chơng phân tích tần suất ảnh Lũ lụt sông Trinity cạnh Dayton, Texas nawm 1990 3.1 lời giới thiệu Phạm vi nghiên cứu Có nhiều chu trình thuỷ văn phải đợc làm rõ đợc giải thích theo xác suất biến đổi ngẫu nhiên vèn cã cđa nã cho vÝ dơ kh«ng thĨ dù báo lu lợng lợng ma cách xác dựa vào số liệu khứ hay tơng lai nguyên nhân chế hoạt động chúng Rất may phơng pháp thống kê phù hợp để cấu thành biểu diễn chuỗi số liệu quan trắc thành dạng mà nội suy ớc lợng Chơng phơng pháp ngẫu nhiên mà thuỷ văn số liệu đợc xác định biểu diễn phuơng pháp thống kê chuẩn 163 Các biến cố ngẫu nhiên Một biến cố ngẫu nhiên tham số (nh lu lợng, lợng ma, trình lu lợng) đợc dự báo cách xác là, biến cố ngẫu nhiên kết trình ngẫu nhiên Một số biến cố đợc xử lý thống kê cách gián đoạn hay liên tục Phần lớn số liệu thuỷ văn liên tục đợc phân tích xác suất phân bố xác suất liên tục Cho ví dụ, giá trị lu lợng biểu đồ hình 3.1a giá trị thực đo đạc dụng cụ đo, số liệu liên tục Tuy nhiên thân số liệu lại đợc biểu diễn cách gián đoạn trình đo đạc Các số liệu dòng chảy hàng ngày đợc xác định cách xác thực lu lợng nớc m3/s Dạng biểu diễn số liệu đợc gọi dạng gián đoạn - liên tục Đó số liệu liên tục đợc quy thành gián đoạn Điều đợc minh hoạ hình 3.1(a), lu lợng đợc giả thiết dạng m3/s gần Các biến cố ngẫu nhiên gián đoạn đợc lấy lu vực định giá trị rời rạc Cho ví dụ, tung đồng xu kết mặt sấp ngửa xuất hiện; tung súc sắc giá trị xuất từ đến Kết từ thùng đo ma giá trị thuỷ văn đơn giản nh hình 3.1(b): có hay đỉnh suốt khoảng thời gian Hình 3.1 Các số liệu liên tục gián đoạn a) số liệu liên tục gián đoạn b)số liệu gián đoạn Kết biểu đồ lấy từ thùng đo ma Mỗi đơn vị độ cao 0.01 inch lợng ma 164 Các số liệu gián đoạn - liên tục đợc xử lý gián đoạn Thật chúng đợc gián đoạn hoá lúc bảng số liệu đợc xếp trình tự, gía trị đợc cắt bớt (Ví dụ nh giá trị gần ft3/s l−u l−ỵng hay 0.1 inch l−ỵng m−a) Tuy nhiên, việc phân tích yếu tố tần suất thuận tiện số liệu tính toán lớn mµ ta cã thĨ xem xÐt Cho vÝ dơ, nÕu lu lợng dòng chảy đợc đo đạc gần (ft3/s) khoảng từ đến 5000 ft3/s phải tính toán 5000 khoảng gián đoạn Tơng ứng, điểm liên tục dễ dàng nhiều Mặc dù phân bố tần suất rời rạc đợc áp dụng cho giá tị liên tục (ví dụ độ lớn lợng ma trận ma), ứng dụng chủ yếu phân bố rời rạc thuỷ văn biến cố ngẫu nhiên mà dạng số để đáp ứng số tiêu chuẩn định, ví dụ giá trị lũ đợc mong đợi để vợt độ lớn định, thời kỳ nhiều năm biểu diễn số liệu Số liệu gián đoạn - liên tục thờng đợc biểu diễn dới dạng biểu đồ hình cột hay đờng cong Chiều cao hình dạng chung đờng cong phù hợp với đặc trng số liệu lựa chọn luật phân bố số liệu cách hợp lý, ví dụ có phân bố nên làm đối xứng hay có phân bố nên chọn bất đối xứng Sử dụng lu lợng dòng chảy, ví dụ, giá trị lu lợng đợc phân chia thành lớp tơng ứng với tần suất xuất lớp Độ lớn lớp nên đủ nhỏ thành phần số liệu thấy đợc nhng phải đủ lớn thành phần không bị lẫn lộn Giá trị đà sử dụng lớp thay đổi hình ảnh số liệu (Benjamin Cornel, 1970) Giá trị không thuận tiện cho việc thay đổi nhiều chơng trình tính toán, kỹ s so sánh đa vài lựa chọn khác Với trợ giúp Panofsky Brier, 1968 đà đa ra: K = 5log10n (3.1) K số khoảng lớp n số giá trị Khoảng lớp số độ rộng Nếu không, thuận lợi cho việc nhóm số liệu thành nhóm lớn hơn, khoảng đợc kết hợp Nửa tung độ đồ thị đợc phân chia toàn số lần quan sát đợc, tần suất tơng ứng (xác suất ) khoảng lớp, nh tổng tung độ 1.0 tạo nên thay đổi phơng pháp đánh dấu số liệu Cho đến cách thứ ba dạng phân bố tần suất luỹ tích, cho biết toàn đờng cong phân bố tần suất tơng ứng khoảng định xác suất mà giá trị hoành độ nhỏ độ lớn điểm Cả hai tần suất đợc dùng nhiều thuỷ văn đợc minh hoạ rõ nét số ví dụ Ví dụ 3.1 đồ thị tần suất Số liệu lũ lớn 31 năm đợc ghi lại Cypress Creek, gần Horton, Texas, đợc trình bày bảng 3.1 Phơng trình 3.1 cho biết có khoảng tơng ứng hay lớp cho phép giới hạn tiêu chuẩn 2000ft3/s (tiêu chuẩn quan trọng quy tắc đếm tay khác đôí với số khoảng lớp) Tần suất, tần suất tơng ứng, tần suất luỹ tích đợc xác định bảng 165 biểu diễn hình 3.2 3.3 Ví dụ , hình 3.2 xác suất nằm khoảng 2000 4000 0.29 Từ đờng cong xác suất luỹ tích (hình 3.3), xác suất mà lu lợng nhỏ 4000 ft3/s 0.58 Chú ý tổng tần suất tơng ứng 1.0 đợc bảng 3.1 tổng tung độ đợc biểu diễn hình 3.3 Bảng 3.1 Bảng tính toán số liệu tần suất Cypress Creek , gần Horton, Texas Số liệu cha Số liệu đà Số liệu cha Số liệu đà xếp xếp xếp xếp Năm Q(m3/s) Stt Q(m3/s) Năm Q(m3/s) Stt Q(m3/s) 1945 9840 15600 1961 6260 17 3310 1946 5170 10300 1962 1360 18 3210 1947 1620 9840 1963 1000 19 3000 1948 235 7760 1964 2770 20 2820 1949 15600 6560 1965 1400 21 2770 1950 4740 6260 1966 3210 22 2520 1951 427 5440 1967 1110 23 1900 1952 3310 5230 1968 5230 24 1620 1953 4400 5170 1969 4300 25 1400 1954 7760 10 4740 1970 2820 26 1360 1955 2520 11 4710 1971 1900 27 1110 1956 340 12 4400 1972 3980 28 1000 1957 5440 13 4300 1973 6560 29 427 1958 3000 14 3980 1974 4710 30 340 1959 3690 15 3690 1975 3460 31 235 1960 10300 16 3460 Khoảng lớp Giá trị trung bình Tần suất Tần suất tơng ứng Tần suất l/t - 2000 1000 0.29 0.29 2000 - 4000 3000 0.29 0.58 4000 - 6000 5000 0.23 0.81 6000 - 8000 7000 0.10 0.91 8000 - 10000 9000 0.03 0.94 10000 - 12000 11000 0.00 0.97 12000 - 14000 13000 0.03 0.97 14000 - 16000 15000 0.03 1.00 ∑ = 31 166 Một cách gián đoạn hoá số liệu lu lợng liên tục đợc quy định biến cố ngẫu nhiên rời rạc cho khoảng lớp Bất kỳ giá trị nằm lớp đợc quy định giá trị rời rạc tơng ứng lớp đó, thông thờng điểm trung bình hay điểm lớp Trong trờng hợp điểm đợc điền vào hoành độ (hình 3.4) Một giá trị tần suất tơng ứng giá trị tần suất lu lợng 3000 ft3/s 0.29 (giá trị tơng đơng đợc lấy dựa vào tợng đà biết mà biến cố ngẫu nhiên liên tục có, không cần xác định xác giá trị cụ thể) Đờng bất đối xứng lu lợng Cypress Creek đợc trình bày hình 3.2 3.4, điểm cuối bên phải Nó đợc xác định lấy tơng đơng với thay đổi phân bố nhiều trờng hợp khác Hình 3.2 Biểu đồ tần suất tơng ứng cho vùng Cypress Creek, gần Horton, Texas Hình 3.3 Biểu đồ tần suất l tÝch cho vïng Cypress Creek 167 H×nh 3.4 BiĨu đồ tần suất rời rạc vùng Cypress Creek Những tần suất với hàm khối lợng xác suất rời rạc (PMF) 3.2 Các khái niệm xác suất Tiến hành thí nghiệm với N kết đạt đợc, X1,X2,Xi,XN Các kết độc lập, không hai số xảy lúc Nó số lần xuất mặt, chúng đặc trng cho toàn kết đạt đợc tiến hành thí nghiệm Xác suất biến cố Xi đợc xác định số lần xuất hiƯn biÕn cè t−¬ng øng rÊt nhiỊu phÐp thư Xác suất đợc xác định P(Xi) = ni/n, ni số lần xuất (x¸c st ) cđa biÕn cè Xi n phÐp thử Tuy nhiên ni/n tần suất tơng ứng xác suất xảy biến cố Xi Một xác suất rời rạc xác suất đơn giản cđa mét biÕn cè rêi r¹c NÕu nh− mét P(Xi) định với xác suất biến cố ngẫu nhiên Xi, điều kiện cho phép tồn xác suất rời rạc biến cố xem xét khoảng đơn giản toàn kết đạt đợc: < P(Xi) < (3.2) N ∑ P( Xi) = (3.3) i=1 X¸c suÊt hợp hai biến cố độc lập tổng xác suất xác suất biến cố thành phần: P(X1 X2) = P(X1) + P(X2) (3.4) Hai biÕn cè X1 Y1 đợc gọi độc lập, việc xảy biến cố không ảnh 168 hởng đến xuất biến cố Xác suất giao (cả hai xảy đợc ký hiệu ) hai biến cố độc lập tích chúng: P(X1 Y1) = P(X1) P(Y1) (3.5) Đối với biến cố phụ thuéc lÉn nhau: P(X1∪ Y1) = P(X1) + P(Y1) - P(X1 Y1) (3.6) Xác suất điều kiện X1 biến cố Y1 đà xảy là: P(X1/Y1) = P(X1 Y1)/ P(Y1) (3.7) NÕu biÕn cè X1 vµ Y1lµ độc lập kết hợp phơng trình 3.5 3.7 trở thành: P(X1/Y1) = P(X1).P(Y1)/P(Y1) =P(X1) (3.8) Những khái niệm thờng đợc minh hoạ biểu đồ Venn (Hình 3.5) diện tích xác suất, với tổng diện tích tong ứng xác suất 1.0, hay 100% Hình 3.5 Biểu đồ Venn minh hoạ xác suất Ví dụ 3.2 Các xác suất có điều kiện Lấy biến cố Y1 điều kiện mà lợng ma xảy ngày định biến cố X1 điều kiện mà chớp quan sát đựơc ngày định Cho xác suất biến cố này: P(X1) = 0.3 (xác suất chớp 30%) P(Y1) = 0.1 (xác suất ma 10% ) P(X1/Y1) = 0.5 (nếu có chớp xuất ma 50% ) Tính xác suất ma chớp xảy (là xác suất X1 Y1)? Từ phơng trình 3.7: P(X1 Y1) = P(Y1/X1).P(X1) = 0.15 Nếu độc lập với P(Y1/X1) = P(Y1) = 0.03 Xác suất biến cố độc lập xảy luôn chúng phụ thuộc 169 3.3 Các biến cố ngẫu nhiên luật phân bố xác suất Các biến cố ngẫu nhiên biến cố rời rạc Tính chất biến cố ngẫu nhiên đựơc miêu tả quy luật phân bố xác suất Mỗi kết đạt đợc phép thử đựoc quy định số giá trị phụ thuộc vào hàm khối lợng xác suất rời rạc (PMF) hay hàm mật độ xác suất liên tục (PDF) Trong thuỷ văn, biến cố ngẫu nhiên rời rạc đợc sử dụng rộng rÃi để biểu diễn số trờng hợp xảy mà phù hợp vơí tiêu chuẩn định Ví dụ, giá trị lũ vợt giá trị cụ thể cho trớc, lợng ma xảy nơi định, Các ví dụ chơng thuộc loại Nh quy tắc, biến cố ngẫu nhiên rời rạc đợc liên kết với tham số mà số nguyên Tuy nhiên nhóm biến cố ngẫu nhiên liên tục thành số nguyên gần hay giá trị nguyên bỏ dấu phẩy Cho ví dụ, lợng ma 2.18 inch thay lợng ma 218 inch Đôi biến đổi để xử lý biến cố liên tục thành dạng rời rạc, nh lu lợng rời rạc hình 3.4 HÃy ý P(x1) có nghĩa xác suất mà biến cố ngẫu nhiên rời rạc X lấy từ giá trị x1 Biểu diễn lại lu lợng x "rời rạc ", lấy xác suất tơng ứng hình 3.4: P(1000) = 0.29, P(9000) = 0.03 P(3000) = 0.29, P(11000) = 0.03 P(5000) = 0.23, P(13000) = 0.0 P(7000) = 0.10, P(15000) = 0.03 ∑ P ( x) P ( a ≤ x ≤ b) = (3.9) a≤ x≤b Chú ý giá trị phù hợp với xác suất tuyệt đối phơng trình 3.2 3.3 Hơn xác suất rời rạc Hàm phân bố luỹ tích (CDF) đợc xác định là: Từ giá trị bảng trên, F(7000) = 29+29 + 23 +10 =91% F ( x) = P ( X ≤ x) = ∑ P ( Xi ) (3.10) Xi ≤ X Các biến cố ngẫu nhiên liên tục thờng đợc sử dụng để biểu diễn yếu tố thuỷ văn nh lu lợng, thể tích, độ sâu, thời gian Các giá trị chuyển dạng nguyên, biến cố liên tục nhóm thành dạng nguyên Cho biến cố ngẫu nhiên liên tục, phần diện tích dới hàm mật độ phân bố xác suất f(x) nh sau (xem hình 3.6): P(x1< x < x2) = ∫ x2 f ( x) dx (3.11) = (3.12) x1 phần diện tích dới PDF b»ng 1.0: ∫ 170 ∞ −∞ f ( x ) dx Bản thân CDF xác suất có thứ nguyên nghịch đảo với thứ nguyên X, ví dụ nh ft3/s-1 Tuy nhiên, không giống với nhà tính toán, không tuân theo đơn vị thờng dùng PDF Trong thực tế, giá trị PDF dùng đến Mặt khác hàm mật độ luỹ tích (CDF) quan trọng xác suất CDF, liên tục đợc xác định giống với thành phần rời rạc nó: Hình 3.6 Hàm mật độ xác st liªn tơc F (x1) = P ( −∞ ≤ x ≤ x1) = ∫ X1 −∞ f ( x) dx (3.13) giá trị nằm khoảng: f ( X ) ≤ (3.14) P(x1 ≤ x ≤ x2 ) = F(x2 ) − F(xl ) (3.15) PDF CDF đợc lấy tơng ứng với phơng trình (3.13) nghịch đảo : dF ( x) = f ( x) dx Biểu đồ hình 3.2 đợc biểu diễn PDF liên tục tần suất tơng ứng đợc tạo từ khoảng lớp nhỏ x Phần diện tích dới biểu đồ 1.0 Cho ví dụ , tung độ biểu đồ tần suất tơng ứng hình 3.2 có khoảng chia 2000 ft3/s, tơng ứng với PDF Nó minh hoạ cho PDF có hình dạng cố định dạng giá trị đơn, chúng không cần giống hình dạng đòng cong trơn Biểu đồ có phân bố hỗn hợp, xác suất rời rạc biểu diễn xác suất mà biến cố lấy giá trị rời rạc cụ thể, PDF liên tục cho biết đỉnh giá trị với diện tích 1,0 ngoại trừ hàm xác suất rời rạc Để ví dụ, phân bố hỗn hợp đựoc biểu diễn hình 3.7 xác suất 0.15 lu lợng 0.0 Chọn phân bố liên tục PDF để biểu diễn số liệu khó khăn ngời ta thờng bắt chớc hình dạng biểu đồ tần suất (hình 3.2) PDF phần lớn sử 171 dụng biến cố thuỷ văn đựoc trình bày phần sau Hình 3.7.Luật phân bố tần suất rời rạc Sử dụng hàm phân bố xác suất rời rạc (PMF) cho xác suất có giá trị = hàm mật độ xác suất liên tục (PDF) (độ lớn diện tích = 0.85) xác suất có giá trị lớn Các moment phân bố Khái niệm moment thuật ngữ học Một PMF PDF dạng hàm moment có quan hệ với tham số Tuy nhiên, moment tìm đợc tìm thấy tham số phân bố Chính thân moment cho biết hình dạng phân bố Cho phân bố rời rạc, moment gốc bậc N đợc xác định nh sau x àN ' = N i P( xi ) (3.17) Và phân bố liên tục nh sau: àN' = x N f ( x) dx (3.18) Moment gèc bËc mét giá trị trung vị, trung bình hay giá trị kỳ vọng, đợc tính E() kỳ vọng nh− sau: E ( x) ≡ µ = ∞ ∑ x p( x ) i i (cho PMF rêi r¹c) (3.19) −∞ vµ E( x) ≡ µ = ∫ ∞ −∞ x i f ( x i ) (cho PDF liê n tục ) (3.20) Trung vị giá trị đợc lấy hay đựoc gọi tham số vị trí cho biết vị trí trục quay x số lớn phân bố đợc thiết lập Thông thờng luật phân bố biến cố đợc tìm thông tin biến cố quan hệ đợc cung cấp Để ví dụ, phân bố lu lợng dòng chảy đợc biết cho biết thông tin trạm đó, hàm lu lợng Giá trị kỳ vọng 172 quan trắc lũ từ đờng điểm đợc so sánh với hai ví dụ trớc Quay trở lại ta lại thấy 90% KS có chuỗi giới hạn riêng rộng So sánh điểm Sự phân bố cho giá trị điểm tốt đợc xác định cách đo đạc nh giá trị thống kê giá trị thử Kolmôgorov - Smirnov (Benjamin vµ Cornell 1970, Haan, 1977), nh−ng sù kiểm tra ích việc phân biệt khác phân bố giới hạn chúng tơng đối lớn so vối hai giá trị phân bố số liệu điểm nh giá trị trung bình giá trị tuyệt đối độ lệch điểm điểm đờng CDF (Benson,1968) Một khả khác bao gồm moment bËc vµ moment bËc cđa sè liƯu, phân tích đợc sử dụng để phân biệt khác phân bố (Harr 1977) Những vấn đề việc ớc lợng moment cao đà thực đợc đa thảo luận Và cuối cùng, định thờng chủ quan đợc u tiên việc sử dụng loại máy móc Trong bố trí máy móc theo phân bố loga hợp lý nhiều theo giả thiết phân bố cực trị hàm Gumbel hay kinh nghiệm cách lấy giá trị trung bình dới trung bình phân bố log (Pearson3) Hình 3.23 ảnh hởng hình dạng hàm phân bố luỹ tích CDF giấy xác suất thay đổi Đồ thị điểm so sánh với CDF đà thiết lập đợc xem xét phần King(1971) đà biểu diễn vài CDF dựa lý thuyết xác suất phân bố khác Reich Renard(1981) đà áp dụng lý thuyết vào thuỷ văn Sự phân bố loại lới loga hàm Gumbel (giá trị vô cực) đợc biểu diễn hình 3.23 Ví dụ số liệu đợc biểu diễn lới loga phân bố hàm Gumbel số liệu đợc thể dạng phiá dới bên trái điểm Rất tiếc phân bố giá trị dới giá trị trung bình log (Pearson3) đánh giá đợc theo cách chúng loại giấy xác suất chuyên dùng 209 Bảng 3.8 Số liệu giá trị Gumbel Cpress Creek Năm STT Thời kỳ CDF kinh nghiệm kinh nghiệm Dòng chảy ft3/s Lọc y Läc CDF §é tin §é tin cËy cao* cËy thÊp+ 1949 52.0 0.981 15600 5.010102 0.993351 0.753351 1960 19.5 0.949 10300 2.959002 0.949451 0.709451 1945 12.0 0.917 9840 2.780982 0.939903 0.699903 1954 8.7 0.885 7760 1.976022 0.870559 0.630559 1973 6.8 0.853 6560 1.511622 0.802075 0.562075 1961 5.6 0.821 6260 1.395522 0.780591 0.540591 1957 4.7 0.788 5440 1.078182 0.711618 0.951618 0.471618 1968 4.1 0.756 5230 0.996912 0.691413 0.931413 0.451413 1946 3.6 0.724 5170 0.973692 0.685445 0.925445 0.445445 1950 10 3.3 0.692 4740 0.807282 0.640139 0.880139 0.400139 1974 11 2.9 0.660 4710 0.795672 0.636813 0.876813 0.396813 1953 12 2.7 0.628 4400 0.675702 0.601217 0.841217 0.361217 1969 13 2.5 0.596 4300 0.637002 0.589267 0.829267 0.349267 1972 14 2.3 0.564 3980 0.513162 0.549580 0.789580 0.309580 1959 15 2.1 0.532 3690 0.400932 0.511684 0.751864 0.271864 1975 16 2.0 0.500 3460 0.311922 0.480927 0.720927 0.240927 1952 17 1.9 0.468 3310 0.253872 0.460339 0.700339 0.220339 1966 18 1.8 0.436 3210 0.215172 0.446461 0.686461 0.206461 1958 19 1.7 0.404 3000 0.133902 0.416997 0.656997 0.176997 1970 20 1.6 0.372 2820 0.064242 0.391496 0.631496 0.151496 1964 21 1.5 0.340 2770 0.044892 0.384388 0.624388 0.144388 1955 22 1.4 0.308 2520 -0.05185 0.348810 0.588810 0.108810 1971 23 1.4 0.276 1900 -0.29179 0.262151 0.502151 0.022151 1947 24 1.3 0.244 1620 -0.40015 0.224908 0.464908 1965 25 1.3 0.212 1400 -0.48529 0.196978 0.436978 1962 26 1.2 0.179 1360 -0.50077 0.192049 0.432049 1967 27 1.2 0.147 1110 -0.59752 0.162411 0.402411 1963 28 1.1 0.115 1000 -0.64009 0.150068 0.390068 1951 29 1.1 0.083 427 -0.86184 0.093711 0.333711 1956 30 1.1 0.051 340 -0.89551 0.086414 0.326414 1948 31 1.0 0.019 235 -0.93615 0.078069 0.318069 * Läc CDF + gi¸ trị KS = 0.24 + Lọc CDF Giá trị KS = 0.24 210 VÝ dơ 3.17 So s¸nh c¸c biểu đồ năm loại phân bố Phân bố đợc gọi tốt cho số liệu Cpress Creek? Không thể có câu trả lời xác, nhng toàn phân bố đợc thiết lập giấy loga chuẩn giá thiết Một vài độ lớn dự báo cần thiết đờng cong phân bố loga chuẩn dạng đờng cong trơn Những tính toán đợc trình bày bảng 3.9 (đòi hỏi hai điểm cho loga chuẩn) Kết điểm đợc trình bày hình 3.24 với điểm đà chọn Các tiêu chuẩn đợc trình bày (hình 3.23) không giúp đờng cong không thực cho thấy phân bố thay đổi hình chữ S (xem hình 3.21 3.22) Các điểm phân bố Gamma tốt giới hạn giá trị, loại Gumbel LP3 xuất để điền cách tốt gần với giá trị trung bình khoảng số liệu, sai số nhỏ so với vùng lớn Do luật phân bố loga chn cã mét kho¶ng lƯch lín nhÊt ë giíi hạn không đợc coi tèt nhÊt, cã thĨ ph©n bè chn víi tÝnh chÊt không xét giới hạn dới (bảng 3.9) khoảng lệch lớn từ nhiều số liệu Do Gamma phân bố tốt giới hạn không tÝnh ®é lƯch nhiỊu vïng sè liƯu nã cã thĨ đợc chọn tốt Nó quan trọng để lập quan hệ, giới hạn riêng đợc trình bày hình 3.21 3.22 chúng rộng giới hạn CDF, ảnh hởng sai số độ lớn dự báo ngẫu nhiên, nói lũ 100 năm từ số liệu 31 năm Tính ngẫu nhiên đợc xác định việc tính toán độ lệch chuẩn việc ớc lợng cực trị, sử dụng trình khác phân bố (Kitte 1977) Không may có cách để tìm trình ngẫu nhiên sử dụng tài liệu thời kỳ dài (không thể) vùng phân tích, vùng số liệu dòng chảy đợc giả định đà sử dụng để tích Những điểm đợc dùng để nội suy cho tần suất lũ hàm phân bố Gamma LP3, nh giả định ví dụ 3.11 3.12 Bảng 3.9.Tính toán cờng độ lũ đ dự báo vùng Cpress Creek, gÇn Hourton, Texas, 1945-1975 Thêi kú CDF ChuÈn LogchuÈn Gamma LP3 Gumbel tr−íc K=z Q K Q K Q K Q K Q 100 0.99 2.326 11845 2.326 28134 3.197 14729 1.504 12609 3.137 15430 50 0.98 2.054 10945 2.054 21572 2.906 13766 1.424 11662 2.592 12727 25 0.96 1.751 9942 1.751 16048 2.217 11484 1.316 10495 2.044 10911 10 0.90 1.282 8389 1.282 10152 1.034 8462 1.103 8525 1.305 8463 0.80 0.842 6932 0.842 6607 0.613 6174 0.847 6639 0.719 6526 0.50 4144 2904 -0.304 3137 0.183 3472 -0.164 3600 1.0101 0.01 -2.326 -3557 -2.326 300 -0.999 836 -3.099 141 -1.641 -1289 211 Hình 3.24 So sánh đờng cong năm loại phân bố cho dòng chảy Cypress Creek Tổng kết Nội dung chơng có phân tích tần số Các khác thuộc phần cách tính xác suất đợc mở rộng thuật toán (nh phần 3.3) Giới hạn riêng biến đổi (phần 3.6) Bạn đọc tham khảo thêm thông tin phần trích dẫn Trong chơng này, định nghĩa liên quan đến biểu diẽn giữ liệu giả thiết xảy đợc thực phơng pháp lựa chọn tần số, lý thuyết thích hợp để biểu diễn phổ số liệu quan trắc Phân bố liên tiếp lần rời rạc lần đợc diễn tả áp dụng Kết phân tích tần suất lũ đặc biệt quan trọng áp dụng cho chuỗi số liệu thuỷ văn rời rạc, ví dụ nh tần số lợng ma, trạng thái tổng lợng dòng chảy hàng năm, nhiệt độ, số chất lợng nớc Không có phân tích đồng cho biến thiên đặc biệt Tuy nhiên, đặc điểm lợng ma bÃo đợc nghiên cứu đà dòng chảy bÃo tập trung (tức lợng dòng chảy bÃo tập trung) Hầu hết đợc phân bố theo lới loga (Driscoll 1986) Hầu hết xem xét phân loại áp dụng đới với biến có giá trị tối thiểu (ví dụ khô cạn), hệ số ớc lợng biến đổi từ giá trị đà cho giá trị lớn độ lệch âm có tợng hạn hán (dòng chảy kiệt) Để sử dụng cho phân loại thông dụng cho mức ®é cùc tiĨu, Gumbel (1985) Benjarm vµ Cornell(1970), hay Haan(1977) đà xác định hệ số ớc lợng khác Kết phơng trình thuỷ văn thờng chênh lệch so với thông tin đợc thống kê kết phân tích chuỗi thời gian Điều nói nên cẩm nang công cụ thống kê chung (sách tài liệu thống kê với hệ số quen thuộc) Kết phân tích 212 chuỗi thời gian với xử lí số liệu chuỗi thời gian chúng có mối quan hệ bên ví dụ nh tính chu kỳ, quan hệ dòng chảy ®iĨm riªng biƯt Chatfield (1984) ®· cung cÊp mét ®Ị tài ứng dụng thuỷ văn tìm thấy bảng Kottegoda (1980), Salas ngời khác (1980), Bras Rodriguez Iturbe(1985) tập 3.1 Chuỗi số liệu Cpress Creek chu kỳ (1945-1984) đợc diễn tả thành danh sách bảng sau Để sử dụng số liệu việc khai thác biểu đồ tần suất biểu đồ tần suất luỹ tích Sử dụng trung bình loại lu lợng 2000àit3/s Cha xếp Sắp xếp lại Năm Lu lợng Bậc Lu lợng 1945 9840 15.6 1946 5170 10.3 1947 1620 9840 1948 235 7760 1949 15.6 6560 1950 4740 6260 1951 427 5730 1952 3310 5440 1953 4400 5230 1954 7760 10 5170 1955 2520 11 5060 1956 340 12 4740 1957 5440 13 4710 1958 3000 14 4590 1959 3690 15 4400 1960 10.3 16 4300 1961 6260 17 4210 1962 1360 18 3980 1963 1000 19 3860 1964 2770 20 3830 1965 1400 21 3690 1966 3210 22 3460 1967 1110 23 3310 213 Cha xếp Sắp xếp lại Năm Lu l−ỵng BËc L−u l−ỵng 1968 5230 24 3210 1969 4300 25 3150 1970 2820 26 3080 1971 1900 27 3000 1972 3980 28 2820 1973 6560 29 2770 1974 4710 30 2730 1975 3460 31 2520 1976 3080 32 1900 1977 2730 33 1620 1978 3860 34 1400 1979 4210 35 1460 1980 3150 36 1110 1981 5730 37 1000 1982 3830 38 427 1983 5060 39 340 1984 4590 40 253 3.2 a, Sư dơng sè liƯu t×m thÊy 3.1 để tính giá trị trung bình, độ lệch trung bình hệ số lệch (ví dụ 3.37, 3.38và 3.41) chuỗi số liệu Cypress Greek từ năm 1945 - 1984 b, Lặp lại phần a sử dụng loga c¬ sè 10 cho sè liƯu Cypress Greek 3.3 Đê quai tạm thời đợc thiết kế để bảo vệ dự án cấp lụt xây dựng từ năm đến 25 năm rủi ro cho đê quai cao nếu: a, Tại lần năm dự án b, Không có kế hoạch c, Chỉ năm d, xác 4,5 năm 3.4 Công viên giải trí đợc xây dựng gần vùng Buffalo Creek lu lợng dòng chảy đạt 200ft3/s nơi mà dòng chảy mÃnh liệt chu kì bao năm lu vực sông Và đà nhận thấy nh sau: a, Có thể công viên lụt năm tới b, Có thể công viên bị lụt lần 10 năm tới c, Xác suất mà lũ lớn xảy lần 10 năm tới d, Xác suất mà lũ lớn xảy 10 lần 10 năm tới Các tập 3.5-3.8 đợc quy vào số liệu Cypress tìm thấy vấn đề 3.1 214 3.5 Giả thiết chuỗi số liệu Cypress Creek từ năm 1945 1984 phân bố theo hàm thông thờng đợc xác định từ điểm sau: a) Đỉnh lũ 100 năm b) Đỉnh lũ 50 năm c) Xác suất để lũ nhỏ 2000 ft3/s d) Chu kì lặp lại lũ 2000 ft3/s 3.6 Giả thiết chuỗi số liệu Cypress Creek từ năm 1945 1984 phân bố theo lới loga chuẩn đợc xác định từ điểm sau a) Đỉnh lũ 100 năm b) Đỉnh lũ 50 năm c) Xác suất để lũ nhỏ 2000 ft3/s d) Chu kì lặp lại lũ 2000 ft3/s 3.7 Giả thiết chuỗi số liệu Cypress Creek từ năm 1945 1984 phân bố theo hàm log Pearson3 đợc xác định từ điểm sau a) Đỉnh lũ 100 năm b) Đỉnh lũ 25 năm c) Chu kì lặp lại lũ 2000 ft3/s 3.8 Giả thiết chuỗi số liệu Cypress Creek từ năm 1965 1984 phân bố theo đoạn hàm log(Pearson3) (giá trị thống kê hàm loga số 10 là: Cs = -1.15, giá trị trung bình = 3.5375, giá trị thực = 0.03849, độ lệch chuẩn = 0.1962) đợc xác định từ đỉnh lũ 100 năm so sánh với giá trị phần (3.7.a) hiểu biết giải thích khác theo cách Cypress Creek vào sau năm 1965 3.9 Giả thiết chuỗi số liệu Cypress Creek từ năm 1945 1984 phân bố theo đoạn giới hạn hay giới hạn dới giá trị trung bìnhxác định từ điểm sau: a) Đỉnh lũ 100 năm b) Đỉnh lũ 50 năm c) Xác suất để lũ nhỏ 2000 ft3/s d) Chu kì lặp lại lũ 2000 ft3/s 3.10 Giả thiết chuỗi số liệu Cypress Creek từ năm 1945 1984 phân bố theo đoạn hàm Gumbel đợc xác định từ điểm sau: a) Đỉnh lũ 100 năm b) Đỉnh lũ 50 năm c) Xác suất để lũ nhỏ 2000 ft3/s d) Chu kì lặp lại lũ 2000 ft3/s 3.11 Xem xét giá trị bên phải với số bên trái để tính toán giá trị giá trị PDF Với giả thiết x phân bố thông thờng xảy hàng năm 215 µ a) ®é lƯch chn ∫ f ( x)dx = ? b) giá trị dới trung bình µ ∞ c) ∫ f ( x) dx = 0.02 d) p(m1 ≤ µ+ x ≤ m2) f (x)dx = 0.34 e) giá trị cần có chu kì 50 năm f ( x)dx = ? f) F(x) m2 g) giá trÞ thùc ∫ f ( x ) dx = ? m1 3.12 Những hiểu biết phân bố giá trị cuối hàm Gumbel đợc định nghĩa là: F ( y) = e − e− y = P(Y y) chu kì lặp lại T(y) là: T(y) = 1/[1 - F(y)] a) Chứng minh cho lũ với giá trị y lớn đợc lấy xÊp xØ = ln(T) Trong ®ã cã sư dơng khai triÓn: ln(1 − x) = x − x2 x3 + − L, x < b) Mét mÉu tiêu chuẩn đà đợc xây dựng thành công trình để chống lại lũ có độ lớn gấp hai lần lũ lớn lịch sử Dựa mẫu xác định đợc xuất trở lại theo chu kì Td c¬n lị nÕu nh− c¬n lị lín nhÊt hå sơ ghi chép T = 50năm c) So sánh mối liên hệ giá trị trờng hợp 100 năm xảy lần trờng hợp 50 nsem xảy lần cần phải sử dụng kết từ phần a xem mẫu chuẩn theo phần b hợp lý không 3.13 Tổng lợng nớc chảy mặt hàng năm lu vực sông nhỏ đợc xác định giá trị trung bình 36 cm /29cm2 Xác suất xác định lợng nớc mặt từ lu vực vợt 25 cm năm Năm Sắp xếp Modul (ft3/s) 1940 3420 42.7 1941 42.7 31.1 1942 14.2 20.7 1943 8000 19.3 1944 5260 19.3 1945 31.1 14.2 1946 12.2 12.2 1947 10 12.1 1948 1430 10.7 1949 3850 10 10.3 1950 216 L−u l−ỵng (ft3/s) 19.3 11 10 Năm Lu lợng (m3/s) Sắp xếp Modul (m3/s) 1951 12 8760 1952 4130 13 8000 1953 8760 14 7560 1954 1400 15 7340 1955 3570 16 7340 1956 17 6720 1957 4600 18 5260 1958 5260 19 5260 1959 6720 20 4660 1960 20.7 21 4600 1961 10.7 22 4120 1962 23 3850 1963 1590 24 3570 1964 1770 25 3420 1965 2430 26 2430 1966 4660 27 1770 1967 1010 28 1590 1968 12.1 29 1430 1969 10.3 30 1400 1970 1400 31 1400 1971 1300 32 1300 1972 7560 33 1010 1973 19.3 1974 7340 1975 7340 3.14 Các phơng trình (3.37, 3.38 3.41) cho số liệu gốc Creek năm 1940 - 1975 a) Giá trị trung bình, độ lệch chuẩn hệ số độ lệch b) Nhắc lại phần a cho hàm loga số 10 chuỗi nguồn Creek từ năm 1940 1975 c) Sử dụng công thức Weibull (3.79) (3.80) để xác định vị trí đồ thị điểm chuỗi nguồn Creek , đờng cong giá trị trung bình sở lý thuyết xác suất thống kê thông thờng Đồ thị điểm phân bố thông thờng d) Nhắc lại phần c) cho hàm loga số 10 chuỗi số liệu phân bố loga 3.15 Giá trị gốc cho chuỗi số từ năm 1940 1975 đợc phân bố loga HÃy tính: a) Đỉnh lũ 100 năm b) Đỉnh lũ 25 năm c) Đỉnh lũ 10 năm 217 d) Xác suất để trận lũ nhỏ 6000 ft3/s e) Chu kì lặp lại lũ 6000 ft3/s f) Chu kỳ lặp lại lũ 1500 ft3/s 3.16 a) Gía trị số liệu Creek năm từ 1940 1975 phân bố theo đoạn hàm log(Pearson 3) Làm lại phần 3.15 b) Làm lại phần a với hai thông số phân bố dới giá trị trung bình c) Làm lại phần a với thông số phân bố dới giá trị trung bình 3.17 Theo chuỗi số liệu Creek từ năm 1940 1975 theo phân bố đoạn hàm Gumbel a) Đánh dấu số liệu giá trị cực trị lên giấy xác suất với tham số b) Xác định tham số =0.4 u phân bố đánh dấu điểm đồ thị c) Nhắc lại tập 3.15 3.18 Theo thông số đà đợc tính toán cho dòng chảy gần Dalls Taxas Đối với năm từ 1940 1959 số liệu đà bị thay đổi theo biểu thức: log10Q = y y = 3.52 (giá trị trung bình) Sy= 0.50 (®é lƯch chn ) Cs= 0.50 (hƯ sè ®é lệch) Tìm giá trị lũ lớn 25 năm mà đỉnh lũ hàng năm phân bố theo: (a) log(Pearson 3) (b) phân bố theo dạng loga Hình P3.19 Vẽ phân bố chuẩn sông Kentucky (theo Haan, 1977, tr 137) 218 3.19 Xác suất đồ thị 66 năm điểm phân nhánh sông Kentucky gần Salvisa Kentucky đợc biểu diễn hình P3.19 a) Phân bố xác suất đợc sử dụng để làm gì? b) Giá trị trung bình độ lệch chuẩn đỉnh phân nhánh gì? c) Nếu nh phân bố có giá trị khác nhau, giá trị gì? d) Dòng chảy 25 năm gì? e) Dòng chảy 100 năm gì? f) Xác suất mà đỉnh dòng chảy hàng năm lớn 50.000 với năm gì? g) Xác suất tối thiểu xảy lần trờng hợp 100 năm xảy 33 năm bao nhiêu? 100 năm bao nhiêu? h) Vị trí đồ thị đà đợc sử dụng để vẽ số liệu đâu? i) Độ lệch chuỗi số liệu sông Kentuck bao nhiêu? 3.20 Một xác suất đồ thị 19 năm đỉnh phân nhánh nhánh phía tây Sông Mahoning gần Newton Falls, Ohio đợc biểu diễn hình P3.20 a) Làm lại phần a) thông qua phần e) phần 3.19 b) Xác suất để đỉnh phân nhánh giảm xuống khoảng (5000,7000 ft3/s) bao nhiêu? Hình P3.20 Lũ hàng năm sông Tây Branch gần Newton, Ohio 1927-1945 3.21 Theo số liệu tổng lợng ma hàng năm sân bay liên lục địa Houston đà tổng hợp chu kì 21 năm a) Tính toán giá trị trung bình, giá trị thực, hệ số độ lệch Cst b) Vẽ đồ thị sử dụng khoảng cách in 219 c) Đồ thị số liệu với phân bố hàm Gumbel xác định chu kì lặp lại lợng ma trung bình hàng năm d) Đồ thị số liệu với phân bố hàm chuẩn xác định chu kì lặp lại lợng ma trung bình hàng năm e) Xác định giá trị tỏng lợng ma trung bình 10 năm f) Những năm ghi lại đợc tỉ mỉ giá trị trung bình hàng năm 10 năm Houston năm nào? Năm Lợng ma (in.) Năm Lợng ma (in) Năm Lợng ma (in.) 1970 48.19 1977 34.94 1984 48.19 1971 37.83 1978 44.93 1985 49.14 1972 50.8 1979 58.97 1986 44.93 1973 70.16 1980 38.99 1987 40.6 1974 49.29 1981 55.98 1988 22.93 1975 50.97 1982 42.87 1989 52.73 1976 54.62 1983 53.21 1990 40.37 3.22 Giải thích đờng cong IDF (xem hình 1.8) đợc trình bày lợng ma tăng dần vài thành phố Giá trị chu kỳ thay đổi khoảg cách 5, 15, 30, 60 cho ®Õn 24 giê 3.23 Số liệu lợng ma hàng năm vùng Alvin đà đợc lựa chọn Chuỗi số liệu mà đồ thị sử dụng phân bố theo hàm log(pearson 3) Nếu nh năm 1979 phần nằm biểu diễn giải tích bao gồm : Năm Lợng ma (in.) Năm Lợng ma (in) Năm Lợng ma (in.) 1970 48.82 1977 34.53 1984 45.99 1971 38.27 1978 41.43 1985 59.12 1972 53.34 1979 102.58 1986 51.75 1973 71.93 1980 41.15 1987 67.7 1974 51.85 1981 52.79 1988 34.19 1975 43.73 1982 42.89 1989 48.02 1976 54.52 1983 60.48 1990 41.45 Cách xác định nh giá trị không biểu diễn theo giả tích: xác định phân bố giới hạn giới hạn dới Nếu nh giá trị nằm giới hạn xảy ra, sau loại bỏ khỏi số liệu nguồn phân tích lại điểm đợc tính toán theo phơng trình: yH = + kn y L = k n 220 k n chênh lệch 10% so với dịnh nghĩa mức độ phân bố thông thờng y H giới hạn (ở giới hạn log), yL gới hạn dới , (của loga số liêu bị thay đổi), k n số liên quan đến n, giá trị trung bình độ lệch chuẩn (đối víi n=21, k n =2.408, n=20, k n =2.385) 3.24 Biến đổi lợng ma Houston tơng đối lớn vào tháng 6,7,8 với giá trị X đoạn [0,30] xác suất mật độ ma đợc xác định theo phơng trình: X F( X ) = 1200 PDF đối xứng có dạng tam giác a) Xác định xác suất mà lợng ma vào mùa hè không vợt 20 in b) Xác định giá trị xác suất lợng ma vào mùa hè có giá trị lớn 30 in 3.25 Làm lại vấn đề 3.21 theo bảng tính đà chứng minh đợc giá trị thống kê 221 Tài liệu tham khảo Abramowitz, M., and I A Stegun, 1964, Handbook of Mat hernatical Functions, National Bureau of Standards, U.S Govt Printing Office, Washington, D.C (also published by Dover Publications) Benjamin, J R., and C A Cornell, 1970, Probability Statistics and Decision for Civil Engineers, McGraw-Hill Book Company, New York Benson, M A., 1968, “Uniform flood-Frequency Estimating Methods for Federal Agencies,” Water Resources Research, vol 4, no 5, October, pp 891—908 Bobee, B B., and R Robitaille, 1975, “Correction of Bias in Estimation of the Coefficient of Skewness,” Water Resources Research, vol 11, no 6, December, pp 851 - 854 Bras, R L., and I Rodriguez-Iturbe, 1985, Random Functions and Hydrology, Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts Chatfield, C., 1984, TheAnalysis of Time Series: An Introduction, 3rd ed., Chapman and Hall, New York Chemical Rubber Company, Standard Mathematical Tables, Cleveland Ohio, updated periodically Chow, V T (editor), 1964, Handbook ofApplied H i’dro/ogi’, Chapter 8, “Statistical and Probability Analysis of Hydrologic Data,” McGraw-Hill Book Company, New York Craver, J S., 1980, Graph Paper from Your Copier H P Books,Tucson, Arizona 10 Cunnane, C., 1978, “Jnbiased Plotting Positions: A Review,” J Hydrology, vol 37, pp 205—222 11 Driscoll, F D., 1986, “Lognormality of Point and Non-Point Source Pollutant Concentrations,” Proceedings of Storm water and II Water Quality Model Users Group Meeting, Orlando, florida EPA/600/9- 86/023, Environmental Protection Agency, Athens, Georgia, March, pp 157—176 12 Fienng, M B., and B B Jackson, 1971, Synthetic Stream/lows, Water Resources Monograph 1, American Geophysical Union, Washington, D.C 13 Gnngorten, I I., 1963 “A Plotting Rule for Extreme Probability Paper,” J Geophv’sical Research, vol 68, no 3, pp 813—8 14 14 Gumbel, E J., 1958, Statistics of Extremes, Columbia University Press, New York 15 Haan, C T., 1977, Statistical Methods in Hi’drologv, Iowa State University Press, Ames 16 Harr, M E., 1977, Mechanics of Particulate Media: A ProbabilisticApproach, McGraw-Hill Book Company, New York 17 Hirsch, R M., and J R Stedinger, 1987, “Plotting Positions for Historical Floods and Their Precision,” J’Vater Resources Research,vol 23, vol 4, April, pp 15-727 18 Interagency Advisory Committee on Water Data, 1982, “Guidelines for Determining Flood Flow Frequency,” Bulletin #1 7B of the Hj’drologi’ Subcommittee, OWDC, U.S Geological Survey, Reston, Virginia 222 19 King, J R., 1971, Probability Chatericts for Decision Making, Industrial Press, New Jersey 20 Kite, G W., 1977, Frequencj’ andRiskAnalvses in Hv’drologi’, Water Resources Publications, Littleton, Colorado 21 Kottegoda, N T., 1980, Stochastic Water Resources Technology, Halstead Press (John Wiley and Sons), New York 22 Lettenmaier, D P., and S J Burges, 1982, “Gumbel’s Extreme Value I Distribution: A New Look,” J Hyd Div., ASCE, vol 108, no HY4, April, pp 502514 23 National Bureau of Standards, 1950, Tables of the Binomial Prohahi/it/’Ditribution, Applied Mathematics Series 6, U.S Government Pnnting Office, Washington, D.C 24 Natural Environment Research Council, 1975, Flood Studies Report, vols., Institute of Hydrology, Wallingford, U.K 25 Panofsky, H A., and G W Brier, 1968, Some Applications ofStatistics to Meteorology, Pennsylvania State University Press, UniversityPark 26 Parzen, E., 1960, Modern Probability Theory and Its Applications, John Wiley and Sons, New York 27 Reich, B M., and K G Renard, 1981, “Applications of Advances in Flood Frequency Analysis,” Water Resources Bulletin, vol 17, no 1, February, pp 67—74 28 Salas, J D., J W Delleur, V Yevjevich, and W L Lane, 1980, Applied Modeling of Hydrologic Time Series, Water Resources Publications, Littleton, Colorado 29 Sangal, B P., and A K Biswas, 1970, “The 3-Parameter Lognormal Distribution and Its Applications in Hydrology,” Water Resources Research, vol 6, no 2, April, pp 505-5 15 30 Searcy, J K., 1959, Flow Duration Curves, USGS Water SupplyPaper 1542-A, Washington, D.C 31 Tasker, G D., and J R Stedinger, 1986, “Regional Skew with Weighted LS Regression,” J Water Resources Planning and Management, I4SCE, vol 112, no 2, April, pp 225—237 32 Wallis, J R., N C Matalas, and J R Slack, 1974, “Just a Moment,” Water Resources Research, vol 10, no 2, pp 211—219 223 ... = E[x2] - µ + 2] =E[x2 ]- à2 = E[x2 ]-[ E(x)]2 (3 .3 0) Phơng sai biến đổi tuyến tính Ta có c¸c quan hƯ sau: Var(a) = Var(bx) = b Var(x) Var(a+bx) = b Var(x) (3 .3 1) (3 .3 2) (3 .3 3) a,b số 1 73 Các moment... 6,260 3. 797 2,116 0 .33 4 1962 1 ,36 0 3. 134 -2 ,784 -. 32 9 19 63 1,000 3. 000 -3 144 -. 4 63 1964 2,770 3. 442 - 1 ,37 4 -. 020 1965 1,400 3. 146 -2 ,744 -. 3 17 1966 3, 210 3. 507 -9 34 0.044 1967 1,110 3. 045 -3 , 034 ... 0.690 1 .33 3 2.146 2.7 43 3 .33 0 3. 910 1.4 -1 .31 8 -0 .225 0.705 1 .33 7 2.128 2.706 3. 271 3. 828 1 .3 -1 .38 3 -0 .210 0.719 1 .33 9 2.108 2.666 3. 211 3. 745 1.2 -1 .449 -0 .195 0. 732 1 .34 0 2.087 2.626 3. 149 3. 661