BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - LEÂ THỊ PHƯƠNG NGỌC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HOÀN HOÁ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Lê Thị Phương Ngọc LỜI CÁM ƠN Tôi vô biết ơn PGS TS Lê Hoàn Hoá, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy giảng dạy, hướng dẫn tận tình giúp đỡ mặt học tập nghiên cứu khoa học Thầy thật Người Cha nghiêm khắc việc bảo rèn luyện cho đức tính cần có người làm khoa học Tôi biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Thành Long, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp HCM, giúp đỡ tận tình bảo vô quý báu nghiêm khắc Thầy cho nghiên cứu khoa học Thầy cho hội để tham gia đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ sinh hoạt học thuật theo hướng nghiên cứu mà Thầy chủ trì, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt luận án Tôi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Nhà Khoa học thành viên Hội đồng chấm luận án tiến só cấp Bộ môn cấp Nhà nước, chuyên gia Phản biện độc lập thức luận án, cho nhận xét, đánh giá bình luận quý báu với bảo, đề nghị quan trọng tạo điều kiện để hoàn thành luận án cách tốt Tôi kính gửi đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đồng kính gửi đến Ban Tổ chức hội nghị khoa học Toán học lời cám ơn trân trọng, suốt thời gian qua, nhận giúp đỡ Quý Thầy Cô học tập, nghiên cứu cho điều kiện thuận lợi để tìm kiếm tài liệu tham dự hội nghị khoa học Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giải tích Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, giúp đỡ nhiều trình học tập bảo vệ luận án, lời cám ơn chân thành trân trọng Tôi chân thành trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô chuyên viên Vụ Đại học Sau Đại học Bộ Giáo dục Đào tạo tận tình giúp đỡ hoàn tất thủ tục quan trọng trình bảo vệ luận án Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường, Ban Chủ nhiệm Khoa Tự nhiên Phòng Ban khác Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang, nơi giảng dạy, tạo nhiều điều kiện thuận lợi vật chất tinh thần để hoàn thành tốt nhiệm vụ nghiên cứu sinh, lời cám ơn sâu sắc trân trọng Tôi thành thật cám ơn Anh Chị đồng nghiệp Người thân giúp đỡ mặt Gia đình nguồn động viên to lớn Tôi thật kính trọng biết ơn sâu sắc tất Người bảo, quan tâm, động viên giúp đỡ mặt Nghiên cứu sinh Lê Thị Phương Ngọc Bảng ký hiệu sử dụng MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL'SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 10 1.1 Giới thiệu 10 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii 11 1.3 Sự tồn nghiệm 14 1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận 22 1.5 Tính compact, liên thông tập hợp nghiệm 28 1.6 Một trường hợp tổng quát 35 Chương 2: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU LERAY - SCHAUDER VÀ NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CẤP HAI CÓ CHẬM 47 2.1 Giới thiệu 47 2.2 Các kiến thức chuẩn bị 48 2.3 Khảo sát toán giá trị biên điểm có đối số chậm 49 2.4 Khảo sát toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm 61 2.5 Khảo sát toán giá trị đầu có đối số chậm 67 Chương 3: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO BÀI TOÁN HỖN HP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF 75 3.1 Giới thiệu 75 3.2 Các không gian hàm kết chuẩn bị 78 3.3 Sự tồn nghiệm 81 3.4 Sự hội tụ cấp hai với f = f(r, u), B = B(z) 95 3.5 Khai trieån tiệm cận nghiệm theo tham số bé 107 KẾT LUẬN 123 Danh mục công trình tác giả 126 Tài liệu tham khảo 127 BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên khác Tập hợp số thực Tập hợp số thực không âm Không gian Euclide thực n-chiều Biên Ω Bao đóng Ω Bao lồi M Tích Đềcác hai tập hợp A B Không gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm |.|n Không gian metric X với metric d Không gian Banach E với chuẩn |.| Chuẩn không gian Banach X Không gian đối ngẫu X Không gian hàm số thực liên tục đoạn [a, b] Không gian hàm số thực khả vi liên tục đoạn [a, b] Không gian gồm hàm số u : Ω → R liên tục Ω, Ω tập mở Rn C m (Ω) Không gian hàm số u ∈ C (Ω) cho Dα u ∈ C (Ω), với đa số α, |α| ≤ m m Không gian hàm số u ∈ C m (Ω) cho Dα u bị chặn C (Ω) liên tục Ω, với đa số α, |α| ≤ m C([a, b]; E) Không gian hàm liên tục u : [a, b] → E C(R+ ; E) Không gian hàm liên tục u : R+ → E f : X → Y, f |A Ánh xạ thu hẹp ánh xạ f tập A ⊂ X L [a, b] Không gian hàm số thực x(t) cho |x(t)| khả tích Lebesgue [a, b] Lp (0, T ; X), ≤ p ≤ ∞ Không gian hàm đo u : (0, T ) → X cho N N∗ R R+ Rn ∂Ω Ω coM A×B (X, |.|n ) (X, d) (E, |.|) · X X C[a, b] C [a, b] C (Ω) ≡ C(Ω) u u + f (t, ut , u (t)) = u(t) ≡ u(r, t) u (t) = ut (t) = u(t) u (t) = utt (t) = u(t) ă ur (t) = u(t) urr (t) Lp (0,T ;X) = T u(t) p X dt 1/p < ∞ với ≤ p < ∞, u L∞ (0,T ;X) = ess sup0 0, ||u||2 = r|u(r, t)| dr, ||ur ||2 r|ur (r, t)|2 dr, ||ut ||2 = = r|ut (r, t)|2 dr hàm số B, f, u0 , u1 cho trước Đây toán tổng quát hoá toán nghiên cứu Long [Electronic J Diff Equat., 2005, 138, pp 1-18], tiếp nối công trình liên quan đến phương trình sóng Long tác giả Trong chứng minh tồn nghiệm toán này, hệ nguyên lý ánh xạ co sau sử dụng: Định lý Banach: (Deimling, Nonlinear Functional Analysis, 1985) Cho (Ω, d) khơng gian metric đầy đủ tốn tử F : Ω → Ω Nếu tồn k ∈ (0, 1) số tự nhiên m ≥ cho d(F m x, F m y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ Ω F có điểm bất động z với x ∈ Ω cho trước, F n x → z n → ∞ Trong chương này, trước hết toán (3.1.1) liên kết với việc xây dựng dãy lặp tuyến tính bị chặn khơng gian hàm thích hợp Sự tồn nghiệm địa phương chứng minh dựa vào định lý Banach lý luận tính compact thơng dụng Từ đó, chúng tơi thu kết tồn nghiệm toán Tiếp theo, toán (3.1.1) xét với f ∈ C ([0, 1] × R) B ∈ C (R+ ), b0 ≤ B(z) ≤ d0 z p + d0 , |B (z)| ≤ d1 z p−1 + d1 , b0 > 0, p > 1, d0 , d0 , d1 , d1 ≥ số cho trước Ở đây, phương trình (3.1.1)1 liên kết với dãy quy nạp phi tuyến {um } Khi đó, hội tụ bậc hai dãy {um } nghiệm (3.1.1) nhận Cuối cùng, với B ∈ C N +1 (R4 ), B1 ∈ C N (R4 ), B ≥ + + N +1 N b0 > 0, B1 ≥ 0, f ∈ C ([0, 1] × R+ × R ) f1 ∈ C ([0, 1] × R+ × R ), chúng tơi 14 thu khai triển tiệm cận theo ε (đủ nhỏ) đến cấp N + nghiệm yếu uε (r, t) tốn (3.1.1), mà f thay f + εf1 B thay B + εB1 Các kết trình bày công bố [N5, N6] gửi công bố [N7] 3.2 Các không gian hàm kết chuẩn bị Đặt Ω = (0, 1) Ta bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng C m (Ω) Với hàm v ∈ C (Ω) ta định nghĩa v = 1/2 rv (r)dr định nghĩa V0 đầy đủ hoá không gian C (Ω) với chuẩn · Tương tự, với hàm v ∈ C (Ω) ta định nghĩa v = ||v||2 + ||v ||2 0 1/2 định nghĩa không gian V1 đầy đủ hố khơng gian C (Ω) tương ứng với chuẩn · Ta ý chuẩn · · định nghĩa từ tích vơ hướng u, v = ru(r)v(r)dr u, v + u , v Khi V0 V1 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng tương ứng Mặt khác, V1 nhúng liên tục nằm trù mật V0 Đồng V0 với V0 (đối ngẫu V0 ), ta có V1 → V0 ≡ V0 → V1 Ngoài ra, ký hiệu ·, · dùng để cặp đối ngẫu V1 V1 Ta có kết sau: Bổ đề 3.2.1 Tồn hai số dương K1 K2 cho với v ∈ C (Ω), (i) v + v (1) ≥ v (ii) |v(1)| ≤ K1 v , √ (iii) r |v(r)| ≤ K2 v 0, , ∀r ∈ Ω √ rv(r) = 0, ∀v ∈ V1 , xem [Adams, Sobolev Spaces, 1975] √ Mặt khác, với < ε < 1, H (ε, 1) → C ([ε, 1]) ε v H (ε,1) ≤ v , ∀v ∈ V1 , √ nên v|[ε,1] ∈ C ([ε, 1]) Suy rv ∈ C (Ω) với v ∈ V1 Chú ý 3.1 Ta có lim r→0+ Bổ đề 3.2.2 Phép nhúng V1 → V0 compact Bây với h > 0, ta đặt ru (r)v (r)dr, ∀u, v ∈ V1 a(u, v) = hu(1)v(1) + (3.2.1) Nhờ định lý Lax-Milgram, tồn tốn tử tuyến tính liên tục A : V1 → V1 cho a(u, v) = Au, v với u, v ∈ V1 Ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.3 Dạng song tuyến tính đối xứng a(·, ·) định nghĩa (3.2.1) ánh xạ liên tục V1 × V1 ánh xạ bức, nghĩa với u, v ∈ V1 , (i) |a(u, v)| ≤ C1 u (ii) a(v, v) ≥ C0 v v 1, 1, C0 = min{1, h} C1 = + (1 + √ 15 2)h Bổ đề 3.2.4 Tồn sở trực chuẩn Hilbert {wj } V0 gồm hàm riêng wj tương ứng với giá trị riêng λj cho (i) < λ1 ≤ λj ↑ +∞ j → ∞, (ii) a( wj , v) = λj wj , v với v ∈ V1 j ∈ N Hơn hệ {wj / λj } sở trực chuẩn Hilbert V1 tương ứng với tích vơ hướng a(·, ·) Mặt khác hàm wj thoả mãn toán giá trị biên   A wj ≡ −1 d (r d wj ) = λj wj Ω,  r dr dr   √ d wj lim r dr (r) < +∞,  r→0+   d wj  dr (1) + h wj (1) = Với v thuộc C (Ω), ta đặt v = ||v||2 + ||v ||2 + ||Av||2 0 1/2 định nghĩa V2 đầy đủ hoá không gian C (Ω) chuẩn · Cũng ý V2 không gian Hilbert tích vơ hướng u, v + u , v + Au, Av Mặt khác V2 định nghĩa V2 = {v ∈ V1 : Av ∈ V0 } Khi đó: Bổ đề 3.2.5 Phép nhúng V2 → V1 compact Bổ đề 3.2.6 Với v ∈ V2 , ta có (i) v (ii) v (iii) v L∞ (Ω) ≤ L∞ (Ω) ≤ √ Av Av ≤ v 0, 0, + √ Av v Bổ đề 3.2.7 Với u ∈ V1 v ∈ V0 , ta có √ u2 , |v| ≤ 2(1 + 2) u v Chứng minh bổ đề 3.2.4 tìm thấy [Showalter, Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J Diff Equat., Monograph 01, 1994], bổ đề 3.2.3 dễ dàng chứng minh, bổ đề lại tìm thấy [Bình, Định Long, Math Comp Modelling, 34 (2001), pp 541-556] Với không gian Banach X, ta ký hiệu chuẩn X ||.||X X đối ngẫu X Ký hiệu Lp (0, T ; X), ≤ p ≤ ∞ không gian Banach gồm tất hàm đo u : (0, T ) → X cho T u Lp (0,T ;X) = u(t) u L∞ (0,T ;X) p X dt 1/p = ess sup u(t) < ∞ với ≤ p < ∞, X với p = ∞ 0 T > cho trước tuỳ ý, ta đặt: W (M, T ) = v ∈ L∞ (0, T ; V2 ) : v ∈ L∞ (0, T ; V1 ) v ∈ L2 (0, T ; V0 ), ă vi v L (0,T ;V2 ) , v ˙ L∞ (0,T ;V1 ) , v ¨ L2 (0,T ;V0 ) ≤M , ·· W1 (M, T ) = {v ∈ W (M, T ) : v ∈ L∞ (0, T ; V0 )} Với lựa chọn M > T > thích hợp, ta xây dựng dãy quy nạp tuyến tính {um } hội tụ nghiệm yếu toán (3.1.1) Trước hết ta chọn u0 ≡ 0, giả sử um−1 ∈ W1 (M, T ), (3.3.1) liên kết tốn (3.1.1) với tốn biến phân: Tìm um ∈ W1 (M, T ) (m ≥ 1) cho um (t), v + bm (t)a(um (t), v) = Fm (t), v , v V1 , ă (3.3.2) um (0) = u0 , um (0) = u1 , ˙  b (t) = B t, u um−1 (t) m m−1 (t) ,  Fm (r, t) = f (r, t, um−1 (t), um−1 (t)) 0, · um−1 (t) , (3.3.3) Khi ta có định lý sau Định lý 3.3.1 Giả sử (H1 ) − (H3 ) Khi tồn số M > phụ thuộc vào u0 , u1 , B, h số T > phụ thuộc vào u0 , u1 , B, h, f, cho với u0 ≡ 0, tồn dãy quy nạp tuyến tính {um } ⊂ W1 (M, T ) xác định (3.3.2) - (3.3.3) Ý tưởng chứng minh định lý dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin giới thiệu Lions (Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non(k) linéaires, 1969), trước hết thiết lập dãy xấp xỉ Galerkin {um }, tiếp đến đánh giá tiên nghiệm, cuối qua giới hạn nhờ vào lý luận tính compact, ta thu um ∈ W1 (M, T ) nghiệm tốn (3.3.2) - (3.3.3) Trong đó, bước xấp xỉ Galerkin, ta xét sở trực chuẩn wj = wj / λj V1 bổ đề 3.2.4 đặt: k u(k) (t) m (k) = cmj (t)wj , j=1 17 (3.3.4) (k) cmj thoả mãn hệ phương trình vi phân tuyến tính   ·· (k)  u (t), wj + bm (t)a u(k) (t), wj = Fm (t), wj , ≤ j ≤ k, m m  (k) · u (0) = u , u(k) (0) = u , m 1k 0k m (3.3.5)   u =  0k   u1k =   k (k) αj wj → u0 mạnh V2 , j=1 k (3.3.6) (k) βj wj j=1 → u1 mạnh V1 Với giả thiết um−1 thoả (3.3.1), ta có bổ đề sau mà chứng minh thực việc áp dụng định lý Banach nêu mục 3.1 Bổ đề 3.3.2 Giả sử (H1 ) − (H3 ) Khi với số M > 0, T > (k) cố định, hệ phương trình (3.3.5)-(3.3.6) có nghiệm um (t) đoạn ≤ t ≤ T Định lý 3.3.3 Giả sử (H1 ) − (H3 ) Khi (i) Tồn số M > T > cho tốn (3.1.1) có nghiệm yếu u ∈ W1 (M, T ) (ii) Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {um } xác định (3.3.2)-(3.3.3) hội tụ mạnh nghiệm u toán (3.1.1) không gian · W1 (T ) = {v ∈ L∞ (0, T ; V1 ) : v ∈ L∞ (0, T ; V0 )} Hơn nữa, ta có ước lượng sau: um − u · L∞ (0,T ;V · + um − u 1) L∞ (0,T ;V0 ) ≤ M m kT , ∀m ≥ 1, − kT số kT < Chú ý 3.2 Trường hợp B ≡ 1, số kết nhận cơng trình [Định, Long (1986), Demonstratio Math., 19, pp 45-63] [Long, Diễm (1997), Nonlinear Anal., 29, pp 1217-1230] Trong phương trình (3.1.1) xét Long, Diễm không chứa số hạng ur f ∈ C (Ω × R+ × R2 ) Kết thu r không cần đến giả thiết f ∈ C (Ω × R+ × R2 ) Chú ý 3.3 Kết thu cho thấy hội tụ đánh giá sai số dãy quy nạp tuyến tính {um } cấp Để tăng tốc độ hội tụ, tìm kiếm điều kiện đủ cho toán tổng quát hơn, dĩ nhiên thuật giải tinh tế với dãy lặp thiết lập kiểu khác theo cách trình bày 3.4 Sự hội tụ cấp hai với f = f (r, u), B = B(z) Trong mục này, toán (3.1.1) xét với f = f (r, u), B = B(z) điều kiện sau: 18 (H4 ) B ∈ C (R+ ) cho tồn số b0 > 0, d0 , d0 , d1 , d1 ≥ 0, p > thoả mãn (i) b0 ≤ B(z) ≤ d0 z p + d0 , ∀z ≥ 0, (ii) |B (z)| ≤ d1 z p−1 + d1 , ∀z ≥ (H5 ) f ∈ C (Ω × R) Với số M > T > thích hợp chọn sau, ta xây dựng dãy lặp {um } quy tắc sau: Cho trước u0 ≡ 0, giả sử um−1 ∈ W1 (M, T ), (3.4.1) liên kết toán (3.1.1) với toán biến phân: Tìm um ∈ W1 (M, T ) (m ≥ 1) cho ·· um (t), v + bm (t)a(um (t), v) = Fm (t), v ∀v ∈ V1 , · (3.4.2) um (0) = u0 , um (0) = u1 , bm (t) = B um (t) , Fm (r, t) = fm (r, t, um ) = f (r, um−1 ) + (um − um−1 ) ∂f (r, um−1 ), ∂u (3.4.3) với fm (r, t, u) = f (r, um−1 ) + (u − um−1 ) ∂f (r, um−1 ) ∂u Định lý 3.4.1 Giả sử (H1 ) (H4 ) − (H5 ) Khi tồn số dương M, T dãy quy nạp phi tuyến {um } ⊂ W1 (M, T ) xác định (3.4.2) - (3.4.3) Chứng minh định lý thực tương tự với định lý 3.3.1, thông qua hai bổ đề (Bổ đề 3.4.2, 3.4.3) Ở bước xấp xỉ Galerkin định lý Banach sử dụng lần để chứng minh bổ đề thứ tồn nghiệm địa phương Sau đó, cách giải bất phương trình Voltera phi tuyến, bổ đề cịn lại chứng minh bước đánh giá tiên nghiệm hoàn thành Kết sau cho ta hội tụ cấp hai dãy {um } nghiệm yếu toán (3.1.1) Định lý 3.4.2 Giả sử (H1 ), (H4 ) − (H5 ) Khi tồn số M > T > cho (i) Bài tốn (3.1.1) có nghiệm yếu u ∈ W1 (M, T ) (ii) Mặt khác, dãy quy nạp phi tuyến {um } xác định (3.4.2), (3.4.3) hội tụ cấp hai nghiệm u tốn (3.1.1) mạnh khơng gian W1 (T ) theo nghĩa um − u W1 (T ) ≤ C um−1 − u W1 (T ) , C số thích hợp Hơn ta có ước lượng m um − u W1 (T ) ≤ (1 − β)−1 β với m, µT µT số hồn tồn xác định β = 2M µT < 19 (3.4.4) (3.4.5) Chú ý 3.4 Định lý 3.4.2 tổng qt hố kết [Bình, Định Long (2001), Math Comp Modelling, 34, pp 541-556] với B ≡ [Long (2005), Electronic J Diff Equat., 138, pp 1-18] với B(z) = z + d0 , d0 > số cho trước 3.5 Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé Trong mục này, giả thiết (H1 ) − (H3 ), ta thành lập thêm giả thiết sau (H6 ) B1 ∈ C (R4 ) với tính chất B1 (t, ξ, η, λ) ≥ với t, ξ, η, λ ≥ 0, + (H7 ) f1 thoả giả thiết (H3 ) Xét toán nhiễu sau, ε tham số đủ nhỏ, |ε| ≤ :  2  utt − Bε (t, u , ur , ut ) urr + ur = Fε (r, t, u, ur ), r    < r < 1, < t < T,       lim √rur (r, t) < ∞, ur (1, t) + hu(1, t) = 0,   r→0+  (Pε ) u(r, 0) = u0 (r), ut (r, 0) = u1 (r),   F (r, t, u, u ) = f (r, t, u, u ) + εf (r, t, u, u ),  ε r r r     B t, u , u , u = B t, u , u , u  ε r t r t  0     +εB1 t, u , ur , ut 0 Định lý 3.5.1 Với giả thiết (H1 ) − (H3 ), (H6 ), (H7 ), tồn số M > T > cho với ε, |ε| ≤ 1, tốn (Pε ) có nghiệm yếu uε ∈ W1 (M, T ) thoả mãn đánh giá tiệm cận uε − u0 · L∞ (0,T ;V1 ) · + uε − u0 L∞ (0,T ;V0 ) ≤ C |ε| , (3.5.1) u0 nghiệm yếu toán (P0 ) ứng với ε = thoả u0 ∈ W1 (M, T ) C số không phụ thuộc vào ε Kết cho khai triển tiệm cận đến cấp N + theo ε nghiệm yếu uε toán (Pε ) Ta sử dụng thêm ký hiệu: · f [u] = f (r, t, u, ur ), B[u] = B(t, ||u(t)||2 , ||ur (t)||2 , ||u(t)||2 ); 0 f = f (r, t, u, ur ), D1 f = ∂f /∂r, D3 f = ∂f /∂u, D4 f = ∂f /∂ur ; B = B(t, ξ, η, λ), D2 B = ∂B/∂ξ, D3 B = ∂B/∂η, D4 B = ∂B/∂λ, bổ sung thêm giả thiết sau: (H8 ) B ∈ C N +1 (R4 ), B1 ∈ C N (R4 ), B(t, ξ, η, λ) ≥ b0 > 0, B1 (t, ξ, η, λ) ≥ 0, với + + t, ξ, η, λ ≥ 0, (H9 ) f ∈ C N +1 (Ω × R+ × R2 ), f1 ∈ C N (Ω × R+ × R2 ) 20 Gọi u0 ∈ W1 (M, T ) nghiệm yếu toán (P0 ) ứng với ε = Giả sử u1 , u2 , , uN ∈ W1 (M, T ), số M > T > chọn thích hợp, nghiệm yếu toán (Qi ), i = 1, 2, , N  ··  ui + B[u0 ]Aui = Fi [ui ], < r < 1, < t < T ,    √ lim ruir (r, t) < +∞, uir (1, t) + hui (1, t) = 0, (Qi )  r→0+   ·  u (r, 0) = u (r, 0) = 0, i = 1, 2, , N, i i i Fi [ui ] = πi [f ] + πi−1 [f1 ] − (ρk [B] + ρk−1 [B1 ]) Aui−k , (3.5.2) k=1 với π0 [f ] = f [u0 ], ρ0 [B] = B[u0 ] πi [f ] = πi [f, u0 , u1 , , ui ], ρi [B] = ρi [B, u0 , u1 , , ui ], ≤ i ≤ N định nghĩa theo công thức quy nạp sau: i−1 πi [f ] = k=0 ρi [B] = i i−k {πk [D3 f ]ui−k + πk [D4 f ](ui−k )r }, i (3.5.3) i−1 i−k−1 (i − k − j){ρk [D2 B] uj , ui−k−j (3.5.4) k=0 j=0 · · + ρk [D3 B] ujr , (ui−k−j )r + ρk [D4 B] uj , ui−k−j } Giả sử uε ∈ W1 (M, T ) nghiệm yếu toán (Pε ) Ta suy v = N uε − εi ui ≡ uε − U thoả toán biến phân i=0  ·· v + Bε [v + U ]Av = Fε [v + U ] − Fε [U ]    − (Bε [v + U ] − Bε [U ] ) AU + Eε (r, t), < r < 1, < t < T,  √  lim rvr (r, t) < ∞, vr (1, t) + hv(1, t) = 0,  r→0  +   ·  v(r, 0) = v(r, 0) = 0, (3.5.5) N εi Fi [ui ] Eε (r, t) = Fε [U ] − f [u0 ] − (Bε [U ] − B[u0 ]) AU − i=1 Khi ta có hai bổ đề sau 21 (3.5.6) Bổ đề 3.5.2 Các hàm πi [f ], ρi [B], ≤ i ≤ N định nghĩa thoả πi [f ] = ∂i (f [U ]) i! ∂εi , ≤ i ≤ N, (3.5.7) ε=0 ∂i ρi [B] = (B[U ] ) i! ∂εi , ≤ i ≤ N (3.5.8) ε=0 Bổ đề 3.5.3 Giả sử (H1 ), (H2 ), (H8 ) (H9 ) Khi tồn số K cho Eε L∞ (0,T ;V0 ) ≤ K |ε|N +1 , (3.5.9) K số hoàn toàn xác định Ngoài ra, dễ dàng chứng minh được: Bổ đề 3.5.4 Cho dãy {ζm } thoả mãn ζm ≤ σζm−1 + δ với m ≥ 1, ζ0 = 0, (3.5.10) ≤ σ < 1, δ ≥ số cho trước Khi ζm ≤ δ/(1 − σ) với m ≥ (3.5.11) Từ đó, ta thu định lý sau Định lý 3.5.5 Giả sử giả thiết (H1 ), (H2 ), (H8 ) (H9 ) Khi tồn số M > T > cho với ε mà |ε| ≤ 1, tốn (Pε ) có nghiệm yếu uε ∈ W1 (M, T ), thỏa mãn đánh giá tiệm cận đến cấp N + sau · N ||uε − i· N εi ui ||L∞ (0,T ;V1 ) ≤ CT |ε|N +1 , ε ui ||L∞ (0,T ;V0 ) + ||uε − i=0 (3.5.12) i=0 CT số thích hợp, u0 , u1 , , uN nghiệm yếu toán (P0 ), (Q1 ), , (QN ), tương ứng Ta có lưu ý rằng, phương pháp điểm bất động thường áp dụng để tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin toán biên phi tuyến tuỳ theo dạng cụ thể yếu tố phi tuyến xuất toán mà định lý điểm bất động Brouwer, Banach, Schauder, v.v lựa chọn thích hợp Bằng phương pháp này, ngồi việc xét tồn nghiệm chương 3, ta cịn xét cấu trúc tập nghiệm toán Chẳng hạn, áp dụng định lý Schauder định lý Krasnosel’skii - Perov, chứng minh tập nghiệm toán giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng [N3, N9] tập khác rỗng, compact liên thông 22 KẾT LUẬN Trong luận án này, sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận tính compact thơng dụng để khảo sát tốn thuộc lý thuyết phương trình vi phân, tích phân đạo hàm riêng Đó phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra chương 1, toán giá trị biên giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm chương chương toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff màng tròn đơn vị Những kết thu luận án bao gồm: - Chứng minh định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii - Áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii để chứng minh tồn nghiệm tồn nghiệm ổn định tiệm cận phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra sau t x(t) = q(t) + f (t, x(t)) + V (t, s, x(s))ds t G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+ + - Chứng tỏ tập nghiệm phương trình tích phân xét tập compact, liên thơng - Minh họa kết thu qua ví dụ - Cho điều kiện để nhận tồn nghiệm, tồn nghiệm ổn định tiệm cận tính compact, liên thơng tập nghiệm phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra trường hợp tổng quát sau t x(t) = q(t) + f (t, x(t), x(π(t))) + V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds t G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+ + - Chứng minh tồn nghiệm, nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm toán ba điểm biên sau cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm u + f (t, ut , u (t)) = 0, u0 = φ, u(1) = u(η), ≤ t ≤ 1, φ ∈ C, < η < - Chứng minh tồn nghiệm toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm thuộc dạng u + f (t, ut , u (t)) = 0, ≤ t ≤ 1, u0 = φ, u(1) = α[u (η) − u (0)], với φ ∈ C, < η < 1, α ∈ R - Chứng minh tồn nghiệm, nghiệm phụ thuộc liên tục 23 nghiệm toán giá trị đầu sau cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm u + f (t, ut , u (t)) = 0, u0 = φ, u (0) = 0, ≤ t ≤ 1, φ ∈ C - Chỉ cấu trúc tập nghiệm tốn giá trị đầu Đó tập hợp khác rỗng, compact liên thông - Chứng minh tồn nghiệm, nghiệm tốn hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff có dạng  utt − B t, ||u||2 , ||ur ||2 , ||ut ||2 (urr + ur )  0 r   = f (r, t, u, u ), < r < 1, < t < T, r √  limr→0+ rur (r, t) < +∞, ur (1, t) + hu(1, t) = 0,    u(r, 0) = u (r), u (r, 0) = u (r) t - Cho điều kiện để có thuật giải lặp cấp hai hội tụ trường hợp đặc biệt f = f (r, u), B = B(z) - Đặt giả thiết để thu khai triển tiệm cận theo ε (đủ nhỏ) đến cấp N +1 nghiệm yếu uε (r, t) toán nêu trên, f thay f +εf1 B thay B + εB1 Các kết luận án công bố [N2-N6] gửi cơng bố [N7, N8] Ngồi ra, nội dung phương pháp nghiên cứu luận án thể vận dụng cho phương trình dạng khác cơng bố [N1, N9, N10] Một phần kết luận án kết liên quan báo cáo hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp HCM, 22/12/2002 - The International Conference on Diff Equat and Appl., HCM City 22-25/08/2004 - Hội nghị toàn quốc lần thứ hai Ứng dụng Toán học, Hà Nội 23-25/12/2005 Trên sở kết thu luận án, xin nêu vấn đề nghiên cứu, phát triển tiếp sau: Nghiên cứu vấn đề tương tự chương cho phương trình tích phân Volterra-Hammerstein đoạn vơ hạn có dạng: t x(t) = q(t) + f (t, x(t)) + V (t, s, x(s))ds ∞ G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+ + Nghiên cứu vấn đề tương tự chương cho phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm với dạng tổng quát với điều kiện biên dạng khác Cho điều kiện để thu thuật giải lặp cấp hai hội tụ chương với tốn tử f, B có dạng tổng qt 24 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [N1] L.H Hoá, L.T.P Ngọc (2004), Một ghi tính compact, liên thông tập hợp nghiệm toán tiến hoá, Tạp chí khoa học Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Số (38), 3-13 [N2] L.H Hoá, L.T.P Ngọc (2006), Boundary and initial value problems for second-order neutral functional differential equations, Electronic J Differential Equations, 2006, No 62, 1-19 [N3] L.H Hoá, L.T.P Ngọc (2006), The connectivity and compactness of solution set of an integral equation and weak solution set of an initialboundary value problem, Demonstratio Math Vol 39, No.2, 357-376 [N4] L.T.P Ngoïc, N.T Long (2006), On a fixed point theorem of Krasnosel'skii type and applications to integral equations, Fixed Point Theory and Applications, Hindawi Publishing Corporation, Vol 2006, Article ID 30847, 1-24 [N5] N.T Long, L.T.P Ngoïc (2006), Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff, Tạp chí khoa học Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Số (42), 44-61 [N6] N.T Long, L.T.P Ngọc (2007), On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math Vol 40, No.2 , 365- 392 [N7] N.T Long, L.T.P Ngoïc, On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in the unit membrane I, (Bài gửi công bố) [N8] L.T.P Ngọc, N.T Long, The Hukuhara-Kneser Property for a nonlinear integral equation, (Bài gửi công bố) [N9] N.T Long, L.T.P Ngọc (2007), A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: The compactness and connectivity of weak solution set, Abstract and Applied Analysis, Hindawi Publishing Corporation, Vol 2007, Article ID 20295, 1-17 [N10] L.T.P Ngoïc (2007), Applying fixed point theory to the initial value problem for the functional differential equation with finite delay, Vietnam Journal of Mathematics, 35, No 1, 43-60 ... MINH - LEÂ THỊ PHƯƠNG NGỌC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... Chính vậy, đề tài luận án nghiên cứu cần thiết có ý nghĩa mặt lý thuyết áp dụng Trong luận án này, áp dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận tính compact thơng dụng để khảo sát tồn... hình thành, phát triển sử dụng rộng rãi cơng cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, toán kinh tế, v.v Với việc tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric