ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH LÊ THỊ THANH HẢI XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN TRONG MIỀN HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Tốn Giải Tích Mã số : 1.01.01 TP.HỒ CHÍ MINH 12/2006 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN TRONG MIỀN HAI CHIỀU Luận văn Thạc sỹ Toán học Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 1.01.01 Người hướng dẫn : TS Nguyễn Thành Long Đại học Khoa học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Học viên cao học : Lê Thị Thanh Hải TP HỒ CHÍ MINH 12/2006 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn : TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin Học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét : Người nhận xét : Học viên cao học : Lê Thị Thanh Hải Bộ mơn Tốn, khoa Khoa Học Cơ Bản Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận án Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh vào lúc phút, ngày tháng năm 2006 Có thể tìm hiểu luận văn Phịng Sau Đại học, thư viện Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh TP HỒ CHÍ MINH 12/2006 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng kính gửi đến TS Nguyễn Thành Long, người thầy hết lịng học trị tơi, lịng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy người động viên, giúp đỡ mở cho thấy niềm say mê, hứng thú công việc nghiên cứu khoa học tưởng chừng khô khan Và đặc biệt xin khắc ghi giúp đỡ, bảo tận tình thầy mặt trình giảng dạy trình hướng dẫn để tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến q Thầy, Cơ khoa Tốn – Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy để tơi có kiến thức quý báu làm hành trang cho trình học tập nghiên cứu sau Xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm khoa Toán - Tin học Thầy, Cơ thuộc Phịng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học, Ttrường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thủ tục hành suốt q trình học tập trường Tơi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Chủ Nhiệm khoa Khoa Học Cơ Bản, đặc biệt Thầy, Cơ Bộ mơn Tốn, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi n tâm hồn thành tốt luận văn Lời cuối, không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi lời tri ân đến tất bạn bè tôi, người bên cạnh động viên giúp tơi vượt qua khó khăn q trình thực luận văn Lê Thị Thanh Hải MỤC LỤC Trang Bìa phụ Lời cảm ơn Mục lục Chương : Tổng quan Chương : Các ký hiệu công cụ Chương : Sự tồn nghiệm Chương : Thuật giải hội tụ cấp hai 14 Chương : Khai triển tiệm cận nghiệm 22 Chương : Thuật giải lặp hệ phương trình hàm cụ thể 32 Chương : Khai triển tiệm cận nghiệm hệ phương trình hàm cụ thể 43 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 55 Chương TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu hệ phương trình hàm có dạng sau m n m n fi ( x) = ε ∑∑ aijkφ ( f j ( Rijk ( x))) + ∑∑ bijk f j ( Sijk ( x)) + g i ( x), k =1 j =1 (1.1) k =1 j =1 ∀x ∈ Ω ⊂ R , i = 1, n, ε : tham số bé, ε < 1, Ω : miền compắc không compắc R , aijk , bijk : số thực, Rijk , Sijk : Ω → Ω, φ : R → R, gi : Ω → R : hàm liên tục cho trước, fi : Ω → R : ẩn hàm Trong [11], tác giả Wu, Xuan Zhu nghiên cứu tồn nghiệm hệ (1.1) cụ thể với m = n = 2, φ ≡ 0, Ω = [ −b, b ] , Sijk ( x) nhị thức bậc điều kiện thích hợp Ở đó, tác giả xây dựng dãy quy nạp hội tụ nghiệm hệ (1.1) ứng dụng vào hệ phương trình hyperbolic Trong [3], tác giả Long, Nghĩa, Khơi, Ruy khảo sát trường hợp riêng hệ (1.1) sau n m fi ( x) = ∑∑ aijk ⎡ x, f j ( Sijk ( x)) ⎤ + gi ( x), ∀x ∈ Ω, ⎣ ⎦ (1.2) j =1 k =1 với Ω khoảng bị chận không bị chận R Với điều kiện phù hợp ra, cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, tác giả chứng minh tồn nghiệm hệ (1.2) Đồng thời, nghiệm ổn định hàm gi ( i = 1, n ) Đặc biệt, aijk ( x, y ) = α ijk y, α ijk ∈ R, Sijk ( x) nhị thức bậc nhất, g ∈ C r ( Ω; R n ) Ω = [ −b, b ] , [3] thu khai triển Maclaurin nghiệm hệ (1.2) đến cấp r Hơn nữa, gi đa thức bậc không r , nghiệm hệ (1.2) Sau đó, gi hàm liên tục nghiệm f (1.2) xấp xỉ dãy đa thức hội tụ Phần cuối, tác giả khảo sát thuật toán số dựa vào thuật giải xấp xỉ theo nguyên tắc ánh xạ co hệ phương trình hàm cụ thể Tất kết thu [3] tác giả Long, Nghĩa [4] mở rộng trường hợp nhiều chiều với Ωi miền compắc không compắc R p Sijk ( x) ánh xạ affine Ngoài ra, [4], tác giả điều kiện cần thiết để có thuật giải hội tụ cấp hai Trong [5], tác giả Long nghiên cứu hệ phương trình tích phân - hàm Ω ⊂ R với tồn tại, ổn định nghiệm X ijk ( x ) ⎛ ⎞ fi ( x) = ∑∑ ⎜ aijk f j ( Sijk ( x)) + α ijk ∫ f j (t )dt ⎟ + g i ( x) ⎜ ⎟ j =1 k =1 ⎝ ⎠ n m (1.3) Nếu Sijk , X ijk nhị thức bậc nhất, g ∈ C r (Ω; R n ) Ω = [ −b, b ] thu khai triển Maclaurin nghiệm hệ (1.3) đến cấp r Tuy nhiên, α ijk = 0, ∀i, j, k với gi đa thức bậc không r ta có nghiệm (1.3) đa thức bậc không r Một trường hợp riêng hệ (1.1) khảo sát Long, Diễm [7] Vân [10] với φ ( y ) = y , Rijk = Sijk Trong [9], tác giả Nghĩa khảo sát hệ tuyến tính miền chiều cụ thể Ở đó, nghiệm hệ phương trình hàm xấp xỉ dãy đa thức hội tụ Đồng thời [9], tác giả nghiên cứu trường hợp hàm gi trường hợp tác giả đưa công thức tường minh để tính tốn hệ số nghiệm đa thức hệ phương trình hàm tương ứng với gi Hệ (1.1) nghiên cứu [1] với Ω = [ a, b ] Ω khoảng không bị chận R Cũng định lý điểm bất động Banach, tác giả chứng minh tồn nghiệm hệ Hơn nữa, tác giả điều kiện đủ để thuật giải cấp hai hội tụ Và với φ ∈ C N ( R; R), m n ∑∑ max b k =1 i =1 1≤ j ≤ n ijk < 1, ta có khai triển tiệm cận nghiệm hệ (1.1) theo tham số bé ε đến cấp N + với ε đủ nhỏ Đồng thời, kết tác giả Long [6] nới rộng miền nhiều chiều Ω ⊂ R p Trong [2], [8] tác giả Khôi, Nghĩa khảo sát số hệ phương trình hàm cụ thể để kiểm tra thuật toán số dựa thuật giải xấp xỉ liên nguyên tắc ánh xạ co kết hợp xấp xỉ hàm Spline bậc Trong khuôn khổ luận văn này, nghiên cứu số vấn đề dạng hệ phương trình hàm (1.1) bao gồm chương, phần kết luận cuối phần tài liệu tham khảo - Chương phần tổng quan hệ phương trình hàm, kết nghiên cứu trước nội dung trình bày luận văn - Chương phần tóm tắt ký hiệu không gian hàm cần sử dụng luận văn - Chương phần chứng minh tồn nghiệm hệ (1.1) với điều kiện cần thiết ra, dựa định lý điểm bất động Banach - Chương phần nghiên cứu điều kiện đủ để có thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1) - Chương phần nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu tham số bé ε Trong chương này, với φ ∈ C N ( R; R), thu khai triển tiệm cận nghiệm hệ (1.1) theo tham số ε đến cấp N + với ε đủ nhỏ - Chương phần khảo sát số hệ phương trình hàm cụ thể thuộc dạng (1.1) ứng với m = 1, n = 2, Ω = [ −1,1] , φ ( y ) = y , Rijk ( x) = Sijk ( x) = α ijk x Ở đó, khảo sát thuật giải xấp xỉ liên nguyên tắc ánh xạ co kết hợp xấp xỉ với hàm Spline bậc thuật giải hội tụ cấp hai Cuối chương có kết minh hoạ số bảng so sánh hai thuật giải để thấy tính hiệu mặt tốc độ thuật giải hội tụ cấp hai so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp - Chương phần khảo sát thành phần khai triển tiệm cận nghiệm đến cấp hai hệ dạng (1.1) ứng với m = 1, n = 2, φ ( y ) = y , Rijk ( x) = Sijk ( x) = (α ijk x1 , α ijk x2 ) , Ω = { x = ( x1 , x2 ) ∈ R : x = x1 + x2 ≤ 1} Đồng thời, cuối chương có kết minh hoạ số kèm theo - Phần kết luận nêu lên số kết thu với số ý kiến nhận xét kèm theo Cuối phần tài liệu tham khảo Chương CÁC CÔNG CỤ CƠ BẢN Trong chương này, giới thiệu ký hiệu, không gian hàm công cụ sử dụng chương sau 2.1 Các ký hiệu Nếu Ω tập compắc R ký hiệu X = C (Ω; R n ) không gian Banach hàm số f = ( f1 , , f n ) : Ω → R n liên tục Ω với chuẩn n f X = sup ∑ f i ( x) (2.1) x∈Ω i =1 Nếu Ω miền khơng compắc R ký hiệu X = Cb (Ω; R n ) không gian Banach hàm số f = ( f1 , , f n ) : Ω → R n liên tục, bị chặn Ω với chuẩn (2.1) Chúng ta ý rằng, Ω ⊂ R mở f ∈ C (Ω; R n ) chưa bị chận Tuy nhiên, f ∈ C (Ω; R n ) bị chặn liên tục Ω có mở rộng nhất, bị chặn, liên tục Ω Khi đó, C (Ω; R n ) = { f ∈ C (Ω; R n ) : f liên tục bị chặn Ω } không gian Banach với chuẩn (2.1) Một điểm R ký hiệu x = ( x1 , x2 ) Ta gọi α = (α1 , α ) ∈ Z + đa số ký hiệu xα = x1α x2α để đơn thức bậc α = α1 + α α Tương tự D j = ∂ ∂ , j = 1, Dα = D1α1 D2α = α1 α ký hiệu toán tử vi ∂x1 ∂x2 ∂x j phân cấp α Ta ký hiệu α ! = α1 !α ! Cho đa số α = (α1 , α ), β = ( β1 , β ) ∈ Z + Ta viết α ≤ β ⇔ α i ≤ β i , ∀i = 1, α Cβ = β1 ! β ! β! α α = = Cβ C β α !( β − α )! α1 !( β1 − α1 )!α !( β − α )! 2 Với số nguyên không âm m , ta đặt C m (Ω; R n ) = { f = ( f1 , f n ) ∈ C (Ω; R n ) : Dα fi ∈ C (Ω; R n ), α ≤ m, i = 1, 2, n} , Ω miền compắc R Trường hợp Ω tập mở R , ta đặt XẤ XỈ KHAI TRIỂ TIỆ CẬ NGHIỆ CỦ HỆPHƯ NG P VÀ N M N M A Ơ TRÌNH HÀM PHI TUYẾ TRONG MIỀ HAI CHIỀ N N U Lê Thị Thanh Hả i GIỚ THIỆ I U Trong luậ vă này, nghiên hệ trình hàm có sau đ n n u phư ng ng ây m n m n f i ( x)   aijk f j ( Rijk ( x)))   ijk f j ( Sijk ( x))  i ( x),   ( g  b k j  1 (1.1) k  j 1   i  n, đ  tham sốbé,   miề compắ hoặ khơng x , 1, ó 1, n c c compắ củ R , aijk , bijk hằ số c Rijk , S ijk :   : R  R , g i :  R c a ng thự , hàm liên tụ cho trư c, f i :  R ẩ hàm c n Các tác giả Wu, Xuan, Zhu[11] Long, Nghĩ Khôi, Ruy [3] đ nghiên n tạ a, ã u tồ i nhấnghiệ củ hệ t m a (1.1) trư ng hợ   khoả bị n hoặ p 0, ng chậ c không bị n củ R bằ đ lý đ m bấđng Banach Đ ng thờ nghiệ chậ a ng ị nh iể t ộ i, m ổ đ vớ hàm g i  n Đ c biệ nế g C r  ; R n  , b  Sijk ( x), n ị ố i nh i 1, ặ t, u  , b nhị c bậ nhấ thu đợ mộ khai triể Maclaurin nghiệ củ hệ thứ c t, ưc t n m a (1.1) đn cấ r Hơ nữ nế g i đ thứ bậ khơng q r, nghiệ củ hệ ế p n a, u a c c m a (1.1) cũ vậ Sau đ nế gi hàm liên tụ nghiệ f củ (1.1) đ ợ xấ xỉ ng y ó, u c m a ưc p bằ mộdãy đ thứ hộtụ ề Tấ kếquả ng t a c i đu t t đ đ ợ tác giả ã ưc Long, Nghĩ [4] mởrộ trư ng hợ nhiề chiề vớ i miề compắ hoặ a ng p u u i n c c không compắ củ R p Sijk ( x) ánh xạ c a affine Ngoài ra, cũ [4], tác ng giả ã đ u kiệ đ đ có đợ mộ thuậgiảhộtụ p hai đ iề n ủ ể c t t i i cấ Mộ trư ng hợ riêng củ hệ t p a (1.1) đợ khả sát bở Long, Diễ [7] Vân ưc o i m [10] vớ  y) y , Rijk Sijk i ( Hệ(1.1) cũ đ đợ nghiên [1] vớ  a, b hoặ  mộ ng ã c u i c t  khoả không bị n củ R Cũ bằ đ lý đ m bấđng Banach, tác giả ng ng chậ a ng ng ị nh iể t ộ minh đ ợ n tạvà nhấcủ nghiệ Hơ nữ tác giả đ u kiệ đ c tồ i t a m n a, iề n ủ đ thuậgiảcấ hai hộtụ mộ khai triể tiệ cậ nghiệ củ hệ ể t i p i t n m n m a (1.1) theo tham số bé đn cấ N  vớ đ nhỏĐ ng thờ kếquả đ đ ợ tác giảLong [6] ế p i ủ i, t ã c rộ miề nhiề chiề R p i ng n u u Trong [2], [8] tác giả Khơi, Nghĩcũ đ khả sát mộ sốhệ trình a ng ã o t phư ng hàm cụ đ kiể tra thuậtoán số a thuậgiảxấ xỉ tiế theo nguyên tắ thể ể m t dự t i p liên p c ánh xạ kếhợ xấ xỉ i hàm Spline bậ nhấ co t p p bở c t Trong luậ vă này, đ vào phầ Phầ mộ (bao gồ n n i n n t m chư ng 3, 4, 5) trình bày kếquả n tạ nhấnghiệ đ u kiệ đ t tồ i, t m iề n ể có đ ợ thuậgiảhộtụ p hai cho hệ ưc t i i cấ (1.1), đng thờ khai triể tiệ cậ nghiệ củ i n m n m a hệtheo tham sốbé  đn cấ N  cho trư c Phầ hai (bao gồ chư ng 6, 7) ế p n m trình bày thuậgiảsốkèm theo kếquả t i t minh hoạ hệ trình cụ phư ng thểCuố phầ kếluậ tài liệ tham khả i n t n u o CÁC CÔNG CỤCƠBẢ N Nế  tậ compắ củ R ký hiệ X  ( R n ) không gian u p c a u C ; Banach củ hàm số f  f1 , , f n  R n liên tụ  vớchuẩ a : c i n  n f X   f i ( x) sup (2.1) x i   Nế  miề không compắ củ R ký hiệ X  b ( R n ) không gian u n c a u C ; Banach củ hàm số f  f1 , , f n  R n liên tụ bị n  vớ chuẩ (2.1) a : c, chặ i n  Chúng ta ý rằ nế R mở f C ( R n ) chư chắ bị n Tuy ng, u ; a c chậ nhiên, nế f  ( R n ) bị n liên tụ đu  có mộmở ng nhấ u C ; chặ c ề t rộ t, bị n, liên tụ  Khi đ C ( R n )  f C ( R n ) : f liên tụ đu bị n chặ c ó, ; { ; c ề chặ } không gian Banach vớ chuẩ (2.1) i n Đnh lý đ m bấ đng Banach ị iể t ộ Cho X không gian Banach vớ chuẩ , K X tậ đ i n p óng Cho T : K  K ánh xạ cho tồ tạsố c    thoả n i thự ,  mãn Tf   f  ,  , g K Tg  g f (2.2) Khi đ ta có ó, (i) Tồ tạduy nhấ f K cho Tf f , n i t (ii) Vớmỗ f (0) K , xét dãy  ( ) cho bở f ( )  (  ,  2, ta có i i f i Tf 1) 1, lim ( ) 0, (a)  f f   (b) f ( ) f  f (0)  Tf   ,  2, , 1, 1  (0)  1) (c) f ( ) f  f ( ) f (  ,  2, 1, 1  SỰTỒ TẠ VÀ DUY NHẤ NGHIỆ N I T M Trư c hế ta viếlạhệ t, t i (1.1) dưi phư ng trình tốn tửtrong khơng gian Banach ng X  ( Rn ) C ; sau f  Af  g ,  Bf đ ó (3.1) f  f1, fn ) X , g  g 1, g n ) X , ( ( m n Af  Af )1 , ( Af )n ), ( Af )i ( x)  aijk f j ( Rijk ( x ))), ((  ( k  j 1 m n Bf  Bf )1 , ( Bf ) n ), ( Bf ) i ( x)   ijk f j ( S ijk ( x)), vớ i  n, x  (( i 1,  b k  j 1 Đt ặ m n ijk  b max i n k m   j  bijk , bijk R, , j  ,   n k i 1 Chúng ta xây dự giả t sau: ng thiế ( H1) : Rijk , Sijk :   liên tụ c, ( H ) : g  g1, g n ) X , ( ( H3 ) : ijk  b   1, ( H ) :  R  R thoả iề kiệ : đu n    1( M )  :  y)  ( z) C1( M ) y  ,  , z   , M  M 0, C (  z y M ,   M 1 ijk  b g X   ( H5 ) : M  , 00   ijk  b   ( M )    aijk  MC n (0)     Cho số M ta đt K M  f X : dư ng ặ  f X   Ta viếlạhệ M t i (3.1) sau f  I  ) (  )  ( B Af g Tf (3.2) Đnh lý 3.1 Vớ giảthiế ( H1 )  H5 ) Khi đ vớ mỗ   , hệ(3.2) có ị i t ( ó, i i ,  nghiệ nhấ fKM m t Chú thích 3.1 Đnh lý 3.1 sinh mộthuậtoán xấ xỉ ị t t p nghiệ củ hệ m a (3.2) f ( )  (  , Tf 1)  2,3 , 1, f K M cho trư c bấkỳ t (0) (3.3) Khi đ dãy  ( ) hộtụ ó, f i X nghiệ f  củ hệ m a (3.2)   thoả  f ( ) f  X Tf (0) f (0) X  1  (3.4)  ijk C1( M ) a vớ    i  (3.5) ijk  b   Chú thích 3.2 Từ thuậgiảxấ xỉ ta viếlạhệ t i p t i (3.2) dư i ng 1) f ( )  Af (   (  g,  Bf ) ) ~ ( Đt f ặ 1)  Af (   (   , ta dễ  Bf 1) g dàng minh đ ợ ng ưc ) ~ ( f  2, 1, ) ~ ( f  f X f ( ) f ( ) X  f X  Tf 1  (0) f (0) X ~  ( )  i X nghiệ f  củ hệ m a (3.2) Như y, ta thu vậ hộtụ   Khi   dãy   f đợ công thứ xấ xỉ ưc c p nghiệ củ hệ m a (3.2) dư i đ dễ dụ hơ ây sử ng n 1) f ( )  Af (   (  g ,  Bf 1)  2,3 , 1, f (0) K M cho trư c bấkỳ t , (3.6) (3.7) THUẬ GIẢ HỘ TỤCẤ HAI T I I P 1) 1)  Giảsử  C1 ( R; R), dự  f j ( ) )  ( f j (  )  '( f j (  )  j ( ) f j (  1)   , ta  a (   f , 1, viếlạhệ t i (1.1) nhưsau m n m n ( f i( ) ( x )    ijk) ( x) f j( ) ( Rijk ( x))  bijk f j( ) (Sijk ( x)) gi( ) ( x),  k  j 1 k  j 1 (4.1) vớ x  i  R2 , i  n,  , f (0)  f1(0) , fn (0) ) K M cho trưc 1, 1, ( đ ó ( 1) ) ( x)  a ijk f j( ( Rijk ( x)),  '( ijk ( ) i g (4.2) 1) 1) ( x ) gi ( x )   aijk ( f j(  1) ( Rijk ( x )))  '( f j(  (Rijk ( x ))) f j(  ( Rijk ( x ))  (4.3)      m n k  j 1 1) Đnh lý 4.1 Giả ta có giả t (H1 ) H )  C1 (R; R ) Nế f (  X thỏ ị sử thiế (  u a m n    b  max sup (ijk) ( x)  ijk 1    k i 1 1j x n  Khi đ tồ tạduy nhấnghiệ f ( ) X củ hệ(4.1) – (4.3) ó, n i t m a Chúng ta xây dự thêm giả t sau: ng thiế ( H ) :  C ( R; R),  ( H 7) : g X    ijk MM    M ijk  , vớ M1 sup  y ) a n (0)  b i '(  3   y M Đnh lý 4.2 Vớ giả t ( H1)  H ), ( H ), ( H ) Giả f nghiệ củ hệ ị i thiế ( sử m a (1.1) f ( ) đợ xác đ theo (4.1)–(4.3) Khi đ tồ tạ2 hằ số M  cho ưc ị nh ó, n i ng , (i) Nế f (0) K M f ( ) KM ,   2, , u  1, (ii) Nế f u f ( ) (0) f K M X  M f  p p f là dãy lặ cấ hai Cụthể ( ) (  1)  f X ,   2, ,  1, (4.4)  M ijk  a   đ   ó M  M   y) 0, sup ''( y M ijk  M ijk  b     a  (iii) Nế f u (0) ban đu đ ợ chọ đ gầ f thoả iề kiệ  f (0) f ầ ưc n ủ n đu n M i p nghiệ f hộ tụcấ hai m ( ) f ( ) f X  (4.5) X  dãy f thoả ánh giá đ   f  M M (0) f , 2 X   2,  1, (4.6) Chú thích 4.1 Đ thuậ giả lặ cấ hai hoạ đng hiệ quảthì phả chọ ể t i p p t ộ u i n bư c lặ ban đu f (0) K M thoả f (0) f p ầ M X  Mặkhác dãy lặ đn z ( )  (  liên kếvớánh xạ T : K M  K M đợ xác đ t p Tz 1) t i co ưc ị nh 1) z ( )  Az (  (  ,   2, , vớ z (0)  sẽhộ tụtrong X  Bz 1) g  1, i 0, i nghiệ f m củ hệ a (1.1) vớ sai số i z( ) f  z (0)  (0) Tz X   ,   ,  1, X 1  (4.7) Từ ó, ta chọ  N đ lớ cho đ n ủ n  f  () z M X  z (0)  (0) Tz M X   chọ f (0)  (  ) n z 1  Chú thích 4.2 Từ ị lý 4.1 đ lý 4.2, có đợ thuậgiảlặ cấ xấ đ nh ị nh ưc t i p p p xỉ nghiệ củ hệ m a (1.1) nhưsau  Chọ trư c f (0)  f1(0) , , f n(0)  X nhưtrong thích 4.1 n   1) 1)  Giả biế f (   f1(  , , f n(   X , ta xác đ f ( )  f1( ) , , f n( )  X , sử t  ị nh   1)  m n m n ( f i( ) ( x )   1,  ijk) ( x) f j( ) ( Rijk ( x))  bijk f j( ) (Sijk ( x)) gi( ) ( x),  2,  k  j 1 k  j 1 Khi đ dãy  ( ) sẽđợ xác đ bằ thuậgiảcấ ó, f ưc ị ng nh t i p thích 3.2 m n m n ( f i( )() ( x)    ijk ) ( x) f j( )(1) ( Rijk ( x))  bijk f j( )(1) ( Sijk ( x)) gi( ) ( x),  k  j 1 k  j 1 x R , i  n,  , f 1, 1, ( )(0)  f1()(0) , , f n()(0)    KHAI TRIỂ TIỆ CẬ NGHIỆ N M N M Giảsửcác hàm Rijk , S ijk , g ,  sốthự aijk , bijk , M thoảmãn giảthiế c t ( H1)  H ) Ta bổ ( sung thêm mộ giả t cho hàm như t thiế sau ( H8 ) :  C N ( R; R)    r Đ t L   Chúng ta xây dự dãy hàm f  K M , r  N ặ I B ng 0,1, Lf  I  ) f g P ( B , Lf  I  ) f ( B  Af  (5.1)  P , Lf  I  ) f P r  ( B , 2,3 N , r r r (5.2) (5.3)   r r P P P  , r  , n r 0,1 N , đ ó Pi x) gi ( x), ( (5.4)   m n   0 Pi x )  Af  ( x )  aijk f j Rijk ( x )) , ( (  i m k  j 1  n (5.5)  Pi x)  aijk f j Rijk ( x)) f j Rijk ( x)), ( (  ' 0( k  j 1 m  s n s Pi x )  ( a r  ijk   f j(Rijk (x )) k j  1 r (5.6)   f j ( Rijk ( x ))  r ,     ( ) s ! N (5.7) N N  ,  ) Z ,     N ,   !  !,   i ( ( )  i,  i   !  N N đ ó  i       1 f j  f j f j   , N i  N N f j  f j f j  , s  4, N 3, Đnh lý 5.1 Giả ta có giả t (H1 ) H ), (H ), (H ) Khi đ tồ tạ hằ số ị sử thiế ( ó, n i ng 0 cho vớ mỗ   , hệ i i ,  (3.2) có nhấ nghiệ f K M thoả t đ t m mộ ánh giá tiệ cậ đn cấ N  m n ế p sau N f  f [ r ] r r N 1 (1) 2 L CN  (5.8) , X (1) đ f [ r ] , r  ó 0,1, N lầ lư t nghiệ củ hệ n ợ m a (5.1) – (5.7, CN thuộ vào phụ c N , ijk , a   f  , r  0,1 N r X THUẬ GIẢ LẶ TRÊN MỘ SỐ HỆPHƯ NG TRÌNH HÀM CỤTHỂ T I P T Ơ Xét hệ trình (1.1) vớ m  n   phư ng i 1, 2, [ 1,1],  z) z , Rij ( x) Sij ( x)  ij x, (  f i ( x)   ij f  a j   b    x   f  x  g ( x), 2 j ij j ij j ij i    i  2, x 1, 1,1 , (6.1) đ gi ( x ) x i   ij ij x   bij ij x  aij , bij ,  số c cho trư c thoả ó  a  thự   ; ij 2j j j j ij  max bij  ,   , j  2; , M đợ chọ đ ( H1 )  H7 ) thoả b 1, i 1, ưc n ể ( mãn ij   j i 6.1 Khả sát thuậ giả lặ cấ o t i p p Ta viếlạthuậgiả(3.6), (3.7) cho hệ t i t i (6.1) sau 1) f i( ) ( x )   ij  j(  ( x )  bij f j(  ( x )  i ( x ),  a f 1) ij g  ij (6.2) x    i  2,  vớ f (0) ( x )  f1(0) ( x ), f2(0) ( x )   0 1, 1, i  0, 1,1 ,  (6.3) 2 j j ( Dự vào (6.2) – (6.3), ta a tính toán giá trịf i( ) ( xk ) f ik ) tạcác nút rờ rạ x k i i c xk    ,  N ,   ,  k x k x N (6.4) vớ N số i nguyên dư ng cho trư c Sau đ ta i suy giá trịf ik( ) tạcác đ m ó, nộ i iể nút (6.4) bằ hàm Spline bậ nhấtrên   i đ m nút x0 , x1 , , xN , ng c t iể 1,1 bở N f i( ) ( x)  f ik) wk ( x), ( (6.5) k đ hàm w0 ( x), w1 ( x), , wN ( x) đ ợ xác đ nhưsau ó, ưc ị nh x  xk    , x   1 x x wk ( x)  k  ,   x   0,   x x 1  ,  w0 ( x)   x 0,  xk    k, x x xk x xk  , 1 k N  1, (6.6) x  xk  , xk   1 1,  x x1 , x1 x  1, ,  xN  x ,  wN ( x)   x   0,  x N   x 1, (6.7)  x xN  1 Khi đ giá trịfik( ) ,  đợ xác đ bằ quy nạ nhưsau ó, 1, ưc ị ng nh p f ( ) ik N N    ij  f js ws ( xk )  bij f js ws ( xk )  i ( xk ),  a  ( 1)  s 0 ( 1) ij g ij j  s  j (0) f ik  0,   2,   ,  i 1, k N 1, (6.8) (6.9) Áp dụ thuậgiả(6.8), (6.9) ví dụ thể ng t i cụ sau  1   x x  x x    f  f 22   f1    f   g (x ),   (x )   f    10  100   200   200   100      x x  x x  ( x ) 1 1 f   f   f   f   g ( x ), f          200   100   2 10  100   400       đ ó (6.10)  1 x x    x x g1 ( x) x          ,  10    200   200   100   100 4         1         x x x x g x    (x )     400   200   100   10    100        Nghiệ xác củ hệ m a (6.10) – (6.11) Bả 1: N=10, ng f1 ( x) x, ex (6.11) f ( x) x ex  max f ik( ) f ik(  1)   10 i 1,2 0  k N f1(j) f1( ex ) ( x j ) E1j  f1(j) f1(ex ) ( x j ) -0.9998964000 -0.7999041257 -0.5999973277 -0.3999098789 -0.1999106511 0.2000893534 0.4000901391 0.6000027127 0.8000959461 1.000103690 -1.0000000000 -0.8000000000 -0.6000000000 -0.4000000000 -0.2000000000 0.2000000000 0.4000000000 0.6000000000 0.8000000000 1.0000000000 0.1035999595e-3 0.9587425770e-4 0.2672276421e-5 0.9012111541e-4 0.8934887512e-4 0.8935340776e-4 0.9013911596e-4 0.2712680146e-5 0.9594612059e-4 0.1036900862e-3 Nút thứ j f 2( ) j f 2( ex ) ( x j ) E 2j  f j f ( x j ) 10 1.000078208 0.6400019343 0.3600763130 0.1601009135 0.0400754297 0.0400754476 0.1601009851 0.3600764209 0.6400020788 1.000078301 1.0000000000 0.6400000000 0.3600000000 0.1600000000 0.0400000000 0.0400000000 0.1600000000 0.3600000000 0.6400000000 1.0000000000 0.7820802318e-4 0.1934324076e-5 0.7631297686e-4 0.1009135390e-3 0.7542967049e-4 0.7544759644e-4 0.1009851313e-3 0.7642085523e-4 0.2078800039e-5 0.7830130398e-4 Nút thứ j 10 Bả 2: N=10 ng ( ) (ex ) 6.2 Khả sát thuậ giả lặ cấ o t i p p Ta viếlạhệ t i (6.1) theo công thứ (4.1) c 2 j j ) f i( ) ( x )  ) ( x ) f j(  ( x )  bij f j( ) ( x )  i(  ( x ), x   i  2,  , g ) 1, 1,1 , 1,  ij( ij  ij 10 (  ) ( x)   ij f j(  1) ( x), a ij ij đ ó gi( ) ( x ) gi ( x )   ij  j(  1) ( x )  a f  ij 2 j Chọ f n (0) ( ) ik z : N N    ij  z (js  ws ( xk )  bij  (js  ws ( xk ) gi ( xk ),  a   1) ij  s0 z  1) ij j  s  j (0) zik  0,   2,   i 1, k N Ta chọ  N cho  f  ( ) n z M X (6.12) (6.13)   M M  0  Khi đ ó 1  fik zik (0) ( ) ( Tính f ik)  2,  N ,  2,  i 1, k 1, N N j s j s 1) 1) f ik ( )()  ij) ( xk )f js ()( ws ( xk )  bij f js ( )( ws ( xk )  i() ( xk ), ( g  ij ij ( f ik)(0) 0,   i  2,  , k  N , x , 1, 1, 0, (6.14) (6.15) đ ó N ( (  ) ( x k )   ij f js 1)ws ( xk ), a ij ij (6.16) s ( ) i g N  ( xk )  i ( xk )   ij  f js ws ( xk )  g  a  ( 1) ij j  s  (6.17) Áp dụ thuậgiảtrên đ xấ xỉ ng t i ể p nghiệ củ hệ m a (6.10) – (6.11) vớ e0  , M  i 70 Bả 5: N=10, ng 1) max fik( )() fik( )(   10 i 1,2 0  k N Nút thứ j f1(j) f1( ex ) ( x j ) E1j  f1(j) f1( ex) ( x j ) 10 -0.9998964000 -0.7999041257 -0.5999973277 -0.3999098789 -0.1999106511 0.2000893534 0.4000901391 0.6000027127 0.8000959461 1.000103690 -1.0000000000 -0.8000000000 -0.6000000000 -0.4000000000 -0.2000000000 0.2000000000 0.4000000000 0.6000000000 0.8000000000 1.0000000000 0.1035999595e-3 0.9587425768e-4 0.2672276411e-5 0.9012111540e-4 0.8934887512e-4 0.8935340776e-4 0.9013911595e-4 0.2712680135e-5 0.9594612058e-4 0.1036900862e-3 11 Bả 6: N=10 ng Nút thứ j f 2( ) j f 2( ex ) ( x j ) 10 1.000078208 0.6400019343 0.3600763130 0.1601009135 0.0400754297 0.0400754478 0.1601009851 0.3600764209 0.6400020788 1.000078301 1.0000000000 0.6400000000 0.3600000000 0.1600000000 0.0400000000 0.0400000000 0.1600000000 0.3600000000 0.6400000000 1.0000000000  Bả : e  ng max max E1 j , max E2 j 0  j N 0  j N  ( ) E2j  f2 j f2 ( ex) (xj ) 0.7820802316e-4 0.1934324062e-5 0.7631297685e-4 0.1009135389e-3 0.7542967049e-4 0.7544759644e-4 0.1009851313e-3 0.7642085521e-4 0.2078800022e-5 0.7830130395e-4 N Thuậ giảcấ ( lặ bư c ) t i p p Thuậ giảcấ ( lặ bư c ) t i p p 10 20 30 40 50 0.1009851313e-3 0.3500954709e-4 0.1942649028e-4 0.1804805739e-4 0.1595724669e-4 0.1009851313e-3 0.3500954708e-4 0.1942649027e-4 0.1804805738e-4 0.1595724668e-4 KHAI TRIỂ TIỆ CẬ NGHIỆ CỦ HỆPHƯ NG TRÌNH CỤTHỂ N M N M A Ơ Trong phầ này, vẫ khả sát hệ n n o (6.1) vớ  miề chiề i n u sau f i ( x)   ij f j2  ij x   ij f j  ij x  g i ( x), i  2,  a   b   1, 2 j j x  x  x1 , x2  R :    (7.1) x x1 x2  đ aij , bij ,  sốthự cho , ó c ij trư c thoả ij  max bij  ,   , j  b 1, i 1, ij   i 1  j 7.1 Khả sát nghiệ củ hệ o m a (7.1)   Hệ (7.1) trở thành hệ n tính sau tuyế f i ( x)  ij f j  ij x  g i ( x), i  2, x b   1, j (7.2) 12  Nế g i ( x )  ix   u d    d ix1 x22 , i  Khi đ nghiệ f  f , f củ hệ 1, ó, m a   1 , Z2       r r  fi ( x)  ix  c   (7.2) có ng  r  c    ci x1 x2 , i  2, đ 1, ó  , c2   , r 1  ,    Z    r đợ xác đ ưc ị nh c1 d b   b  d   b  1b   b b    22  22  11 11 1 12  22 22  12 2   12 21 12 21 , c 2 d b   b  d   b  1 b   b b     11 11  11 11 2 21  22 22  21 1   12 21 12 21 (7.3)   Nế g  g1 , g  C q  ; R Gọ f  f , f là nghiệ đ thứ củ hệ u   i m a c a (7.2) tư ng    ~ ~ ~    ứ vớ g  g , g trong đ g i ( x)   ng i ó   ~ ~  D gi (0) x    q ! ~ ~     1,  !!  1 2 gi (0, 0)x1x22 , i  x1 x2  1 , Z        q Khi đ nghiệ ó m ~ có ng f f i ( x)   cix  ~  q  c       , Z   2    q  ci x1 x2 , i  2, vớ 1, i , c2    đ ợ xác đ , q ưc ị nh 1 1 b  1! D g (0) b   D g (0)  !  ,c  b  1b   b b    22 c1  22   11 11 12 22  22  12   12 21 12 21 1 b  1! D g (0) b   D g (0)  !   b  1 b   b b     11 11  2  11 11  21 22  22  21    12 21 12 21  Nế g  g1 , g  X u   Theo đ lý xấ xỉ ị nh p Weierstrass, mỗ hàm liên tụ gi ( x ) p xỉ ng mộdãy đ i c xấ bằ t a thứ hộ tụ ề Pi[ q ] bậ q   c i đu c  Gọ f [ q ]  f1[ q ] , f2[ q ] là nghiệ đ thứ củ hệ i m a c a (7.2) tư ng ứ vớ g  [ q ] Chứ ng i P ng  minh đợ f f [ q ] ưc X  g  [ q] P ij  b   X Xét hệ trình (7.2) cụ sau phư ng ng thể  q    13  x x 1 x2  1 x2  f   1 ( x1, x2 ) 200 f1  ,  300 f2  ,  g1 ( x1 , x2 ),       x x  ( x , x )  f  , x  f  , x2  g ( x , x ), f   2 100   200   2      (7.4) g1 ( x1 , x2 )  , g2 ( x1 , x2 )   x2 x  x2 x (7.5) Bả ng q  ,  1 7.2 c2  1.008425997 0.143175881 0.143175881 1.015160060 0.125791732 0.125791732 (2,0) (1,1) (0,2) (0,0) (1,0) (0,1) (2,0) (1,1) (0,2) (3,0) (2,1) (1,2) (3,0) c1 (0,0) (1,0) (0,1) 0.020420347 0.040840695 0.020420347 1.008425997 0.143175881 0.143175881 0.020420347 0.040840695 0.020420347 0.002915921 0.008747763 0.008747763 0.002915921 0.015667273 0.031334547 0.015667273 1.015160060 0.125791732 0.125791732 0.015667273 0.031334547 0.015667273 0.001955427 0.005866281 0.005866281 0.001955427 Khai triể tiệ cậ nghiệ củ hệ n m n m a (7.1)  Giả g i ( x ) đ thứ bậ r cho trư c đc lậ vớ như sử a c c ộ p i sau gi ( x )  r x   d  r  dr x1x 2 , i  1, (7.6)  (,  )   Z    r Chúng ta xác đ thành phầ khai triể tiệ cậ nghiệ củ hệ(7.1) ị nh n n m n m a theo tham sốđn cấ dự công thứ (5.2) – (5.8) ế p a c Xác đ ị f [0] : f [0]  f1[0] , f 2[0]  Lg  I   g Vì gi ( x ) đ thứ bậ r nên nh  a c c   B  f i[0] ( x )  ix  c  r   (, )   Z    r cix1 x2 , i  2, đ c1, c2 đ ợ xác đ như(7.3) 1, ó ưc ị nh 14 Xác đ ị nh f [1] : Af  ( x) d f [1]  f1 [1] , f2 [1]  L  [0]  mà  Af  i (1)  i x , vớ i  2r  di(1)  aij  c jc j Do đ f i[1] ( x ) ci(1) x  đ (1) , c2(1) đ ợ xác đ ó, ó c1  c ị nh   ij    r   j (7.3) vớ , c2 1, d2đợ thay bằ (1) , c21(1) , d2và  r i c1 , d ưc ng c1 (1) , d  (1) đ ị nh Xác f [2] :   f  f1[2] , f 2[2]  L P    mà Pi  x) di(2) x, (  vớ i  3r  di(2)  aij c(1) c j  Do đ fi[2] ( x) ci(2) x đ (2) , c2(2)  c xác đ ó, ó c1 ị nh   ij j    đợ j    3r  (7.3) vớ , c2 1, d2đợ thay bằ (2) , c2  1(2) , d2 và  r i c1 , d ưc ng c1 (2) , d  (2) Khi đ ó fi ( x) fi [0] ( x)  fi [1] ( x)  fi [2] ( x)    C L  , vớ x  i  C  i , 1, X mộ hằ số ộ lậ vớ i , x ,  t ng đc p i KẾ LUẬ T N Luậ vă chủ u đ cậ đn việ khả sát sựtồ tạvà nhấnghiệ xấ xỉ n n yế ề p ế c o n i t m, p nghiệ bằ thuậgiảhộ tụtheo nguyên tắ ánh xạ thuậgiảlặ cấ hai, khai m ng t i i c co t i p p triể tiệ cậ nghiệ theo mộtham số củ hệ trình hàm phi tuyế n m n m t bé a phư ng n miề R Nộdung củ luậ vă nằ chư ng 3, 4, 5, n i a n n m Các thuậ giảsốđợ minh hoạ t i ưc qua ví dụcụ , đng thờ có đ ợ sựso thể i ưc sánh t tố đ hộtụ a hai thuậgiảlặ mặ c ộ i củ t i p Qua luậ vă này, tác giả ã thự sựbư c vào công việ đc tài liệ khoa n n đ c c ọ u họ mộ cách hệ ng Đ ng thờ tác giả ng đ biếcách sửdụ đ lý đ m bấ c t thố i, cũ ã t ng ị nh iể t đng Banach đ khả sát vấ đ phư ng trình hàm tiế hành thuậgiả ộ ể o n ề hệ n t i sốtrên toán cụthể Tuy nhiên, vớ kiế thứ nhiề hạ chế thờ gian i n c u n i không nhiề tác giả t mong nhậ đ ợ sựđ góp o củ Quý Thầ u, rấ n ưc óng bả a y hộ đng i 15 TÀI LIỆ THAM KHẢ U O [1] Nguyễ Hữ Chư ng, Nghiên thuậ giả lặ khai triể tiệ cậ nghiệ n u u t i p n m n m củ hệ trình hàm phi tuyế Luậ vă Thạ sỹ a phư ng n, n n c Toán họ Khoá 10, Thưviệ c n Đ i họ Cầ Thơ c n (2005) [2] Nguyễ Kim Khôi, Nguyễ Hộ Nghĩ Giảsố a hệ trình hàm, Tạ chí n n i a, i củ phư ng p Phát triể Khoa họ Công nghệVol 3, No 7&8 (2000), 25-31 n c , [3] Nguyen Thanh Long, Nguyen Hoi Nghia, Nguyen Kim Khoi, Dinh Van Ruy, On a system of functional equations, Demonstratio Math 31 (1998), No 2, 313-324 [4] Nguyen Thanh Long, Nguyen Hoi Nghia, On a system of functional equations in a multi-dimensional domain, Z Anal Anw 19 (2000), No 4, 1017-1034 [5] Nguyen Thanh Long, Solution approximation of a system of intergral equations by a uniformly convergent polynominals sequence, Demonstratio Math 37 (2004), No 1, 123-132 [6] Nguyen Thanh Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated with the system of functional equations, Demonstratio Math 37 (2004), No 2, 349362 [7] Nguyễ Thành Long, Trầ Ngọ Diễ Khai triể tiệ cậ nghiệ củ hệ n n c m, n m n m a phư ng trình hàm, Tạ chí Khoa họ Đ i họ Sư m Tp HCM, Vol 26 (2001), 39ơ p c c Phạ 46 [8] Nguyễ Hộ Nghĩ Nguyễ Kim Khôi, Về t hệ trình hàm tuyế tính, n i a, n mộ phư ng n Tạ chí Phát triể Khoa họ Công nghệVol 3, No 7&8 (2000), 18-24 p n c , [9] Nguyễ Hộ Nghĩ Xấ xỉ n i a, p nghiệ củ hệphư ng trình hàm miề hai m a n chiề Tạ chí Phát triể Khoa họ Công nghệVol 5, No 1&2 (2002), 56-65 u, p n c , [10] Lê Thu Vân, Xấ xỉ khai triể tiệ cậ nghiệ củ hệ trình hàm, p n m n m a phư ng Luậ vă Thạ sỹ n n c Toán họ Khoá 9, Thưviệ Đ i Họ Khoa họ TựNhiên Tp HCM c n c c (2001) [11] C Q Wu, Q W Xuan, D Y Zhu, The system of functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA Bull Math 15 (1991) , No 2, 109-115 ... ( ) γ γ ⎧ − b 22? ? 22 d1γ + b 12? ? 12 d 2? ? ⎪ c1γ = , γ γ γ γ ⎪ − b11α11 − b 22? ? 22 − b12b21α 12? ? 21 ⎪ ⎨ γ γ − b11α11 d 2? ? + b21α 21 d1γ ⎪ , ⎪c2γ = γ γ γ γ − b11α11 − b 22? ? 22 − b12b21α 12? ? 21 ⎪ ⎩ ( )(... b 22? ? 22 D g1 (0) + b 12? ? 12 Dγ g (0) ⎪ γ! γ! , ⎪c1γ = γ γ γ γ − b11α11 − b 22? ? 22 − b12b21α 12? ? 21 ⎪ ⎪ ⎨ γ γ γ ⎪ − b11α11 D g (0) + b21α 21 Dγ g1 (0) ⎪ γ! γ! , ⎪ c2γ = γ γ γ γ − b11α11 − b 22? ? 22 ... 14 Chương : Khai triển tiệm cận nghiệm 22 Chương : Thuật giải lặp hệ phương trình hàm cụ thể 32 Chương : Khai triển tiệm cận nghiệm hệ phương trình hàm cụ thể 43 Kết luận