Phân tích nguyên sơ của môđun trên vành giao hoán nơte

Lời cam đoan ‘Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Phân tích nguy sơ của möđun trên vành giao hoán Note" do chính tôi thực hiện, đưới luận tốt nghiệp này đảm bảo tính trung

TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHi

MINH

SP TP HO CHi MINH

KHOA LUAN TOT NGHIEP

PHAN TICH NGUYEN SO CUA

MODUN TREN VANH GIAO HOAN NOTE

TP Hồ Chí Minh, Tháng 4, Năm 2024

Xác nhân của Giảng viên hướng dẫn

PGS TS Trần Tuấn Nam:

Tp.Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 05 năm 2024 Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng,

PGS TS, My Vinh Quang

1.2.2 Tổng và giao của các môdun con 19 1.2.8 Tich true tiếp và tổng trực tiếp 20 1.24 Médun sinh béi tập hợp, môdun hữu han sinh 21 12.5 Day khớp

126 Giá

2 Phân tích nguyên sơ của môđun trên vành giao hoán

2⁄2 1đêan nguyên tố liên kết và địa phương hóa 20 2.3 Phan tich nguyen so trén vanh Note 32 2.4 Trường hợp môđun hữu hạn sinh trên vành Nơte 35

2.6 Idean nguyen t6 lien kết và đồng cấu vành đỗ 2.7 Modun được đánh gia trén một vành được phân loại tiêu chuẩn và Ứng dung cho số nguyên tổ liên kết 49

Lời cam đoan

‘Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Phân tích nguy

sơ của möđun trên vành giao hoán Note" do chính tôi thực hiện, đưới luận tốt nghiệp này đảm bảo tính trung thực và không sao chép bắt

kỳ khóa luận tốt nghiớp, luận văn nào đã được công bồ trước đây Những tài liệu tham khảo mà toi sit dung trong quá trình thực hiện khóa luận đã được trích dẫn một cách đầy đủ và nêu rõ trong mục

‘Tai liêu tham khảo

TP Hỗ Chí Minh, tháng 04 năm 2024 Sinh viên thực hiện khóa luận Nguyễn Dinh Thu Hiền

Lời cảm ơn

Đề tài "Phân tích nguyên sơ của môđun trên vành giao hoán Nơte"

là nội dung tôi đã nghiên cứu và làm khóa luận tốt nghiệp sau thời gian học tập tại khoa Toán - tin hoc, trường Đại học Sư phạm Thành

sự quan tâm, giúp đỡ, đông viên từ quý thầy cô, gia đình và bạn bò Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến PGS TS Trần Tuần Nam, người thầy đã giới thiêu cho tôi đề tài này, trực tiếp hướng dẫn tần tình; thầy đã có những trao đổi, góp ý và lời khuyên quý báu để tõi có thể hoàn thành tốt khóa luân Nhân dip nay, tôi

“Thành phó Hồ Chí Minh đã tao mọi diều kiện thuận lợi để tôi thực pham Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức học thuật cũng như những kinh nghiệm giảng day quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua Xin cảm ơn quý thầy, cô trong Hội đồng chấm Khóa luận tốt nghiệp đã nhân xét, góp ý giúp cho khóa luận của tôi được hoàn thién, chin chu hơn

Ngoài ra, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các ban sinh viên khoa

Sư phạm Toán học IK46 đã hướn bên cạnh ủng hồ, giúp đỗ và là nguồn đông lực to lớn để tôi có thể hoàn thành khóa luân tốt nghiệp này Chối cùng, tuy đã cố gắng trong quá trình thực hiền khóa luận nhưng do kiến thức của bản thân còn hạn chế nên khóa luân không

kiến của quý thay cô và các bạn sinh vien Toi xin chân thành cảm on!

TP Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2024 Sinh viên thực hiên khóa luận Nguyễn Dinh Thu Hiền

Đặt vấn đề

Đại số giao hoán là lĩnh vực nghiên cứu về c cấu trúc của chúng, đặc biệt là các đối tượng ideal, module Trong sit lĩnh vực quan trong khác như hình hoc dai số và lý thuyết số Năm 1921, Emmy Noether đã đưa ra khái niêm điều kiện chuỗi đây chuyền tăng Không lâu sau đó, vào năm 1927, Emil Artin kiên này đóng vai trò quan trọng đối với sự phát triển lý thuyết cấu trúc của vành giao hoán Năm 1939, Hopkins và Levitzki đã điều kiện chuỗi đây chuyền giảm là điều kiên mạnh hơn điền kiện

mà Noether đưa ra Một vành thỏa điều kiện chuỗi đây chuyển giảm (điền kiện chuỗi dây chuyển tăng) trên lớp các iđêan được gọi

là vành Artin (tương ứng, vành Noether) Như ciia Dedekind, Lasker va Emmy Noether đã làm bùng nổ sự phát triển manh mẽ của lĩnh vực đại số giao hoán hiện đại vào thé ky t

vành các chuỗi lũy thừa hình thức với các he

modun con sinh bởi tập S

số phần tử sinh tối tiểu của AM tổng của họ các môdun con Aƒ, của möđun AF tích trực tiếp họ các môđun Af tổng trực tiếp họ các môđun AM,

đối nhân của đồng cầu ƒ

ảnh của đồng cầu ƒ

đối ảnh của đồng cấu ƒ

tập hợp tất cả các đồng cầu từ AM vao N lính hóa A-médun M (tap hop tat cả các phần Lử z € 4,#AM = 0} Phép vi ot tren A-modun M bdi a € A, ayy M4 Marv ar

vành các thương của vành 4 theo tập nhân S

M

ii) (A,,) là nửa nhóm;

iii) ta nhân phần phối đối với phép công, tức là: Với moi phần tử z€/

Nếu thêm các điều kiên sau thì 4 được gọi là uành giao hoán có đơn

th

iv) Phép nhân có tính giao hoán;

v) Có 1 € 4 thỏa mãn 1z = z với mọi z € 4 (1 được gọi là phần tử đơn vị của vành 4)

'Từ nay về sau khi nói vành ta hiểu đó là vành giao hoán có don vi

1 #0 (vì nếu 1= 0 thì 4

Phần tử z của vành 4 awe goi là ước của 0 nếu c6 phan tity #0 của Á sao cho zy = 0 Một vành 4 không có ước của 0 khác 0 được gọi là miỄn nguyen

Phần tử z của vành A được gọi là lũy lính nếu có số nguyên đương

n sao cho ø” =

tử khả nghịch của vành 4 tao thành một nhóm Aben với phép toán nhân

của z là duy nhất Tap hợp tất cả các phần Định nghĩa 1.1.2 Một tập con S của vành 4 được gọi là vanh eon chứa phần tử đơn vị 1 của 4

Định nghĩa 1.1.3 Cho hai vành (4, +,-) va (B,+,-) Ảnh xa

fA B duae gọi là đồng cấu nành néu thỏa các điều kiện

Nếu 4' là vành con của vành 4, thì ánh xạ bao ham i: A’ A

là đồng cấu vành, hơn nữa ¡ là đơn cấu và gọi là đơn cấu chính tấc

Hai vanh A va Ö được gọi là đẳng cấu với nhau nếu có một đẳng cấu từ vành này vào vành kia, ký hiệu A % 7

1.1.2 Idéan và vành thương

Định nghĩa 1.1.4 Một tập con œ của vành 4 được gọi Ia idéan eta -A nếu thỏa các điều kiện:

i) ä là nhóm con của nhóm (4, +);

li) Nếu z€ 4 và u€ œ, thì zụ € 8

Idean a được gọi là idéan that sự của vành 4 nếu a 4 Với idéan a cia vành 4, ta có 4/a là nhóm thương cña nhóm công A(A/a= {z+alz € A}) Xác định phép nhân: (z+8)(+8) = zu+a, với mọi z, € 4, khi đó Ä/a trở thành một vành gọi là nành (hương

% là toàn cầu và ta gọi là toàn cấu chính tắc

Có tương ứng 1— 1 giữa các iđêan b của vành chứa a và các iđêan

6 của vành 4/a, được xác định bởi p = ®=!{ð) Định lý 1.1.5 Cho đồng cầu tành ƒ : A B Ta c6 đơn cấu vanh ƒ+AJNerƒ — B, œ+ Kerƒ cv ƒfz), Đặc biel, A/ Ker f * Im f

Định nghĩa 1.1.6 Vành 4 được gọi là trvdng néu mọi phần tử khác

0 của nó đều khả nghịch

Nếu 4 là một trường, thì tập hợp 4° gồm tắt cả các phần tử khác

0 của A tạo thành một nhóm Aben

Mới trường đều là miền nguyên, nhưng ngược lại nói chung không đúng

Định lý 1.1.7 Cho nành A Cúc mệnh đề sau tưởng đương: i) A là một trường;

ti) A chỉ có các iđônn tầm thường (0 và A),

i8) Mọi đồng cấu từ A uào một nành lùu ý là đơn cấu 1.143 Vành các thương

Cho vành A và A-modun M

Định nghĩa 1.1.8 Cho 4 là vành và 5 là một tap con của 4 S được soi là đập nhân (hay là (ấp đóng nhân) nếu 1 € và s € 8 với mọi phần tử s,s

4-1A được gọi là nành các thương của Ả theo tập nhân Ø Vành S=LA với đồng cầu tự nhiên íx : 4 SA, a4 a/1 06 tinh chất phổ dụng sau đây:

Định lý 1.1.9 Cho đồng cấu tành g: A ~> Ö tà 8 là tập nhân của tôn tại đồng cấu uành h : S-1A =šB thỏa min g = hia, Hon nữa trong trường hợp này đồng cấu tành h là duy nhất

M là can Khong cia A, Hà 8 '9 là căn Không

Dinh ly 1.1.12 i) Néu I la mot adean ciia A, thi TC i,'(S-"1) Đảng thức xảy ra néu I la edéan nguyen t6 va ST =

fu 1 là iđêan nguyên tố của A théa man S(\I = Ö, thi ST la đôn nguyên tổ của S~A

Định lý 1.1.18 Có tương ứng 1 — L giữa các iđônn nguyên tổ 4 e

À thôn mãn 4S = Ö tà các iđêan nguyên tố Q của S-`A như sau:

qo stg, QoQ),

trong dé ig: A> S~*A la ding céw te nhién

HG qua 1.1.14 Cho p la idéan nguyen t6 ciia A, C6 twang ứng 1= 1

tổ Q cửa 8 ÌA (8= A~4) như sau

gói 814,012 21G),

1.1.4 Các phép toán trên iđêan

Dinh ly 1.1.15 Cho ho (&)¡c; các iđểan của vanh A Giao Mer 6 ctia ho cée idéan (a,),e1 citing la mét idéan eria winh A Định nghia 1.1.16 Cho Š là một tập hợp con của vành 4 Idéan sinh bởi 8 là iđean nhỏ nhất của A chứa S Ký hiệu (5)

Idean sinh bởi tấp hợp rồng là iđêan 0 Trong trường hợp tâp S' gồm hữu hạn phần ch mm (9) được gọi là ¡ử2an hữu hạn sinh Nêu 9= {su s,}, t (8) = (sị ) S = {a} là tập

hp gồm một mi 1đêan (a) được gọi là idéan chính Ta thấy

={arlz€

5 là giao của tất cả các iđêan chứa 8 và là tấp hợp gồm tất cả các tổng hữu hạn S),s,s, với a, € Á,s, € 8

Định nghĩa 1.1.17 Vành 4 được gọi là mién idéan chính nếu 4 là miền nguyên và mọi iđêan của đều là iđôan chính Định nghĩa 1.1.18 Tổng 3 ,„,a, của họ các iđêan (&);cr là iđêan sinh béi tập hop User @-

i) Ta thay ngay (8) = Dyes 5A

iti) Hop ciia họ (&)¡er các iđênn của tành A nói chung không phải 1a mot idéan Tuy nhiên LJ,„¡ ; sẽ là một tđêan trong trường hợp hai idéan nay, khi dé r6 rang Dies = jes % Định nghĩa 1.1.20 Tich cia ho các iđôan mị, ,œ, là idean sinh bởi tắt cả các tích zụ ụ (Øị € ị, ,#„ € a,) KỆ hiệu ay dy B6 đề 1.1.21 Tích a¡ q„ là lập hợp gồm tắt cả các tổng hữu han Dita -tin vdi #a € ì, , đán € đụ

“Trường hợp đặc biệt a: = = a, = a, ta có lấy thừa bậc 0 của dean a, ký hiểu a” = a a Idean œ được gọi là lãy lĩnh nếu có số nguyên đương n sao cho a" = 0

Ta c6 dinh nghia sau đây là mở rông của khái niệm các số nguyên

tổ cùng nhau trong vành số nguyên Z cho các idêan của một vành bắt

kỳ

Định nghĩa 1.1.2 Hai iđêan a và p của vành 4 được gi là nguyên

Hổ cùng nhau nếu a+b =

Cho vanh A va eéc idéan a}, @2, ,¢ của A Ta định nghĩa đồng cấu vành

i

Định lý 11.28 Cho tàn A tò các ¡đê đụ, đạ, đạ của A,

féu các iđẽan a, vi a, (i # j) nguyên tổ cùng nhau từng đôi mot,

me Tha = Maw

4) Œ là loàn cấu nếu và chỉ nếu ede idéan a, va a, (i # J) nguyên

tố cùng nhau từng đôi môi

iti) ® là đơn cấu nếu uà chỉ nếu ( _; & = 0

Cho các iđêan a và b của vành A Ký hiệu

(A:6) = {r€ A|+b Ca}

(a: 6) rõ ràng là một iđêan của vành 4

Định nghĩa 1.1.24 Idéan (a: p) duce goi la idéan chia cia vanh A Đặc biệt (0: b) được gọi là nh hóa tử của b và ký hiệu (0 : 6) = Ann(b) Tập hợp tất cả các ước của 0 trong vành 4 là

p=[JAmn)

vn

Định nghĩa 1.1.25 Cho œ là một iđôan của vành A Căn của a, ký hiệu 8, được xác định bởi:

Va = {x € A | tồn tai số nguyên đương n thỏa 2" € a}

8 là một iđêan của vành 4 chứa a Nếu a = 4, ta nói a là iđôan căn

Sau đây là một số tính chất cơ bản của iđôan căn 1.145 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại

Dinh nghia 1.1.26 ï) Idan p cia vanh A dude goi IA idéan nguyên tổ nếu P # 4 và nếu zụ € P, thì z € P hay ÿ€ P

ii) đêan m của vành 4 được gọi là ¿đan eưe đại nếu m ý A và không có iđôn a nao thỏa man m ¢ a A B6 dé 1.1.27 i) [dean p ciia vink A la nguyen tố nếu và chỉ nếu vành thương A/Ð là một miền nguyên liên m của tành A là đại là idéan nguyén tố, điều ngược lại không đứng

uf A là đồng cầu vành và p là iđêan nguyên (6 trong

B thì ƒ"I(p) cũng là idêan nguyên t6 trong A Tuy nhién, nếu m trong A (chẳng hạn A = 7, B — Q.m = 0, ƒ :Z = Q) Các iđêan nguyên tố đóng vai trò quan trong trong đai số giao hoán

“Tính chất sau day có chứng minh rất đơn giản, dành cho ban doc B6 dé 1.1.28 Cho p,a là các tđêan của uành A trong đó P là iđêan nguyên tố Nếu a C p, thì w C P Đặc biết VỆ =P Định lý 1.1.29 Cho aị, đạ,b là các iđêan của vank A 4) (Trính nguyên tố) Nếu b C UP ¡ 8; tà có thu nhất là hai trong

số các tên a, tụ không nguyên b được chứa trong mot idéan a, nao dé (1 <i <n}

lên b là iđêan nguyên 16 chita (Y,a,, thi b chia mot idéan a, nao dé (1 <i <n) Dac biét, néub = (Ya, thi b = a, vdi mot idéan a nao dé

4) Nếu m là một iđênn thật sự của vành Ä thỏa mãn mọi phần tit

€ A—m khả nghịch, thi A là uành địa phương uà m là iđêan cực đại

iti) Nếu m [a mot idéan ewe dai của rành A thỏa mãn mọi phần tử có dang 1+ vdi z € m đều khỏ nghịch, thà A là nành địa phương

Hệ quả 1.1.38 Trong vành A, các điêu kiện sau là tương đương: i) A la uành địa phương

i) Tan tai mot idéan thực sự & của A sao cho mỗi phần tit cia A—a đều khả nghịch

ii) Những phần tử không khả nghịch của A lập thank mot idéan, trong (ii) (tương ứng (iii)) là iđêan cực đai duy nhất của A Định lý và Định nghĩa 1.1.34 Tạp hợp 9t tất cả các phần tit biy khác 0 [dean N dude gọi là căn Không của A

Bồ đề 1.1.35 Từ dink nghĩa của căn Không, ta có ngay 9Ầ = VŨ: Phần tử cực tiểu (theo quan hộ thứ tư "bao hàm") trong tap tắt

cả các iđôan nguyên tổ cña vành Á được gọi là iđêan nguyên tố cực tiểu của Á

Định lý 1.1.36 Củn Không 9t cửa À là giao của tất củ các idean

lố cực kiểu của A

qua 1.1.37 V& là giao của tắt cả các iđên nguyên tố chứa iđêan

a

Định nghĩa 1.1.38 Giao tất cả các idéan cực đại của vành 4 được

là căn Jacobson của A Ta dùng chữ J(A) để ký hiệu căn Jacobson

Dinh nghia 1.1.40 Idéan 4 của vành 4 được gọi là ¡ôm nguyên sơ nếu 4z 4 và nếu zự € 4, thì z € 4 hay ý" € 4 với ø là một số nguyê dương nào đó

Nói cách khác, q là nguyên sơ khi và chỉ khi 4/q # 0 và mọi ước của 0 trong A/q là lũy linh

Mệnh đề 1.1.41.- ¡) Nếu q là ¡đến nguyên sơ của uành A, thì Ñ

là sdênn nguyên tổ nhỏ nhất chứa q

kỳ một phân tích nguyên sơ nào cũng có thé đưa về phân tích ngụ

sơ tối giản lđêan a được gọi là phân tích được nÊu nó có một phân tích nguyên sơ

Dinh ly 1.1.44 (Dinh lý về tính duy nhất đầu tien) Cho a la idéan phân tích được va a = Fay la phan ích nguyên sử tối giản cia a Néup, = fH (LS 1S), thd ede idean p, chink là các iđÊan nguyên

tố có dang v2 T (+ € 4), uà do đó chúng không phụ thuộc rào một phan tích cụ thể nào của a

1.2 Médun

1.2.1 Médun và médun con

Cho vành 4 và nhóm cộng Aben Af, Ta xác định phép toán

Ax M— M, (a,x) — ar, và gọi là phép nhân uô hướng Định nghĩa 1.2.1 Nhóm cộng Aben Af cùng với phép nhân võ hướng

Ax M + M,(a,2) > ax duce gọi là A—môdun nêu thỏa mãn các điều kiên sau với mọi a,b € Ả,z,y € À

9 a(bz) = (4b);

ii) a(x +y) = art ay;

iii) (a+ be = ax + ber;

iv) le

Định nghĩa 1.3.3 Cho A là một A—môdn, Một tập con A của được gọi Id modun con (A—médun con) cia M néu N cing voi phép công là nhóm con của A7 và đóng với phép nhân vô hướng

Bồ đề 1.2.3 Cho M là A—môdun va N 40 là mot tap con của AM, Các điều kiên sau tưởng đương:

i) N la A-modun con của M

ii) N là đồng uới phép công uà phép nhân uô hướng iti) ar + by EN, ¥abe A.a,y EN

Cho M 1a A-modun va N là môdun con của Af, ta có nhóm thương MM/N của nhóm công Aben A/ Bây giờ ta định nghĩa phép nhân a(z+ Ä) = ae + N(a € A,z € M), khi đó M/N trở thành 4~môdun

và gọi là A-~ möđun thương của MỊ

Định nghĩa 1.3.4 Cho các 4—môđun A và Ä, Ảnh xã ƒ : M — được gọi là đông cầu A— môdun (A~ đồng cấu) nếu thỏa mãn các điều kiện sau với mọi phần tử ø € A,z, € ÄF

ï) fứ +) = ft) + f0)

ii) f(az) = af(z)

He qua 1.2.5 Néu f: M—

i) £(0) =

wi) f(—2) = —f(x), vdi moi x € M

ati) f(T, kits) = OL, ki f(a) vdi mọi œị, ụ € M,

Cho eée A~modun

—môđun con của L/M € MCL Khi đó MỊN có thể xem như là Định lý 1.2.7 i) Cho ede A~modun Ð

Định nghĩa 1.2.8 Môdun Af được gọi là ting trực tiếp (trong) của

ho môđun con (M,)jer néu: M = Dye, M, và với mọi FELM NY ce Mi

Bier

Tổ đề 1.2.9 Gid sit ho médun con (M,)ier ctia modun M théa mãn vôi: Mọi phần tử œ € M, biểu didn = Dyepat, vdin, € MI CL hat han, là dụy nhất

Ta ký hiệu AI

Dinh nghia 1.2.10 Cho N la médun con cita modun M N duce

gọi là hạng tử trực tiếp của M néu có môđun con 7 của Äf sao cho

M = N@L

Cho ala idean cia vanh A, ta định nghĩa tích a A7 là tập hợp tắt

cả các tổng hữu hạn 32,0z(ø € a,œ¡ € A7) Dễ dàng kiểm tra aM

là 4-môdun con của 4~môdun Af,

Cho Ä,P là các môdun con của A, ta định nghia N ;4 P (hay TP) là tập hợp tắt cả các phần tit a € A sao cho aP CN, Ro ràng

4 P ]à một idean của A và ta gọi là idéan chia Dac biet 0 : A/ được gọi là lĩnh hóa ti cia M, ky higu Anng(M) hay Ann(M) A~modun

M goi là trung thành nếu Ann(M) =

Bé dé 1.2.11 ¡) Nếu œ là iđêan của A thỏa a C Ann(M), thì AF

có thể xem như là Aj a =môdun uới phép nhân (a + 8œ = az{a € A,e€ M)

ii) M la Af Ann(M)—médun trung thành

Ta có các tính chất cơ bản sau đây về lĩnh hóa tử của môđun B6 dé 1.2.12 Cho N,P la cic A~modun con ctia A-modun M 4) Ann(N + P) = Ann(N)(|Amn(P),

ii) N: P= Ann((N + P)/N)

Bay giờ, cho NV 1A mot môdun con của Af và œ là iđêan của 4,

ta dinh nghĩa Ä ; œ là tập hợp tất cả các phần tử z € Af sao cho

a C/N, Ro rang NV :yy ø cũng là một môđun con của Âf và ta gọi là modun con chia

B6 dé 1.2.13 Cho L, (L;)ier la ho eae A—modun con ctia A~modun

M va a,b, (ai)ics la ho cée idéan của nành A Ta có i) (Lear @) cụ b= (Lạ 88) = (E suy B8)

) ((ie lộ) :a0 4) = Mer (Li :ar a)

iti) (Le ics i) = NicalL sar a)

1.2.3 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp

Cho họ các 4—môdun (A,),c; Xét tap hợp tích Đề-các TJ„„„ M, là tap tất cả các phần tử có dang (#j),cr(z, € A,,i € 7) Tà xác dink cae phép todn: Véi moi (2))ier, (yi)ier © [Tier Mia € A,

@j,JÁH; là tổng trực tiếp (ngoài) của họ các A~môdun (M,)icr

Rõ ràng khi ƒ là tập hữu han thì @/„¡É, = []„„¡M,

T= {1,2, n}, ta có thể dùng ký hiệu tích trực liếp

TĨh = 3n x AI x xM,

và tổng trực tiếp

Ga = Mu Đặc biệt, khi J = Ú, ta quy ước @,;MM, = [],„; A1: Trường hợp Af, = Af với mọi i € I, ta có thể dùng ký hiệu Ther Mf = AT và @yepM; = MM Néw I = {1,2, n}, ta 06 thé viet gon M! = M" va MU) = MO Với mỗi j € T, ta có toàn edu: py + [hep Mi > Mj (thier c> z; (tương tu py: @ByerMi > My (a,)ier 9 #,) được gọi là phép chiếu chính tắc thứ j Tà cũng có các đơn cấu: q : M, + The Mie => (#);<r (tưởng tự g, : Á, => @j¿JÁ,,# c> (£)šer, trong đó z¡ = z với 2= j và ý = 0 nếu t # j được gọi là phép nhúng chính tắc thứ j

Định lý 1.2.14 Cho ho ee A—modun (My)ier Khi đó

8 M) =@ „Ms tài

1.2.4 Môdun sinh bởi tập hợp, möđun hữu hạn sinh

Cho M là mot A-modun va Š là một tập con của Àf, Ký hiệu (S)

là giao của tất cả các môđun con của M chứa 9 Định lý và Định nghĩa 1.3.15 (S) là một môdun con nhỏ nhất của sinh của (8)

Trường hợp Aƒ = (S), tà nói Á là môđun sinh bởi S- Trong trường hop tap S chỉ có một phần tử 5 = {s}, ta viết gọn ({s}) = (5) và (s) được gọi là môđam zụchíc

Khi 9 = Ú, ta có (0)

Bổ dé 1.2.16 i) (S) la tấp tất củ các tổ hợp tuyến tính của mọi

họ con hữu hạn của 6

fi) R6 rang (S) = Dey As Ta c6 thé ky hiéu (S) = AS Dinh nghia 1.2.17 A-modun M duge gọi là hữu hạn sinh nếu có một tập sinh hữu hạn

liệu n(M) b số phần tử sinh ít nhất của 4~m6đun hữu hạn sink M Kh đó _(M) = 0 nếu và chi néu M = 0, M là xyclic nếu {ơi ta, mu} là đập sinh tối tiểu cha M

Định lý 1.2.18 M là 4—-môđun hữu hạn sinh khí nà chỉ khả có số nghựên đường n sao cho AT đẳng cầu tối một môn thương của AY Định lý 1.2.19 Cho a mot là một idéan chứa irons can Jacobson HA) tia vn 5 va M la mét A—médun Khi

Đặc biệt

0 —+ A* ~'s Af là khóp khi và chỉ khi ƒ đơn cầu

AI =#3 Af" —+ 0 là khớp khi và chỉ khi ø toàn cấu Day khớp đang 0 —> A7 —+ Af —+ Aƒ" —+ 0 được gọi là đây khớp ngấn Chẳng han nếu A' là môđun con của môđun Af và

hì ta có dãy khép ngin 04 N “+ M4 M/N + 0 Day khop ngắn có tính chất sau day:

Bé dé 1.2.21 Day 0 — M's M 2s M” — 0 Ia hap bhi va chỉ khi f don cầu, g toàn cấu tà Im f = Kerg

ủng định sau dây là i) M £0 khi va chi khí Supp(M) 4 0

i) Néw 0+ M' + MM" +0 là đây kháp ngắn các A~môdun,

thi

Supp(A) = Supp(AM”) | JSupp(M”) iti) Néu M = SD M;, thi Supp(M) = USupp(Mi)- fy) Néu M,N là hữu hon sink, thì Supp(M@,N) = Supp(.M) (Supp)

v) Néu M la hitw han sink va a là mot idéan của A, thì Supp(M/aM) = V(a-+ Ann(M))

1.3 Vành và môđun Nơte

Cho (T, <) là một tập được sắp thứ tự

Bổ đề 1.8.1 Các điều kiện sau trên tập dude sấp thứ tự (T,<) là tương đương:

i) Moi day tăng œị < øa < trong T là đừng, tức là tồn lại số tự nhiên n théa man ty = tp =

i) Moi tập con khéc réng cia T déw có phần tử exe dai Bay gid, cho M 1a A~modun va T' la tap tt e& edie A~modun con của A7 với quan hệ thứ tự C Khi đó điều kiên i) trong Bồ đề Lä.1 được gọi là điểu kiến đây chuyền táng (viết tắt là ACC), điều kien ii) được gọi là điều kiện cực dai

Định nghĩa 1.3.2 Modun M théa mãn điều kiên dây chuyền tăng (hoặc điều kiến cực đại) trên tập hợp các môđun con được gọi là modun Note (Noether)

Vành 4 được gọi là vank Note néu n6 1a A—modun Note Định lý 1

cơn của AT là hữu han sink A-médun M la Nate khi và chỉ khí mọi A—môdun

Hệ qua 1.3.4 A là sành Note khi va chi khi moi idéan của A đều hữu hạn sinh

Định lý 1.8.5 (L S Cohon) Nếu moi idéan nguyén tố của vành A

là hữu hạn sink, thi A là vinh Note

Dinh ly 1.3.6 Néw0 + M’ 4M 4M" 0 la đấy kháp ngắn các A-médun, thi M la Note néu va chi néu M' va M" la Nate,

Hệ quả 1.8.7 Tỉng trực tiếp hữu hạn của các A=uôdun Nate ta A-modun Note,

Hệ quả 1.3.8 Nếu A là vanh Note, tht moi A~modun haw han sinh 1a Note uà biểu diễn hữu hạn,

Hệ quả 1.3.9 Nếu À là uành con cia vanh B théa man A la Note

va Bla A—médun hitw han sink, the B la vanh Note,

He qua 1.3.10 Néu A là vanh Note và a la idéan ciia A, thd A/a la vanh Nate va ciing la A~médun Note

He qua 1.3.11, Néw A là nành d

thì B la vinh Note te vd fs A B là loàn cấu nành, Định ly 1.3.12 Cho $ la tap nhân của vành A i) Néw M là ¿ —médun Note, thi S'M la $1A-médun Note ti) Néw A la vanh Nate, thi SA la van Note

13 VANH VA MODUN NOTE 2%

Hệ quả 1.3.13 Cho p 1a idéan ctia vanh A,

ỤA

4) Néw A là vinh Note, thi Ap là vank Note

M la A~médun Note, thi Mp la Ap-maédun Nate

Dinh ly 1.3.14 *(McAdam and Eakin)* Ta có (i) Ass*(a) = Bss*(a) U (Var(a) 9 Ass A)

(ii) (Ass (a/a*")), 2, dang gia tiing vain > ae, (O(a) 5 (iit) Bss*(a) = {BO As P € Assguj(đ(a)) n Proj((a))}

Chương 2

Phân tích nguyên sơ của môđun trên vành giao hoán Nơte 2.1 Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 2.1.1 lđên nguyên tố P của 4 được gọi là liên kết với (cia) M nếu có phần tit x € M sao cho Ann() =p Tap tất cả các iđêan nguyên tổ liên kết với Af được ký hiêu là AssA(M) hay Ass(M)

Vì A/p là miền nguyên, nên linh hóa tử của một phần tử khác Ú của A/P bằng p

Bỗ đề 2.1.4 Cho P là iđêan nguyên tố của tành A uà Ñ là A=môđưn cơn của A—môđtun AT, Cúc mệnh đề sau tưởng đương

i) P= Anne nởi z € AI,

4) Tôn tại đơn cấu A/p + MIN

Chứng mảnh

j) = 0), Giả sử p = Ann(z) với z € Af/A Xác định đồng cầu A/p + M/N,a +P + ax, dé ding kiém tra đây là đơn cầu ii) + #), Néu tồn tai don edu f : A/p > M/N Lấy z=/0+)

“Theo 2.1.7 Ass(M) C Ass(M@N) C Ass(M) UAss(N) Thay adi vi