Xây dựng video bài giảng học phần Đại số tuyến tính

+ Xây dựng 30 video bài giảng lý thuyết cho học phần Đại số tuyến tính.. + Cung cấp các video bài giảng học phần Đại số tuyến tính đùng làm tài liệu học tập cho sinh viên trường Đại học

Chủ nhiệm đề tài: ThS Phạm Thị Minh Hạnh

"Thái Nguyên; tháng 10 năm-2023

KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP Đơn vị: Khoa KHCB&UD

THÔNG TIN KÉT QUÁ NGHIÊN CỨU: " ¬

1 Thông tin chung:

TT ———~Tên dẻ tài: Xây dựng video bài giáng học phần Đại số tuyến tính- ca ==——————

- Chủ nhiệm: ThS Phạm Thị Minh Hạnh

- Cơ quan chứ trì: Đại học Kỹ thuật Công nghiệp” ——

- Thời gian thực hiện: 04/2022-10/2023

"`

+ Xây dựng 30 video bài giảng lý thuyết cho học phần Đại số tuyến tính

+ Cung cấp các video bài giảng học phần Đại số tuyến tính đùng làm tài liệu học tập cho sinh viên trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên

3 Kết quả nghiên cứu:

Đề tài đã hoàn thành việc quay 30 video giảng dạy học phần Đại số tuyến

tính dùng làm tư liệu tự học, tự nghiên cứu cho.sinh viên trường Đại học Kỹ

thuật Công nghiệp Thái Nguyên

_—— 6 Khã năng áp dụng và phương thức chuyên giao kết quả nghiên cứu

Kết quả của đề tài có thể dùng làm tài ¡ liệu học tập học phần Đại số 5 tuyén tính cho giảng viên và sinh viên trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp — Đại học

'Thái Nguyên, giúp sinh viên có thể tự học trước bài học hoặc tự nghiên cứu, đào

sâu kiên thức sau giờ học trên lớp; qua đó giúp-các-em hiệu và: yêu thích môn- - —

học cũng như đạt két quả tốt ở môn học này:

_ Ngày ð tháng lŨ năm 2023 ©

Faculty of Fundamental Science

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

Coordinator: M.Sc Pham Thi Minh Hanh

Implementing Institution: Thai Nguyen University of Technology ~~

Duration: from April 2022 to October 2023

majors at Thai Nguyen University of Technology This open resources can be used as the learning materials for students in TNUT as well as users across the country so that it provides the chance to promote the trademark of Thai Nguyen

—— University of Teehnology.- -

“—— 6 Applicability and'Transferred Method of the research resuits

=—_—_——— The results of the scientific project can be ủsed as an öpen resourses oƒ the

course [inear Algebra för stuđents at THaải Ngưyeñ Ủniversity of Technol@gwzaze=i

————————elping studenrs to learn by themselves before the lesson taken placE or t0—|

- —————teview on their own after class time Thereby, it can help them to unaderstand — —|

deeply the subject as well as achieve good results in this course ¬ This useful and well designed resource also provides promising materials for

students who come from different part of the country to learn about this course.”

Therefore, the trademark of the university can be spreaded out through the —

country

3 CHUONG 2 KHONG GIAN VEC TO — KHONG GIAN EUCLID - 9

5 CHƯƠNG 4 TRI RIENG VA VEC TO RIENG - 10 ~

TÀI LIỆU THAM KHAO 22-22-28

—.- phần mềm và các nền tang mạng xã hội, tuy nhiên bền cạnh những kênh bài

— —_ giảng chất lượng thì cũng có nhiều kênh.chưa được kiểm chứng về độ uy tín và ——-

chính xác Hơn nữa, các video bài giảng mã người học dễ đảng tỉm kiếm được

trên mạng thường chỉ là các video đơn lẻ với các phần nội dung không liền mạch

và không trùng khớp với nội-dung kiên thức theo-đề cương-học phân Đạisô————— ——

Đại số tuyến tính là học phần toán bắt buộc thuộc khối kiến thức giáo dục

đại cương được giảng dạy cho tất cả sinh viên năm thứ nhất ở trường Đại học

Kỹ thuật Công nghiệp — Dai hoc Thai Nguyên Học phần được giảng dạy trong

thời lượng 2 tín chỉ nhưng với khối lượng kiến thức khá nhiều Chúng tôi nhận

thấy để nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập cho học phần Đại số tuyến tính tại trường Đại học Kỹ thuật Công Nghiệp trong tình hình dịch Covid — 19 như hiện nay cần xây dựng một kênh tự học để hỗ trợ sinh viên có thể đễ đàng

tự tìm hiểu và nghiên cứu các nội dung kiến thức ở ngoài giờ lên lớp Vì vậy chúng tôi đề xuất đề tài: “Xây dựng video bài giảng học phân Đại số tuyến tính”

Các video bài giảng được thiết kế logic và hệ thống, có nội dung bám sát đề cương môn học Đây sẽ là nguồn tài liệu hữu ích phục vụ nhu cầu tự học của sinh viên đồng thời cũng hỗ trợ công tác giảng đạy trực tiếp cũng như trực tuyến của giảng viên bộ môn Toán Sử dụng các video bài giảng sẽ giúp giảng viên và sinh viên có thêm thời gian thảo luận, trao đôi và tìm hiểu sâu hơn các nội dung kiến thức trong các giờ lên lớp góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng giờ

học ———————D_-—- Trẻ n mm

IL NỘI DUNG

1 TOM TAT DE TAI

Đề tài hướng đến mục tiêu là xây dựng ngân hàng gồm 30 video bài giảng

lý thuyết của học phần Đại số tuyến tính để dùng làm tài liệu học tập trực quan — - cho sinh viên trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp —= Đại học Thái Nguyên

s—= —-_= Đề tài gồm các mục nội dung ‹ cụ thê như sau ¬¬ —

Chương 1 Ma trận — Định thức - Hệ phường trình tuyến tính © _

Chương 2 Không gian véc tơ — Không gian Euclid

ee Chương 3 Ảnh xa tuyến tính _

Chuong 4 Tri riéng va véc to riéng ¬

2 CHƯƠNG 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Theo đề cương môn học Đại số tuyến tính, nội dung của Chương 1 được ˆ ˆ

1.5 Hạng của ma trận — Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Với các mục nội dung như trên, nhóm tác giả đã chia Chương 1 thành 14

video, với nội dung của các video như sau:

1.1.Ma trận ( Video 1,2) 1.2 Định thức ( Video 3,4,5,6)

1.3 Ma trận nghịch đảo ( Video 7,8)

1.4 Hệ phương trình tuyến tính ( Video 9,10,11,12)

1.5 Hạng của ma trận - Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ( Video 13,14)

3 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ - KHÔNG GIAN EUCLID

Theo để cương môn học Đại số tuyến tính, nội dung của Chương 2 được

———— chia-thành-các mục sau:

2.1 Không gian véc tơ.

2.2 Không gian con và hệ sinh

2.3 Họ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

2.4 Không gian hữu hạn chiều và cơ sở của nó

2.5 Tích vô hướng và không gian có tích vô hướng, _

2.6 Tọa độ trong không gian n chiều

Với các mục nội dung như trên, nhóm tác giả đã chia chương 2 thành

video, với nội dụng của các video như sau:

2.1 Không gian véc tơ ( Video 15)

2.2 Không gian con và hệ sinh (Video 16) 2.3 Họ véc tơ độc lập tuyên fính và phụ thuộc tuyên tỉnh (Video I7) 2.4 Không gian hữu hạn chiều và cơ sở của nó (Video 18)

2.5 Tích vô hướng và không gian có tích vô hướng ( Video 19,20) 2.6 Tọa độ trong không gian n chiều ( Video 21)

4 CHƯƠNG 3 ANH XA TUYEN TINH

Theo đề cương học phần Đại số tuyến tính, nội đung của Chương 3 được

chia thành các mục sau:

3.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính

3.2 Các tính chất của ánh xạ tuyến tính — Hạt nhân và ảnh

3.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

3.4 Sự đồng dạng

Với các mục nội dung như trên, nhóm tác giả đã chia chương 3 thành 3

video, với nội dung của các video như sau:

3.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính (Video 22)

3.2 Các tính chất của ánh xạ tuyến tinh — Hạt nhân và ảnh (Video 23)

3.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính (Video 24) 3.4 Sự đồng dạng (Video 24)

5 CHƯƠNG 4 TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

Theo đề cương học phần Đại số tuyến tính, nội đung của Chương 4 được

chia thành các mụeSau:—-— - TS TS So nh nh

10

4.1 Trị riêng và véc tơ riêng

4.2 Chéo hóa ma trận

4.3 Chéo hóa trực giao

—— Với các mục nội dung như trên;-nhóm tác-giá đã-chia-chương-4-thành-6- ¬

- 4.1 Trị riêng và véc tơ riêng (Video 25,26) ne cc en

<a 4.2 Chéo hóa má trận (Video 27,28) ~

1.3 Chéo hóa trực giao, (Video 29,30) - ————— Nội dung của từng video được trình bày trên bài giảng powerpoint như sau: —

11

Chương 1 Ma trận — Định thức ¬ Hệ phương trình tuyến tính #C DỀ HÃNG CAU cuộc sine

Sai ae

Hoc bd HAO CAO CUỘC sững

+ Khi m = n thì A gọi là ma trận vuông cấp n

4 42 Ain

Aa| 7 2 An

a ay aa Gy

Các phần tử a¿¿, as›, , a„„ gọi là các phần tử chéo

Đường thẳng đi qua các phần tử chéo gọi là đường

chéo-chÍnh-

? 1.1 Ma trận

1.1 Ma trận 9c od wine cam cupe nốnơ

™ 1

Lo 123 4321 0100

a) | Belo 1 2f c=]03 1 0f Ply gia of ` Cho hai ma trận A=[a,] m„ạ và B=[Ð,]m„„

— - -|0-.0# dị.-.-—0.8.2 5‡ -—-—|0 0 0-H| - -~-~=~——Khiđốc- —-A=-BTe-a=rbpripMÍE =cs=e=————z— —

- Ma trận vuông trong các ma trận trên là; A;B;D

~ Ví dự:

"+ Ma tran tam giác trong các ma trận trên là: B,A,D ˆ 1 2} f1

- Ma trận chéo trong các ma trận trên là: A; D —_ la sa =

Cho 2 ma trận cùng cắp A = [a,]m„ và B = [Di]n„„

Cho A; B; C là các ma trận cùng cắp Khi đó: Định nghĩa :

A+B=B+A (tính chất giao hoán) ChOA= [ailmu KER

(A+B)+ C=A+(B+C) (tính chất kết hợp) Tich kA là một ma trận xác định bởi:

A+Ø=A KA= [K.a hen

Với mỗi ma trận A = [aj] luôn tồn tại một ma trận đối " ij an dol, af? ‘22-2? 4] l2 Viou: 24 | lý ‘|

Cho A= [ay] Ma tran con tng voi phan ter ay,

cắp-(n — 1) thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thir i va cdt ther j

34 2 As

vidy cho 4=(1 - q } Tìm Mts, Mz

2 —=

1 ~4 Ms=( T}

Voi n = 1, A= fay] thi det) = ayy

HỌC ĐỂ HÀNG CAO Cuộc sống not pỄ nÀng Cau cuộc sống

Vớin =2; A= GP )

` thử del(A) = ấy;.đef(M,,}— a;adel(M,2)ˆ = địi: đ22— địg: đại ””

Tổng quát: Khi A là ma trận cáp n thi

det(A) = (-1)'*'a,sdet(M,,)+ (1)2a,;det(M,¿)+

_ +(-1)#%ø, „det(M ity een

đạị Œịz địa đi địz đŒị|Gii 2 211 1z 413/911 Fiz

Vi du: Tinh dinh thirc cla ma tran A =|@21 422 423 A= [es 822 en đại O22 A=]421 922 Q23|@21 G2

: đại dạy đã, đại Œạy Gạy]đạy đạ; 0i đạz Gạa|đại G32

det(A) = a;; det(M,,) - a2 det(M,2) + a3 det(M,,) ‘ 4118228; địađagđạ Ð 243821232 A=l3 5

Ví dụ Tỉnh ¬ ~ l ~ thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân vớik -

é 2 2 3 1 2 2 h Hệ quả 1: Khi các phần tử của một hàng (cột) có một thừa số chung thì có

Bp eT — 6-4 g0 ¬ thể đưa thừa số-chung ra ngoàiđịnhthức—-———————~ san —

Ví dụ Chứng minh định thức chia hết cho 17

1.2 Định thức ———=.- ` wạc pể nÂng CAU ruộc sũng

'_ Tính chất 7: Khi tắt cả các phần tử của một hàng (cột) có dạng tổng của hai 1b nộ + 3 s ñ b a = 1 b a i b ,

số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức 1 ¢ c(Œ+1) de tel 1 ¢ H Nec

ayy a2 243 Oy, G42 đại [41 12a 1 a a?

đạc đạy 93 J = Jag, dạy Gog) +]421 G22 tạz =]1 bb

— -la+b ct+td e+f|_lq c_ se bd =f 1c c?

C2 chương 1: Ma trận ~ Định thức — Hệ age De AN c sống,

phương trình tuyến tính —=———— HH HH HỆ ld 1.1 Ma trận

sứ Tính chất: Với mọi ma trận A vuông cấp n thì:

0 i

AE, =E,A=A

Cho-A la ma-trận-vuông-cáp-n Nếu det(A}-z0 thì tồn tại ma 12 -f 0200 7

trận nghịch đảo_A-ˆ và duoc xac dinh béi cOng thie sau; —— “it a| _3 1 =H-~0 3 0| - —

¡ A khả đảo thì Am cũng khả đảo và (An)1= (A1) — (2)

(Ta chủng minh khẳng định(2) đúng bằng phương pháp quy nạp) _

: © A cũng là ma trận nghịch đảo của A1 Giả sử (2) đã đúng với m~1 =s(4”'} =(4")

eo Vậy: (AY'=A Tach: Ata ATA (4) =(44) )

- _ — - — Tho sata" ye (any" -_—

iil A khả đảo thì kA cũng khả đảo và (k,A} =;A An Ay we Ay Ar, oo oT!

ka, ka, ka, k 0 Offa, a a, > (KAY = Ay, Đạp Bay J ok 0

ka, ka, ka, 0 k Offa, ay ag, a we eet ae

KA= a - te a, a, - ay} LO Ow k

- ka, ka, ka, 0 0 kilan ay + Bin An Ap Ay hit 0 0

ay ay ay | |O ky 0 rer eee

Age of aAne cau cube Sona

G 4.3 Ma trận nghịch đào une of nina cao cước sống œ®œ 1.3 Ma trận nghịch đào

ee BEBE BARE CAT CUE SO een OEE BARE EAD SUSE SORE —

a) ap Âm to 0 a=(øÿ'-[ | det 4! =2,3-1.5=140

cam tz m tm] [OL OF Skate 13 :

.4 Hệ phương trình tuyến tính Hoa od pane cau cups sda

@& 1.4 Hệ phương trình tuyến tính wor ĐỂ NÀNG CAo cuộc 6a

4.4.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính 1.4.2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính là một hệ gồm m -

_ phương trinh dai sé bac nhat véin an sé

Oak, + agXy +44, 5 đu +a„2x; +K +4, X =bạ

°l ®m FAX, tot Ary | bù

1.4 Hệ phương trình tuyến tính Hgt Hễ nÃng CAU cuộc sống

Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính sau: Chú ý:

x~3y+2z=~L - og - Nghiém của hệ pt tuyến tính là các ma trận ẫn x thỏa mãn

~x -3z=2 _ (Hệ phương trình tuyến tính gồm 3 pt và 3 ẫn)

y-5z =5 Ax=b

IL =3 2||x| | - Giải hệ pt tuyến tính là tìm tập hợp các nghiệm của hệ pt

Khi đó: Dạng ma trận © Prtuy ap nop ome là

@& 1.4, Hệ phương trình tuyến tính Học ĐỀ nÀng cao cuộc sống

Tươngtự,.[L L1] - b Hệ phương trình thuần nhất -

22-1) SIA|= ¬ Hệ pt tuyến tính thuần nhất là hệ pt cĩ dạng: a

212 moe " ~ "

_ ¬—~ ĨƠ vn YA=0 — (1= 1, ,n) nn

A,=|-2 2 2 A [2-1 1 Khi-đĩ-dạng-ma-trận-của-hệ_là—Ax=0

3 0 - Nếu det(4)z 0= Hệ pt thuần nhất A.x = 0 cĩ nghiệm duy nhất

= Hệ pt cĩ nghiệm duy nhất là nghiệm

Nhận xét:

Hệ thuần nhất A.x =0 luơn cĩ nghiệm tằm thường: x=

: tam thường x=Ø

- Nếu det(4)=0=› Hệ pt thuần nhất A.x = 0 cĩ vơ số nghiệm

= Hệ pt cĩ nghiệm khơng tằm thường

pir —

& 1.4 Hệ phương trình tuyến tính Mộc ĐỀ nÃng CAø cuộc sống

Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau cĩ vơ số nghiệm

x—3y+z=0 2x+y-z=0

3y+mz=0 Giải:

Hệ thuần nhất cĩ vơ số nghiệm det =0

f An

@& 4.4 Hệ nhương trình tuyến tính

Chú ý: Trong hệ phương trình mới ta vẫn sử dụng các ký hiệu CÀ

mặc dù giá trị của chúng đã thay đổi sau mỗi phép biến đổi sơ cấp

Cứ như vậy, lẫn lượt thế các ẫn tìm được vào các phương ˆ

K_K K K trình liền trước đĩ ta tìm được nghiệm của hệ phương tình |

Gp 14 HỆ phương trình tuyến tính se Bể HAng cAø nước sina

VI dụ: Giải hệ pt tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss

19 23 -1 -2 -1.1 -2%2 -5) (,=h+h)

& > 1.4 Hệ phương trình tuyén tinh

Hod od RANG CAO CUỘC SƠNG

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

3x—-y+z=2

x+2y—z=l 2x-3y+2z=0

œ 4.4 Hệ phương trình tuyến tính age pd NANG cap CUỘC adie

B3: Dựa vào kết quả biến đổi ở B2 để kết luận nghiệm của

0 -I

~-2 4

6 =8 -7 6

Phương pháp Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo

Gọi ma trận nghịch đảo cần tim [a

x, là nghiệm của hệ pt tuyến tÍnh 4x”,

HỌC ĐỂ ruÌng CAO CUỘC sống

Áp dụng phương pháp Gauss — Jordan để giải hệ, ta

Để cho đơn giản và nhanh gọn hơn ta có thể ghép n hệ

phương trình tuyến tính cần giải thành một hệ để giải

mm mm

C 1.4 Hệ nhương trình tuyến tính U7 wot Da Ava TAD CUỘC Sống

đun đy G1 0 0 đại a, „0 [ 0

@® 1.4 Hệ phương trình tuyến tính Học pể nÀng cAo tuộc mống &® 1.4 Hệ phương trình tuyến tinh Mộc ni NĂNG CAO cuộc sống

—— —ễễ—ễễ

& Chương 1: Ma trận — Định thức ~ Hệ won od Ano cao cube zÄng 2) 1.5 Hang cia ma tran -H@ phuwong gc ad sang cáo cute sino

a TƯ 1.5.1 Định nghĩa và cách tính hạng của ma trận

ID Ma trận vuông con của một ma trận

Cho A = [ay]„„„ một ma trận vuông cấp p suy từ A bằng cách bở

1.3 Ma trận nghịch đão di (m— p) hang và {n ~ p) cột gọi là ma trận con cấp p của A

trình tuyến tính tổng quát ——— trình tuyến tính tổng quát —————

VỊ tật cả các ma trận con cấp 3 của A đều có định thức cl ĐA TU Số

- - SH TH TH The he cm sms sec 8| =E | L 2| =-ð1EH g|—- =-det(H)=32+0- - — Nên hạng của ma trận A phải bé hơn 3 [+ÌI 1 SỈ „ 2

Tip tục kiểm tra với các định thức con cấp 2

Suy ra: rank A = 2

fitn;?/tut.øedu.vit

{ 1.5 Hang của ma trận - Hệ phương sể nÀm nến: 1.B Hạng của ma trận -Hệ phương „ :

trình tuyến tính tống quát ae trìnff tuyến tính tổng quát ae OE SE AO CAO cuộc sống

: Vĩ dụ: 123 4-54

Cách tinh hang của ma tran bang phép biên đổi sơ cắp 1340

an bã ai bp A=

: - + Các hàng khác không luôn ở trên các hàng không 090

+ Trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu 5

“tiên của hàng dưới ở bền phải cột chứa phần tử khác không ˆ 9 -

5 - Hệ phi a 4 : lỂ HÀNG cAU Cưộc sốnn

tình Hhyền tính tổng quát $ Phương HỌC Dể NÀNG cAo quộc sống trình tuyến tính tổng quát ———

, Nhìn vào bảng ma trận A ta thấy các og > `

: 12 3/4 5 9 a y Phương pháp tính hạng của ma trận:

A 0 1 3/4 0 ma trận con cap 4 déu có định thức án đỗ Áp về hàng đi

= š ‹ ùng các phép bié ¡ sơ cấp vệ han, ma

0 0 213 4Ì bằng 0 và it nhất một định thức con Ding các phép biên đối p g đưa

0-00 0 ĐÌ các 2 đạc trên cùng bên trái của A có trận đã cho về ma trận bậc thang, số hàng khác

giả trị khác 0 không của ma trận này là hạng của ma trận đã cho

Vậy: rank A = 3

2-|®2 % ea Ps - Nếu rank(A) )> rank(A) thi dya vao phuong trinh the r+1,

ta suy ra hệ vô nghiệm

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Ax = b có nghiệm

khi và chỉ khi rank(A) = rank (24)

ae irs

4.5 Hang cia ma tran — Hệ phương

trình tuyến tính tổng quát HOC pa HAND CAU CUỘC ZỮnG:

'1.5 Hạng của ma trận = Hệ phương iE FLAS OC Sori

trinh tuyén tinh tang quat — ——

+„) 1.5 Hạng cửa ma trận — Hệ phương ng CAO CUỐC Zing

trình tuyến tính tổng quát 06 De Hat

4 21 1 2 21/2) 3 +) Neu a=—ib#3 thì 1eo|0 -7 -4| -4

=rankA=3 rank[=2

= rank A+ rankA Khi đó hệ phương trình vô nghiệm