là phương pháp suy luận mà kết luận chung cho mọi trường hợp dựa vào các khẳng ñịnh trên một số trường hợp riêng. Có hai loại quy nạp: quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn. (i) Quy nạp không hoàn toàn: là quy nạp trong ñó kết luận chung cho mọi trường hợp chỉ dựa vào các khẳng ñịnh trên một số trường hợp riêng, cụ thể mà không phải dựa vào tất 6 cả các trường hợp. Do ñó chúng ta chưa thể biết chính xác giá trị chân lí của kết luận (chưa biết ñược tính ñúng, sai). (ii) Quy nạp hoàn toàn: là quy nạp trong ñó kết luận chung cho mọi trường hợp ñược chứng minh là ñúng hoặc dựa vào việc thử nghiệm tất cả các trường hợp (chỉ có thể áp dụng cho tập hữu hạn). Do ñó chúng ta hoàn toàn biết kết luận luôn ñúng. Trong toán học người ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học ñể chứng minh cho kết luận của quy nạp hoàn toàn. Giả sử cần chứng minh khẳng ñịnh ( ) A n là ñúng ñối với mọi số tự nhiên , n p p ≥ là số tự nhiên cho trước. Ta tiến hành theo hai bước sau: (i) Bước cơ sở: kiểm tra ( ) A p ñúng. (ii) Bước quy nạp: giả sử ( ) A n là ñúng ñối với số tự nhiên . n p ≥ Ta chứng minh ( 1) A n + là ñúng. Ví dụ 1.2.2. Từ quan sát thấy 2 2 2 2 1 1,2 1,3 1,4 1 + + + + không chia hết cho 3, ta rút ra kết luận 2 1 n + không chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương . n ðây là phép quy nạp không hoàn toàn, kết luận này ñúng. Ví dụ 1.2.3. Từ quan sát thấy 1 2 3 2 2 2 2 1 5,2 1 17,2 1 257 + = + = + = là các số nguyên tố, ta rút ra kết luận 2 2 1 n + (số Fermat) là các số nguyên tố với mọi số nguyên dương . n Số nguyên tố dạng này ñược gọi là số nguyên tố Fermat. ðây là phép quy nạp không hoàn toàn, kết luận này sai vì Ơle ñã chỉ ra 5 2 2 1 + có ướ c nguyên t ố là 641 (nh ờ máy tính ñ i ệ n t ử , ng ườ i ta ñ ã bi ế t ñượ c r ấ t nhi ề u s ố Fermat không là nguyên t ố ) [2]. Ví dụ 1.2.4. T ừ quan sát th ấ y 11 3 3 5,13 3 5 5,15 3 5 7,17 3 7 7 = + + = + + = + + = + + , ta rút ra k ế t lu ậ n m ỗ i s ố l ẻ l ớ n h ơ n 9 là t ổ ng c ủ a ba s ố nguyên t ố . ð ây là phép quy n ạ p không hoàn toàn, k ế t lu ậ n này ñế n nay v ẫ n ch ư a bi ế t ñ úng sai (bài toán Gônbách t ừ n ă m 1742). 1.2.3. Tương tự Là ph ươ ng pháp suy lu ậ n mà t ừ hai ñố i t ượ ng gi ố ng nhau ở m ộ t s ố d ấ u hi ệ u, ta d ự ñ oán chúng c ũ ng gi ố ng nhau ở d ấ u hi ệ u khác. Ch ẳ ng h ạ n xét hai ñố i t ượ ng X, Y, trong ñ ó ta ñ ã bi ế t X có các d ấ u hi ệ u a, b, c, d còn Y có các d ấ u hi ệ u a, b, c. Trên c ơ s ở bi ế t ñượ c m ộ t s ố t ươ ng ñồ ng gi ữ a X và Y, ta d ự ñ oán r ằ ng Y c ũ ng có d ấ u hi ệ u d. M ặ c dù ta ch ư a th ể kh ẳ ng ñị nh rõ tính ñ úng sai c ủ a k ế t lu ậ n trong phép t ươ ng t ự , nh ư ng ñ i ề u này c ũ ng r ấ t h ữ u ích vì nó góp ph ầ n phái hi ệ n tìm tòi ra cái m ớ i. Trong ho ạ t ñộ ng gi ả i toán, s ử d ụ ng suy lu ậ n t ươ ng t ự ñể liên h ệ bài toán c ầ n gi ả i v ớ i bài toán ñ ã gi ả i có th ể giúp ta nhanh chóng tìm ra l ờ i gi ả i. Trong vi ệ c l ậ p lu ậ n trình bày l ờ i gi ả i, ñể tránh vi ệ c l ặ p ñ i l ặ p l ạ i dài dòng không c ầ n thi ế t, khi g ặ p trình t ự lôgic t ươ ng t ự và không có gì m ớ i l ạ thì ta vi ế t g ọ n là “ t ươ ng t ự nh ư trên ta có…”, ho ặ c “ch ứ ng minh t ươ ng t ự ta ñượ c…”. *) Lưu ý: ðể nâng cao ñộ tin c ậ y c ủ a k ế t lu ậ n khi s ử d ụ ng ph ươ ng pháp t ươ ng t ự , chúng ta c ầ n chú ý các ñ i ể m d ướ i ñ ây: (i) C ố g ắ ng xác l ậ p càng nhi ề u càng t ố t các d ấ u hi ệ u chung cho các ñố i t ượ ng ñượ c so sánh. (ii) C ầ n ch ọ n sao cho các d ấ u hi ệ u chung là d ấ u hi ệ u ñ i ể n hình c ủ a các ñố i t ượ ng ñượ c so sánh, ngh ĩ a là có liên h ệ m ậ t thi ế t v ớ i các thu ộ c tính khác c ủ a các ñố i t ượ ng ñượ c so sánh. 7 (iii) C ầ n ch ọ n sao cho các d ấ u hi ệ u chung có nhi ề u ñ i ể m t ươ ng ñồ ng v ớ i d ấ u hi ệ u k ế t lu ậ n. (iv) C ầ n ch ọ n sao cho các d ấ u hi ệ u chung là d ấ u hi ệ u ñặ c tr ư ng, riêng bi ệ t c ủ a các ñố i t ượ ng ñượ c so sánh. 1.2.4. ðặc biệt hoá Là suy lu ậ n chuy ể n t ừ vi ệ c kh ả o sát m ộ t t ậ p h ợ p sang vi ệ c kh ả o sát m ộ t t ậ p h ợ p con c ủ a nó. ðặ c bi ệ t hóa có tác d ụ ng ñể ki ể m nghi ệ m l ạ i k ế t qu ả trong nh ữ ng tr ườ ng h ợ p riêng ho ặ c ñể tìm ra nh ữ ng k ế t qu ả c ụ th ể h ơ n, sâu s ắ c h ơ n. Trong gi ả i toán, vi ệ c xét tr ườ ng h ợ p ñặ c bi ệ t có khi g ợ i ý cho ta tìm ñượ c ph ươ ng pháp gi ả i bài toán ñ ang xét. Ví dụ 1.2.5. Ph ươ ng trình b ậ c hai 2 0 ( 0) ax bx c a + + = ≠ v ớ i các h ệ s ố th ỏ a mãn 0 a b c + + = v ớ i 0 a b c − + = là tr ườ ng h ợ p riêng c ủ a ph ươ ng trình b ậ c hai t ổ ng quát có hai nghi ệ m là 1, c a (t ươ ng ứ ng 1, c a − ). 1.2.5. Tổng quát hoá ð ây là suy lu ậ n chuy ể n t ừ vi ệ c kh ả o sát m ộ t t ậ p h ợ p ñố i t ượ ng sang vi ệ c kh ả o sát m ộ t t ậ p h ợ p ñố i t ượ ng r ộ ng h ơ n. Nh ờ t ổ ng quát hóa, chúng ta có th ể ñề xu ấ t ñượ c nh ữ ng gi ả thuy ế t, d ự ñ oán. T ổ ng quát hóa m ộ t bài toán cho ta m ộ t bài toán r ộ ng h ơ n, trong m ộ t s ố tr ườ ng h ợ p giúp ta tìm tòi l ờ i gi ả i thu ậ n ti ệ n h ơ n. Ng ườ i ta c ũ ng g ọ i t ổ ng quát hóa là khái quát hóa . Ví dụ 1.2.6. Sau khi bi ế t cách gi ả i ph ươ ng trình b ậ c hai 2 0 ( 0) ax bx c a + + = ≠ , ta có th ể t ổ ng quát hóa b ằ ng cách xét các ph ươ ng trình tam th ứ c d ạ ng 2 0 ( 0, *). n n ax bx c a n + + = ≠ ∈ ℕ *) Chú ý: Ngoài các ph ươ ng pháp suy lu ậ n ch ủ y ế u ở trên, trong gi ả i toán chúng ta th ườ ng s ử d ụ ng k ế t h ợ p r ấ t nhi ề u ph ươ ng pháp khác nh ư : ph ươ ng pháp suy di ễ n, ph ươ ng pháp ph ả n ch ứ ng, ph ươ ng pháp tr ừ u t ượ ng hóa, ph ươ ng pháp c ụ th ể hóa (xem [1]),… và m ộ t lo ạ t các quy t ắ c suy lu ậ n ñượ c trình bày trong lôgic toán. C) TÀI LIỆU HỌC TẬP: [1] Hoàng K ỳ , Hoàng Thanh Hà (2009), ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà xuất bản ðại học Sư phạm. D) CÂU HỎI , BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN Thực hành giải toán Chương 1 Chủ ñiểm 1: Cách giải một bài toán Giải và khai thác các bài toán sau: Bài toán 1: Cho abc là một số nguyên tố. Chứng minh phương trình 2 0 ax bx c + + = không có nghiệm hữu tỉ. Bài toán 2: Cho , x y là các số thỏa mãn 3 3 3 ( ) . x y x y + = + Chứng minh rằng 8 5 5 5 ( ) . x y x y + = + Bài toán 3: Cho 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2). N n n n = + + + + + + ⋯ Chứng minh rằng 4 1 N + là một số chính phương. Bài toán 4: Cho , p q là các số nguyên tố khác nhau, 2, 5 q q > ≠ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho . k pp p q … ⋮  Chủ ñiểm 2: Các phương pháp suy luận và năng lực tư duy Hãy tìm trong chương trình toán THCS những bài toán thể hiện ñược các phương pháp suy luận ñã trình bày trong Phần 1.2. Bài tập Giải và khai thác các bài toán sau: 1) Giải hệ phương trình 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x x x x x x x    = +           = +           = +       . 2) ð i ề n các ñơ n th ứ c thích h ợ p vào các d ấ u ? trong ñẳ ng th ứ c sau: 3 3 (? ?)(? 3 ?) (?) (?) . xy+ + + = − 3) Cho 2. x y + = Ch ứ ng minh r ằ ng 1. xy ≤ 4) Cho s ơ ñồ , ñặ t ñầ u bài thích h ợ p 5) Tìm các c ặ p s ố nguyên d ươ ng có t ổ ng b ằ ng tích. 6) Tính t ổ ng 1.2 2.3 3.4 ( 1) 2. S n n = + + + + + = ⋯ 7) Cho các s ố th ự c d ươ ng , . x y Ch ứ ng minh r ằ ng . 2 x y xy + ≥ 8) Ch ứ ng minh r ằ ng tích ba s ố nguyên liên ti ế p chia h ế t cho 3. 9) Tìm các s ố nguyên , x y th ỏ a mãn 2 3 12. x y + = 9 CHƯƠNG 2 Các tập hợp số Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 02 tiết) A) MỤC TIÊU Chương này trang bị cho người học quá trình xây dựng, mở rộng các tập số, bao gồm: tập số tự nhiên , ℕ tập số nguyên , ℤ tập số hữu tỉ , ℚ tập số thực . ℝ Người học có ñiều kiện ôn tập và củng cố lại các phép toán, quan hệ thứ tự trên các tập số, mối quan hệ giữa các tập số ñể từ ñó vận dụng giải các bài tập theo một số chủ ñiểm trong phần thực hành giải toán. Qua nội dung của chương, người học người học bước ñầu thấy ñược khái niệm con số là khái niệm khá trừu tượng và ñể xây dựng tập số phải trải qua nhiều cấp ñộ, sử dụng nhiều công cụ toán học. B) NỘI DUNG 2.1. Tập hợp số tự nhiên 2.1.1. Nhắc lại khái niệm số tự nhiên Trước hết chúng ta thừa nhận: mỗi tập hợp ñều có một bản số, bản số của tập A ñược kí hiệu là A hay Card . A Hai tập , A B là tương ñương (nghĩa là có song ánh từ tập này ñến tập kia) thì có cùng bản số: . A B = Bản số của một tập hữu hạn ñược gọi là một số tự nhiên. Kí hiệu tập tất cả các số tự nhiên là . ℕ Qua ñây chúng ta thấy bản số là khái niệm mở rộng của “số lượng”. 2.1.2. Quan hệ thứ tự Cho hai số tự nhiên , . a b Giả sử , A B là hai tập hợp thỏa mãn , . a A b B = = Nếu có một ñơn ánh từ A ñến B thì ta nói a nhỏ hơn hay bằng b và viết: . a b ≤ Tập số tự nhiên là ℕ cùng với quan hệ " " ≤ nói trên là một tập sắp thứ tự. Theo Cantor, luôn có một ñơn ánh từ A ñến B hoặc từ B ñến A và nếu có cả hai ñiều này thì A và B tương ñương với nhau. Do ñó quan hệ thứ tự trên ℕ là toàn phần. Hơn thế nữa, người ta còn chứng minh ñược tập số tự nhiên ℕ là tập sắp thứ tự tốt (mọi tập con khác rỗng luôn có phần tử nhỏ nhất). 2.1.3. Các phép toán a) Phép cộng: Cho hai số tự nhiên , . a b Giả sử , A B là hai tập hợp hữu hạn thỏa mãn , , a A b B = = . A B = Φ ∩ Ta gọi A B ∪ là tổng của hai số tự nhiên , . a b Kí hiệu . a b + b) Phép nhân: ho hai số tự nhiên , . a b Giả sử , A B là hai tập hợp hữu hạn thỏa mãn , . a A b B = = Ta gọi A B × là tích của hai số tự nhiên , . a b Kí hiệu . ab c) Phép trừ: ho hai số tự nhiên , . a b Nếu có số tự nhiên c sao cho a c b + = thì ta nói c là hiệu của b và . a Kí hiệu . b a c − = ðịnh lí 2.1.1. (i) Phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, nghĩa là , a b b a ab ba + = + = với mọi , . a b ∈ ℕ [...]... Hà (2009), ð i s sơ c p và Th c hành gi i Toán, Nhà xu t b n ð i h c Sư ph m 20 D) CÂU H I, BÀI T P, N I DUNG ÔN T P VÀ TH O LU N Th c hành gi i toán Chương 2 Gi i và khai thác các bài toán trong các ch ñi m sau: Ch ñi m 1: S nguyên t Bài toán 1: Tìm s nguyên t a bi t 2a + 1 là l p phương c a m t s nguyên t Bài toán 2: Tìm các s nguyên t a, b, c bi t abc = 3(a + b + c) Bài toán 3: Cho p là m t s nguyên... ng Th c hành gi i toán Chương 3 Gi i và khai thác các bài toán trong các ch ñi m sau: Ch ñi m 1: Tính chia h t c a ña th c, nghi m c a ña th c Bài toán 1: Tìm ña th c f ( x) bi t f ( x) chia cho x − 1, x − 3 ñ u có dư là 2 và f ( x) chia cho x 2 − 4 x + 3 ñư c thương là x + 1 và còn dư Bài toán 2: Ch ng minh r ng trong vành ℚ[x] m i ña th c nh n làm nghi m ñ u chia h t cho x 2 − 3 Bài toán 3: Cho ña... chia h t cho p m mà không chia h t cho p m+1 Bài toán 4: Cho p > 3 là s nguyên t sao cho 4 p + 1 cũng là s nguyên t Ch ng minh r ng 4 p − 1 là h p s Bài toán 5: Tìm s nguyên t p sao cho p + 2, p + 4 cũng là s nguyên t Ch ñi m 2: Tính chia h t Bài toán 1: Ch ng minh r ng n u s nguyên không chia h t cho 3 thì n 2 − 1⋮ 3 Bài toán 2: Ch ng minh r ng v i m i s nguyên m, ta luôn có m3 − 13m ⋮ 6 Bài toán 3:... m, ta luôn có m5 − m⋮ 5 Bài toán 4: Ch ng minh r ng v i m i s nguyên t p, q, ta luôn có p q −1 + q p −1 − 1⋮ pq Bài toán 5: Ch ng minh r ng t n t i s nguyên k sao cho 3k − 1⋮1000 Ch ñi m 3: B i và ư c c a các s Bài toán 1: Tìm s t nhiên có hai ch s sao cho s ñó chia h t cho tích các ch s c a nó Bài toán 2: M t căn phòng hình ch nh t dài 6,25m, r ng 4,75m Hãy tìm kích thư c viên g ch lát n n hình vuông... 4 Hàm s và ñ th S ti t: 08 (Lý thuy t: 05 ti t; bài t p, th o lu n: 03 ti t) A) M C TIÊU Chương này c ng c và h th ng l i cho ngư i các ki n th c v hàm s và ñ th c a hàm s , bao g m: phân lo i hàm s ; kh o sát m t hàm s b ng phương pháp sơ c p và v ñ th c a hàm s ; các phép bi n ñ i ñ th Các d ng bài t p giúp ngư i h c rèn luy n thành th o các kĩ năng gi i và khai thác các bài toán v hàm s và ñ th... vuông (ñư c tính theo cm) sao cho s viên g ch ít nh t và lát v a kín n n mà không ph i x viên nào Bài toán 3: T i b n sông có 3 chi c thuy n Chi c th nh t c 5 ngày l i c p b n 1 l n, chi c th hai c 7 ngày l i c p b n 1 l n, chi c th ba c 12 ngày l i c p b n 1 l n Hôm nay, c 3 chi c cùng kh i hành t b n sông H i ít nh t sau bao nhiêu ngày n a chúng l i cùng c p b n sông này Bài toán 4: Tìm nghi m nguyên... và có cùng b n s v i t p các s th c 22 CHƯƠNG 3 ða th c- Phân th c h u t S ti t: 08 (Lý thuy t: 05 ti t; bài t p, th o lu n: 03 ti t) A) M C TIÊU Chương này c ng c và h th ng l i cho ngư i h c các ki n th c v ña th c và phân th c h u t trên các trư ng s , bao g m: các phép toán và các phép bi n ñ i ña th c; lý thuy t chia h t trên trên vành ña th c m t bi n; ña th c b t kh quy, phân tích ña th c thành... cho ( x − c ) là f ( c ) H qu 3.1.18 ða th c f ( x ) nh n c làm nghi m khi và ch khi f ( x ) chia h t cho ( x − c ) Th c hi n phép chia ña th c f ( x ) = an + an −1 x + ⋯ + a0 x n (an ≠ 0) cho ña th c ( x − c ) ta ñư c ña th c thương g = bn −1 + bn− 2 x + ⋯ + b0 x n −1 cho b i công th c b0 = a0 , bi = ai + cbi −1 , ∀i = 1, 2, n − 1 và dư r = an + cbn−1 = f (c) ð ti n cho vi c tính toán ngư i ta dùng. ..   ⋯ ⋯ ⋯  a  x1 x2 ⋯ xn = (−1) n 0  an  e) Nghi m nguyên và nghi m h u t Trong th c hành vi c tìm nghi m nguyên và nghi m h u t thư ng ñóng vai trò quan tr ng và có ý nghĩa th c ti n Nh vi c quy ñ ng, ta luôn ñưa ñư c bài toán tìm nghi m c a m t ña th c v i h s h u t v bài toán tìm nghi m c a m t ña th c v i h s nguyên ð nh lí 3.1.23 Cho ña th c f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ⋯ + a1 x + a0 ∈... Kỳ, Hoàng Thanh Hà (2009), ð i s sơ c p và Th c hành gi i Toán, Nhà xu t b n ð i h c Sư ph m D) CÂU H I, BÀI T P, N I DUNG ÔN T P VÀ TH O LU N N i dung th o lu n 1) Hãy trình bày các phương pháp phân tích ña th c thành nhân t Nêu các ví d minh h a và xem xét vi c m r ng các phương pháp trên các trư ng b t kì 2) Hãy trình bày ng d ng c a ña th c ñ i x ng trong ñ i s sơ c p 3) Hãy trình bày ý nghĩa hình . phạm. D) CÂU HỎI , BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN Thực hành giải toán Chương 1 Chủ ñiểm 1: Cách giải một bài toán Giải và khai thác các bài toán sau: Bài toán 1: Cho abc là một. ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG ðẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN LÝ) Năm 2014 1 MỤC LỤC Chương 1. Giải bài toán. hãy tiến hành phân tích phân tích bài toán ñã cho thành các bài toán nhỏ. Trên cơ sở tìm ra lời giải của các bài toán bộ phận, thông qua sự tổng hợp chúng ta sẽ ñược lời giải của bài toán ban